BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI. Sistem Pendulum Terbalik Dalam penelitian ini diperhatikan sistem pendulum terbalik seperti pada Gambar di mana sebuah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang bisa digerakkan. Diasumsikan motor bergerak dalam satu dimensi, yaitu maju atau mundur dalam satu garis lurus, sedangkan pendulum diasumsikan hanya bergerak dalam bidang vertikal yang datar. Gambar : Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar Berat motor dinotasikan dengan M dan berat pendulum dengan m, satuannya dalam kilogram. Panjang pendulum dilambangkan dengan l dan satuannya dalam meter. Pendulum diasumsikan seragam (uniform) sehingga inersianya diberikan oleh I = 3 ml. Diasumsikan friksi antara pendulum dengan motor sebesar dan friksi antara motor dengan lintasan sebesar. Diasumsikan bahwa sudut yang dibentuk oleh pendulum adalah cukup kecil. Persamaan gerak antara input kendali u, yang merupakan gaya yang bekerja pada motor, dengan posisi motor terhadap titik awal dan sudut pendulum diberikan oleh persamaan-persamaan berikut : ( M m) ml u (.) 4 ml ml mgl 0 (.) 3

4. Tranformasi Laplace Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear. Dengan menggunakan transformasi Laplace, persamaan diferensial linear dapat diubah ke dalam persamaan aljabar dalam peubah kompleks. Definisi. Transformasi Laplace dari fungsi f(t) adalah f(t) f(t) s 0 st e f t dt F s fungsi waktu t peubah kompleks simbol operasi yang mengidikasikan bahwa persamaan st diubah dengan menggunakan integral Laplace e f ( t) dt 0 F(s) transformasi Laplace dari f(t), dengan syarat f t kontinu bagian demi bagian pada t 0 dan berorde eksponensial saat t menuju takhingga, yaitu ada konstanta real t positif sedemikian sehingga lim e f t 0 (Ogata 990). Sifat sifat transformasi Laplace : Misalkan f t F s dan g t G s, maka:. Sifat penjumlahan f ( t) g( t) F( s) G( s). Sifat perkalian Jika a R, maka: af(t) a F(s) 3. Sifat turunan pertama df t sf s f 0 dt 4. Sifat turunan kedua d f t ( ) dt s F s f sf ( ) (0) (0) t

5 5. Sifat eksponensial at e s a Bukti dari sifat-sifat di atas dapat dilihat di Lampiran..3 Deret Taylor Suatu sistem taklinear dapat dilinear mengasumsikan variabel kesetimbangannya. menggunakan deret Taylor dengan mengalami deviasi yang kecil terhadap titik Definisi. Deret Taylor Satu Peubah Andaikan f dan semua turunannya, f ', f '', f ''',, kontinu di dalam selang [a,b]. Misalkan 0 [ a, b ], maka untuk nilai-nilai di sekitar 0 dan 0 [ a, b ], f() dapat diekspansi ke dalam deret Taylor sebagai berikut (Ogata 990): m ( 0 ) ( 0) ( 0) ( m) f ( ) f ( 0 ) f '( 0) f ''( 0)... f ( 0)...!! m!. Definisi 3. Deret Taylor Dua Peubah Deret Taylor dua peubah merupakan fungsi dari dua buah masukan dan. Sehingga nilai dan di sekitar dan merupakan deret Taylor dua peubah sebagai berikut (Ogata 990): f f f (, ) f (, ) ( ) ( )! f f f ( ) ( )( ) ( )... di mana turunan-turunan parsialnya dihitung pada,. Di sekitar titik kerja normal, bentuk-bentuk orde tinggi dapat diabaikan. Model matematika linear dari sistem taklinear ini di sekitar kondisi kerja normal selanjutnya diberikan oleh f (, ) f (, ) K( ) K ( ) di mana

6 K f,, K f,..4 Persamaan Ruang Keadaan Bentuk standar persamaan ruang keadaan merupakan bentuk persamaan diferensial biasa berorde satu berdimensi n, dan persamaan keluaran (out put) dengan dimensi m, didefenesikan sebagai berikut (Ogata 990): Defnisi 4. Diberikan sistem persamaan ruang keadaan dan persamaan keluaran berturut-turut sebagai berikut: t f, u, t, (.3) y t g, u, t. (.4) Jika vektor fungsi f, g bergantung terhadap peubah t, maka persamaan (.3) dan (.4) disebut sistem parameter-berubah (time-varying). Jika sistem tersebut dilinierkan, maka persamaan linear ruang keadaan dan persamaan keluarannya dapat ditulis sebagai berikut: t A t t B t u t, (.5) y t C t t D t u t, (.6) dengan A t, B t, C t, D t merupakan matriks-matriks yang bergantung pada peubah t, sedangkan adalah vektor peubah keadaan (variable state) dan y adalah keluaran (output)sistem serta u merupakan input kendali. Jika vektor fungsi f, g tidak bergantung terhadap peubah t, maka persamaan (.3) dan (.4) disebut sistem parameter-konstan (time-invariant). Di dalam kasus ini persamaan (.3) dan (.4) dituliskan sebagai berikut: t f, u, y t g, u. Jika sistem tersebut dilinearkan,maka persamaan linear ruang keadaan dan persamaan keluarannya adalah: ( t) A( t) Bu( t ), (.7) y( t) C( t) Du( t ), (.8)

7 dengan A,B,C,D adalah matriks-matriks bernilai real, adalah vektor peubah keadaan (state variable), y adalah keluaran (output) sistem, dan u adalah input kendali. Sistem pada persamaan (.7) dan (.8) dapat ditulis dalam bentuk n n n m r n A, B, C, D, untuk A R, B R, C R, dan D R r m.5 Fungsi Transfer Fungsi transfer adalah suatu fungsi yang menghubungkan antara output sistem dengan input sistem. Hasil transformasi Laplace dari (.7) dan (.8) adalah: sx(s) = AX(s) + BU(s), Y (s) = CX(s) + DU(s). Dengan demikian diperoleh fungsi transfer: Y ( s) ( ) ( ) U ( s) P s C si A B D (.9) Selanjutnya, interaksi antara u dan y dapat diungkapkan melalui diagram blok seperti pada Gambar. Gambar : Diagram blok hubungan antara input dan output..6 Pole dan Zero Dari fungsi transfer seperti pada persamaan (.9) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi rasional sebagai berikut: P( s) m N ( s) bm s b s... b s b n D( s) s a s... a s a m m 0 n n 0, (.0) dengan pembilang N(s) dan penyebut D(s) adalah koprima. Pole dari sistem P didefinisikan sebagai akar dari persamaan D(s) = 0. Zero dari sistem P

8 didefinisikan sebagai akar dari persamaan N(s) = 0. Jika n > m maka sistem P memiliki sejumlah zero di takhingga. Misalkan p dan z berturut-turut adalah pole dan zero dari P s, pole p disebut sebagai pole takstabil jika Re p 0, selain itu disebut pole stabil. Zero z disebut sebagai non minimum phase zero Re z 0, selain itu disebut zero stabil. Dapat dilihat bahwa dari persamaan (.) dan (.) dapat diperoleh dengan P ( s) : P ( s) : ( ) 4 3 3 X s s ml s gml 3 U ( s) s( a3s as as a 0), (.) ( s) 3mls 3 U ( s) a s a s a s a, (.) a3 ml (4 M m), a M m ml, 3 ( ) 4 a 3 3 mgl( M m), a0 3 mgl. 3 0 Di sini P ( s) merupakan fungsi transfer antara input kendali u dengan posisi motor dan P ( s) merupakan fungsi transfer antara input kendali u dengan posisi sudut pendulum. Jika diasumsikan tidak ada friksi antara motor dan pendulum serta tidak ada friksi antara motor dan lintasan, yaitu 0, maka P ( s) dan P ( s) pole takstabil di memiliki p 3 g( M m) l(4 M m) (.3) dan P ( s) memiliki zero takstabil di z 3 g, z 4l. (.4) Penurunan pole dan zero sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar secara lengkap dapat dilihat pada Lampiran.

9.7 Kestabilan Definisi 3 Sistem = (A,B,C,D) seperti pada (.7) dan (.8) dikatakan. stabil jika lim sup ( t) untuk setiap solusi (t) dari persamaan ( t) A t ;. stabil asimtotik jika lim sup ( t) 0 untuk setiap solusi (t) dari persamaan ( t) A( t); 3. takstabil jika ia tidak stabil. sistem Dapat dilihat bahwa kestabilan tidak terkait dengan bagian manapun dari selain dengan matriks A. Oleh karena itu, kestabilan dapat ditentukan dari spektrum matriks A (Lewis 004). Teorema Diberikan sistem = (A,B,C,D) dengan A matriks berukuran n n yang memiliki akarciri,,..., n. Pernyatataan-pernyataan berikut berlaku:. Sistem stabil jika dan hanya jika Re 0 i untuk semua i =,...,n. Sistem stabil asimtotik jika dan hanya jika Re 0 i untuk semua i =,,, n. 3. Sistem takstabil jika dan hanya jika Re 0 i untuk suatu i =,,...,n (Lewis 004). Bukti: lihat Lampiran 3. Teorema Diberikan sistem P(s) yang memiliki pole p, p,..., pn Pernyataan-pernyataan berikut berlaku:. Sistem P(s) stabil jika dan hanya jika Re pi 0 untuk semua i =,...,n.. Sistem P(s) stabil asimtotik jika dan hanya jika Re pi < 0 untuk semua i =,...,n 3. Sistem P(s) takstabil jika dan hanya jika Re pi > 0 untuk suatu i =,..., n (Lewis 004)

0 Bukti: lihat Lampiran 4..8 Sistem Umpanbalik Istilah umpanbalik digunakan untuk menjelaskan sebuah situasi di mana dua atau lebih sistem dinamik saling terhubung sedemikian sehingga setiap sistem mempengaruhi sistem lainnya. Umpanbalik memiliki banyak sifat menarik. Salah satunya adalah mampu membuat sistem taksensitif terhadap usikan dari luar. Gambar 3: Sistem pengendalian dengan umpanbalik. Sistem umpanbalik paling sederhana melibatkan tiga komponen, yaitu plant atau sistem P yang akan dikendalikan, controller atau pengendali K yang harus didesain sehingga menghasilkan input kendali tertentu, dan sensor F yang mencatat output sistem sebagai umpanbalik. Pada Gambar 3, r merupakan fungsi referensi bagi peubah yang akan dikendalikan, e merupakan galat (error) antara input referensi dan output sistem, yaitu e r Fy, dan d merupakan usikan yang bersifat eksogen. Masalah utama dalam sistem umpanbalik adalah mendesain pengendali K sedemikian sehingga sistem menjadi stabil. Bentuk paling sederhana bagi umpanbalik u adalah u K, (.5) yaitu u merupakan kombinasi linear dari peubah keadaan. Dengan menyubstitusikan (.5) ke (.3) diperoleh ( A BK). Dengan demikian K dipilih sehingga A BK memiliki akarciri seperti yang diinginkan. Masalah ini dikenal sebagai pole placement. Jika state tidak tersedia maka dipilih umpanbalik u sebagai kombinasi linear dari output y, yaitu u Ky, (.6) sehingga diperoleh ( A BK( I DK) C) (.7)

.9 Masalah Tracking Error Perhatikan sistem umpanbalik seperti pada Gambar 4 di mana ditetapkan d(t) = 0, F(s) =, dan r merupakan fungsi tangga satuan (step function), yaitu :, t 0 r( t) (.8) 0, t 0. Gambar 4: Sistem pengendalian dengan umpanbalik pada masalah tracking error. Masalah tracking error bertujuan untuk mendesain pengendali K yang menstabilkan sistem dan sekaligus meminimumkan tracking error, yaitu: J : e( t) dt [ r( t) y( t)] dt (.9) 0 0 Dalam karya ilmiah ini, yang menjadi pokok perhatian bukanlah pada pendesainan pengendali optimal yaitu * K melainkan pada ekspresi analitik pada J, J inf J. Ekspresi analitik dari J diberikan di (Chen et al. 003). K