UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN III HOMOMORFISMA RING Direncanakan Untuk Perkuliahan Minggu ke-6 dan 7 PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR II (Semester III3 SKSMMM-2201) Oleh: Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S. Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.S. Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN) Tahun Anggaran 2013 November 2013

BAB III HOMOMORFISMA RING Pada bab ini akan dijelaskan tentang homomorfisma ring, yaitu suatu pemetaan dari suatu ring R 1 ke ring R 2 yang bersifat mengawetkan kedua operasi biner dari ring tersebut. Ada beberapa jenis homomorfisma terkait sifat pemetaannya, yakni sifat injektif, surjektif, dan bijektif. Dari sebarang homomorfisma ring f : R S dapat didefinisikan kernel (ker(f)) seperti halnya pada teori grup. Kernel dari homomorfisma ring merupakan ideal, sehingga dapat digunakan untuk membentuk ring faktor R ker(f). Pada bab ini juga akan dibahas hubungan antara ring faktor R ker(f) dan Im(f) yang selanjutnya dikenal dengan teorema utama homomorfisma ring. 3.1. Homomorfisma Ring: Definisi, Contoh, dan Sifat Elementer Dari teori grup (Pengantar Struktur Aljabar I) telah dipelajari tentang homomorfisma grup. Suatu pemetaan h dari grup (G 1, 1 ) ke grup (G 2, 2 ) disebut homomorfisma grup jika untuk setiap x, y G 1 berlaku h(x 1 y) = h(x) 2 h(x). Konsep dari pendefinisian homomorfisma grup tersebut secara analog akan diterapkan pada ring. Misal diberikan ring (R 1, + 1, 1) dan (R 2, + 2, 2) serta suatu pemetaan f : R 1 R 2. Mengingat ring merupakan grup terhadap operasi penjumlahannya, f merupakan homomorfisma grup jika untuk setiap a, b R 1 berlaku f(a + 1 b) = f(a) + 2 f(b). Selanjutnya, jika f merupakan homomorfisma grup sekaligus memenuhi sifat f(r 1 s) = f(r) 2 f(s), untuk setiap r, s R 1, maka f disebut homomorfisma ring. Secara ringkas, definisi homomorfisma ring diberikan pada Definisi 3.1.1 di bawah ini. Definisi 3.1.1. Diberikan ring (R 1, + 1, 1) dan (R 2, + 2, 2) serta suatu pemetaan f : R 1 R 2. Pemetaan f disebut homomorfisma ring jika f(x + 1 y) = f(x) + 2 f(y) dan f(x 1 y) = f(x) 2 f(y) untuk setiap x, y R 1. 23

Contoh 3.1.2. Berikut ini merupakan contoh-contoh homomorfisma ring. (1). Diberikan ring T 2 2 (Z) = a b a, b, c Z 0 c terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Didefinisikan pemetaan f : T 2 2 (Z) Z, yaitu untuk setiap a b T 2 2 (Z), 0 c f b = a. 0 c Mudah ditunjukkan bahwa pemetaan f merupakan homomorfisma ring. (2). Diberikan ring (Z, +, ). Misal diambil ideal 6Z dari ring Z, sehingga dapat dibentuk ring faktor ( Z 6Z = {0 + 6Z, 1 + 6Z,, 5 + 6Z} = {0, 1,, 5}, +, ). Didefinisikan pemetaan h : Z Z 6Z, yaitu h(n) = n, untuk setiap n Z. Mudah ditunjukkan bahwa untuk setiap n 1, n 2 Z berlaku h(n 1 + n 2 ) = h(n 1 )+h(n 2 ) dan h(n 1 n 2 ) = h(n 1 ) h(n 2 ). Oleh karena itu, h merupakan homomorfisma ring. (3). Misalkan R = a b a, b R. Himpunan R terhadap operasi penjumlahan dan perkaliam matriks merupakan ring (buktikan sebagai b a latihan!). Didefinisikan pemetaan ϕ dari ring C ke ring R, yaitu ϕ(a + bi) = a b, b a untuk setiap a + bi C. Mudah ditunjukkan bahwa pemetaan ϕ merupakan homomorfisma ring. Ada beberapa jenis homomorfisma terkait dengan sifat pemetaannya. Suatu homomorfisma f dari ring R 1 ke ring R 2 disebut: 24

(i). monomorfisma jika f merupakan pemetaan injektif, (ii). epimorfisma jika f merupakan pemetaan surjektif, dan (iii). isomorfisma jika f merupakan pemetaan bijektif. Dua ring R 1 dan R 2 dikatakan isomorfis, dinotasikan R 1 = R2, jika terdapat suatu isomorfisma dari R 1 ke R 2. Selanjutnya, khusus untuk isomorfisma dari ring R 1 ke R 1 disebut automorfisma. Contoh 3.1.3. Berikut ini diberikan beberapa contoh terkait jenis-jenis homomorfisma. 1. Diperhatikan kembali homomorfisma f : T 2 2 (Z) Z pada Contoh 3.1.2 (1). Untuk setiap a Z, dapat ditemukan matriks A = a 1 T 2 2 (Z) 0 1 sedemikian sehingga f(a) = a. Dengan demikian f bersifat surjektif, sehingga homomorfisma f merupakan epimorfisma dari ring T 2 2 (Z) ke Z. Perhatikan bahwa untuk P = 2 1, Q = 2 3 T 2 2 (Z) 0 1 0 3 diperoleh f(p ) = 2 dan f(q) = 2. Dengan demikian homomorfisma f tidak bersifat injektif, sehingga f bukan monomorfisma ring. 2. Diberikan homomorfisma h dari ring Z ke ring M 2 2 (Z) dengan definisi h (z) = z 0, 0 0 untuk setiap z Z. Diambil sebarang a, b Z dengan h(a) = h(b). Perhatikan bahwa a 0 = h(a) = h(b) = b 0. 0 0 0 0 25

Dari kesamaan dua matriks, berakibat a = b. Dengan demikian diperoleh kesimpulan homomorfisma h bersifat injektif, sehingga h merupakan monomorfisma dari ring Z ke ring M 2 2 (Z). Perhatikan bahwa terdapat I 2 = 1 0 M 2 2 (Z) 0 1 sedemikian sehingga untuk setiap z Z, h(z) I 2. Dengan demikian homomorfisma h tidak bersifat surjektif, sehingga h bukan epimorfisma ring. 3. Diperhatikan kembali homomorfisma ϕ : C R pada Contoh 3.1.2 (3). Diambil sebarang a + bi, x + yi C sedemikian sehingga ϕ(a + bi) = ϕ(x + yi). Karena ϕ(a + bi) = ϕ(x + yi), diperoleh a b = x y b a y x dan berakibat a = x dan b = y. Dengan demikian a + bi = x + yi, yang berarti ϕ bersifat injektif. Diambil sebarang A = r s R, berarti r, s R. s r Dibentuk c = r + si, maka jelas bahwa c C. Selanjutnya diperhatikan bahwa ϕ(c) = ϕ(r+si) = A. Oleh karena itu, ϕ bersifat surjektif. Jadi, homomorfisma ϕ bersifat bijektif, sehingga ϕ merupakan isomorfisma dari ring C ke ring R. Akibatnya, ring C isomorfis dengan ring R dan dapat ditulis dengan C = R. Berikut ini merupakan sifat-sifat elementer dari homomorfisma ring. Teorema 3.1.4. Diberikan homomorfisma f dari ring R 1 ke ring R 2. Sifat-sifat berikut ini berlaku. (i). f(0 R1 ) = 0 R2. (0 R1 := elemen nol di R 1 dan 0 R2 := elemen nol di R 2 ) (ii). f( r) = f(r) untuk setiap r R. Misalkan R 1 mempunyai elemen satuan 1 R1 dan f bersifat surjektif. (iv). R 2 mempunyai elemen satuan, yaitu f(1 R1 ). 26

(v). Jika r R 1 mempunyai invers terhadap perkalian di R 1, maka f(r) juga mempunyai invers terhadap perkalian di R 2, yaitu Bukti. (sebagai latihan) (f(r)) 1 = f(r 1 ). Misal diberikan sebarang homomorfisma ring f : R R. Karena f merupakan pemetaan R ke R, maka image dari f, yaitu Im(f) = {f(r) r R}, merupakan himpunan bagian tak kosong dari R. Pertanyaan yang muncul adalah apakah Im(f) merupakan subring atau ideal dari R. Teorema 3.1.5. Diberikan sebarang homomorfisma ring f : R R. Berlaku sifat-sifat berikut: (i). Im(f) merupakan subring dari R, (ii). Jika R adalah ring komutatif, maka Im(f) merupakan ring komutatif. Bukti. (sebagai latihan) (Sebagai latihan, cek bahwa Im(f) belum tentu merupakan ideal dari R!) Seperti pada teori grup, untuk sebarang homomorfisma ring dapat didefinisikan kernel. Definisi 3.1.6. Diberikan homomorfisma f dari ring R 1 ke ring R 2. Kernel dari f, dinotasikan ker(f), didefinisikan sebagai himpunan ker(f) = {a R 1 f(a) = 0 R2 }. Contoh 3.1.7. Perhatikan kembali homomorfisma ring f dan h pada Contoh 3.1.2. Perhatikan bahwa ker(f) = a b T 2 2 (Z) f( a b ) = 0 0 c 0 c = a b T 2 2 (Z) a = 0 0 c = 0 b b, c Z 0 c 27

dan ker(h) = {n Z h(nı = 0)} = {n Z n = n} = {n Z n + 6Z = 0 + 6Z} = {n Z n 0 6Z} = {n Z n 6Z} = 6Z. Dari definisi kernel, jelas bahwa ker(f) R 1. Berdasarkan Teorema 3.1.4, mudah dipahami bahwa 0 R1 ker(f) sehingga ker(f). Muncul pertanyaan apakah ker(f) merupakan ideal dari R 1 atau hanya merupakan subring saja. Perhatikan Teorema 3.1.8 di bawah ini. Teorema 3.1.8. Jika f adalah homomorfisma ring dari ring R 1 ke ring R 2, maka ker(f) merupakan ideal dari R 1. Bukti. Jelas bahwa ker(f), sebab 0 R1 ker(f). Tinggal ditunjukkan bahwa untuk setiap x, y ker(f) dan r R berlaku a b ker(f), ra ker(f), dan ar ker(f). (sebagai latihan) Diperhatikan kembali homomorfisma ring f pada Contoh 3.1.2 (2). Homomorfisma ring f tersebut merupakan contoh homomorfisma dari ring Z ke suatu ring faktornya. Secara umum, untuk sebarang ring R dan sebarang ring faktornya, katakan R I, ternyata selalu dapat dibentuk suatu homomorfisma υ : R R I. Lemma 3.1.9. Diberikan sebarang ring R dan ideal I dari R. Dibentuk ring faktor R I dan didefinisikan pengaitan υ : R R I, yaitu untuk setiap r R, υ(r) = r + I. Pernyataan-pernyataan berikut ini berlaku: (i). υ merupakan homomorfisma ring, (Homomorfisma υ disebut homomorfisma natural.) 28

(ii). υ bersifat surjektif, dan (iii). ker(υ) = I. Bukti. (sebagai latihan) Untuk sebarang ideal I dari ring R dapat dibentuk ring faktor R I. Misal diberikan sebarang subring S dari R yang memuat I. Oleh karena itu, I juga merupakan ideal dari S, dan berakibat dapat dibentuk juga ring faktor S I. Mudah dipahami bahwa ring faktor S I merupakan subring dari R I. Teorema di bawah ini menjelaskan adanya korespondensi satu-satu antara himpunan semua subring dari R yang memuat I dan himpunan semua subring dari R I. Teorema 3.1.10. Diberikan sebarang ring R. Jika I adalah ideal dari R, maka terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan semua subring dari R yang memuat I dan himpunan semua subring dari R I. Bukti. Misalkan dan A = {S S adalah subring dari R, I S} B = { K I K } I adalah subring dari R I. Didefinisikan pengaitan f : A B, yaitu untuk setiap S A, f(s) = S I = Im(υ S), dengan υ adalah homomorfisma natural dari S ke S I. Mudah ditunjukkan bahwa f merupakan pemetaan (sebagai latihan). Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa f bersifat injektif (sebagai latihan). Langkah terakhir harus ditunjukkan bahwa f bersifat surjektif. Diambil sebarang T B. Mudah dipahami bahwa υ 1 (T ) A dan f(υ 1 (T )) = T, sehingga f bersifat surjektif. Oleh karena itu, f merupakan korespondensi satu-satu antara A dan B. Misal diberikan homomorfisma ring f : R 1 R 2. Telah kita ketahui bahwa ker(f) merupakan ideal dari R 1. Oleh karena itu dapat dibentuk ring faktor R ker(f). Pada subbab selanjutnya akan dibahas hubungan antara R ker(f) dan Im(f). 29

3.2. Teorema Utama Homomorfisma Ring dan Aplikasinya Berikut ini merupakan teorema yang menjelaskan hubungan antara R ker(f) dan Im(f). Teorema ini dikenal dengan Teorema Utama Homomorfisma Ring (TUHR). Teorema 3.2.1. Jika f adalah homomorfisma dari ring R 1 ke ring R 2, maka R ker(f) = Im(R 1 ). Bukti. Akan ditunjukkan terdapat suatu homomorfisma ring dari R ker(f) ke Im(f). Dibentuk pengaitan ϕ : R ker(f) Im(f), yaitu untuk setiap r + ker(f) R ker(f). Harus ditunjukkan: (sebagai latihan) (a). ϕ merupakan pemetaan, (b). ϕ merupakan homomorfisma ring, (c). ϕ bersifat injektif, dan (d). ϕ bersifat surjektif. Selanjutnya akan diberikan aplikasi dari Teorema Utama Homomorfisma Ring. Misal I dan J masing-masing merupakan ideal dari ring R. Dari pembahasan bab sebelumnya, diperoleh I J dan I + J masing-masing merupakan ideal di R. Mudah dipahami bahwa I J I dan J I + J, sehingga I J merupakan ideal dari I dan J merupakan ideal dari I + J. Akibatnya, dapat dibentuk ring faktor I (I J) dan (I + J) J. Dengan memanfaatkan TUHR dapat ditunjukkan bahwa kedua ring faktor tersebut isomorfis. Perhatikan teorema di bawah ini. Teorema 3.2.2. Diberikan sebarang ring R. Jika I dan J masing-masing merupakan ideal dari R, maka I (I J) = (I + J) J. 30

Bukti. Untuk membuktikan teorema ini dapat memanfaatkan TUHR, yaitu cukup ditunjukkan terdapat suatu homomorfisma f : I (I + J) J yang memenuhi sifat: a). ker(f) = I J b). Im(f) = (I + J) J. Dibentuk pengaitan f : I (I + J) J, yaitu untuk setiap a I, f(a) = a + J. Harus ditunjukkan: (sebagai latihan) (i). f merupakan pemetaan, (ii). f merupakan homomorfisma ring, (iii). ker(f) = I J (iv). Im(f) = (I + J) J. Untuk aplikasi selanjunya, misalkan I dan J masing-masing merupakan ideal dari ring R dengan J I. Dari kedua ideal tersebut dapat dibentuk beberapa ring faktor: (i). R I = {r = r + I r R}, (ii). R J = {r = r + J r R}, dan (iii). I J = {r = r + J r I}. Mengingat I R, diperoleh I J R J. Dapat ditunjukkan bahwa I J merupakan ideal dari R J (sebagai latihan). Oleh karena itu, terbentuk ring faktor ( R J ) ( I J ) = { r = r + I J r R J }. 31

Teorema 3.2.3. Diberikan sebarang ring R. Jika I dan J masing-masing merupakan ideal dari R dengan I J, maka ( R J ) ( I J ) = R I. Bukti. Untuk membuktikan teorema ini dapat memanfaatkan TUHR, yaitu cukup ditunjukkan terdapat suatu homomorfisma f : R J R I yang memenuhi sifat: a). ker(f) = I J b). Im(f) = R I. Dibentuk pengaitan f : R J R I dengan definisi f(r + J) = r + I, untuk setiap r = r + J R J. Harus ditunjukkan: (sebagai latihan) (i). f merupakan pemetaan, (ii). f merupakan homomorfisma ring, (iii). ker(f) = I (iv). Im(f) = R I. J. dan 3.3. Latihan Kerjakan soal-soal latihan berikut ini. 1. Selidiki apakah pemetaan-pemetaan berikut ini merupakan homomorfisma ring. Jika pemetaan tersebut merupakan homomorfisma, maka selidiki juga apakah merupakan isomorfisma. (a). Didefinisikan pemetaan f dari ring Z ke ring 5Z dengan definisi untuk setiap n Z, f(n) = 5n. 32

(b). Diberikan ring (Z, +, ) dan ring (Z, +, ) dengan x + y = x + y 1 dan x y = x + y xy, untuk setiap x, y Z. Didefinisikan pemetaan f dari (Z, +, ) ke (Z, +, ), yaitu untuk setiap n Z, f(n) = 1 n. (c). Diberikan pemetaan dari ring matriks M 2 (Z) ke Z dengan definisi untuk setiap A M 2 (Z), f(a) = det(a). (d). Diberikan ring (Z, +, ) dan didefinisikan pemetaan f : Z Z, yaitu untuk setiap n Z, f(n) = 3n. (e). Diberikan pemetaan f dari ring faktor Z 8Z dan Z 4Z dengan definisi untuk setiap z + 8Z Z 8Z, f(z + 8Z) = z + 4Z. 2. Diberikan ring Z Z = {(m, n) m, n Z} terhadap operasi yang didefinisikan (m 1, n 1 ) + (m 2, n 2 ) = (m 1 + m 2, n 1 + n 2 ) dan (m 1, n 1 ) (m 2, n 2 ) = (m 1 m 2, n 1 n 2 ), untuk setiap (m 1, n 1 ), (m 2, n 2 ) Z Z. Diberikan juga ring T 2 2 (Z) = a b a, b, c Z 0 c terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Buktikan bahwa pemetaan ϕ : T 2 2 (Z) Z Z a b (a, c) 0 c merupakan epimorfisma dan carilah kernel dari ϕ! 3. Buktikan ring 2Z tidak isomorfis dengan ring 3Z! 4. Buktikan bahwa hanya ada dua homomorfisma dari ring Z ke ring Z! 5. Buktikan bahwa pemetaan f : Z Z dengan definisi f(n) = 3n merupakan homomorfisma grup, tetapi bukan homomorfisma ring! 33

6. Misalkan f : R S adalah homomorfisma ring dan T adalah suatu subring dari S. Buktikan bahwa himpunan {r R f(r) T } merupakan subring di R! 7. Jika g : R S dan f : S T masing-maasing adalah homomorfisma ring, maka buktikan bahwa f g : R T merupakan suatu homomorfisma ring! Selanjutnya, jika f dan g masing-masing adalah isomorfisma ring, maka buktikan bahwa f g juga merupakan suatu isomorfisma ring! 8. Misalkan ϕ : R R adalah homomorfisma ring dan a R, a R sedemikian sehingga ϕ(a) = a. Buktikan bahwa {x R ϕ(x) = a } = a + ker(ϕ)! 9. Misalkan f adalah suatu homomorfisma dari ring R ke ring R. Buktikan pernyataan-pernyataan berikut ini benar! (a). Jika I adalah ideal dari R, maka f(i) = {f(x) x I} merupakan ideal dari R. (b). Jika I adalah ideal dari R, maka f 1 (I ) = {a R f(a) I } merupakan ideal dari R dan ker(f) f 1 (I ). (c). Jika R adalah ring komutatif, I dan J masing-masing adalah ideal dari R, maka f(i + J) = f(i) + f(j) dan f(ij) = f(i)f(j). 10. Diperhatikan kembali ring R 1 R 2 pada soal Subbab 1.4. no. 3. Misalkan R = R 1 R 2, I = {(r, 0 R2 ) r R 1 }, dan J = {(0 R1, s) s R 2 }. (a). Buktikan I dan J masing-masing merupakan ideal di R! (b). Buktikan R I = R 2 dan R J = R 1! 34