KETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN

Transkripsi

1 KETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Keterkontrolan Beberapa Sistem Pendulum adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, September 2009 Sakirman NRP G

3 ABSTRACT SAKIRMAN. Controllability of Several Pendulum System. Under supervision of TONI BAKHTIAR and ALI KUSNANTO Abstract It is well-known that controllability is the primary issue in control theory, where the control problem is to find a control input that causes the state or the output to behave in a desired way. The control existence of state and output control, as well as the input which will perform the desired control, depends on controllability of the system. In this thesis we characterize the controllability conditions of several pendulum systems in terms of the pendulum parameters. The conditions are derived from the so called controllability matrix. We show that direct and inverted pendulum systems are always controllable. We also reveal that the dual inverted pendulum are always controllable, provided that the length of the pendulums are not the same. Keywords: controllability, direct pendulum, inverted pendulum.

4 RINGKASAN SAKIRMAN. Keterkontrolan Beberapa Sistem Pendulum. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan ALI KUSNANTO Sistem kontrol merupakan sebuah sistem yang terdiri atas satu atau beberapa peralatan yang berfungsi untuk mengendalikan sistem lain yang berhubungan dengan sebuah proses. Sistem kontrol memegang peran yang sangat penting hampir pada semua rancang bangun teknologi, demikian pula dalam teknik, industri, olah raga maupun pendidikan. Sistem kontrol yang digunakan di pabrik maupun laboratorium pada berbagai macam industri barang maupun jasa menggunakan beberapa jenis basis kontroler. Supaya proses sistem dapat dikontrol, maka perlu dibuat model matematis yang menghubungkan antara masukan (input), proses, dan keluaran (output). Model pada sistem kontrol yang banyak digunakan adalah model persamaan keadaan. Dalam persamaan keadaan, persamaan diferensial dari sistem yang semula berorde n diubah menjadi n persamaan diferensial berorde satu secara simultan dan ditulis dalam notasi matriks Salah satu sistem kontrol yang sangat banyak manfaatnya adalah pendulum. Pendulum adalah suatu benda atau disebut bandul yang bisa digerakkan maju dan mundur atau depan dan belakang dengan melewati sebuah titik yang berulangulang. Pendulum merupakan suatu sistem atau alat yang dapat digunakan untuk menjelaskan konsep-konsep penting seperti kesetimbangan, momen inersia, besar percepatan gravitasi bumi pada suatu benda atau lainnya. Sistem pendulum biasa dan terbalik merupakan masalah standar di dalam teori pengendalian yang digunakan di laboratorium untuk menjelaskan konsepkonsep pengendalian linear seperti kestabilan sistem. Selain itu, sistem pendulum terbalik juga banyak digunakan untuk mengilustrasikan beberapa ide di dalam sistem pengendalian yang taklinear. Pada dasarnya tujuan utama dari sistem pendulum biasa dan terbalik adalah menjaga kesetimbangan pendulum dalam posisi tegak atau vertikal dengan mengaplikasikan sebuah gaya dorong (input) pada motor. Pada tesis ini, akan direkonstruksi pemodelan sistem pendulum biasa, terbalik tunggal, ganda, dan dual dengan lintasan datar dan miring, dan dilakukan identifikasi kondisi keterkontrolan sistem pendulum tersebut. Untuk sistem pendulum biasa dan terbalik tunggal dan ganda, dual dengan lintasan datar dan miring, pemodelan sistem pendulum didasarkan pada persamaan Euler-Lagrange yang berturut-turut terdiri atas dua buah dan tiga buah persamaan diferensial linear. Selanjutnya dari model yang diperoleh dialihkan ke dalam persamaan ruang keadaan secara simultan dan ditulis dalam bentuk matriks. Matriks tersebut berfungsi untuk menghubungkan output sistem dengan input. Selanjutnya akan ditentukan kondisi keterkontrolan sistem pendulum dengan matriks S yang memiliki pangkat penuh, kemudian dilakukan OBD (operasi baris dasar) terhadap matriks. Jika matriks S hasil OBD yang diperoleh berpangkat penuh maka sistem pendulum terkontrol. Jika matriks S yang diperoleh tidak berpangkat penuh maka sistem pendulum tak terkontrol.

5 Keterkontrolan sistem pendulum biasa dan terbalik tunggal, ganda dan dual dengan lintasan datar dan miring, dipengaruhi oleh panjang pendulum, massa motor dan massa pendulum yang diberikan terhadap sistem. Kata kunci: keterkontrolan, pendulum biasa, pendulum terbalik.

6 Hak Cipta milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebut sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

7 KETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008

8 Judul Tesis : Keterkontrolan Beberapa Sistem Pendulum Nama : Sakirman NIM : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. Ketua Drs. Ali Kusnanto, M.Si. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro,M.S. Tanggal Ujian: 14 September 2009 Tanggal Lulus:

9 PRAKATA Segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan segala rahmat dan karunia-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul: Keterkontrolan Beberapa Sistem Pendulum. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tesis ini masih banyak terdapat kekurangan, hal ini karena pengetahuan yang dimiliki oleh penulis sangat terbatas. Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada yang terhormat: 1. Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing dan pendidik, pengajar yang dengan penuh kesabaran memberikan bimbingan, arahan, nasehat serta motivasi kepada penulis. 2. Bapak Drs. Siswandi, M.Si. selaku penguji Luar Komisi pada ujian tesis, pendidik dan pengajar yang telah memberikan saran dan kritikannya kepada penulis. 3. Depag RI yang telah membiayai Sekolah Pascasarjana pada Institut Pertanian Bogor periode Ketua Departemen, ketua Program Studi, dan seluruh staf pengajar serta staf administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang turut membantu proses penyelesaian tesis ini. 5. Kepala sekolah dan seluruh staf pengajar MAN 2 Batusangkar Kab. Tanah Datar yang turut mendo akan dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan tesis ini. 6. Kedua orang tua yang senantiasa mendo akan penulis disetiap waktu dalam menyelesaikan tesis ini. 7. Istri tercinta dan anak-anak tersayang yang selalu mendo akan penulis setiap detik dalam menyelesaikan tesis ini. 8. Seluruh teman-teman yang turut memotivasi dan membantu penyelesaian tesis ini. Penulis do akan semoga segala bantuan, bimbingan dan pengarahan yang diberikan mendapat ganjaran yang berlipat ganda dari Allah SWT, dan semoga tesis ini bermanfaat bagi kita semua. Amin. Bogor, September 2009 Sakirman

10 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kab. Padang Pariaman pada tanggal 01 Maret1967 dari ayah H. Akhiruddin (almarhum) dan ibu Hj.Rosma. Penulis merupakan putra ketiga dari empat bersaudara. Pendidikan sarjana ditempuh di Program Studi pendidikan Fisika, Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan YDB Lubuk Alung, lulus tahun 1995 dan Jurusan Matematika Universitas Negeri Padang Sumatera Barat, lulus tahun Selama kuliah di STKIP YDB Lubuk Alung, penulis telah menjadi staf pengajar di SMAN 1 Sicincin tahun 1992, Tenaga Lapangan Dikmas tahun , staf pengajar SMAN 1 Sungai Limau tahun , dan MAN 2 Batusangkar sejak tahun 1997 sampai sekarang dan mendapat kesempatan mengikuti beberapa pelatihan antara lain: Pendidikan dan Pelatihan Pertanian (th. 1995), Pelatihan Penilik Paket A level II (th.1995), Pelatihan Penilik Dikmas dan Tenaga Lapangan Dikmas (TLD) (th. 1995), Pelatihan guru Madrasah Aliyah mata pelajaran fisika (th. 2000), Pendidikan dan Pelatihan guru Tingkat Madrasah Aliyah mata pelajaran fisika di lingkungan Depag (th. 2006), Pelatihan dan Sosialisasi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) (th. 2006). Selanjutnya kesempatan untuk melanjutkan ke Program Magister pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor diperoleh pada tahun 2007 melalui beasiswa Departemen Pendidikan Agama Republik Indonesia.

11 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... xii DAFTAR LAMPIRAN... xiv PENDAHULUAN... 1 Latar Belakang... 1 Tujuan Penelitian... 4 LANDASAN TEORI DASAR Keterkotrolan... 5 Kontrol Lup Tertutup dan Kontrol Lup Terbuka Pelinearan Model Taklinear Persamaan Ruang Keadaan PEMODELAN SISTEM PENDULUM Sistem Pendulum Biasa dengan Lintasan Datar Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring KETERKONTROLAN Persamaan Ruang Keadaan Sistem Pendulum Biasa dengan Lintasan Datar Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring Keterkontrolan Sistem Pendulum Sistem Pendulum Biasa dengan Lintasan Datar Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring SIMULASI MODEL SIMPULAN DAN SARAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 60

12 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Jenis sistem pendulum Sistem kontrol lup tertutup Sistem kontrol lup terbuka Sistem pendulum biasa Sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar Sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring Sistem pendulum biasa dengan lintasan datar Sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar Sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar Sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan miring Sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring Grafik sistem pendulum biasa yang tak stabil Grafik sistem pendulum biasa yang stabil Grafik sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar takstabil Grafik sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar stabil Grafik sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar takstabil Grafik sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar stabil Grafik sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar takstabil Grafik sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar stabil Grafik sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan miring takstabil Grafik sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan miring stabil Grafik sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring takstabil Grafik sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring stabil Grafik sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring takstabil Grafik sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring stabil Grafik sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar takstabil Grafik sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar takstabil Grafik sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring takstabil 54

13 31 Grafik sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring takstabil Grafik rasio panjang kedua pendulum dan tracking error optimal... 56

14 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Penggunaan Deret Taylor Bukti Teorema Penjabaran Persamaan keadaan Takhomogen Pendekatan Transformasi Laplace Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Biasa Persamaan Euler Lagrange pada Sistem Pendulum Biasa Pelinearan Model Sistem Pendulum Biasa Tunggal dengan Lintasan Datar Rekonstuksi Model Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Datar Pelinearan Model Sistem PendulumTerbalik Tunggal dengan Lintasan Datar Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar Persamaan Euler Lagrange Sistem Pendulum Ganda dengan Lintasan Datar Pelinearan Model Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar Pelinearan Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring Pelinearan Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Miring Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Miring Pelinearan Sistem Pendulum Ganda Terbalik dengan Lintasan Miring Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring

15 21 Pelinearan Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring Keterkontrolan Sistem Pendulum Biasa dengan Lintasan Datar Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Datar Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Miring Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Miring Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring Sintaks Matlab untuk mencari Vektor K dan Simulasi

16 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Drs. Siswandi, M.Si.

17 1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Sistem kontrol atau sistem kendali dalam hampir semua rancang bangun teknologi memegang peran yang sangat penting, demikian pula dalam teknik, industri, olah raga maupun pendidikan. Sistem kontrol yang digunakan di pabrik maupun laboratorium pada berbagai macam industri barang maupun jasa menggunakan beberapa jenis basis kontroler. Sistem kontrol merupakan sebuah sistem yang terdiri atas satu atau beberapa peralatan yang berfungsi untuk mengendalikan sistem lain yang berhubungan dengan sebuah proses. Dalam suatu industri, semua variabel proses seperti daya, temperatur dan laju alir harus dipantau setiap saat. Bila variabel proses tersebut berjalan tidak sesuai dengan yang diharapkan, maka sistem kontrol dapat mengendalikan proses tersebut sehingga sistem dapat berjalan kembali sesuai dengan yang diharapkan. Sistem kontrol dapat digunakan di dalam pabrik, gedung-gedung maupun dalam bidang teknik. Sistem kontrol sudah berkembang sejak awal abad ke-20, yaitu dengan ditemukannya sistem kontrol proporsional, integral dan diferensial. Dalam perkembangannya, ketiga sistem kontrol tersebut digabung menjadi satu, menjadi sistem kontrol PID (Proporsional, Integral, Diferensial). Sistem kontrol PID hanya dapat digunakan untuk sistem proses yang berbentuk linear dengan satu masukan dan satu keluaran (SISO). Untuk mengatasi hal ini, maka dikembangkan sistem kontrol yang lebih canggih, yaitu sistem terkontrol. Supaya sistem proses tersebut dapat dikontrol, maka perlu dibuat model matematis yang menghubungkan antara masukan (input), proses, dan keluaran (output). Pada sistem control, model yang banyak digunakan adalah model persamaan keadaan. Dalam persamaan keadaan, persamaan diferensial dari sistem yang semula berorde n diubah menjadi n persamaan diferensial berorde satu secara simultan dan ditulis dalam notasi matriks. Metode persamaan keadaan

18 2 banyak digunakan dalam menganalisis suatu sistem, karena metode tersebut mempunyai banyak keuntungan yaitu: 1. Notasinya mudah dan dapat dibentuk ke dalam sistem persamaan diferensial. 2. Notasinya seragam untuk semua sistem tanpa mempedulikan orde persamaannya, dan dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik yang sudah ada. 3. Dapat digunakan untuk mengetahui karakteristik dan tingkah laku sistem secara lebih lengkap (Hasan, 1998). Dengan menggunakan model persamaan keadaan, maka sistem kontrol optimal dapat diterapkan pada sistem proses yang kompleks. Sistem kontrol optimal dapat digunakan untuk mengendalikan sistem proses yang berbentuk linear maupun taklinear. Sistem kontrol optimal juga dapat digunakan untuk mengontrol sistem proses dengan banyak masukan dan banyak keluaran. Untuk kajian terhadap aspek teoritis sistem kontrol telah banyak dilakukan. Misalnya (Woodyatt et al. 1997) mengkaji kendala-kendala fundamental dalam pengendalian sistem pendulum terbalik dengan satu masukan (input) dan dua keluaran (output). Ogata (1997) mengemukakan sistem kontrol berumpan balik (feedback control system) adalah sistem kontrol yang cenderung menjaga hubungan yang telah ditentukan antara keluaran dan masukan acuan dengan membandingkannya dan menggunakan selisih sebagai alat pengontrol. Salah satu sistem kontrol yang sangat banyak manfaatnya adalah pendulum. Pendulum merupakan suatu sistem atau alat yang dapat digunakan untuk menjelaskan konsep penting dalam dunia pendidikan seperti kesetimbangan. Pendulum juga dapat digunakan untuk menentukan momen inersia dan besar percepatan gravitasi bumi pada suatu benda. Sistem pendulum secara umum dapat dibedakan atas dua jenis yaitu:

19 3 1. Pendulum biasa (direct pendulum) u x µ θ 2l η mg 2. Pendulum terbalik (inverted pendulum). η 2l θ mg u µ x Gambar 1 Jenis Sistem Pendulum Pada saat sekarang pendulum biasa dan pendulum terbalik merupakan alat yang sangat penting dalam dunia pendidikan dan penelitian di bidang teknik pengendalian (control engineering) Ogata (1997). Sistem pendulum terbalik memiliki beberapa karakteristik antara lain: 1. Taklinear dan tak stabil. 2. Dapat dilinearkan di sekitar titik kesetimbangan. 3. Kompleksitasnya dapat ditingkatkan melalui penambahan pendulum atau modifikasi lainnya. 4. Mudah diterapkan dalam sistem aktual. Dari kelebihan di atas berbagai teori pengendalian (control theory) banyak dievaluasi dan bila dibandingkan melalui pengujian sistem pendulum (Microrobot, 2007). Sistem pendulum terbalik dapat menjaga kesetimbangan pendulum dalam posisi tegak atau vertikal dengan memberikan sebuah gaya dorongan (input) pada motor. Seiring berkembangnya ilmu pengetahuan dan teknologi, pengujian melalui sistem pendulum banyak digunakan pada berbagai bidang seperti: bidang teknik pendulum terbalik banyak dipakai untuk memantau

20 4 pergerakan pondasi bendungan, jembatan, dermaga, dan struktur bangunan lainnya. Pada bidang industri banyak digunakan pengangkat peti kemas (cranes) bekerja atas dasar pendulum biasa. Taurasi (2005) mengemukakan bahwa pendulum terbalik dapat dimanfaatkan untuk mendeteksi usikan gelombang seismik oseanik, dan asmosferik. Bidang fisiologi dan ilmu olah raga, prinsip kerja pendulum terbalik banyak digunakan untuk mengkaji kesetimbangan manusia (Loram et al. 2006). Hal lain yang juga perlu diperhatikan adalah bagaimana spesifikasi rancangan pada pendulum dapat dicapai. Sistem kontrol yang baik adalah sistem kontrol yang mempunyai daya tanggap yang cepat dan stabil, tetapi tidak memerlukan energi yang berlebihan. Sistem kontrol demikian dapat dicapai melalui pengaturan indeks performansi yang tepat. Sistem kontrol dapat diterapkan pada sistem pendulum biasa dan terbalik. Sistem pendulum terbalik terdiri dari tunggal, ganda, dual dengan lintasan datar dan miring. Tiap sistem pendulum mempunyai beberapa kondisi keterkontrolan yang berbeda-beda. Sehingga dalam kajian ini akan dipelajari keterkontrolan beberapa sistem pendulum. 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengidentifikasi kondisi keterkontrolan beberapa sistem pendulum, yaitu: 1. Sistem pendulum biasa tunggal dengan lintasan datar. 2. Sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar. 3. Sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar. 4. Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar. 5. Sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan miring. 6. Sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring. 7. Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring.

21 5 II LANDASAN TEORI 2.1 Keterkontrolan Untuk mengetahui persoalan sistem kontrol mungkin tidak ada, jika sistem yang ditinjau tidak terkontrol. Walaupun sebagian besar sistem terkontrol ada, akan tetapi pemodelan matematika mungkin tidak mempunyai sifat keterkontrolan. Oleh karena itu, kita perlu mengetahui syarat keterkontrolan sistem (Ogata, 1997). Definisi 1. Keterkontrolan State x(t) dikatakan terkontrol pada saat t 0 jika terdapat suatu fungsi input u(t) untuk memindahkan state x(t) awal ke suatu state akhir x(t f ) pada waktu yang terbatas (t f t 0 )0. Jika setiap state x(t 0 ) sistem terkontrol pada selang waktu terbatas maka sistem terkontrol secara sempurna (Kuo, 1987). Suatu sistem disebut terkontrol pada saat t 0 jika dengan menggunakan vektor kontrol tanpa kendala kita dapat memindahkan sistem dari keadaan awal sembarang x(t 0 ) ke keadaan lain sembarang dalam selang waktu yang terhingga. Keterkontrolan dari sistem kontinu =x(t) + u(t) (2.1) di mana x(t)=vektor keadaan (vektor n-dimensi) sinyal kontrol = matriks nxn = matriks nx1. Sistem terkontrol pada saat t 0 jika dapat menentukan sinyal kontrol tanpa kendala yang akan memindahkan suatu keadaan awal ke keadaan akhir sembarang dalam selang waktu terhingga t 0 t t 1 (Ogata, 1997). Contoh. Ditinjau dari sistem yang didefinisikan oleh: 1. 6

22 6 Misalkan,,, = 6 6. Sehingga bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut: A Maka bentuk persamaan adalah. 2. 6(t) Misalkan,,, = 6 + (t) 6 (t). Sehingga bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut: maka bentuk persamaan adalah dengan = dan =0 1 misalkan u(t)=k, k konstan dengan nilai awal 0 0 dan 0 0 maka diperoleh solusi umum dari persamaan tersebut adalah: 1 6. Dari nilai awal yang diberikan maka konstanta dan B dapat disubstitusi dengan konstanta k, sehingga solusi persamaan diferensial adalah Misalkan..

23 7 Sebab terdapat input kontrol sehingga state dapat dicapai pada sembarang state maka sistem terkontrol. Definisi 2. Matriks B dikatakan ekivalen baris (row equivalent) dengan A jika terdapat baris matriks-matriks elementer E 1,E 2,...,E k sehingga: BE k E k-1...e 1 A. Dengan perkataan lain, B ekivalen baris dengan A jika B dapat diperoleh dari A melalui serangkaian operasi baris yang berhingga banyaknya (Leon 2001). Definisi 3. Jika A adalah matriks x, maka ruang bagian dari R 1xn yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Ruang bagian dari R m yang direntang oleh vektor-vektor kolom A disebut ruang kolom dari A (Leon 2001). Contoh. Misalkan A= Ruang baris dari A adalah himpunan vektor yang berbentuk α(1,0,0)+β(0,1,0)=(α, β, 0. Ruang kolom dari A adalah himpunan semua vektor yang berbentuk α 1 0 +β =. Jadi ruang baris dari A adalah ruang bagian yang berdimensi dua dari R 1x3 dan ruang kolom dari A adalah R 2. Definisi 4. Pangkat dari matriks Suatu matriks nxn dikatakan mempunyai pangkat jika ada suatu submatriks x dari sedemikian sehingga determinan dari tidak berharga nol dan setiap determinan dari submatriks x (di mana 1) dari berharga nol. Jika pangkat matriks A adalah n maka matriks A disebut berpangkat penuh (Ogata, 1997).

24 8 Contoh. Tinjau matriks berikut: Perhatikan bahwa 0. Salah satu submatriks terbesar yang determinannya tidak berharga nol adalah Sehingga Pangkat dari matriks A adalah 3. Selain didefinisi seperti di atas, pangkat suatu matriks dapat didefinisikan berdasarkan dimensi dari ruang barisnya. Definisi 5. Pangkat dari suatu matriks A adalah dimensi dari ruang baris dari A. Untuk menentukan pangkat dari suatu matriks, dengan mereduksikan matriks yang bersangkutan menjadi eselon baris. Baris-baris taknol dari matriks eselon baris akan membentuk basis untuk ruang barisnya (Leon 2001). Contoh. Misalkan Dengan mereduksikan A menjadi eselon baris, maka diperoleh matriks Jelas bahwa (1, -2, 3) dan (0, 1, 5) membentuk basis untuk ruang baris dari U. Karena U dan A ekivalen baris, maka matriks memiliki ruang baris yang sama sehingga pangkat dari A adalah 2. Teorema 1. Dua matriks yang ekivalen baris memiliki pangkat yang sama (Leon 2001). Bukti. Jika B ekivalen baris dengan A, maka B dapat dibentuk dari A dengan sebarisan operasi baris yang berhingga banyaknya. Jadi vektor-vektor baris dari B harus merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari A. Sebagai

25 9 akibatnya, ruang baris dari B harus merupakan ruang bagian dari ruang baris A. Karena A ekivalen baris dengan B, maka dengan alasan yang sama, ruang baris dari A adalah ruang bagian dari ruang baris B. Dengan demikian A dan B memiliki ruang baris yang sama. Karena pangkat suatu matriks merupakan dimensi dari ruang barisnya maka dapat disimpulkan bahwa pangkat A sama dengan pangkat B. Definisi 6. Suatu sistem dikatakan memiliki bentuk segitiga jika koefisienkoefisien dari 1 peubah yang pertama dalam persamaan ke- semuanya nol dan koefisien dari adalah bukan nol ( 1,2,...,) Leon (2001). Contoh. Selesaikan sistem Penyelesaian dengan menggunakan substitusi balik,kita peroleh: Jadi penyelesaiannya adalah (1, -1, 0, 1). Selain menggunakan definisi seperti di atas, bentuk segitiga atas juga dapat didefinisikan berdasarkan dari eselon baris tereduksi. Definisi 7. Suatu sistem dikatakan memiliki bentuk eselon baris tereduksi jika: 1. Matriks memiliki bentuk eselon baris. 2. Entri bukan nol pertama dalam setiap baris adalah satu-satunya entri yang bukan nol dalam kolom yang bersangkutan. Matriks-matriks berikut memiliki bentuk eselon baris tereduksi E21(-1)E31(-2) E32(-1)

26 10 Proses menggunakan operasi-operasi baris elementer untuk mengubah suatu matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi disebut reduksi Gauss-Jordan (Gauss-Jordan reduction) Leon (2001). Teorema 2. Keterkontrolan Sistem pada persamaan (2.1) terkontrol secara sempurna dengan syarat perlu dan cukup bahwa matriks S berikut memiliki pangkat penuh (Kuo, 1987): S=... ] (bukti lihat Lampiran 2). 2.2 Kontrol Lup Tertutup dan Kontrol Lup Terbuka Sistem kontrol lup tertutup adalah sistem kontrol yang sinyal keluarannya mempunyai pengaruh langsung, pada aksi pengontrolan. Gambar menunjukkan hubungan masukan-keluaran dari sistem kontrol lup tertutup (Ogata, 1997). masukan Kontroler Plant atau Proses keluaran Elemen ukur Gambar 2 Sistem kontrol lup tertutup Sistem kontrol lup terbuka adalah sistem kontrol yang keluarannya tidak berpengaruh langsung, pada aksi pengontrolan. Kontrol lup terbuka dapat digunakan dalam praktek hanya jika hubungan antara masukan dan keluaran diketahui dan jika tidak terdapat gangguan internal maupun eksternal (Ogata, 1997). masukan Kontroler Plant atau Proses keluaran Gambar 3 Sistem kontrol lup terbuka 2.3 Pelinearan Model Taklinear Ogata (1997) mengemukakan bahwa untuk mendapatkan model matematika yang linear dari sistem yang taklinear, maka diasumsikan bahwa terjadi simpangan yang sangat kecil di sekitar titik kesetimbangan.

27 11 Definisi 8. Deret Taylor Satu Peubah Andaikan dan semua turunannya,,,,, kontinu di dalam selang [a,b]. Misalkan [a,b], maka untuk nilai-nilai x di sekitar dan [a,b], f(x) dapat diekspansi ke dalam deret Taylor sebagai berikut (Ogata, 1997):!!! (2.5) Definisi 9. Deret Taylor Dua Peubah Suatu sistem yang keluarannya merupakan fungsi masukan dari dua buah peubah dan, sedemikian rupa sehingga,. (2.6) Untuk memperoleh pendekatan linear pada sistem taklinear ini, dengan menguraikan persamaan (2.6) menjadi deret Taylor dua peubah di sekitar,. Selanjutnya persamaan menjadi,,! 2 (2.7) di mana turunan parsialnya dihitung pada dan. Di sekitar titik kerja normal, bentuk-bentuk orde tinggi dapat diabaikan. Model matematika linear dari sistem taklinear ini di sekitar kondisi kerja normal selanjutnya diberikan oleh,, (2.8) di mana,,, (Ogata, 1997). 2.4 Persamaan Ruang Keadaan Secara khusus bentuk sederhana persamaan ruang keadaan (state space) merupakan bentuk persamaan diferensial biasa berorde satu dengan dimensi n dan persamaan keluaran (output) dengan dimensi yang didefinisikan sebagai berikut (Ogata, 1997).

28 12 Defnisi 10. Diberikan sistem persamaan ruang keadaan dan persamaan keluaran berturut-turut sebagai berikut,,, (2.9) g,,. (2.10) Jika vektor fungsi f, g bergantung terhadap t, maka persamaan (2.9) dan (2.10) disebut sistem parameter-berubah (time-varying). Jika sistem tersebut dilinearkan, maka persamaan linear ruang keadaan dan persamaan keluarannya dituliskan sebagai =A(t) x(t) + B(t) u(t) (2.11) y = C(t) x(t) +D(t) u(t) (2.12) dengan A(t), B(t), C(t), D(t) adalah matriks-matriks yang bergantung terhadap peubah t, x adalah vektor peubah keadaan (variable state), y adalah keluaran (output) sistem, dan u adalah input kendali. Jika vektor fungsi f, g tidak bergantung terhadap t, maka persamaan (2.9) dan (2.10) disebut sistem parameter-konstan (time-invariant). Di dalam kasus ini persamaan (2.9) dan (2.10) dituliskan sebagai,, (2.13) g,. (2.14) Jika sistem tersebut dilinearkan, maka persamaan linear ruang keadaan dan persamaan keluarannya dituliskan sebagai =Ax(t) + Bu(t) (2.15) y = Cx(t) +Du(t) (2.16) dengan A,B,C,D adalah matriks-matriks bernilai real, x adalah vektor peubah keadaan (variable state), y adalah keluaran (output) sistem, dan u adalah input kendali. Suatu sistem kendali linear berdimensi terbatas dan invariant waktu diberikan oleh sistem Σ = (A,B,C,D) dengan A R nxn, B R nxm, C R rxn, dan D R rxm. Sistem adalah input tunggal dan output tunggal (SISO) jika m = r = 1 dan sistem adalah multi input dan multi output (MIMO) jika m = r 1. Contoh. Tinjau sistem yang didefinisikan oleh:

29 Di mana y adalah keluaran dan u adalah masukan sistem, akan dicari persamaan ruang keadaan dari sistem. Pilihlah variabel keadaan sebagai berikut:,, dan. Selanjutnya diperoleh Dari ketiga persamaan diperoleh dengan menyelesaian persamaan diferensial asal untuk suku turunan yang tertinggi dan kemudian disubstitusikan,, ke dalam persamaan yang diperoleh. Sehingga bentuk matriks yang diperoleh dari ketiga persamaan diferensial orde pertama dapat digabungkan menjadi satu, yaitu: Persamaan keluaran dinyatakan dengan

30 14 III PEMODELAN SISTEM PENDULUM Penelitian ini membahas keterkontrolan sistem pendulum, dengan menentukan model matematika dari beberapa sistem pendulum, dan dilakukan analisis dan menyederhanakan permasalahan dengan menggunakan persamaan ruang keadaan yang dibentuk matriks persegi. Kemudian dilakukan operasi baris dasar (OBD) hingga membentuk matriks segitiga atas pada sistem pendulum biasa dan pendulum terbalik. Gambar 4, 5, dan 6 berikut mengilustrasikan satu buah pendulum biasa dan terbalik tunggal dengan lintasan datar dan miring, dan dua buah pendulum terbalik ganda dan dual dengan lintasan datar dan miring, dimuat pada motor yang dapat digerakkan. Diasumsikan pendulum biasa dan terbalik bergerak dalam dua dimensi berturut-turut, yaitu bergerak ke arah depan atau ke arah belakang, dan maju atau mundur, dengan posisi awal pendulum berada di titik nol, dan pendulum bergerak dari keadaan diam. u x µ θ 2l η mg Gambar 4 Sistem Pendulum Biasa u η 2l θ mg µ u 2 g 2 g µ u 2 2 g g x x x (a) Tunggal (b) Ganda (c) Dual Gambar 5 Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar µ

31 15 θ 2l 2 2 u mg µ x α µ u x u α α (a) Tunggal (b) Ganda (c) Dual Gambar 6 Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring g µ x massa motor (kg) massa pendulum (kg) posisi motor (m) panjang pendulum (m) g percepatan grafitasi bumi (m/s) gaya bekerja pada motor (N) friksi (gaya gesekan) antara motor dengan lintasan (N) friksi (gaya gesekan) antara pendulum dengan motor (N) sudut antara pendulum dengan garis normal Sudut kemiringan lintasan massa pendulum (kg) panjang pendulum (m) friksi (gaya gesekan) antara pendulum dengan motor (N) friksi (gaya gesekan) antara pendulum dengan pendulum (N) 1,2. Massa motor dan pendulum masing-masing dilambangkan dengan dan m dengan satuan kilogram. Posisi pendulum awal dinotasikan titik nol, dan panjang pendulum dilambangkan 2l( dinyatakan dalam meter. Pendulum diasumsikan seragam (uniform) sehingga momen inersia adalah. Diasumsikan friksi antara motor dengan lintasan sebesar, pendulum dengan motor sebesar, pendulum dengan pendulum sebesar, dan sudut yang dibentuk oleh pendulum dengan adalah cukup kecil.

32 16 Jika pendulum diberi gaya dorong sebesar u, maka diperoleh berturut-turut total energi kinetik (E k ), total energi potensial (E p ) dan total energi kinetik yang diakibatkan friksi () antara motor dengan lintasan, pendulum dengan motor, dan pendulum dengan pendulum. Untuk menyamaratakan koordinat perlu diperhatikan gerak translasi motor x, gerak osilasi pendulum pertama θ1, dan gerak osilasi pendulum kedua θ2 sebagai dua dan tiga buah keluaran yang selalu berubah-ubah jika diberikan gaya dorong u. Dengan adalah kecepatan motor dan, adalah kecepatan anguler pendulum pertama dan kedua pada saat t. Sedangkan dan, adalah percepatan motor, percepatan sudut pendulum pertama dan kedua pada saat t. Deskripsi matematika dari karakteristik dinamik suatu sistem disebut model matematika (Ogata 1997). Untuk mendapatkan model matematika pada sistem pendulum biasa dan terbalik tunggal, ganda, dan dual maka dapat digunakan persamaan Euler-Lagrange (Thompson, 1990). Karena persamaan diperoleh taklinear maka dilinearkan terlebih dahulu. Dengan mengasumsikan sudut yang dibentuk oleh pendulum θ adalah cukup kecil, maka persamaan tersebut dapat dituliskan sin, cos 1, 0, dan 0. Diasumsikan juga bahwa 0 0, 0 0, 0 0, 0 0, dan 0 yang artinya posisi awal motor masing-masing ada di titik 0, motor dan pendulum bergerak dari keadaan diam. Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum biasa dan terbalik tunggal, ganda, dan dual dengan lintasan datar dan miring, maka diasumsikan friksi antara motor dengan lintasan adalah 0, friksi pendulum dengan motor 0 dan friksi pendulum dengan pendulum pertama dan kedua Sistem Pendulum Biasa dengan Lintasan Datar Pada bagian ini diperhatikan sistem pendulum biasa tunggal seperti Gambar 7 berikut, mengilustrasikan satu buah pendulum biasa tunggal dengan lintasan datar dapat digerakkan. Diasumsikan pendulum biasa bergerak dalam dua dimensi yaitu bergerak ke arah depan atau ke arah belakang, dengan posisi awal pendulum berada di titik nol, dan pendulum bergerak dari keadaan diam.

33 17 x µ u 2l θ η mg Gambar 7 Sistem Pendulum biasa. Dari Gambar 7 penurunan persamaan energi (lihat Lampiran 6) yang diperoleh persamaan sebagai berikut: E k m) cos (3.1) Ep mgl cosθ D ) Bentuk umum fungsi Lagrange dari sistem dinyatakan sebagai berikut: E k E p (3.4) dengan E k adalah total energi kinetik, E p adalah total energi potensial, dan adalah total energi kinetik akibat friksi. Dengan mensubstitusikan persamaan (3.1) dan (3.2) ke persamaan (3.4), maka diperoleh fungsi Lagrange sebagai berikut. L = m) cos g cos. (3.5) Misalkan vektor koordinat sistem adalah q = (, ) dengan = x dan = θ dan misalkan dan untuk sistem ini diberikan sebagai berikut (lihat Lampiran 7): maka persamaan Euler-Lagrange Untuk gerak translasi motor Untuk gerak osilasi pendulum ( ( (3.6) 0. (3.7)

34 18 Dari persamaan Euler-Lagrange persamaan (3.3) dan (3.5) diperoleh persamaan taklinear sebagai berikut (lihat Lampiran 8). cos sin (3.8) cos sin sin g sin 0. (3.9) Bentuk linear dari persamaan (3.8) dan (3.9) sebagai berikut: (3.10) θ g 0. (3.11) Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum biasa dengan lintasan datar maka diasumsikan friksi antara motor dengan lintasan =0 dan friksi pendulum dengan motor =0 sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: (3.12) l θ g 0. (3.13) 3.2 Sistem Pendulum Terbalik Dengan Lintasan Datar Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Datar Penurunan model sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar seperti Gambar 8 berikut. Diasumsikan Motor bergerak dalam dua dimensi yaitu motor dan pendulum bergerak maju atau mundur dalam bidang datar. η θ 2l mg u M µ x Gambar 8 Sistem Pendulum Terbalik Dengan Lintasan Datar. Penurunan persamaan energi (lihat Lampiran 9) diperoleh persamaan sebagai berikut: E k m) cos (3.14) E p gl cosθ (3.15)

35 19. (3.16) Fungsi Lagrange diperoleh L m) cos g cos. (3.17) Disederhanakan persamaan Euler-Lagrange dari persamaan (3.16) dan (3.17) adalah taklinear (lihat Lampiran 10) diperoleh cos sin (3.18) cos sin sin g sin 0. (3.19) Bentuk linear dari persamaan (3.18) dan (3.19) sebagai berikut (M+m) ml+ = (3.20) m gsin 0 (3.21) (Edisusanto. 2008). Selanjutnya persamaan disederhanakan dengan mengasumsikan =0 dan =0 maka diperoleh: (3.22) θ g 0. (3.23) Sistem Pendulum Terbalik Ganda (Double) dengan Lintasan Datar Gambar 9 mengilustrasikan dua buah pendulum terbalik dimuat pada motor yang dapat digerakkan. Diasumsikan motor bergerak dalam dua dimensi, yaitu motor bergerak ke arah maju atau ke arah mundur, sedangkan pendulum pertama atau kedua bergerak maju atau mundur dalam bidang datar. 2 g 2 u g µ x Gambar 9 Sistem Pendulum Terbalik Ganda

36 20 Penurunan persamaan energi (lihat Lampiran 11) diperoleh persamaan sebagai berikut: + 2 cos cos 2 cos 2 (3.24) = g cos + g (2 cos cos (3.25) =. (3.26) Fungsi Lagrange diperoleh M+ 2 cos cos 2 cos 2 g cos g (2 cos cos. (3.27) Misalkan vektor koordinat sistem adalah q = (,, ) dengan = x, = θ, dan =, misalkan, dan maka persamaan Euler-Lagrange untuk sistem ini diberikan sebagai berikut (lihat Lampiran 12): Untuk gerak translasi motor (. (3.28) Untuk gerak osilasi pendulum pertama ( 0. (3.29) Untuk gerak osilasi pendulum kedua ( - 0. (3.30) Selanjutnya persamaan Euler-Lagrange dari persamaan (3.26) dan (3.27) diperoleh persamaan taklinear sebagai berikut (lihat Lampiran 13). (+ ) 2 cos 2 sin + cos sin (3.31) 2 cos 2 sin 4 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin g sin 2 g sin 0 (3.32)

37 21 cos sin 2 cos 2 sin 2 sin sin -2 sin g sin 0. (3.33) Diperoleh persamaan linear sebagai berikut: ( ) 2 + (3.34) g 2 g 0 (3.35) 2 g 0 (3.36) (Assidiqi 2008). Diasumsikan friksi antara motor dengan lintasan =0 dan friksi pendulum dengan motor =0 serta friksi pendulum dengan pendulum =0 sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: ( ) 2 + (3.37) g 2 g 0 (3.38) 2 g 0. (3.39) Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar Gambar 10 mengilustrasikan dua buah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang dapat digerakkan. Diasumsikan motor bergerak dalam dua dimensi, yaitu motor bergerak ke arah maju atau ke arah mundur, sedangkan pendulum pertama atau kedua bergerak maju atau mundur dalam bidang datar. 2 2 u g g µ x Gambar 10 Sistem Pendulum Terbalik Dual

38 22 Penurunan energi (lihat Lampiran 14) dan diperoleh persamaan sebagai berikut: cos cos (3.40) = g cosθ1 g cosθ2 (3.41) D = ( + +. (3.42) Fungsi Lagrange diperoleh sebagai berikut: ( cos cos g cos g cos. (3.43) Selanjutnya persamaan Euler-Lagrange dari persamaan (3.42) dan (3.43) diperoleh persamaan taklinear sebagai berikut (lihat Lampiran 15): (+ ) cos cos sin sin (3.44) cos g sin 0 (3.45) cos g sin 0. (3.46) Diperoleh persamaan linear sebagai berikut: ( ) (3.47) g 0 (3.48) g 0 (3.49) (Phillips. 1994). Selanjutnya disederhanakan persamaan (3.47), (3.48), dan (3.47) sebagai berikut: ( ) (3.50) g 0 (3.51) g 0. (3.52)

39 Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring Sistem Pendulum Terbalik Tunggal denganlintasan Miring Pada bagian ini pertama kali yang dilakukan adalah menurunkan model sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring. Gambar 11 mengilustrasikan satu buah pendulum terbalik dimuat pada motor yang dapat digerakkan. Diasumsikan motor bergerak dalam dua dimensi, yaitu motor bergerak maju atau mundur, sedangkan pendulum bergerak ke arah maju atau mundur dalam bidang miring. η θ 2l mg µ Gambar 11 Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Miring Penurunan persamaan energi (lihat Lampiran 16) diperoleh sebagai berikut: = () +lcos + (3.53) E p = gl cos (3.54). (3.55) Fungsi Lagrange diperoleh sebagai berikut: L = () +lcos + g l cos. (3.56) Selanjutnya persamaan Euler-Lagrange dari persamaan (3.55) dan (3.56) diperoleh persamaan taklinear sebagai berikut (lihat Lampiran 17): ( ) lcos l sin + = gsin (3.57) + l cos + gsin = 0. (3.58) Sehingga diperoleh persamaan linear sebagai berikut: ( ) lcos+ = gsin (3.59) u + l cos + gcos gsin = 0 (3.60) (Edisusanto. 2008). α x

40 24 Selanjutnya persamaan (3.59) dan (3.60) disederhanakan menjadi: ( m) lcos= g sin (3.61) + l cos gcos gsin = 0. (3.62) Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Miring Gambar 12 mengilustrasikan dua buah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang dapat digerakkan. Diasumsikan motor bergerak dalam dua dimensi, yaitu motor bergerak maju atau mundur, sedangkan pendulum pertama atau kedua bergerak maju atau mundur dalam bidang miring. 2 u g 2 g µ x α Gambar 12 Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring Penurunan persamaan energi (lihat Lampiran 18) yang diperoleh persamaan sebagai berikut: 2 cos cos 2 cos 2 (3.63) = g cos + g(2 cos cos (3.64) =. (3.65)

41 25 Fungsi Lagrange diperoleh sebagai berikut: L M 2 cos cos 2 cos 2 g cos g (2 cos cos ). (3.66) Dari persamaan Euler-Lagrange persamaan (3.65) dan (3.66) diperoleh persamaan taklinear sebagai berikut (lihat Lampiran 19): ( 2 cos 2 sin cos sin + g sin (3.67) 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 in sin 2 sin g sin 2 g sin + ( 0 (3.68) cos sin 2 cos 2 sin 2 sin sin 2 sin g sin + 0. (3.69) Sehingga diperoleh persamaan linear sebagai berikut: 2 cosα cos + g sin (3.70) 2 cos g cos 2 g sin + ( 0 (3.71) cos 2 g cos sin + 0. (3.72)

42 26 Selanjutnya disederhanakan persamaan (3.70), (3.71), dan (3.72) diperoleh sebagai berikut: 2 cosα cos g sin (3.73) 2 cos g cos 2 g sin 0 (3.74) cos 2 g cos sin 0. (3.75) Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring Gambar 13 mengilustrasikan dua buah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang dapat digerakkan. Diasumsikan motor bergerak dalam dua dimensi, yaitu motor bergerak maju atau mundur, sedangkan pendulum pertama atau kedua bergerak maju atau mundur dalam bidang miring. 2 2 g g µ u x α Gambar 13 Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring Penurunan persamaan energi (lihat Lampiran 20) yang diperoleh persamaan sebagai berikut: ( cos cos (3.76) E p = g cos m 2 g l 2 cos (3.77) = + + = ( + +. (3.78) Fungsi Lagrange diperoleh sebagai berikut.

43 27 L (+ cos cos g cos - g cos. (3.79) Selanjutnya persamaan Euler-Lagrange dari persamaan (3.78) dan (3.79) diperoleh persamaan taklinear sebagai berikut (lihat Lampiran 21): (+ ) cos cos sin sin g sin (3.80) cos g sin 0 (3.81) cos g sin 0. (3.82) Sehingga diperoleh persamaan linear sebagai berikut: ( ) cosα cosα g sin (3.83) cosα g cosα g sinα 0 (3.84) cosα g cosα g sinα 0. (3.85) Selanjutnya disederhanakan persamaan (3.83), (3.84), dan (3.85) diperoleh sebagai berikut: ( ) cosα cosα g sin (3.86) cosα g cosα g sinα 0 (3.87) cosα g cosα g sinα 0. (3.88)

44 28 IV KETERKONTROLAN 4.1 Persamaan Ruang Keadaan (State Space) Pada bagian ini akan dibahas masalah persamaan ruang keadaan untuk memperoleh sistem kontrol dengan pencapaian spesifikasi rancangan yang telah ditentukan dari penurunan persamaan sistem pendulum biasa dan terbalik maka diperoleh persamaan ruang keadaan. Dengan menggunakan model persamaan keadaan, maka sistem kontrol dapat diterapkan pada sistem proses yang kompleks. Sistem kontrol dapat digunakan untuk mengendalikan sistem proses yang berbentuk linear maupun taklinear. Sistem kontrol juga dapat digunakan untuk mengontrol sistem proses dengan banyak masukan dan banyak keluaran (MIMO) Sistem Pendulum Tunggal Biasa dengan Lintasan Datar Dari penurunan persamaan (3.12) dan (3.13) dengan mensubstitusikan variabel yang bersesuaian diperoleh dan, sehingga persamaan ruang keadaan sebagai berikut: g (4.1) Misalkan g g,,. (4.2) g,. Bentuk matriks yang diperoleh dari persamaan diferensial orde pertama dapat digabungkan menjadi satu, yaitu: Persamaan keluaran dinyatakan dengan = Bentuk persamaan adalah: =(t)x(t) (t) u(t) y(t) = (t) x(t) (t) u(t)

45 dengan c , , dan Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Datar Dari penurunan persamaan (3.22) dan (3.23) dengan mensubstitusikan variabel yang bersesuaian diperoleh dan, sehingga persamaan ruang keadaan sebagai berikut: = g (1 + )θ (4.3) = g (4.4) Misalkan p = g Bentuk matriks yang diperoleh dari persamaan diferensial orde pertama dapat digabungkan menjadi satu, yaitu: = dengan 0 0 0, dan Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar Dari penurunan persamaan (3.37), (3.38) dan (3.39) dengan mensubstitusikan variabel yang bersesuaian diperoleh,, dan, sehingga persamaan ruang keadaan sebagai berikut: g g g 144 g g M (4.7) (4.8). (4.9)

46 30 Misalkan g, g, g, 18 g, g,,. Bentuk matriks yang diperoleh dari persamaan diferensial orde pertama dapat digabungkan menjadi satu, yaitu: dengan , dan Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar Dari penurunan persamaan (3.50), (3.51) dan (3.52) dengan mensubstitusikan variabel yang bersesuaian diperoleh,, dan, sehingga persamaan ruang keadaan sebagai berikut: g g (4.13) Misalkan g g g g g, g g, (4.14). (4.15), g,

47 31 g, g,. Bentuk matriks yang diperoleh dari persamaan diferensial orde pertama dapat digabungkan menjadi satu, yaitu: dengan , dan Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Miring Dari penurunan persamaan (3.61) dan (3.62) dengan mensubstitusikan variabel yang bersesuaian diperoleh dan, sehingga persamaan ruang keadaan sebagai berikut: = g g (4.5) g = g Misalkan : a= g, c= g,,, g, (4.6) g Bentuk matriks yang diperoleh dari persamaan diferensial orde pertama dapat digabungkan menjadi satu, yaitu: 0 1 =

48 dengan , dan Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Miring Dari penurunan persamaan (3.74), (3.75), dan (3.76) dengan mensubstitusikan variabel yang bersesuaian diperoleh,, dan, sehingga persamaan ruang keadaan sebagai berikut: = g g g g g g g g g (4.10) (4.11) g + Misalkan g g g +. (4.12) g, c, g, g g g g,, g, g g g, g, g g. Selanjutnya persamaan disederhanakan menjadi u.,

49 33 Bentuk matriks yang diperoleh dari persamaan diferensial orde pertama dapat digabungkan menjadi satu, yaitu: dengan , dan Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring Dari penurunan persamaan (3.86), (3.87) dan (3.88) dengan mensubstitusikan variabel yang bersesuaian diperoleh,, dan, sehingga persamaan ruang keadaan sebagai berikut: g αα α g α α α α α α α g α α g α α α α α g α α (4.16) (4.17) g α g α α α g α α g α α + Misalkan g αα, α α g α α, α. (4.18) α α, α g α,, α α α α, g, α g α α, α,

50 34 g α α, g α α g α. Selanjutnya persamaan disederhanakan menjadi +. Bentuk matriks yang diperoleh dari persamaan diferensial orde pertama dapat digabungkan menjadi satu, yaitu: dengan , dan Keterkontrolan (Controllability) Sistem Pendulum Sistem Pendulum Biasa Tunggal dengan Lintasan Datar Untuk menentukan keadaan sistem keterkontrolan pada pendulum biasa dilakukan operasi baris dasar (OBD) pada matriks hingga membentuk matriks segitiga atas adalah: S= ] = 0 b 0 ab b 0 ab 0 0 d 0 bc d 0 bc 0 OBD

51 35 d o bc 0 0 d 0 bc 2 cb ab 0 d 2 cb ab d pangkat 4. Jadi persamaan di atas terkontrol karena pangkat 4 (lihat Lampiran 22). Jika pangkat yang diperoleh lebih kecil dari 4 yang artinya sistem pendulum biasa tidak terkontrol. Dari analisis di atas dapat dinyatakan bahwa sistem pendulum biasa tunggal dengan lintasan datar selalu terkontrol Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan datar Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan datar Untuk menentukan keadaan sistem keterkontrolan pada pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar dilakukan operasi baris dasar (OBD) pada matriks S hingga membentuk matriks segitiga atas adalah: 0 S= ]= OBD Karena syarat keterkontrolan keadaan secara sempurna adalah bahwa matriks S berpangkat penuh. S= ] dengan pangkat 4 Jadi persamaan di atas terkontrol karena pangkat yang diperoleh adalah 4. Jika pangkat yang diperoleh lebih kecil dari 4 yang artinya 0, 0, dan 0 maka sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar tidak terkontrol (lihat Lampiran 23). Dari analisis di atas dapat dinyatakan bahwa sistem pendulum terbalik tunggal tunggal dengan lintasan datar selalu terkontrol..

52 Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar Untuk menentukan keadaan sistem keterkontrolan pada pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar dilakukan operasi baris dasar (OBD) pada matriks S hingga membentuk matriks segitiga atas adalah: S= ] = ² 0 ² 0 0 ² 0 ² OBD pangkat Misalkan setiap entri matriks sama dengan nol maka persamaan diperoleh menjadi 0 a= rs+tv b=( (1/v)(v²y-rsz+rvw-tvz) c= vt²+rst+prs+qsv d =(1/v)(qv²w+tv²y-t²vz-prsz+prvw-rstz-qsvz+rsvy) e= (1/(v²y-rsz+rvw-tvz))(zp²rtv-yp²rv²-zpqrsv+wpqrv²+zpqtv²-ypqv³zpr²st+2ypr²sv-wpr²tv-zprt²v+yprtv²-zq²sv²+wq²v³+zqr²s²wqr²sv+zqrstv+yqrsv²-2wqrtv²-yr³s²+wr³st-yr²stv+wr²t²v. Karena syarat keterkontrolan sistem adalah bahwa matriks S berpangkat penuh. S= ] dengan pangkat 6. Jadi persamaan di atas terkontrol karena pangkat yang diperoleh adalah 6. Jika pangkat yang diperoleh lebih kecil dari 6 yang artinya a,b,c,d,e,dan z sama dengan nol maka sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar tidak terkontrol (lihat Lampiran 24). Untuk memudahkan dalam menentukan nilai dikerjakan dalam software mathematica 6.0. Misalkan masa pendulum pertama

53 37 dan masa pendulum kedua sama serta panjang pendulum pertama dan panjang pendulum kedua. Jadi pada sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar selalu terkontrol kecuali pada panjang pendulum dan = Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar Untuk menentukan keadaan sistem keterkontrolan pada pendulum terbalik dual dengan lintasan datar dilakukan operasi baris dasar (OBD) pada matriks S hingga membentuk matriks segitiga atas adalah: S= ]= ² 0 ² 0 0 ² 0 ² pangkat 6. OBD Misalkan setiap entri matriks sama dengan nol maka persamaan diperoleh menjadi 0 a= rw+vy b= (v²y-rsz+rvw-tvz) c= prw+qvw+rsy+tvy d= ² ² ² e= ² ²² ² ² ² ³ ² 2² ² ² ² ²² ²³ ²² ² ² 2² ³² ³ ² ²² Karena syarat keterkontrolan keadaan secara sempurna adalah bahwa matriks berpangkat penuh.

54 38 S= ] dengan pangkat 6. Jadi persamaan di atas terkontrol karena pangkat yang diperoleh adalah 6. Jika pangkat yang diperoleh lebih kecil dari 6 yang artinya a,b,c,d,e,dan z sama dengan nol maka sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar tidak terkontrol (lihat Lampiran 25). Untuk memudahkan dalam menentukan nilai dikerjakan dalam software mathematica 6.0. Misalkan masa pendulum pertama dan masa pendulum kedua serta panjang pendulum pertama l= dan panjang pendulum kedua k=. Jadi sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar selalu terkontrol kecuali pada panjang pendulum = Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Miring Untuk menentukan keadaan sistem keterkontrolan pada pendulum terbalik tunggal dengan lintasan miring dilakukan operasi baris dasar (OBD) pada matriks S hingga membentuk matriks segitiga atas adalah: S= ]= 0 b 0 ab b 0 ab 0 0 d 0 bd d 0 bd 0 OBD b 0 ab 0 0 b 0 ab 0 0 ae bd ae bd. Karena syarat keterkontrolan sistem bila matriks S berpangkat penuh. S= ] dengan pangkat 4. Jadi persamaan di atas terkontrol karena pangkat yang diperoleh adalah 4. Jika pangkat yang diperoleh lebih kecil dari 4 yang artinya 0, 0, dan 0, maka sistem pendulum terbalik tidak terkontrol (lihat Lampiran 26).

55 39 Dari analisis ini dapat dinyatakan maka sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar dan miring selalu terkontrol Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Miring Untuk menentukan keadaan sistem keterkontrolan pada pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring dilakukan operasi baris dasar (OBD) pada matriks S hingga membentuk matriks segitiga atas adalah: S= ]= ² 0 ² 0 0 ² 0 ² OBD Misalkan setiap entri matriks sama dengan nol maka persamaan diperoleh menjadi h=0, v= ce+fh, w= 1/h)(h²k-cpe+chj-fhp), x= hf²+cef+ace+bhe, y= (1/h)(bh²j+fh²k-f²hp-acpe+chke-cfpe-bhpe+achj), z= -(1/(h²k-cpe+chj-fhp))(-pa²cfh+ka²ch²-jabch²+peabchpabfh²+kabh³+jac²fh+peac²f-2keac²h+pacf²h-kacfh²jb²h³+peb²h²+jebc²h-pe²bc²+2jbcfh²-pebcfh-kebch²-jec³f+k e²c³jc²f²h+kec²fh). S= ] dengan pangkat 6 Jadi sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar selalu terkontrol, kecuali pada panjang pendulum dan atau dan 5 (lihat Lampiran 27).

56 Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring Untuk menentukan keadaan sistem keterkontrolan pada pendulum terbalik dual dengan lintasan miring dilakukan operasi baris dasar (OBD) pada matriks S hingga membentuk matriks segitiga atas adalah: S= ]= ² 0 0 ² ² 0 0 ² OBD pangkat Misalkan setiap entri matriks sama dengan nol maka persamaan diperoleh menjadi 0 hk-cj 1/² cke-acj-bhj+fhk 1/² ² ² 2 2. Karena syarat keterkontrolan keadaan secara sempurna adalah bahwa matriks S berpangkat penuh. S= ] dengan pangkat 6 Jadi persamaan di atas terkontrol karena pangkat yang diperoleh adalah 6. Jika pangkat yang diperoleh lebih kecil dari 6 yang artinya p,v,w,x,y,dan z sama dengan nol maka sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring tidak terkontrol (lihat Lampiran 28). Untuk memudahkan dalam menentukan nilai dikerjakan dalam software mathematica 6.0. Misalkan masa pendulum pertama

57 41 dan masa pendulum kedua serta panjang pendulum pertama l= dan panjang pendulum kedua L=. Jadi pada sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring selalu terkontrol kecuali terjadi pada panjang pendulum dan massa pendulum dan Rekapitulasi Keterkontrolan Beberapa Sistem Pendulum No Pendulum Jenis lintasan Tak Pendulum Terkontrol di Biasa x µ Tunggal u datar 2l θ η mg 2. Terbalik η Tunggal 2l θ datar u M mg µ x 3. Terbalik 2 g g u M µ 2 Dual datar =5 dan = x

58 = 2 2 u g g µ x 5. Terbalik η Tunggal θ 2l miring u M mg α µ x 6. Terbalik 2 Ganda u M g 2 g α 7. 2 Terbalik 2 Dual g g u α µ µ x miring miring = dan =5 atau, = dan = 2 = dan = dan = 13 3 Tabel 1 Keterkontrolan Beberapa Sistem Pendulum

59 43 V SIMULASI MODEL Pada bagian ini, hasil ekspresi analitik yang telah diperoleh akan disimulasikan dengan menggunakan sistem manual dan software Matlab 7.0. Untuk memperlihatkan keterkontrolan beberapa sistem pendulum antara lain: 1. Sistem pendulum biasa tunggal dengan lintasan datar a. Panjang pendulum l= 0.5m. b. Massa pendulum m = 1 kg. c. Massa motor M = 2 kg. d. Percepatan grafitasi bumi g =10m/s 2. 3 ( ) 3 Selanjutnya karena g M + m θ = θ u dan l(4 M + m) l(4 M + m) 3mg 4 x = θ u 4M + m 4M+ m 2 maka diperoleh θ = 20 θ 3 u dan 10 4 x = θ u. Dengan menggunakan 3 9 software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum biasa yang takstabil diberikan oleh grafik pada Gambar 14 berikut: Gambar 14 Sistem Pendulum Biasa yang Takstabil

60 44 Berdasarkan Gambar 14, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen [ 0, 0, , ] masih ada yang positif. Sistem tersebut dapat distabilkan dengan cara memilih sinyal input/kontrol yang tepat. Persamaan sistem dinamik dari pendulum adalah dengan mensubstitusikan sinyal kontrol, sistem pada persamaan diperoleh menjadi. Selanjutnya ditentukan vektor yang berukuran 1x sedemkian rupa sehingga memiliki nilai eigen yang dikehendaki. Proses mendapat yang dikatakan pole placement. Syarat agar pole placement dapat dilakukan dengan melihat apakah sistem tersebut terkontrol. Jika sistem terkontrol, maka pole placement dapat dilakukan. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 2 2 3, 2 2 3, 1, 15], maka diperoleh keterkontrolan pada sistem pendulum biasa yang stabil diberikan oleh grafik pada Gambar 15 berikut: Gambar 15 Sistem Pendulum Biasa yang Stabil

61 45 2. Sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar Diketahui: 50 cm = 0,5 m, 1 kg, 2 kg, g 10 m/s 2. Selanjutnya, karena = g (1 + )θ maka diperoleh dan dan g Dengan menggunakan software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar diberikan oleh grafik pada Gambar 16 berikut: Gambar 16 Grafik Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Datar Takstabil Berdasarkan Gambar 16, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen [ 0, 0, , ] masih ada yang positif. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 2 2 3, 2 2 3, 1, 15], maka diperoleh keterkontrolan pada sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar yang stabil diberikan oleh grafik pada Gambar 17 berikut: Gambar 17 Grafik Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar Stabil

62 46 3. Sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar Diketahui: 2 kg, = =m=1 kg, =0.5 m, =0.2 m, g 10 m/s 2. Selanjutnya diperoleh , = , dan Dengan menggunakan software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar diberikan oleh grafik pada Gambar 18 berikut: Gambar 18 Grafik Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar Takstabil Berdasarkan Gambar 18, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen [ 0, 0, , , , ] masih ada yang positif. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 4 2 3, 4 2 3, 3, 5, 7, 12], maka diperoleh keterkontrolan pada sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar yang stabil diberikan oleh grafik pada Gambar 19 berikut:

63 47 Gambar 19 Grafik Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar Stabil 4. Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar Diketahui: M5kg, 0,1 m, g 10 m/s 2, 2 kg, 1 kg. Selanjutnya diperoleh = , , dan Dengan menggunakan software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar diberikan oleh grafik pada Gambar 20 berikut: Gambar 20 Grafik Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar Takstabil Berdasarkan Gambar 20, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen [ 0, 0, , , , ] masih ada yang positif. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan

64 48 memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 2 2 3, 2 2 3, 1, 2, 5, 7], maka diperoleh keterkontrolan pada sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar yang stabil diberikan oleh grafik pada Gambar 21 berikut: Gambar 21 Grafik Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar Stabil 5. Sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan miring Diketahui: 2 kg, l=50 cm = 0,5 m, 1 kg, g 10 m/s 2, α=60 0. Selanjutnya diperoleh = dan = Dengan menggunakan software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan miring diberikan oleh grafik pada Gambar 22 berikut: Gambar 22 Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Miring Takstabil

65 49 Berdasarkan Gambar 22, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen [ 0, 0, , ] masih ada yang positif. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 2 2 3, 2 2 3, 1, 15], maka diperoleh keterkontrolan pada sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan miring yang stabil diberikan oleh grafik pada Gambar 23 berikut: Gambar 23 Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Miring Stabil 6. Sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring Diketahui: 2 kg, = =m=1 kg, =0.5 m, =0.2 m, g 10 m/s 2 α=60 0. Selanjutnya diperoleh u 7.67, , dan Dengan menggunakan software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring diberikan oleh grafik pada Gambar 24 berikut: Gambar 24 Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Miring Takstabil.

66 50 Berdasarkan Gambar 24, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen [ 0, 0, 5.76, , , ] tak negatif semuanya. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 2 2 3, 2 2 3, 10, 2, 1, 5], maka diperoleh keterkontrolan pada sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring yang stabil diberikan oleh grafik pada Gambar 25 berikut: Gambar 25 Grafik Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Miring Stabil 7. Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring M=5kg, 0.5 m, 0,1 m, g 10 m/s 2, 2kg, 1kg, α=60 0 Selanjutnya diperoleh = , = , dan = Dengan menggunakan software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring diberikan oleh grafik pada Gambar 26 berikut:

67 51 Gambar 26 Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring Takstabil Berdasarkan Gambar 26, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen [ 0, 0, , , , ] tak negatif semuanya. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 2 2 3, 2 2 3, 10, 2, 5, 6], maka diperoleh keterkontrolan pada sistem pendulum dual dengan lintasan miring yang stabil diberikan oleh grafik pada Gambar 27 berikut: Gambar 27 Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring Stabil 8. Sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar Diketahui: 2 kg, = =m=1 kg, =0.5 m, =0.1 m, g 10 m/s 2.

68 52 Selanjutnya diperoleh , = , dan Dengan menggunakan software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar diberikan oleh grafik pada Gambar 28 berikut: Gambar 28 Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar Takstabil Berdasarkan Gambar 28, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen [ 0, 0, , , , ] masih ada yang positif. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 5 2 3, 5 2 3, 1, 2, 5, 2], Selanjutnya ditentukan vektor yang berukuran 1x6 sedemkian rupa sehingga ( ) memiliki nilai eigen yang dikehendaki. Tapi nilai tidak diperoleh maka nilai eigen yang dikehendaki tak ada, sehingga grafik yang stabil tidak diperoleh pada sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar. Jadi sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar tak terkontrol pada dan l 1 =5l Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar Diketahui: M5kg, 0,1 m, g 10 m/s 2, 2 kg, 1 kg. Selanjutnya diperoleh = , , dan Dengan menggunakan software

69 53 Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar diberikan oleh grafik pada Gambar 29 berikut: Gambar 29 Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar Takstabil. Berdasarkan Gambar 29, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen [ 0, 0, , , , ] masih ada yang positif. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 2 2 3, 2 2 3, 10, 5, 1, 2]. Selanjutnya ditentukan vektor yang berukuran 1x6 sedemkian rupa sehingga ( ) memiliki nilai eigen yang dikehendaki. Tapi nilai tidak diperoleh maka nilai eigen yang dikehendaki tak ada, sehingga grafik yang stabil tidak diperoleh pada sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar. Jadi sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar tak terkontrol pada panjang pendulum l 1 =l Sistem Pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring Diketahui : 40, 3m,, = =m=1 kg, g 10m/s 2, α=60 0, M2kg dan peroleh persamaan u, dan +. Selanjutnya diperoleh u 7.67,

70 , dan Dengan menggunakan software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring diberikan oleh grafik pada Gambar 30 berikut: Gambar 30 Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Miring Takstabil Berdasarkan Gambar 30, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen [ 0, 0, , , , ] masih ada yang positif. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 2 2 3, 2 2 3, 1, 15]. Selanjutnya ditentukan vektor yang berukuran 1x6 sedemkian rupa sehingga () memiliki nilai eigen yang dikehendaki. Tapi nilai tidak diperoleh maka nilai eigen yang dikehendaki tak ada, sehingga grafik yang stabil tidak diperoleh pada sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring. Jadi sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring tak terkontrol pada l 1 =5l 2 dan atau dan =.

71 Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring Diketahui :M=5kg, 0,1 m, g 10 m/s 2, 2kg, 1kg, α=60 0. Selanjutnya diperoleh = , = , dan = Dengan menggunakan software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik dual diberikan oleh grafik pada Gambar 31 berikut: Gambar 31 Grafik Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring Takstabil Berdasarkan Gambar 128, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen [ 0, 0, , , , ] masih ada yang positif. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 2 2 3, 2 2 3, 1, 5, 8, 1. Selanjutnya ditentukan vektor yang berukuran 1x6 sedemkian rupa sehingga ( ) memiliki nilai eigen yang dikehendaki. Tapi nilai tidak diperoleh maka nilai eigen yang dikehendaki tak ada, sehingga grafik yang stabil tidak diperoleh pada sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring. Jadi sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring tak terkontrol pada l 1 =l 2 dan serta 13 3.

72 Simulasi Karakterisasi Parameter Pada Masalah Tracking Error Optimal Sistem Pendulum Terbalik Dual Nilai tracking error optimal pada sistem pendulum terbalik dual dipengaruhi oleh panjang pendulum dan rasio panjang kedua pendulum. Hubungan antara rasio panjang kedua pendulum dan nilai tracking error secara lengkap dapat dilihat pada gambar berikut ini. Rasio panjang kedua pendulum Dan tracking error optimal (Yusron 2009). Gambar 32 Grafik Rasio Panjang Kedua Pendulum dan Tracking Error Optimal Dari Gambar 32 dapat dilihat bahwa nilai tracking error semakin besar apabila rasio panjang kedua pendulum kecil atau rasio panjang kedua pendulum besar atau rasio panjang kedua pendulum mendekati satu. Sehingga ada satu rasio panjang kedua pendulum yang membuat nilai tracking error optimal yaitu rasio panjang kedua pendulum minimum. Sehingga sistem pendulum dual dengan lintasan miring selalu terkontrol kecuali pada panjang pendulum l 1 =l 2.

73 57 VI SIMPULAN DAN SARAN 6.1. Simpulan Berdasarkan uraian di atas, dapat ditarik simpulan sebagai berikut: 1. Sistem pendulum biasa tunggal dengan lintasan datar selalu terkontrol. 2. Sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar dan miring selalu terkontrol. 3. Sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar selalu terkontrol kecuali pada panjang pendulum dan = Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar selalu terkontrol kecuali pada panjang pendulum =. 5. Sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring selalu terkontrol kecuali pada panjang pendulum = 5 dan atau dan =. 6. Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring selalu terkontrol kecuali pada panjang pendulum = dan massa serta Pada sistem pendulum terkontrol diperoleh grafik stabil menuju nilai tertentu, sedangkan sistem pendulum tak terkontrol hanya peroleh grafik yang takstabil Saran Dengan semakin kompleksnya industri, teknik, olah raga maupun pendidikan, maka sistem kontrol yang canggih sangat diperlukan. Dengan demikian maka sistem kontrol optimal perlu dikembangkan karena mempunyai prospek yang baik dimasa yang akan datang.

74 58 DAFTAR PUSTAKA Assadiqi H Pemodelan Sistem Pendulum Terbalik Ganda dan Karakterisasi Parameter pada masalah Regulasi Optimal [tesis]. Departemen Matematika IPB. Bogor. Edisusanto B Pemodelan Sistem Pendulum Terbalik Dengan Lintasan Miring dan Karakterisasi Parameter pada masalah Tracking Error Optimal [tesis]. Departemen Matematika IPB. Bogor. Gopal M Modern Control system Theory. Departemen of Electrical Engineering Indiaan Institute of Technology, New Delhi: John Wiley & Sons (SAE) Pte Ltd. Hasan Optimasi Reaktivitas pada sistem pengaturan daya reaktor zero power dengan menggunakan persamaan Hamilton Pontryagin [tesis]. ITB, Bandung. Kent H. Lunberg dan James K. Roberge Classical Dual-Inverted- Pendulum Control. Department of Electrical Engineering and Computer Science. Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA Kuo BC Automatic Control Systems. Fifth Edition. Printice- Hall,Inc.,Englewood Cliffs, New jersey Lara C. Phillips Control of a Dual Pendulum System Using Linear- Quadratic and H-Infinity Method [thesis]. Massachuselts institute of Technology All Rights Reserved. B.S University of Missouri-Rolla. Leon SJ Aljabar Linear dan Aplikasinya. Fifth edition. University of Massachusetts Darmouth. Alit Bondan, penerjemah; Erlangga Jakarta. Terjemah dari: Linear Algebra with Applications. Loram ID, Gawthrop PJ, and Lakie M The frequency of human, manual adjustments in balancing an inverted pendulum is constrained by intrinsic physiological factor. J.Physiol ,pp Microrobot Co Ltd. MP-2000 (MR-010). Inverted Pendulum System Manual (21 Des 2007). Ogata. K. Teknik Kontrol Autometik. Jilid 1,2. Edi Laksono, penerjemah; Bandung: ITB; Terjemahan dari: Modern Control Engineering.

75 59 Ogata K Modern Control Engineering, three Edition. university of Minnesota. Taurasi Inverted Pendulum Studies for Seismic Attenuation. SURF Final Report LIGO T R. California Institute of Technology, USA. Woodyatt AR, Middleton RH, and Freudenberg JS Fundamental Constraints for the Inverted Pendulum Problem, Technical Report EE9716, Department of Electrical and Computer Engineering, the University of Newcastle, Australia. Wei Z. Helmut R Energy and Passivity Based Control of The Double Inverted Pendulum on a Cart. Proseeding of the 2001 IEEE International Conference on control applications Mexico City. Mex.ico. Yusron M. (2009) Karakterisasi Parameter Sistem Pendulum Terbalik Dual Pada Masalah Tracking Optomal [tesis]. Departemen Matematika IPB. Bogor.

76 L A M P I R A N

77 61 Lampiran 1 Penggunaan Derat Taylor Deret Taylor Satu Peubah 1! Deret Taylor Dua Peubah 2!!,,! 2 1. Hampiran fungsi ƒ(θ)=sin diberikan di sekitar =0 oleh deret Taylor sinθ sin0+ cos0+! sinθ sin0+ sinθ θ. 2. Hampiran fungsi ƒ(θ)=cosθ diberikan deret Taylor di sekitar =0 cos θ = cos 0+ (-sin0)+...! cos θ = cos cos θ Hampiran fungsi ƒ(θ)= diberikan deret Taylor di sekitar =0 + 2! Hampiran fungsi ƒ(, θ)= θ diberikan deret Taylor di sekitar =0 dan =0, θ θ 0.,,

78 62 Lampiran 2 Bukti Teorema 1 Teorema 2. Keterkontrolan Sistem =x(t) + u(t) (L.1) terkontrol secara sempurna dengan syarat perlu dan cukup bahwa matriks S berikut memiliki pangkat penuh (Kuo 1987): S=... ]. Bukti : Asumsikan keadaan akhirnya adalah titik asal ruang keadaan sedangkan waktu awalnya adalah nol, atau t 0 =0. Misalkan R maka solusi dari persamaan (L.1) adalah x(t)= misalkan, x(t 0 )=0 dan =0. Dari definisi keterkontrolan, maka dapat ditemukan sehingga dapat dituliskan =0 0= 0. (L.2) Dengan mensubstitusi (Lampiran 3) ke persamaan (L.2) diperoleh Misalkan 0. (L.3) sehingga persamaan (L.3) menjadi 0 0 S=... ]. (L.4) Jika keadaan sistem terkontrol maka persamaan (L.4) harus dipenuhi untuk setiap keadaan awal 0. ini memerlukan syarat bahwa pangkat dari matriks x... harus sama dengan n. Dari analisis ini dapat menyatakan syarat keterkontrolan sebagai berikut: Keadaan sistem yang dinyatakan oleh persamaan (L.1) terkontrol jika dan hanya jika vektor,,, bebas linear, atau matriks x.... mempunyai pangkat penuh.

79 63 Lampiran 3 Penjabaran Untuk menurunkan, diasumsikan pangkat tinggi dari polinomial A dan B adalah m. Diasumsikan akar-akarnya tidak ada bernilai sama. Dengan menggunakan interpolasi LagrangeSylvester, dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan berikut. 1 1 λ λ λ 2 m m λ λ λ 2 m 1 λτ 3 1 λ3 λ3 λ3 e = I A A A e 2 m 1 λτ m 1 λm λm λm e 2 m 1 Aτ e e λτ 1 λτ 2 0. (L.5) Dengan menyelesaikan persamaan (L.5) untuk, dapat ditulis sebagai berikut: τi+ τa+ τ + + τ dengan (i=0,1,2,,m1) diperoleh dengan menyelesaikan sejumlah persamaan berikut: τ + τ + τ + + τ = τ + τ + τ + + τ = τ + τ + τ + + τ = τ + τ + τ + + τ =.

80 64 Lampiran 4 Persamaan Keadaan Takhomogen Persamaan keadaan takhomogen yang dinyatakan oleh: +Bu (L.6) dimana vektor n dimensi vektor r dimensi matriks konstan x matriks konstan x. Dengan menulis persamaan (L.1) sebagai. Dengan mengalikan di depan kedua ruas persamaan ini dengan, diperoleh [. Dengan mengintegralkan persamaan di atas antara 0 dan t, diperoleh atau 0 0 (L.7) persamaan (L.7) juga dapat ditulis sebagai berikut: Φ0 Φ. (L.8) Dimana Φt Persamaan (L.7) atau (L.8) adalah jawab persamaan (L.1). jelaslah bahwa jawab merupakan jumlah dari suku yang terdiri dari transisi keadaan awal dan suku yang ditimbulkan oleh vektor masukan.

81 65 Lampiran 5 Pendekatan Transformasi Laplace Pada jawaban persamaan takhomogen. +Bu Juga dapat diperoleh dengan pendekatan transformasi Laplace dari persamaan (L.1) adalah 0 atau 0 dengan mengalikan di depan kedua ruas persamaan terakhir ini dengan, diperoleh 0. Dengan menggunakan hubungan yang dinyatakan oleh persamaan (L.7), diperoleh 0. Transformasi Laplace balik dari persamaan akhir ini dapat diperoleh dengan menggunakan integral konvolusi sebai berikut: 0. Solusi dalam bentuk. Sejauh ini kita anggap bahwa waktu awalnya adalah nol. Menganggap jika waktu awal dinyatakan dengan bukan 0, maka solusi persamaan (L.1) harus dimodifikasi menjadi:. Contoh.2. Carilah respon waktu sistem berikut: 3 2 Misalkan, konstan dengan nilai awal 0 0 dan 0 0 maka diperoleh solusi umum dari persamaan berikut adalah:

82 66 Persamaan particular 0. Persamaan komplementer dan 1. Sulusi umum +. Dari nilai awal yang diberikan maka konstanta dan dapat disubstitusi dengan konstanta, sehingga solusi persamaandiferensial adalah: + =( +. Dimana adalah fungsi tangga satuan yang terjadi pada 0, atau 1. Misalkan Sehingga dapat ditulis bentuk vektor sebagai berikut: Untuk sistem ini u Matriks transisi keadaan Φ telah diperoleh dari contoh 1 sebagai

83 67 Φ Selanjutnya, respon terhadap masukan tangga satuan diperoleh sebagai berikut: atau Jika syarat awalnya adalah nol, atau 0 0, maka dapat disederhanakan menjadi =..

84 68 Lampiran 6 Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Biasa Penurunan energi pada motor dan pendulum 1. Energi kinetik Energi kinetik pada motor = ( = Energi kinetik pada pendulum = sin cos = cos sin 2cos co sin 2cos cos sin mcos cos. Total energi kinetik pada motor dan pendulum = + = cos = ) cos. 2. Energi potensial a. Energi potensial pada motor 0. b. Energi potensial pada pendulum glcosθ. Total energi potensial pada motor dan pendulum mgl cosθ. 3. Penurunan energi kinetik akibat friksi Energi kinetik akibat friksi motor dengan lintasan (L.9) (L.10) = =. Energi kinetik akibat friksi motor dengan sudut pendulum =. Sehingga total energi kinetik akibat friksi ()adalah = +. (L.11)

85 69 Lampiran 7 Persamaan Euler Lagrange Misalkan q = (, ) dimana = x, Pada bentuk persamaan-persamaan taklinear berikut. dan = θ,. ( cos, ( cos sin 0, ( 0 cos, ( cos sin sin g sin,.

86 70 Lampiran 8 Pelinearan Model Sistem Pendulum Biasa Persamaan taklinear yang diperoleh sebagai berikut: cos sin (L.12) cos si sin g sin 0. (L.13) Karena persamaan (L.12) dan (L.13) taklinear maka dilinearkan terlebih dahulu. Dengan mengasumsikan sudut yang dibentuk oleh pendulum θ adalah cukup kecil, maka persamaan tersebut dapat dituliskan sin, cos 1, 0 dan 0. l θ g 0. (L.14) (L.15) Untuk menentukan keterkontrolan pada pendulum biasa asumsikan 0 dan 0 maka diperoleh persamaan (L.16) g 0 (L.17). (L.18) Kemudian substitusikan persamaan (L.18) ke persamaan (L.16) diperoleh persamaan sebagai berikut: l g g. 4 43g, g = g., (L.19) Selanjutnya substitusikan persamaan (L.19) ke persamaan (L.18) diperoleh persamaan sebagai berikut: g g g. g, gg g, (L.20)

87 71 Lampiran 9 Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Datar Penurunan energi pada motor dan pendulum 1. Energi Kinetik Energi kinetik pada motor = =. Energi kinetik pada pendulum = sin cos + = cos sin + = ( +2lcosθ+ cos + sin ) + = +lcosθ+ + = +lcosθ+. Total energi kinetik = + = (+) +lcosθ+. (L.21) 2. Energi Potensial Energi potensial pada motor = 0. Energi potensial pada pendulum Total energi potensial = g l cosθ. = gl cosθ. (L.22) 3. Penurunan energi kinetik akibat friksi Energi kinetik akibat friksi motor dengan lintasan =.

88 72 Energi kinetik akibat friksi motor dengan sudut pendulum =. Total energi kinetik akibat friksi () adalah 4. Persamaan Euler Lagrange +. Misalkan q = (, ) dimana = x, dan = θ,. Dengan bentuk persamaan-persamaan taklinear sebagai berikut ( (+) +lcos ( = (+) lcos sinθ, 0, ( ) lcos sin+ =, ( 0 +l cos ( + l cos l sin l sin+gl sin, = + l cos+ g sin = 0.

89 73 Lampiran 10 Pelinearan Model Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Datar Persamaan taklinear yang diperoleh lcos sin+ = + l cos+ gsin = 0 (L.23) (L.24) Karena persamaan (L.23) dan (L.24) taklinear maka dilinearkan terlebih dahulu. Dengan mengasumsikan sudut yang dibentuk oleh pendulum θ adalah cukup kecil, maka persamaan tersebut dapat dituliskan sinθ θ, cosθ 1 dan 0. l + = (L.25) + g =0. (L.26) Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar, diasumsikan friksi antara motor dengan lintasan =0 dan friksi pendulum dengan motor =0 sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: ( ) l = g =0. Disederhanakan persamaan (L.28) menjadi g (gθ. Substitusikan persamaan (L.7)ke persamaan (L.5) diperoleh (L.27) (L.28) (L.29) l( g ), g g = g + u. Substitusikan persamaan (L.8) ke persamaan (L.7) diperoleh (L.30) g g ( + u) g (1 + )θ u. (L.31)

90 74 Lampiran 11 Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar Penurunan energi pada motor dan pendulum 1. Penurunan energi kinetik a. Penurunan energi kinetik pada motor =. b. Energi kinetik terhadap pendulum pertama = sin cos + cos sin 2 cos cos sin 2 cos cos sin 2 cos cos cos. c. Energi kinetik terhadap pendulum kedua = sin sin cos cos + I cos cos sin sin 2 cos 2 cos 2 cos cos cos cos sin sin 2 sin sin 2 cos 2 cos 2 cos cos sin sin cos sin cos sin

91 75 cos cos cos cos sin sin co cos cos. Misalkan 2, selanjutnya total energi kinetik ( ) diperoleh sebagai berikut = + + cos 2 cos cos 2 cos 2 = + 2 cos cos 2 cos 2. (L.32) 2. Penurunan energi potensial Energi potensial terhadap motor = 0. Hal ini disebabkan energi potensial pada motor tidak berubah (tetap). Energi potensial terhadap pendulum pertama g cos. Energi potensial terhadap pendulum kedua g( cosθ1 cosθ2. Misalkan 2, sehingga total energi potensial ( ) adalah: = g cos g(2 cos cos. 3. Penurunan energi kinetik akibat friksi Energi kinetik akibat friksi motor dengan lintasan (L.33) =. Energi kinetik akibat friksi pendulum pertama dengan motor

92 76. Energi kinetik akibat friksi pendulum pertama dengan pendulum kedua. Total energi kinetik akibat friksi () adalah 4. Fungsi Lagrange = + + =. (L.34) + 2 cos cos 2 cos 2 g cos g(2 cos cos. (L.35) Dengan dan, adalah kecepatan motor, kecepatan sudut pendulum pertama dan kedua. Sedangkan, dan adalah percepatan motor, percepatan sudut pendulum pertama dan kedua pada saat t.

93 77 Lampiran 12 Persamaan Euler Lagrange Sistem Pendulum Ganda dengan Lintasan Datar Misalkan = (,, ) dimana =,, =,, dan =,. Pada bentuk persamaan-persamaan taklinear berikut: ( (+ ) + 2 cos + cos ( = (+ ) 2 co 2 sin + cos sin 0 (+ ) 2 cos 2 sin + cos sin. (L.36) ( 0 2 cos 4 2 cos ( 2 cos 2 sin 4 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin g sin 2 g sin

94 78 2 cos 2 sin 4 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin g sin 2 g sin 0. L.37) ( 0 cos 2 cos ( cos sin 2 cos 2 sin 2 sin sin 2 sin g sin cos sin 2 cos 2 sin 2 sin + sin 2 sin g sin 0. (L.38)

95 79 Lampiran 13 Pelinearan Model Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar Persamaan taklinear yang diperoleh sebagai berikut (+ ) 2 cos 2 sin + cos sin. (L.39) 2 cos 2 sin 4 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin g sin 2 g sin 0. (L.40) cos sin 2 cos 2 sin 2 sin + sin 2 sin g sin 0. (L.41) Karena persamaan (L.39), (L.40), dan (L.41) taklinear maka dilinearkan terlebih dahulu. Dengan mengasumsikan sudut yang dibentuk oleh pendulum adalah cukup kecil, maka persamaan tersebut dapat dituliskan sinθ θ, cosθ 1 dan 0 untuk 1,2 maka bentuk persamaan-persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut: (+ ) + (L.42) 2 cos 2 sin 4 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin g sin 2 g sin 0. sin sin cos co sin = cos cos cos sin sin = g 0

96 g 2 g 0 (L.43) g 0 2 g 0. (L.44) Untuk menentukan keterkontrolan maka diasumsikan 0, 0, dan 0 dan diperoleh nilai dan dengan disubstitusikan dari persamaan (L.42), (L.43), dan (L.44) diperoleh persamaan (+ ) 2 + (L.45) g 2 g 0 (L.46) 2 g 0 (L.47) disederhanakan persamaan (L.45), (L.46), dan (L.47) menjadi 4 2 g 2 2 g (L.48) (L.49) g. (L.50) Substitusikan persamaan (L.49) ke persamaaan (L.50) menjadi g g g g 2 g g g 2 g g 2 g

97 81 g g g g Substitusikan persamaan (L.51) ke persamaan (L.50) menjadi g g g g g g. (L.51) g g g g g. (L.52) Substitusikan persamaan (L.51), (L.52 ) ke persamaan (L.45) menjadi (+ ) g 1 9 2g g g (+ )+ g g g g misalkan dan diperoleh persamaan berikut (+2) g g 2 93 g g (+2) g g 2 27 (+2) g g 2 27 (+2) g 2 24 g g g g + g g g 3g g g Substitusikan persamaan (L.53) ke persamaan (L.52) diperoleh g 1427g g 1 3g 144 (L.53)

98 82 g 144 g g 1 3g 144 g g 144 g g. Substitusikan persamaan (L.53) ke persamaan (L.51) menjadi (L.54) g 1427g g 1 3g 144 g144 g g 1 3g 144 g2 g g 144 g Diperoleh persamaan sebagai berikut: Misalkan g g 2 g 144 g g g45 144, 2 g 144, g g 144, g165, g 144, g 144, 144. (L.55) (L.54) (L.55) (L.53)

99 83 Lampiran 14 Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar Penurunan energi pada motor dan pendulum 1. Energi Kinetik a. Energi kinetik terhadap motor = =. b. Energi kinetik terhadap pendulum ke-1 = sin cos + cos sin 2 cos cos sin 2 cos cos sin 2 cos cos cos. c. Energi kinetik terhadap pendulum ke-2 sin cos + cos sin 2 cos cos sin 2 cos cos sin 2 cos cos cos.

100 84 d. Turunan total energi kinetik + + cos cos (+ cos cos. 2. Energi Potensial a. Energi potensial terhadap motor = 0. (L.56) Hal ini disebabkan tinggi motor tetap sehingga energi potensial tidak berubah. b. Energi potensial terhadap pendulum ke-1 = g cos. c. Energi potensial terhadap pendulum ke-2 = g cos. c. Total energi potensial = g cos + g cos. 3..Energi yang hilang Energi yang hilang pada motor (L.57) = =. Energi yang hilang pada pendulum ke-1 = =. Energi yang hilang pada pendulum ke =. Total energi yang hilang D = ( (L.58)

101 85 4..Fungsi Lagrange ( cos cos g cos g cos. (L.59) 5. Persamaan Euler Lagrange Misalkan q = (,, ) dimana = x,, =,, dan =,. Pada bentuk persamaan-persamaan taklinear berikut ini: (. Selanjutnya diperoleh persamaan (+ ) + cos cos (L.60) = (+ ) cos sin + cos sin 0 ( 0 cos + ( cos sin sin g sin ( 0 sin sin cos ( cos sin. (L.61) (L.62)

102 86 Lampiran 15 Pelinearan Model Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar Persamaan taklinear yang diperoleh sebagai berikut (+ ) cos cos sin sin (L.63) cos g sin 0 cos g sin 0. (L.64) (L.65) Karena persamaan di atas taklinear maka di linearkan terlebih dahulu. Diasumsikan bahwa sudut yang dibentuk oleh pendulum yaitu θ adalah cukup kecil, dengan demikian maka sinθθ, cosθ1, dan 0. Model matematika pendulum terbalik dual dengan lintasan datar yang dilinearkan diperoleh ( ) (L.66) g 0 (L.67) g 0. (L.68) Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar maka diasumsikan friksi antara motor dengan lintasan =0 dan friksi pendulum dengan motor =0 sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: ( ) (L.69) g 0 g 0. (L.70) (L.71) Selanjutnya disederhanakan persamaan (L.69), (L.70), dan (L.71) menjadi g

103 87 g 3 (L.72) g g. (L.73) Substitusikan persamaan (L.72), (L,73) ke persamaan (L.69) diperoleh ( ) g g g g g g. (L.74) Substitusikan persamaan (L.74 ke persamaan (L.73) ) diperoleh g 431g32g g g g g Substitusikan persamaan (L.74 ke persamaan (L,72) diperoleh g 3 431g32g (L.75) g g (L.76) Selanjutnya diperoleh persamaan sebagai berikut: g g g g g g (L.76) (L.75) (L.74)

104 88 Lampiran 16 Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Miring Penurunan energi motor dan pendulum 1. Energi Kinetik Energi kinetik pada motor =. Energi kinetik pada pendulum = sin cos + = cos sin + = ( +2lcos + cos + sin )+ = +lcos + cos + sin + m = +lcos + + m = +lcos +. Total energi kinetik = + = +lcos +. (L.77) 2. Energi Potensial Energi potensial pada motor = 0. Energi potensial pada pendulum = g l cos.

105 89 Total energi potensial = gl cos. (L.78) 3. Energi kinetik akibat friksi Energi kinetik akibat friksi motor dengan lintasan = =. Energi kinetik akibat friksi motor dengan sudut pendulum = =. Total energi kinetik akibat friksi ()adalah. (L.79) 4. Persamaan Euler Lagrange Misalkan q = (, ) dimana =, Bentuk persamaan taklinear sebagai berikut: dan = θ,. ( g sinα +lcos, 0, ( = lcos l sin ( 0 +l cos ( + l cos l sin, l sin +glsin.

106 90 Lampiran 17 Pelinearan Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Miring Persamaan taklinear diperoleh sebagai berikut: lcos l sin + = gsin + l cos + gsin = 0. Selanjutnya persamaan diperoleh cosθ cosθ cos α sinθ sin α cos α θ sin α (L.80) (L.81) sin sinθ cos α cosθ sin α θ cos α sin α lcos sin l cos sin+ = gsin. lcos sin l cos sin+ = g sin. (L.82) + l cosα sinα+ gθcosα sinα = 0 + l cos sin + gcos gsin = 0. L.83) Karena model yang diperoleh dari persamaan (L.82) dan (L.83)taklinear maka dilinearkan terlebih dahulu. Dengan mengasumsikan sudut-sudut yang dibentuk oleh pendulum θ adalah cukup kecil, maka persamaan tersebut dapat dituliskan sinθ θ, cosθ 1, 0, 0 dan 0 0, 0 0,0 0, 0 0, dan 0 yang arti berturut-turut pada posisi awal motor berada pada titik 0, kemudian motor bergerak dari keadaan diam dan posisi awal pendulum tegak lurus dengan bidang miring serta pendulum bergerak dari keadaan diam. Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring maka diasumsikan 0 dan 0. Jadi bentuk linear persamaan (L.82) dan (L.83) adalah: ) lcos= g sin (L.84) + l cos gcos gsin = 0. (L.85)

107 91 Untuk memperoleh nilai dan dilakukan substitusikan dari persamaan (L.85) dan (L.84) maka diperoleh persamaan sebagai berikut: (+) l g (+ cos ) g = gg cos= g sinα g sinα = g gg (L.86) Substitusikan persamaan (L.86) ke persamaan (L.85) menjadi gg g g g cos 3g44cos443cos2 sin12 cos12gcosα sin9gcos 2 sin 4443cos 2 ggg g g g. (L.87) Misalkan g,, gg, g,, gg.

108 92 Lampiran 18 Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Miring Penurunan energi motor dan pendulum 1. Energi kinetik Energi kinetik pada motor. Energi kinetik terhadap pendulum pertama sin cos + cos sin 2 cos cos sin 2 cos cos sin 2 cos cos cos. Energi kinetik terhadap pendulum kedua = sin sin cos cos + cos cos sin sin 2 cos 2 cos 2 cos cos cos

109 93 cos sin sin 2 sin sin 2 cos 2 cos 2 cos cos in sin cos sin cos sin cos cos cos cos sin sin cos cos cos. Misalkan =2 maka total energi kinetik ( ) diperoleh sebagai berikut = + + cos 2 cos cos 2 cos 2 2 cos cos 2 cos 2. (L.88) 2. Energi potensial Energi potensial terhadap motor = 0. Hal ini disebabkan energi potensial pada motor tidak berubah (tetap). Energi potensial terhadap pendulum pertama

110 94 = g cos. Energi potensial terhadap pendulum kedua = g ( cos cos. Misalkan =2, sehingga total energi potensial ( ) adalah: g cos + g (2 cos cos. (L.89) 3. Energi kinetik akibat friksi Energi kinetik akibat friksi motor dengan lintasan =. Energi kinetik akibat friksi pendulum pertama dengan motor =. Energi kinetik akibat friksi pendulum pertama dengan pendulum kedua. Total energi kinetik akibat friksi () adalah. (L.90) Dengan dan, adalah kecepatan motor, kecepatan sudut pendulum pertama dan kedua. Sedangkan dan, adalah percepatan motor, percepatan sudut pendulum pertama dan kedua pada saat t. 4. Fungsi Lagrange =

111 95 2 cos cos 2 cos 2 g cos - g (2 cos cos 2 cos cos 2 cos 2 g cos g (2 cos cos. L Persamaan Euler Lagrange Misalkan q = (,, ) dimana = x,, =,, =, dan. Pada bentuk persamaan-persamaan taklinear berikut: ( g sin 2 cos cos ( ( 2 cos 2 sin cos sin 0 ( 0 2 cos 2 cos 2 2 ( = 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 in 2 2

112 96 = 2 sin 2 sin g sin 2 g sin ( ( 0 cos 2 cos ( cos sin 2 cos 2 sin 2 sin sin 2 sin g sin.

113 97 Lampiran 19 Pelinearan Sistem Pendulum Ganda Terbalik dengan Lintasan Miring Persamaan taklinear yang diperoleh ( 2 cos 2 sin cos sin + g sin 2 cos 2 sin L.92 2 cos 2 sin 2 in sin 2 sin g sin 2 g sin + ( 0 (L.93) cos sin 2 cos 2 sin 2 sin sin 2 sin g sin + 0. (L.94) Karena persamaan (L.92), (L.93), dan (L.94) taklinear maka dilinearkan terlebih dahulu. Dengan mengasumsikan sudut yang dibentuk oleh pendulum adalah cukup kecil, maka persamaan tersebut dapat dituliskan sin θ, cosθ 1, 0, 0, 0 0, 0 0,0 0, 0 0, dan 0. Sehingga persamaan menjadi: cos cos cos α sin sin α cos α sin α sin sin cos α cos sin α cos α sin α cos cos cos sin sin 1 sin sin cos cos sin ( 2 cosα+ sinα 2 cos sin cos sin cos sin + g sin L.95

114 98 2 cos sin 2 cos sin cos sin 2 g cos sin 2 g cos sin + ( 0 2 cos g cos sin 2 g cos sin + ( 0 (L.96) cos sin cos sin 2 cos1 2 2 cos sin 2 g cos sin + 0. (L.97) Dengan mensubtitusikan hasil pelinearan tersebut di atas ke persamaan (L.95), (L.96), dan (L.97), maka diperoleh : 2 cosα cos + g sin 2 cos (L.98) 2 g cos 2 g sin + ( 0 (L.99) cos 2 g cos sin + 0. (L.100) Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum, diasumsikan 0, 0,dan 0. ( 2 cosα cos g sin (L.101) 2 cos g cos 2 gsin 0 (L.102) cos 2 g cos sin 0.(L.103)

115 99 Misalkan, selanjutnya disederhanakan persamaan (L.101), (L.102), dan (L.103) menjadi ( 2 3 cosα cos 2g sin (L.104) 3g cos 3gsin 3 cos 2 (L.105) 2 g cos gsin cos. (L.106) Substitusikan persamaan (L.105) ke persamaan (L.106) diperoleh g g 3g cos 3gsin 3 cos 2 g g g cos gsin cos 6 8 g cos 8gsin 8 cos 9g cos 9gsin 9 cos g g g g g g. (L.107) Substitusikan persamaan (L.107) ke persamaan (L.106) diperoleh 2 g cos g sin cos g g g g cos g sin cos g g g g g g g g g g g g g g = g g. (L.108) Substitusikan persamaan (L.107) dan (L.108) ke persamaan (L.104) menjadi g ( 2 3 g g g g g cos cos 2g sin

116 100 g (M2 g g g g g cos cos 2g sin g sin 3g sin 27 cos 3 cos 54g cos 27g cos 27 g cos 24 cos cos g sin cos 24g cossin 27g cos 3 g cos g sin g g g g. (L.109) Substitusikan persamaan (L.109) ke persamaan (L.108) diperoleh g = g g g g g g = g g g g g g g = g g g. Substitusikan persamaan (L.109) ke persamaan (L.107) diperoleh g g g (L.110) g g g g g g g g g g g g g g. (L.111)

117 101 Selanjutnya bentuk persamaan menjadi = g g g g g g g + Misalkan g + g g (L.110) (L.111) (L.109) g, c, g, g, g, g, g g g, g, g g.,

118 102 Lampiran 20 Rekonstruksi Model Sistem Pendulum Terbalik Dual Lintasan Miring Penurunan energi motor dan pendulum 1. Energi Kinetik Energi kinetik terhadap motor = =. Energi kinetik terhadap pendulum ke-1 sin cos + I 1 cos sin 2 cos cos sin 2 cos cos sin 2 cos cos cos. Energi kinetik terhadap pendulum ke-2 = sin cos + 2 cos sin 2 cos cos sin 2 cos cos sin

119 103 2 cos cos cos. Turunan total energi kinetik = cos cos ( cos 2. Energi Potensial a Energi potensial terhadap motor 0. cos. (L.112) Hal ini disebabkan tinggi motor tetap sehingga energi potensial tidak berubah. b Energi potensial terhadap pendulum ke-1 g cos. c Energi potensial terhadap pendulum ke-2 g cos. d Total energi potensial : 3. Energi yang hilang = g cos g cos. (L.113) Energi yang hilang pada motor =. Energi yang hilang pada pendulum ke-1 =.

120 104 Energi yang hilang pada pendulum ke-2 =. Total energi yang hilang + + ( + +. (L.114) 4. Fungsi Lagrange : L ( cos cos g cos - g cos. (L.115) 5. Persamaan Euler Lagrange : Misalkan = (,, ) dimana, dan =, taklinear berikut., dan =,. Pada bentuk persamaan-persamaan ( Selanjutnya diperoleh. ( ) + cos + cos ( 0, ( ) cos sin + cos sin ( 0 cos +

121 105 ( cos sin sin g sin ( 0 sin sin ( cos cos sin cos cos sin sin g sin L.116 cos g sin 0 L.117 cos g sin 0. L.118

122 106 Lampiran 21 Pelinearan Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring Persamaan taklinear yang diperoleh ( ) cos cos sin sin g sin (L.119) cos g sin 0 (L.120) cos g sin 0. (L.121) Karena persamaan di atas taklinear maka di linearkan terlebih dahulu. Diasumsikan bahwa sudut yang dibentuk oleh pendulum yaitu θ adalah cukup kecil, dengan demikian maka sin,cos1, 0, 0 dan 0 0, 0 0,0 0, 0 0, dan 0. cos cos cosα sin sinα cosα sinα sin sin cosα cos sinα cosα sinα ( ) cosα sinα cosα sinα- cosα sinα cosα sinα g sin cosα sin g cosα sin 0 cosα sinα g cosα sinα 0. Selanjutnya diperoleh model matematika yang linear dalam bentuk persamaan diferensial linear yaitu : ( ) cosα cosα g sin (L.122) cosα g cosα g sinα 0 (L.123) cosα g cosα g sinα 0. (L.124) Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar, maka diasumsikan friksi antara motor dengan lintasan 0 dan friksi pendulum dengan motor 0, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: ( ) cosα cosα g sin (L.125)

123 107 cosα g cosα g sinα 0 cosα g cosα g sinα 0. (L.126) (L.127) Selanjutnya disederhanakan persamaan (L.125), (L.126),dan (L.127) menjadi g cosα g sinα cosα g αgαα g cosα g sinα cosα (L.128) g αg αα. (L.129) Substitusikan persamaan (L.128), (L.129) ke persamaan (L.125) diperoleh g sin cosα cosα g sin g g cosα g g cosα g sin 3 g cosα 3 g sinα 3 cosα cosα 3 g cosα 3 g sinα 3 cosαcosα 4 4 g sin 3 g cosα cosα 3 g sinα cosα 3 cosα cosα 3 g cosα cosα 3 gcosα sinα 3 cosαcosα cos α 4 4 gsin 3 g cosα cosα 3 g sinα cosα 3 g cosα cosα 3 gcosα sinα g g α α g α α g α α gα α α g α g α α α g. (L.130) α Substitusikan persamaan (L.130) ke (L.128) diperoleh g g g αg αg α αg α

124 108 3g 4 4 3cos αcosα 3g4 43cos αsinα cos α g α g α g α α g α g α αα α g α α α α g αα α g α g α α α α g αα α g α α α α g α α α Substitusikan persamaan (L.130) ke persamaan (L.129) diperoleh (L.131) g cosαg sinα cosα g αg α g g g g g ααg α α α g α g αα g α α g α g α α g αα α g α α g α α α α α α α Diperoleh persamaan sebagai berikut α α. (L.132) g αα α g α α α α g α α α (L.131)

125 109 g α α g α α α α α g α α (L.132) g α + Misalkan g α α g α α g α g αα α, g α α,. (L.130) α α, g α α, α g α,, α α g α, g α α g α, α α k= g α, α gα α g. α

126 110 Lampiran 22 Keterkontrolan Sistem Pendulum Biasa dengan Lintasan Datar Bentuk matriks keterkontrolan yang diperoleh 0 S= ] = Diketahui : E14,E E31( 0 0 0, E42( pangkat penuh g, b=, g, Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum setelah di OBD, misalkan setiap entri matriks S sama dengan nol maka persamaan diperoleh menjadi 0 tak mungkin. 0, tak mungkin karena 0. 0 ( g 0 9g 0 tak mungkin. Dari analisis di atas dapat dinyatakan bahwa sistem pendulum biasa tunggal dengan lintasan datar selalu terkontrol dengan pangkat penuh.

127 111 Lampiran 23 Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Datar Bentuk matriks keterkontrolan yang diperoleh S= ] = E21, E E42, E 32, E21(, E43(, S= ] dengan pangkat penuh. Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum setelah di OBD, misalkan setiap entri matriks S sama dengan nol maka persamaan diperoleh menjadi p = g 1+ g )=, g g s = g, r =, t = g g ggg gg 12g 3g 0, tak mungkin 0, tak mungkin 0 0 g 0 9g 9g 0, tak mungkin. Dari analisis di atas dapat dinyatakan bahwa sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar selalu terkontrol dengan pangkat penuh.

128 112 Lampiran 24 Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum dengan bentuk matriks keterkontrolan berikut: S= ] = ² 0 ² 0 0 ² 0 ²

129 pangkat Karena syarat keterkontrolan sistem adalah bahwa matriks S berpangkat penuh. S= ] dengan pangkat 6. Jadi matriks di atas terkontrol karena pangkat yang diperoleh adalah 6. Jika pangkat yang diperoleh lebih kecil dari 6 yang artinya,,,,,dan bernilai nol maka sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar tidak terkontrol. Untuk memudahkan dalam menentukan nilai dari persamaan yang diperoleh di atas dikerjakan dalam software mathematica. Misalkan masa pendulum pertama dan masa pendulum kedua = serta panjang pendulum pertama l= dan panjang pendulum kedua k= maka diperoleh:

130 114 Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum setelah di OBD, misalkan setiap entri matriks S sama dengan nol maka persamaan diperoleh menjadi 0, 0 tak mungkin. 9 g 50 / , karena dan,tak mungkin. 1/² 0 9 g /19 ² 5 19 ² Misalkan

131 tak mungkin g² ² 5 4 ² 2 7 /² ² Untuk dimana dan, tak mungkin. 0 1/² ² ²0 27 ² ² ² 2 7 /19 3 ² 5 19 ² ² ² Untuk dimana dan, , tak mungkin. 1/² ² ²² ² g ² 0 ² ³ ² 2² ² ² ² ²² ²³ ²² ² ² 2² ³² ³ ² ²² 0 Karena k= dan l= maka diperoleh persamaan sebagai berikut 5, mungkin. Dari analisis ini dapat dinyatakan bahwa sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar selalu terkontrol, kecuali pada panjang 5 dan.

132 116 Lampiran 25 Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar Bentuk matriks keterkontrolan yang diperoleh S= ] = ² 0 ² 0 0 ² 0 ²

133 117 Untuk memudahkan dalam perhitungan setelah di operasi baris dasar (OBD) selanjutnya misalkan entri entri sebagai berikut: a rw+vy b (v²y-rsz+rvw-tvz) c prw+qvw+rsy+tvy d= ² ² ² e= ² ² ²² ² ² ³ ² 2² ² ² ² ²² ²³ ²² ² ² 2² ³² ³ ² ²² pangkat Jika masa pendulum pertama dan masa pendulum kedua serta panjang pendulum pertama l= dan panjang pendulum kedua k= maka diperoleh:

134 118 Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum setelah di OBD, misalkan setiap entri matriks S sama dengan nol maka persamaan diperoleh menjadi 0 tak mungkin a= rw+vy =0 9 g / 4 0, tak mungkin b= (v²y-rsz+rvw-tvz)= 9 g/4 4 0, tak mungkin

135 g / , tak mungkin 1 0 g = l=, k=,,, M= tak mungkin e= ² ² ²² ² ² ³ ² 2² ² ² ² ²² ²³ ²² ² ² 2² ³² ³ ² ²²=0 27 g / g 0, mungkin. Karena k=l atau =, mungkin Berarti sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar selalu terkontrol, kecuali terjadi pada panjang pendulum = dan.

136 120 Lampiran 26 Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Miring Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum dengan menggunakan persamaan berikut: 0 S= ]= E42, E21(, E43, E21, E43(,E S= ] dengan pangkat Jadi persamaan di atas terkontrol karena pangkat yang diperoleh 4. Jika pangkat yang diperoleh lebih kecil dari 4 yang artinya = 0 0, dan 0 maka sistem pendulum tak terkontrol. g,,, g = 0, g g g 0 12g 12g 9 gcos α, tak mungkin, =0, cos 0, α=90, 270 tak mungkin g 36g4 4cosα cosα 0, tak mungkin. 0 Dari analisis di atas dapat dinyatakan bahwa sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring selalu terkontrol dengan pangkatnya 4.

137 121 Lampiran 27 Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Miring Untuk menetukan keterkontrolan sistem pendulum dengan bentuk matriks keterkontrolan berikut: S= ] = ² ² ² ²

138 S

139 123 0,, 1/²,, 1/² ² ², 1/² ² ²² ² ² ³ ² ² 2² ² ² ²³ ²² ² ²² 2² ² ³ ²³ ²² ².

140 124 Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum setelah di OBD, misalkan setiap entri matriks S sama dengan nol maka persamaan diperoleh menjadi 0 0, tak mungkin. 0 9 g cos 50 / cos , karena,dan selanjutnya diperoleh 50, tak mungkin. 1/² 0 (9g cos 40 3 / cos , mungkin g cos cos cos cos / cos cos cos cos 0. Misalkan selanjutnya diperoleh

141 cos cos cos cos tak mungkin. 1/² ² ² 0 27 g cos cos cos cos 7 / cos cos cos cos 7 0. Misalkan selanjutnya diperoleh cos cos cos cos cos cos cos 0, tak mungkin. 0 1/² ² ²² ² ² ³ ² ² 2² ² ² ²³ ²² ² ²² 2² ² ³ ²³ ²² ² g cos 5 /² cos karena dan maka diperoleh 5, mungkin. Jadi sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring selalu terkontrol kecuali pada panjang pendulum dan dan atau 5 dan.

142 126 Lampiran 28 Keterkontrolan Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring Untuk menetukan keterkontrolan sistem pendulum dengan bentuk matriks keterkontrolan berikut: S= ]= ² 0 ² 0 0 ² 0 ²

143 127 Untuk memudahkan dalam perhitungan setelah di operasi baris dasar (OBD), selanjutnya misalkan entri entri menjadi 1/² 1/² ² ² 1/² ² ²² ² ² ³ ² ² 2² ² ² ²³ ²² ² ²² 2² ² ³ ²³ ²² ² rank Jadi persamaan di atas terkontrol karena pangkat yang diperoleh adalah 6. Jika pangkat yang diperoleh lebih kecil dari 6 yang artinya,,,,,dan sama dengan nol maka sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring tidak terkontrol. Untuk memudahkan dalam menentukan nilai dari persamaan di atas

144 128 maka dikerjakan dengan software Mathematica yang misalkan masa pendulum pertama dan masa pendulum kedua serta panjang pendulum pertama l= dan panjang pendulum kedua = maka diperoleh

145 129 Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum setelah di OBD, misalkan setiap entri matriks S sama dengan nol maka persamaan diperoleh menjadi α 0, tak mungkin. 0 9 gcos / cos 4 3 cos 0 9 gcos 0, dimana l= dan L= =, tidak mungkin g cos 2cos 4 3 cos cos / cos cos g cos 2 cos 4 3cos cos cos cos cos 4 3 cos dimana,, dan cos, tak mungkin cos g 4 cos cos 4 3 cos 4 /4 4 3 cos cos 0

146 g cos 4 cos cos 4 3 cos cos cos 4 3 cos cos cos 4 3 cos Dimana,, dan l=, L= selanjutnya misalkan dan maka diperoleh persamaan: cos cos 4 3 cos cos 2 cos, tak mungkin. y= 0 27 g cos cos 4 9 cos cos 2 cos 4 3 cos cos cos cos cos / cos 4 43 cos 0 27 g cos cos 4 9 cos cos 2 cos 4 3 cos cos cos 8 3 cos cos 0 cos 4 9 cos cos 2 cos 4 3 cos cos cos 83 cos cos 0 cos 4 9 cos cos 2 cos 4 3 cos cos cos 8 3 cos cos 0

147 131 4 cos 8 2 cos cos c o s (4 cos - cos +4 cos 3 cos 8 cos 6 cos -8 cos cos cos 9 cos cos 9 cos. Dimana dan, selanjutnya misalkan, dan α=0 sehingga diperoleh persamaan: 4 cos 8 cos cos cos 4 cos 9 cos +4 cos 3 cos 8 cos 6 cos 8 cos cos cos 9 cos cos +9 cos 40 cos cos 12 cos 64 = , 13 3, mungkin. tak mungkin. 1/² ² ²² ² ² ³ ² ² 2² ² ² ²³ ²² ² ²² 2² ² ³ ²³ ²² ²=0. Misalkan dan maka bentuk persamaan adalah 27 g cos 4 3cos 4 4cos 4 3 cos 4 43 cos 43 cos cos cos cos cos +108 cos 27 cos cos

148 cos 9 cos cos 60 cos 27 cos / cos 4 43 cos 2 cos 4 3 cos cos 0 4 3cos 4 4cos 4 3 cos cos 43 cos cos cos cos cos +108 cos 27 cos cos cos 9 cos cos 60 cos 27 cos 0. Selanjutnya misalkan dan dan 0 diperoleh persamaan berikut: , tak mungkin. Jadi pada sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring selalu terkontrol, kecuali pada terjadi panjang pendulum =, dan,, dan 13 3.

149 133 Lampiran 29 Sintaks Matlab yang digunakan untuk mencari vektor dan simulasi clear all; clc; % Sistem Pendulum terbalik Tunggal dengan Lintasan Miring % Mencari keterkontrolan sistem pendulum menggunakan matlab % Matlab Program A = [ ; ; ; ]; B = [0;-0.27;0;0.36]; C = [ ; ]; CONT=ctrb (A,B) rank (CONT) eig (A) sys1=ss (A,B,C,0); step (sys1,2.5) grid % Mencari K dengan menentukan lokasi dari pole (nilai eigen) P=[-2+j*2*sqrt (3) -2-j*2*sqrt (3) ]; K=place (A,B,P); AK=A-B*K; sys2=ss (AK,B,C,0) step (sys2) grid clear all; clc;

150 134 % Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring % Mencari keterkontrolan sistem pendulum menggunakan matlab % Contoh yang tak terkontrol L=l, M=1/4 m (sqrt (13)-3) % Matlab Program A = [ ; ; ; ; ; ]; B = [0;-0.21;0;-0.21;0;0.26]; C = [ ; ; ]; CONT=ctrb (A,B) rank (CONT) eig (A) sys1=ss (A,B,C,0); step (sys1,5) grid % Mencari K dengan menentukan lokasi dari pole (nilai eigen) P=[-5+j*2*sqrt (3) -5-j*2*sqrt (3) ]; K=acker (A,B,P); AK=A-B*K; eig (AK) sys2=ss (AK,B,C,0) step (sys2) grid