BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Sampel dan Kejadian Definisi 1 Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan S. Tiap hasil dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel tersebut atau dengan istilah titik sampel. Definisi 2 Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Contoh Misalkan A = {t t<5} himpunan bagian ruang sampel S = {t t 0}, t menyatakan unsur (dalam tahun) suatu komponen mesin tertentu dan A menyatakan kejadian bahwa komponen akan rusak sebelum akhir tahun kelima. Definisi 3 Ruang nol atau ruang hampa adalah himpunan bagian ruang sampel yang tidak mengandung unsur. Himpunan seperti ini dinyatakan dengan lambang Ø. 2.2 Peluang Suatu Kejadian
Teori peluang mempelajari tentang peluang terjadinya suatu kejadian atau peristiwa. Peluang dinyatakan antara 0 dan 1. Bila peluang suatu kejadian bernilai 0, maka kejadian tersebut tidak akan terjadi. Sedangkan bila peluang suatu kejadian bernilai 1, maka kejadian tersebut pasti terjadi. Untuk menentukan peluang suatu kejadian A, semua bobot titik sampel dalam A dijumlahkan. Jumlah ini dinamakan ukuran A atau peluang A dan dinyatakan dengan P (A), jadi ukuran himpunan Ø adalah 0 dan ukuran S adalah 1. Definisi 4 Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A. 0 P (A) 1, P (Ø) = 0, dan P (S) = 1 Teorema Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah: 2.3 Peubah acak Suatu fungsi real yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel disebut suatu peubah acak. Ada 2 (dua) macam peubah acak, yaitu peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu. Definisi 5
Jika semua himpunan nilai yang mungkin dari suatu peubah acak X merupakan himpunan terbilang (contable set), yaitu {x 1, x 2,,x n } maka X disebut peubah acak diskrit. Definisi 6 Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu variabel random X merupakan selang bilangan real, maka X disebut peubah acak kontinu. 2.4 Distribusi Peluang Fungsi adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak diskrit X, bila untuk setiap hasil x yang mungkin: 2. n i 1 f ( x) 1 3. P (X = x) = Definisi 7 Distribusi kumulatif F (x) suatu peubah acak diskrit X dengan distribusi peluang dinyatakan oleh: F x P X x f x t x Definisi 8 Jika fungsi adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X, maka fungsi densitas probabilitasnya adalah sebagai berikut: 1. 2. f x dx 1 3. P ( a X b) f ( x) dx b a
Definisi 9 Distribusi kumulatif suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat peluang diberikan oleh: x P X x F f ( x) dx Definisi 10 Misalkan X 1, X 2,.Xn, peubah acak diskrit maupun kontinu dengan distribusi peluang gabungan dan distribusi marginal masing masing. Peubah acak X 1, X 2,,X n dikatakan saling bebas statistik jika dan hanya jika: Jika sampel random yang berukuran n tersebut diurutkan dalam satu urutan naik maka disebut statistik terurut atau order statistik dari X 1, X 2,, X n dan dinyatakan dengan X 1.n X 2.n,, X n.n. Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel random yang berukuran n dan fungsi distribusi probabilitasnya kontinu dan < adalah: maka fungsi densitas probabilitas dari statistik terurut ke-k 2.5 Pendekatan Bayes Untuk Menentukan Estimator Dalam pendekatan klasik estimator yang diperoleh hanya berdasarkan pada informasi sampel, sedangkan pendekatan Bayes disamping informasi sampel juga diperlukan informasi tentang parameter. Definisi 11
Suatu informasi pada ruang parameter disebut informasi prior. Informasi ini dipandang sebagai distribusi peluang pada ruang parameter yang disebut distribusi prior. Definisi 12 Distribusi bersyarat θ apabila diberikan observasi sampel X disebut distribusi posterior θ dan dinyatakan dengan. Dalam menentukan distribusi posterior, khususnya untuk kasus kontinu kadang diperlukan perhitungan integral yang tidak mudah, yaitu apabila fungsi matematikanya tidak sederhana, salah satu cara mengatasi kesulitan ini adalah dengan menggunakan distribusi prior sekawan. Definisi 13 Misalkan F adalah kelas dari distribusi peluang dengan fkp. Kelas P dari distribusi prior disebut distribusi keluarga sekawan untuk F jika distribusi posterior berada dalam P untuk semua f F, semua prior dalam P dan semua x X. Teorema 14 Misalkan, sampel random dari fungsi probabilitas Statistik dikatakan cukup untuk θ jika dan hanya jika fungsi probabilitas bersama, terurai menjadi hasil kali fungsi probabilitas W dan suatu fungsi lain yang hanya tergantung pada θ, yakni cukup jika dan hanya jika. Teorema Jika T adalah statistik cukup untuk θ dengan fungsi kepadatan peluang, maka =, dengan adalah distribusi prior untuk dan fungsi probabilitas marginal untuk t.
2.6 Konsep Dasar Distribusi Tahan Hidup Fungsi fungsi pada distribusi tahan hidup merupakan suatu fungsi yang menggunakan variabel random. Waktu hidup adalah interval waktu yang diamati dari suatu individu saat pertama kali masuk kedalam pengamatan hingga keluar dari pengamatan. Misalnya interval waktu sampai rusaknya suatu barang produksi, matinya suatu mahkluk hidup, kambuhnya suatu penyakit, dan lain lain. Variabel random nonnegatif waktu hidup biasanya dinotasikan dengan huruf T, dan akan membentuk suatu distribusi. Distribusi dari waktu hidup dapat disajikan oleh 3 (tiga) fungsi berikut: 1. Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi kepadatan peluang adalah probabilitas kegagalan suatu individu dalam interval waktu dari t sampai t + t, dengan waktu T merupakan variabel random. Fungsi kepadatan peluang dinyatakan dengan: Waktu hidup merupakan variabel random nonnegatif, sehingga waktu hidup hanya diukur untuk nilai t yang positif. 2. Fungsi Tahan Hidup (Survival Function) Fungsi tahan hidup adalah peluang suatu individu bertahan hidup lebih dari waktu t dengan t > 0. Fungsi tahan hidup dinyatakan dengan S (t).
(2.2) Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponen-komponen industri, S (t) ditentukan sebagai fungsi reliabilitas. adalah: Jadi hubungan fungsi densitas probabilitas dengan fungsi tahan hidup (survival) Dalam hal ini fungsi tahan hidup S (t) merupakan fungsi kontinu menurun secara kontinu dengan S (0) = 1, artinya peluang individu bertahan lebih lama dari waktu nol adalah 1 dan S ( ) = 0, artinya peluang suatu individu bertahan hidup pada waktu yang tidak terhingga adalah 0. 3. Fungsi Kegagalan (Hazard Function) Fungsi hazard adalah probabilitas suatu individu gagal dalam interval waktu dari t sampai t + t, jika diketahui individu tersebut masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t, maka fungsi hazard secara matematika dinyatakan sebagai: Misalkan persamaan (2.3) diperoleh: adalah fungsi densitas probabilitas pada waktu t, maka dari
Dari persamaan (2.3) dan (2.5) diperoleh sebagai berikut: Dari persamaan (2.6) diperoleh: Karena S(0) = 1, maka diperoleh: Dari uraian tersebut diperoleh hubungan antara dan sebagai berikut: i. ii. iii. (2.7)
Dengan demikian dapat dilihat bahwa ke tiga fungsi pada distribusi waktu hidup yaitu dan saling berhubungan satu dengan yang lainnya. 2.7 Sistem Keandalan Dalam konsep keandalan, juga terdapat beberapa sistem yang dinyatakan untuk membantu memutuskan apakah sistem gagal secara total atau tidak. Dalam satu proses, tidaklah selalu mudah untuk memutuskan kriteria kriteria kegagalan dalam sistem tersebut. Sebagai contoh perhatikan sistem kegagalan dalam sistem sebuah mobil. Jika tidak dapat bergerak dengan tenaganya sendiri, maka mobil tersebut dinyatakan telah rusak atau gagal sistemnya. Namun haruskah rusaknya lampu depan sebuah mobil dikatakan kegagalan sistem secara total, walaupun mobil dapat digunakan pada cuaca cerah tetapi tidak dapat digunakan secara total pada waktu gelap atau pada malam hari. Oleh karena itu kerusakan sistem sering diakibatkan oleh kegagalan atau kerusakan dari komponen-komponennya. Untuk itu diberikan 3 (tiga) sistem yang dapat dikatakan sebagai sistem dasar dari keandalan sistem, yaitu sistem seri, sistem paralel dan kombinasi dari seri dan paralel. 2.7.1 Sistem Keandalan Seri Suatu sistem dapat dimodelkan dengan susunan seri jika komponen komponen yang ada didalam sistem itu harus bekerja atau berfungsi seluruhnya agar sistem tersebut sukses dalam menjalankan fungsinya. Atau dengan kata lain bila ada satu komponen
saja yang tidak bekerja, maka akan mengakibatkan sistem itu gagal menjalankan fungsinya. Secara diagram, sistem keandalan seri dapat dilihat pada gambar berikut: 1 2 n Gambar 2.1 Sistem Keandalan Seri Diagram pada gambar di atas sering disebut Diagram Blok Keandalan atau Reliability Block Diagram (RDB). Perlu diperhatikan bahwa diagram ini tidak mewakili setiap komponen yang dihubungkan secara seri, tetapi menunjukkan bagaimana komponen komponen itu diperlakukan dari sudut pandang keandalan. Jika ada n buah komponen dalam susunan seri dan masing masing memiliki indeks keandalan, seperti terlihat pada Gambar 2.1, maka secara umum sistem keandalan seri dirumuskan sebagai berikut: Sedangkan ekspresi ketakandalan dari sistem dengan susunan seri dan n buah komponen adalah: 2.7.2 Sistem Keandalan Paralel Pada sistem ini setiap komponen yang mungkin mengalami kerusakan tidak akan mengakibatkan kerusakan sistem secara keseluruhan, dan sering dinamakan failure tolerant (kerusakan yang dapat ditolerir).
Ada 2 (dua) jenis dari sistem keandalan paralel ini, yakni kelebihan redundant aktif dan kelebihan redundant pasif. Pada kelebihan aktif, dua atau lebih unit diletakkan dalam sistem keandalan pararel dimana secara normal pembagian fungsi dilakukan tetapi unit unit tersebut diatur sedemikian hingga jika satu atau mungkin lebih mengalami kerusakan, maka sisanya dapat menggantikan posisinya. Sebagai contoh adalah dua mesin pesawat terbang yang diaktifkan tetapi tidak menutup kemungkinan pesawat terbang dengan satu mesin, apabila mesin yang satunya mengalami kerusakan. Pada kelebihan pasif, satu unit secara normal memegang fungsi secara penuh tetapi jika unit tersebut mengalami kerusakan, maka unit yang lain akan diaktifkan untuk mengambil alih perannya. 2.7.2.1 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Aktif Misalkan ada dua unit (1) dan (2) dihubungkan dalam sistem paralel seperti gambar dibawah ini. 1 2 Gambar 2.2 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan aktif Sistem akan rusak apabila (1) dan (2) ke dua duanya mengalami kerusakan. Keandalan sistem dikalkulasikan sebagai berikut, jika di defenisikan Q (ketakandalan sistem) maka
Dimana adalah kejadian komplemen bebas sehingga diperoleh: Jika peluang dari kegagalan adalah independen, maka fungsi sistem keandalannya adalah: 2.7.2.2 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif Pada sistem redundan pasif, unit utama (1) secara normal membawa fungsi secara penuh dan unit siaga (2) dibawa untuk digunakan ketika unit utama mengalami kegagalan. Secara sederhana, sistem redundan pasif dapat ditunjukkan dalam gambar berikut: 1 2
Gambar 2.3 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif Cara untuk menganalisa sistem adalah harus mempertimbangkan bahwa sistem kegagalan waktu adalah variabel acak yang mengandung jumlah dari dua variabel acak, yakni kegagalan waktu (1) dan kegagalan waktu (2). 2.7.2.3 Kombinasi Sistem Seri dan Paralel Kombinasi dari sistem seri dan paralel dapat diselesaikan dengan menggabungkan masing masing subsistem ke dalam komponen seri maupun paralel terlebih dahulu. Untuk lebih memahami sistem kombinasi seri dan paralel, akan diberikan contoh gambar seperti berikut: A C B D Gambar 2.4 Sistem Kombinasi Seri Paralel A C B D Gambar 2.5 Sistem Kombinasi Paralel Seri
Dari ke dua gambar tersebut, Gambar (2.4) menunjukkan sistem kombinasi seri paralel. Untuk menyelesaikan sistem gabungan ini pertama tama dengan menggabungkan subsistem paralel kedalam bentuk yang sama dengan komponen seri. Misalkan: Penyelesaiannya dapat dituliskan: = 1 (0.1)(0.2) = 1 0.02 = 0.98 dan = 1 (0.3)(0.4) = 1 0.12 = 0.88 Keandalan sistem secara keseluruhan adalah: = (0.98)(0.88) = 0.8624 Untuk Gambar (2.5) seperti yang ditunjukkan merupakan sistem kombinasi paralel seri. Untuk menyelesaikannya, pertama tama dengan menggabungkan subsistem ke dalam bentuk yang sama dengan komponen paralel. Untuk pemisalan yang sama dengan Gambar (2.4), diperoleh penyelesaiannya sebagai berikut: = 0.63 = (0.9)(0.7) dan = (0.8)(0.6) = 0.48
Sehingga keandalan sistem secara keseluruhan adalah: = 1 (1-0.63)(1 0.48) = 1 (0.37)(0.52) = 1 0.1924 = 0.8076 2.8 Sampel Lengkap Ada 3 (tiga) macam metode yang sering digunakan dalam eksperimen uji hidup, yaitu sebagai berikut: 1) Sampel Lengkap, jika semua komponen yang diuji telah mati atau gagal, maka eksperimen akan dihentikan. Cara seperti ini mempunyai keuntungan yaitu dapat dihasilkan observasi terurut dari semua komponen yang diuji. 2) Sensor tipe I, semua objek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu yang bersamaan, dan pengujian akan dihentikan setelah batas waktu yang ditentukan. Kelemahan dari sensor tipe I ini bisa terjadi sampai batas waktu yang ditentukan semua objek masih hidup sehingga tidak diperoleh data tahan hidup dari objek yang diuji. 3) Sensor tipe II, semua objek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu yang bersamaan, dan pengujian dihentikan setelah mendapatkan objek diantaranya gagal atau mati dengan Kelemahan dari sensor tipe II ini adalah waktu yang diperlukan untuk memperoleh objek yang mati bisa jadi sangat panjang, tetapi pasti diperoleh data tahan hidup dari tersebut. objek
2.9 Distribusi Weibull Distribusi Weibull merupakan salah satu jenis distribusi kontinu yang sering digunakan khususnya dalam bidang keandalan dan statistik karena kemampuannya untuk mendekati berbagai jenis sebaran data. Fungsi kepadatan peluang untuk waktu kegagalan t berdistribusi Weibull dengan parameter θ dinyatakan sebagai berikut: = exp, Adapun fungsi tahan hidup dari distribusi Weibull adalah: Sedangkan fungsi hazard dari distribusi Weibull adalah: Keterangan: t = waktu θ = parameter skala = parameter bentuk