BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Sampel dan Kejadian Di dalam suatu kegiatan, seringkali dilakukan berbagai percobaan atau eksperimen. Hasil eksperimen akan memberikan informasi tentang masalah yang sedang dihadapi dalam kegiatan tersebut. Eksperimeneksperimen tersebut memiliki karakteristik: Hasil eksperimen tak dapat diduga sebelumnya dengan tingkat keyakinan yang pasti. Semua hasil yang mungkin dapat diberikan.eksperimen dapat dilakukan berulang-ulang dalam kondisi yang sama. (Djauhari, 1990: 3) Definisi 1 Eksperimen-eksperimen yang memiliki karakteristik tersebut, selanjutnya disebut eksperimen acak. Kemudian, himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu eksperimen acak disebut ruang sampel (sample space) dan diberi lambang S. (Djauhari, 1990: 3) Contoh 1: Misalkan kita melakukan eksperimen, melantunkan sebuah mata uang, dan setelah jatuh ke tanah, kita amati bagian atasnya. Hasilnya yang mungkin dari eksperimen ini bisa M (bagian muka), bisa pula B (bagian belakang). Jika dianggap bahwa eksperimen tersebut dapat dilakukan berulang-ulang pada

2 8 kondisi yang sama, maka eksperimen tersebut merupakan eksperimen acak. Ruang sampelnya S = {M,B}. Definisi 2 Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. (Walpole, 1986 : 4) Contoh 2: Misalkan 0 5 himpunan bagian ruang sampel 0,t menyatakan umur (dalam tahun) suatu komponen mesin tertentu dan A menyatakan kejadian bahwa komponen akan rusak sebelum akhir tahun ke lima. Definisi 3 Koleksi himpunan yang tertutup terhadap komplemen dan irisan hingga disebut lapangan. (Djauhari, 1990: 16) Definisi 4 Koleksi himpunan yang tertutup terhadap komplemen dan irisan terbilang disebut lapangan sigma. (Djauhari, 1990: 16) Definisi 5 Misalkan S ruang sampel dari suatu eksperimen acak dan A suatu lapangan sigma yang terdiri atas himpunan bagian dari S. Peluang adalah fungsi P dari A pada [0, 1] yang bersifat:

3 9 0 untuk setiap A di A 1 dimana bila, untuk setiap A1, A2, A3, di A (Djauhari, 1990: 17) Teorema 1 Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah : Definisi 6 (Walpole, 1986: 17) Diketahui S adalah ruang sampel. Fungsi X dari S ke  dinamakan peubah acak. Jelajah (range) dari X yakni Ax = {x x = X(c), c di S}dinamakan ruang peubah acak X atau ruang dari X. F.k.p. (Fungsi Kepekatan Peluang) dari Peubah Acak Diskrit Definisi 7 (Djauhari, 1990: 28) Misalkan A ruang dari peubah acak diskrit X. Jadi A terbilang. Fungsi f dari A ke dalam yang bersifat: 0, untuk setiap x di A 1

4 10 dinamakan fungsi kepadatan peluang (f. k.p.) dari peubah acak diskrit X. Jika peubah acak X diskrit dengan f.k.p f(x), maka peluang suatu A diberikan oleh: Definisi 8 (Djauhari, 1990: 41) Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh F.k.p. dari Peubah Acak Kontinu Definisi 9 memenuhi: (Walpole, 1986: 38) Misalkan A ruang peubah acak kontinu X. Fungsi f dari A ke dalam yang 0, untuk setiap 1 dinamakan f.k.p. dari peubah acak kontinu X. Jika peubah acak kontinu X memiliki f.k.p. f(x) maka peluang suatu peristiwa A diberikan oleh : (Djauhari, 1990: 42)

5 11 Definisi 10 Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random kontinu X dengan fungsi padat f(x) diberikan oleh : (Walpole, 1986: 44) Definisi 11 Misalkan u(x) suatu fungsi dari X. Besaran : ; ;, dinamakan ekspektasi matematik atau nilai harapan dari u(x). (Djauhari, 1990: 66) Bila dalam pendekatan klasik estimator yang diperoleh hanya berdasarkan pada informasi sampel, dalam pendekatan Bayes di samping informasi sampel juga diperlukan informasi tentang parameter. Definisi 12 Suatu informasi pada ruang parameter disebut informasi prior. Informasi ini dipandang sebagai distribusi peluang pada ruang parameter yang disebut distribusi prior. (Soejoeti, 1988: 1.29) Definisi 13 Distribusi bersyarat jika diberikan observasi sampel X disebut distribusi posterior dari X dan dinyatakan dengan. (Soejoeti, 1988) Dalam menentukan distribusi posterior, khususnya untuk kasus kontinu kadang diperlukan perhitungan integral yang tidak mudah, yaitu apabila fungsi matematikanya

6 12 tidak sederhana, salah satu cara mengatasi kesulitan ini adalah dengan menggunakan distribusi prior sekawan. Definisi 14 Misalkan F adalah klas dari distribusi peluang dengan fkp f(x; q). Klas P dari distribusi prior disebut distribusi keluarga sekawan untuk F jika distribusi posterior berada dalam P untuk semua, semua prior dalam P dan semua. Tiga sifat yang merupakan sifat yang disenangi bagi keluarga prior sekawan adalah : Secara matematik dapat ditelusuri, yaitu cukup mudah untuk menentukan distribusi posterior dari distribusi prior dan fungsi likelihood yang dipunyai, menghasilkan distribusi posterior yang juga anggota sekawan yang sama, sehingga tidak sulit menggunakan teorema Bayes berturut-turut, serta mudah dihitung nilai harapannya. Keluasannya, yaitu keluarga distribusi sekawan meliputi distribusi dengan parameter-parameter yang berbeda, sehingga mewakili berbagai macam informasi prior yang berbeda. Mudah diinterpretasikan, yaitu keluarga distribusi sekawan dapat dengan mudah diinterpretasikan oleh orang yang mempunyai informasi prior tersebut. (Soejoeti, 1988: 4.7) Definisi 15 Misalkan X1, X2, X3,,Xn sampel random dari fungsi probabilitas f(x;q). Statistik W=h(X1,X2,X3,,Xn) dikatakan cukup (sufien) untuk apabila untuk semua dan semua hasil yang mungkin, fungsi probabilitas X1, X2, X3,,Xn jika diketahui w tidak tergantung pada, baik dalam fungsi itu sendiri atau dalam wilayah fungsi itu.

7 13 Untuk menentukan statistik cukup biasanya tidak menggunakan definisi 15, tetapi lebih mudah mengerjakannya dengan kriteria Fisher-Neyman. Teorema 2 (Kriteria Fisher-Neyman) (Soejoeti, 1990) Misalkan X1, X2, X3,,Xn sampel random dari fungsi probabilitas f(x; ). statistik W=h(X1,X2,X3,,Xn) dikatakan cukup untuk jika dan hanya jika fungsi probabilitas bersama X1, X2, X3,,Xn terurai menjadi hasil kali fungsi probabilitas W dan suatu fungsi lain yang hanya tergantung pada. Yakni W cukup jika dan hanya jika f(x1,x2,x3,,xn) =g(w; )h(x1,x2,x3,,xn). Teorema 3 maka (Soejoeti, 1990) Jika T adalah statistik cukup untuk q dengan fungsi kepadatan peluang g(t; ).;, dengan ()distribusi prior untuk dan m(t) fungsi probabilitas marginal untuk t. Bukti.;.; Definisi 16..;..;.; (Berger, 1980: 93) Resiko Bayes dari (terhadap prior ) ditulis r(; )didefinisikan sebagai ;. (Berger, 1980: 125)

8 14 Definisi 17 Dalam klas semua estimator bila ; berhingga, estimator d dikatakan estimator Bayes jika ; ; untuk setiap estimator yang lain. (Berger, 1980: 126) Fungsi-fungsi pada distribusi waktu hidup merupakan suatu fungsi yangmenggunakan variabel random. Waktu hidup adalah interval waktu yang diamati dari suatu individu saat pertama kali masuk ke dalam pengamatan hingga keluar dari pengamatan. Misalnya interval waktu sampai rusaknya suatu barang produksi, matinya suatu makhluk hidup, kambuhnya suatu penyakit atau sampai terjangkitnya suatu penyakit. Variabel random non negatif waktu hidup biasanya dinotasikan dengan huruf T, dan akan membentuk suatu distribusi. Distribusi dari waktu hidup dapat disajikan oleh tiga fungsi berikut. Fungsi Densitas Peluang/f.d.p. f(t) Fungsi densitas peluang adalah probabilitas kegagalan suatu individu pada suatu interval yang kecil (t, t + t) persatuan waktu. Fungsi densitas peluang (f.d.p) dinyatakan dengan f(t). lim...(2.1) Sebagai ilustrasi, dalam sebuah penelitian mengenai lama hidup suatu individu. Kejadian yang diamati adalah waktu kematian individu tersebut. Dalam kasus ini lim,

9 15 Fungsi distribusi kumulatif pada waktu t untuk suatu individu adalah probabilitas bahwa suatu individu mengalami kegagalan sebelum waktu t atau pada interval waktu [0, ]. fxdx...(2.2) Fungsi Survivor S(t) Fungsi survivor adalah peluang suatu individu bertahan hidup lebih dari waktu t dengan t > 0. Fungsi survivor dinyatakan dengan S(t). 1...(2.3) Mengacu pada ilustrasi di depan: S(t) = P[individu hidup lebih lama dari waktu t] Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponenkomponen industri, S(t) ditentukan sebagai fungsi reliabilitas. S(t) merupakan fungsi kontinu menurun secara kontinu dengan S(0) = 1, artinya peluang suatu individu bertahan hidup lebih lama dari waktu nol adalah 1 dan lim 0, artinya peluang suatu individu bertahan hidup pada waktu yang tak terhingga adalah 0. Fungsi Hazard h(t) Fungsi hazard adalah suatu fungsi yang menunjukkan tingkat kegagalan atau resiko dalam interval (t, t + t) dan diketahui bahwa individu tersebut telah bertahan hidup selama waktu t. Fungsi hazard dinyatakan dengan: lim P atau lim P fungsi hazard dapat pula dinyatakan oleh dua buah fungsi yaitu fungsi survivor dan fungsi densitas peluang.

10 16...(2.4) Teorema 4 Jika T variabel random yang menyatakan waktu hidup dimana T ³ 0, dan f(t) merupakan f.d.p serta S(t) merupakan fungsi survivor, maka : Bukti : Dari (2.2) dan (2.3) maka 0 1 Teorema 5 Jika T variabel random yang menyatakan waktu hidup dimana T 0 dan S(t) merupakan fungsi survivor dan h(r) menyatakan fungsi hazard maka Bukti. Berdasarkan teorema 4 diketahui bahwa dan persamaan (2.4) adalah Dengann menggunakan salah satu sifat S(t) bahwa S(0) = 1, maka

11 17 ln ln ln 0 ln Sehingga exp Akibat Teorema 5 Berdasarkan teorema 4 dan teorema 5, f(t) dapat dinyatakan dalam h(t) sebagai.exp Bukti: maka. sehingga terbukti bahwa.exp Dari teorema 4 dan teorema 5 serta akibat dari teorema 5 di atas, dapat dilihat bahwa ketiga fungsi pada distribusi waktu hidup yaitu f(t), S(t), dan h(t) saling berhubungan satu dengan yang lainnya. Dalam uji sampel lengkap, eksperimen akan dihentikan jika semua komponen yang diuji telah mati atau gagal. Cara seperti ini mempunyai keuntungan yaitu dapat dihasilkan observasi terurut dari semua komponen yang diuji. Definisi 18 (Lawless, 1982: 231) F.k.p untuk waktu kegagalan T berdistribusi Weibull dengan parameter q dinyatakan sebagai : ;, 0, 0, 0

12 18 (Sinha, 1979: 136) Penerapan distribusi Weibull pada analisis uji hidup antara lain dilakukan oleh Kao (1959) dengan menerapkan distribusi Weibull dalam uji hidup tabung elektron, kemudian Leiblain dan Zeln (1956) melakukan penelitian penerapan distribusi ini dalam bidang rekayasa (Zanzawi, 1996:7). Selanjutnya banyak peneliti yang mengembangkannya antara lain Thomas dan Wilson (1972),(Lawless, 1982:145), Pandey dan Malik (1989). Menurut William W. Hines dan Douglas C. Montgomery (1990: 268), sebuah metode yang paling baik untuk memperoleh sebuah estimator yang tunggal adalah metode maksimum likelihood. Karena secara konsep prosedur metode maksimum likelihood sangat sederhana dan metode ini lebih umum digunakan untuk mengestimasi parameter-parameter distribusi waktu hidup. Definisi 19 Misalkan x variabel random dengan p.d.f f(x;q), dimana parameter q tidak diketahui. Misalkan X1, X2,, Xn menjadi nilai yang diobservasi di dalam suatu sampel random yang besarnya n. Maka fungsi likelihood sampel tersebut adalah : L() = f(x1; ). f(x2; ).. f(xn; ) (Hines, 1990: 268) ˆ merupakan nilai maksimum likelihood estimator atau dengan kata lain maksimum likelihood adalah nilai yang memaksimumkan fungsi likelihood. Fungsi likelihood lebih cocok apabila dikerjakan dengan menggunakan natural logaritma dan dinotasikan dengan ln L().

13 Java dengan builder NetBeans dan database MySQL. Java adalah sebuah bahasa pemrograman dengan basik Object Oriented Programing (OOP) yang sangat efisien dan mempunyai sifat global. Hal ini dikarenakan aplikasi desktop ataupun aplikasi web dapat berjalan sepenuhnya di semua Operating System yang sudah terinstal Java Enviroment. Penulis menggunakan dukungan bahasa Java dan NetBeans ini seutuhnya legal dan tidak memerlukan ijin apapun juga. Karena Java dan Netbeans ini bersifat freeware. Ini juga menjadi salah satu alasan kenapa penulis memilih menggunakan bahasa pemrograman Java. Dalam distribusinya Java dibagi kebanyak jenis dan bagian. Tiga kelompok besar Java adalah : Java Standart Edition yang di gunakan untuk mendukung aplikasi dengan basic Java di PC Java Enterprise Edition yang lebih fokus pada aplikasi aplikasi yang digunakan server besar Java Micro Edition yang fokusnya kedalam pembuatan program program berukuran micro yang biasa di gunakan di ponsel ponsel. Program Java bisa langsung diunduh secara gratis di Di situ bisa didapatkan versi dari java yang terbaru. Penulis menggunakan Java Development Kit versi 6 update ke 21. Lalu di dukung dengan NetBeans versi NetBeans adalah sebuah developer kit untuk membuat program berbasi Java. NetBeans mempunyai tampilan yang cukup rumit untuk sebuah developer kit. Tapi

14 20 tentunya hal tersebut tidak akan dirasakan lagi apabila pengguna mulai tebiasa dengan tampilan tersebut. Penulis akan memulai pembuatan program simulasi dimulai dari user interfacenya. Setelah user interfacenya tersusun makan penulis akan mulai memasukan kode-kode dan event-event yang dibutuhkan. Tahap pengembangan aplikasi yang demikian dinamakan Bottom Up. Java. Berikut adalah tampilan dari NetBeans padasaat penulisan source code Gambar (2.1)

15 21 Berikut adalah tampilan NetBeans saat pembuatan User Interface. Gambar (2.2) Dikedua gambar di atas dapat kita lihat tab project yang berisikan data dan kumpulan file dari project yang sedang dikerjakan. Di bawahnya terdapat navigator dan inspector untuk memudahkan kita melihat smua element element yang ada saat membuka suatu form atau class java. Pada saat penulisan source code, tampilan NetBeans cukup sederhana, di bagian kanan hanya terdiri dari tempat penulisan source code dan dibawah nya terdapat kolom output yang memberikan kita laporan setiap kali kita men-debug program yang sedang dibuat. Pada saat pembuatan User Interface, kolom output tetap ada, tetapi di atasnya terdapat tempat design User Interface, Palette control dan Properties. Pada tempat mendisign kita bisa mengatur posisi dan letak tombol sesuai dengan yang kita inginkan. Sedangkan semua tampilan grafis yang kita butuhkan seperti

16 22 tombol, text box, panel scroll dan lain lainnya dapat kita dapatkan dari colom Palette. Di situ terdapat banyak sekali jenis yang tentunya tidak perlu dibahas penulis disini. Pada properties, kita bisa mengatur semua tentang object grafis yang kita masukan, dari nama akses, ukuran, jenis huruf, tampilan, dan sebagainya. Di propeties, kita juga bisa melihat binding dari object tersebut, event yang ada padaobject tersebut, ataupun bentuk dari code yang digunakan. MySQL adalah sistem penyimpanan database yang pengoperasiannya menggunakan perintah SQL. MySQL adalah database dasar yang menggunakan bahasa Java dalam pembuatannya. Untuk mengakses database bisa menggunakan banyak program tambahan yang mendukung untuk mempermudah pengoperasian dan akses database tanpa perlu melalui perintah di command promt. Untuk penulisan skripsi ini, penulis menggunakan program tambahan phpmyadmin. Sehingga database MySQL dioperasikan dan dapat diatur dengan mudah melalui tampilan web yang cukup sederhana.

17 23 Berikut adalah contoh tampilan dari phpmyadmin. Gambar (2.3) Dari gambar di atas dapat kita lihat, tampilan dari phpmyadmin cukup sederhana. Tombol kecil yang ada di sisi kiri urut dari kiri ke kanan adalah : Home untuk kembali ke halaman muka. Log Out untuk keluar dari phpmyadmin SQL query window untuk membuka jendela query SQL phpmyadmin documentation untuk membuka dokumentasi dokumentasi yang ada tentang phpmyadmin SQL documentation untuk membuka dokumentasi tentang database SQL Di sisi kiri terdapat tab untuk memilih database yang ada. Disusul di sisi bawahnya terdapat keterangan database yang sedang dibuka dan isi dari tabel yang ada. Di sebelah kanannya terdapat keterangan posisi window saat ini. Gambar di atas menyatakan posisi

18 24 pada saat membuka tabel weibull. Di bawahnya terdapat banyak tab, dari kiri ke kanan adalah : Browse untuk membuka dan membaca isi dari tabel yang dipilih Structure untuk melihat struktur dari tabel yang dipilih SQL untuk membuka window tempat mengimput query query SQL Search untuk masuk ke mode pencarian Insert untuk membuka halaman input data Export untuk mengekspor data Import untuk mengimpor data database atau file lain Operation untuk membuka halaman pengaturan bagaimana cara kerja sebuah tabel tersebut Empty untuk mengosongkan tabel yang dipilih Drop untuk menghapus tabel yang dipilih Walaupun memiliki tampilan yang cukup sederhana tetapi bisa dikatakan bahwa MySQL dengan phpmyadmin memiliki kemampuan yang cukup rumit untuk menangani server server besar. Dan satu yang tidak boleh kita lupakan bahwa MySQL dan phpmyadmin adalah jenis program berdistribusi freeware, sama seperti Java dan NetBeans, sehingga tidak membutuhkan lisensi ataupun ijin khusus untuk menggunakannya.