MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS

MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS

2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0

3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x + 5 = 0 SOLUSI x 1, x 2 = b ± b2 4ac 2a x 1, x 2 = 4 ± 2 4 x 1, x 2 = 4 ± 2 1 2 x 1 = 2 + 1 x 2 = 2 1 Akar-akar tersebut adalah akar-akar imajiner dimana 1 = i.

4 NOTASI o Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk z = x + iy atau z = x + yi dengan x, y adalah bilangan real dan i 2 = 1 o Re(z) = x dan Im(z) = y o Himpunan bilangan kompleks dinyatakan dengan C. CONTOH z = 4 + 6i

5 BIDANG KOMPLEKS o Bilangan kompleks dapat digambarkan dalam suatu bidang kompleks. o o Sumbu x: sumbu real Sumbu y: sumbu imajiner z = x + yi

6 OPERASI PADA BILANGAN KOMPLEKS Jika z 1 = x 1 + iy 1 dan z 2 = x 2 + iy 2 maka 1. Penjumlahan z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + i y 1 + y 2 2. Perkalian z 1 z 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + i x 1 y 2 x 2 y 1 3. Pembagian z 1 = x 1x 2 + y 1 y 2 z 2 x 2 2 + y 2 2 i x 1 y 2 x 2 y 1 x 2 2 + y 2 2

7 KONJUGAT DAN MODULUS o Konjugat dari bilangan kompleks z = x + iy adalah z = x iy z z = x + yi o Modulus dari bilangan kompleks z = x + iy adalah z = x + yi = x 2 + y 2 z = x iy

8 HUKUM-HUKUM PADA OPERASI KONJUGAT z = z z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 zz = Re z 2 + Im z 2 Re z Im z = = z + z 2 z z 2i

9 HUKUM-HUKUM PADA MODULUS Teorema (sifat sifat modulus pada bilangan kompleks) z 0, z z = 0 z = z, z = z Re z Re z z Im z Im z z zz = z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2

10 SOAL LATIHAN 1. Tentukan Re(z), Im(z), z, dan konjugat dari z untuk a. z = 2 5i 3 + 4i + 3 14i 25i b. z = 12 5i 1 + i 1 + 2i 1 + 3i 2. Buktikan bahwa hasil kali dua bilangan kompleks adalah nol jika dan hanya jika paling sedikit satu diantara kedua bilangan tersebut adalah nol.

11 BENTUK POLAR o Bilangan kompleks z = x + iy bisa dinyatakan dalam bentuk polar yaitu dalam parameter r dan θ dengan hubungan sebagai berikut x = r cos θ y = r sin θ sehingga z = r cos θ + i r sin θ r : modulus z ( z ) θ : argumen z (arg z)

12 BENTUK POLAR Gambar r θ

13 BENTUK POLAR o Nilai r dan θ dapat dinyatakan dalam bentuk r = x 2 + y 2 θ = arctan y x o Sudut θ disebut dengan argumen dari z dan dinotasikan arg (z) o Argumen dari bilangan z tidak tunggal karena cos θ dan sinθ adalah fungsi periodik o Jadi arg (z) = θ + 2kπ (k = 0, ±1, ±2, )

14 CONTOH Nyatakan z = 3 i dalam bentuk polar Solusi r = 2 dan y x = 1/ 3 sehingga tan 1 (1/ 3) = π/6 Karena titik ( 3, 1) terletak pada kuadran 3, maka z = 2 cos 7π 6 + i sin 7π 6

15 ARG (Z) Nilai utama argumen dari suatu bilangan kompleks adalah nilai yang lebih besar dari π tetapi tidak melebihi π. Nilai utama argumen bilangan z ditulis Arg(z). Jadi π < Arg(z) π Contoh Carilah nilai utama argumen dari z = i Solusi: Arg(z) = π/2 Secara umum hubungan antara arg (z) dengan Arg(z) adalah arg (z) = Arg(z) + 2kπ ; k = 0, ±1, ±2,

16 SIFAT SIFAT ARGUMEN 1. arg (z ) = arg (z) 2. arg z 1 z 2 = arg z 1 + arg (z 2 ) 3. arg z 1 /z 2 = arg z 1 arg (z 2 )

17 RUMUS DE MOIVRE Misal z j = r j (cos θ + i sin θ), j = 1, 2,, n z 1 z 2 z n = r 1 r 2 r n (cos (θ 1 + + θ n ) + i sin (θ 1 + + θ n )) Jika z 1 = z 2 = = z n = cos θ + i sin θ maka diperoleh (cos θ + i sin θ) n = cos (nθ) + i sin (nθ) yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif n.

18 LATIHAN 1. Hitunglah (1 i) 8 2. Jika z = 1 + I 1 + 3i 1 + I Tentukan: a. Bentuk kutub dari z b. arg(z) dan arg(z ) c. Arg(z) dan Arg(z )

BENTUK 19 EKSPONENSIAL Formula Euler e iθ = exp (iθ) = cos θ + i sin θ dimana θ dalam radian Dengan menggunakan formula Euler bentuk z = r (cos θ + i sin θ) dapat ditulis dalam bentuk z = r e iθ Contoh Tuliskan z = 1 i dalam bentuk eksponensial.

AKAR BILANGAN 20 KOMPLEKS Jika diberikan bilangan kompleks w = ρ cis φ yang tak nol dan n bilangan bulat positif, maka diperoleh n buah nilai untuk w 1 n, yaitu w 1 n = z k = n ρ φ + 2kπ cos n φ + 2kπ + i sin n dengan k = 0, 1,, (n 1) atau n bilangan bulat yang berurutan.

21 CONTOH Tentukan semua nilai untuk akar pangkat 6 dari 1. Solusi: 1 1 6 = z k = 1 cos 0 + 2kπ 6 + i sin k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

22 HIMPUNAN TITIK PADA BIDANG KOMPLEKS Lingkaran Misalkan z 0 = x 0 + iy 0. Karena 2 z z x x y y 0 0 0 2 adalah jarak antara titik z dengan z 0, titik z = x + iy memenuhi persamaan z z 0, 0 terletak pada lingkaran berdiameter dan berpusat di z 0. z 0

CAKRAM DAN 23 KITARAN Himpunan titik yang didefinisikan oleh z z 0 adalah cakram radius dan berpusat di z 0. Tetapi titik z yang memenuhi pertidaksamaan z z 0 terletak di dalam, bukan pada, sebuah lingkaran berdiameter dan berpusat di z 0. Himpunan ini disebut kitaran dari z 0.

24 HIMPUNAN BUKA Titik z 0 disebut titik dalam (interior point) dari himpunan S jika terdapat sekitar (neighborhood) z 0 yang keseluruhannya terletak di dalam S. Jika setiap titik z dalam S adalah titik dalam, maka S disebut himpunan buka.

25 CONTOH Tentukan daerah pada bidang z yang direpresentasikan oleh fungsi berikut a. z < 1 b. 1 < z + 2i 2 c. π/3 arg (z) π/2 latihan

26 SOLUSI (A) Interior lingkaran berjari jari 1 y 1 x

27 SOLUSI (B) z + 2i adalah jarak dari z ke 2i z + 2i = 1 lingkaran berjari jari 1, berpusat di 2i z + 2i = 2 lingkaran berjari jari 2, berpusat di 2i 2i 1 2