GRUP DARI AUTOMORFISME GRAF BIPARTISI KOMPLIT TRY AZISAH NURMAN Jurusan Matematik Fakultas Sains Teknologi, UINAM chicha_chirwan@yahoo.com Info: Jurnal MSA Vol. No. Edisi: Januari Juni 0 Artikel No.: Halaman: 77-80 ISSN: 55-08X Prodi Matematika UINAM ABSTRAK Grup dari automorfisme suatu graf G adalah himpunan semua automorfisme membentuk grup dibawa operasi komposisi, dengan automorfisme dari suatu graf merupakan ishomorfisme dari graf G ke dirinya sendiri. Adapun graf yang akan dicari automorfismenya yaitu graf yang merupakan graf dengan titik-titiknya bisa dipartisi ke dalam partisi, dimana tiap titik dari suatu partisi dihubungkan ke setiap titik-titik pada partisi lain. Banyaknya automorfisme graf dapat ditentukan dengan menggunakan rumus untuk k m, n m! n! m! n!, untuk. Himpunan dari automorfisme graf merupakan grup karena memenuhi keempat sifat dari grup. Karena grup permutasi orde n ( ) adalah n! maka bentuk grup dari S n automorfisme graf adalah Sm S n untuk.. Sm S n Kata Kunci: grup, automorfisme, untuk,. PENDAHULUAN Aljabar abstrak dari matematika yang memuat tentang grup yang mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan nyat bilangan kompleks terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan nyat bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Teori grup memungkinkan sifat-sifat ini berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, hasilnya dapat diterapkan secara luas. Cabang matematika lainnya seperti matematika diskrit yang membahas tentang graf yang saat ini semakin berkembang menarik karena keunikan banyak sekali penerapannya diantaranya dalam menyelesaikan, mencari sebuah jalan terpendek, postman problem yaitu menentukan jarak terdekat yang dilalui oleh seorang tukang pos. Teori graf merupakan salah satu big matematika yang diperkenalkan pertama kali oleh ahli matematika asal Swiss, Leonardo Euler pada tahun 76. Keunikan teori graf adalah kesederhanaan pokok bahasan yang dipelajariny karena dapat disajikan sebagai titik sisi. Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan ( V, E), ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidakkosong dari titik-titik E adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang titik. Dalam penelitian ini graf yang akan dibahas adalah graf. Pada artikel, penulis membahasa graf bipartisi komplit, dimana graf tersebut merupakan graf yang titik-titiknya dapat dipartisi ke dalam bagian, dimana tiap titik dari bagian dihubungkan ke bagian yang lain, hal itu sangat menarik untuk diteliti grup automorfismenya dengan graf yang dapat dipartisi menjadi bagian.. KAJIAN TEORITIS Operasi Biner Misalkan G himpunan tidak kosong, fungsi dari ke G G ke G mengaitkan setiap pasangan berurutan ( b) G G dengan suatu pasangan di G (yaitu a* b G), maka * dikatakan operasi biner (komposisi biner) pada G. Dengan 76
Jurnal MSA Vol. No. Ed. Jan-Juni 0 demikian, operasi * pada himpunan tidak kosong G adalah operasi biner jika hanya jika: a G, a *, jadi operasi biner merupakan operasi tertutup yang didefinisikan pada himpunan tidak kosong. Definisi. (i) Asosiatif, jika ( a * b)* c a *( b* c), c G (ii) Komutatif, jika a* b b* (iii) Mempunyai unsur identitas, jika ada sehingga e* a a* e a a G (iv) Setiap anggota mempunyai invers di G, jika sehingga a a a * * a e (v) Operasi * pada G dikatakan memenuhi hukum pencoretan kiri, jika a * b a* c mengakibatkan untuk setiap a G ada a G b c e G, (vi) Operasi * pada G dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan, jika b* a c* mengakibatkan b c, untuk setiap (vii) Anggota e G dikatakan identitas kiri di jika a * e a G (viii) jika e identitas kanan di G, maka elemen b G, dikatakan invers kanan dari a G, jika a* b e (ix) Operasi * dikatakan distributif kiri terhadap jika a ( b * c) ( a b )*( a c), G, Operasi * dikatakan distributif kanan terhadap jika. Grup Asal-usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (80), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara kongkrit, dalam bentuk permutasi. Beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori bentuk-bentuk kuadrat. Permutasi Notasi Permutasi Misalkan S = a,... a n yaitu himpunan terhingga yang memiliki n anggota berbed misalkan suatu permutasi, maka permutasi dapat dinotasikan sebagai berikut, f : S S a f f ( a ) a f ( a )...... a n f ( a n ) Baris yang atas merupakan dengan asal (domain) baris yang bawah merupakan kawannya. Komposisi Permutasi Misalkan f g permutasi berderajat n yang didefinisikan pada himpunan S yang mempunyai n anggota berbeda. Sesuai dengan definisi, f g merupakan fungsi satu-satu onto dari S ke S. oleh karena itu. Fungsi komposisi (g f) atau (f g) yang didefinisikan S sebagai berikut. Notasi Cycle (g f ) (x)= g(f(x)) x S (f g ) (x)= f(g(x)) x S Notasi Cycle adalah bentuk notasi dari suatu bentuk permutasi berdasarkan pada pemetaan perputaran Cycle. Grup Permutasi Suatu grup yang elemen-elemennya merupakan permutasi dengan operasi komposisi disebut grup permutasi. Secara khusus, jika sekumpulan permutasi dari suatu himpunan S yang tidak kosong (nonempty) merupakan sebuah grup dengan operasi komposisi fungsi ( ), maka S disebut grup permutasi atau disebut grup simetri pada S. Jika orde dari S adalah n, maka grup simetri ini dapat ditulis Sn. Graf Definisi Graf Graf G adalah pasangan himpunan (V, E) dengan V adalah himpunan tidak kosong berhingga dari objek-objek yang disebut sebagai titik E adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di V yang 77
Jurnal MSA Vol. No. Ed. Jan-Juni 0 disebut sebagai sisi. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) himpunan sisi dinotasikan dengan E(G). Ishomorfisme Graf G G Graf adalah isomorfik jika terdapat fungsi satu-satu onto pada f dari titik-titik G ke titik-titik pada G fungsi satu-satu pada g dari titik-titik pada, sehingga sebuah sisi incident pada f(v) di G f(w) di G. Pasangan fungsi f g disebut isomorfisme dari. Automorfisme Graf G G G sisi-sisi pada G Automorfisme pada suatu graf G adalah isomorfisme dari graf G ke G sendiri. Dengan kata lain, automorfisme graf G merupakan suatu permutasi dari himpunan titik-titik V(G) atau sisi-sisi dari graf G, E(G) yang menghasilkan graf yang isomorfik dengan dirinya sendiri. Jika adalah suatu automorfisme dari G ke G v V(G) maka untuk mencari automorfisme pada suatu graf, biasanya dilakukan dengan menentukan semua kemungkinan fungsi yang satu-satu, onto, isomorfisme dari himpunan titik pada graf tersebut. Misalkan diberikan graf G seperti dibawah ini. Gambar.: Graf G Graf Bipartisi Komplit Sebuah graf G dikatakan bipartisi jika titik V nya dapat dipartisi kedalam dua himpunan bagian M N sedemikian sehingga setiap sisi dari G menghubungkan sebuah titik dari M ke sebuah titik dari N. Dengan sebuah graf bipartisi komplit, dapat diartikan bahwa setiap titik dari M dihubungkan ke setiap titik dari N, graf ini dinyatakan dengan K, dimana m adalah jumlah m n titik di M n adalah jumlah titik di N. Tabel Cayley Tabel Cayley adalah merupakan salah satu cara untuk mendefinisikan operasi biner pada himpunan, khususnya himpunan berhingga. Apabila G = {i, c, } dengan i, b elemen yang tidak didefinisikan pada objek tertentu dilengkapi oleh suatu operasi biner *, yang memenuhi semua sifat grup, maka (G, *) adalah grup abstrak. Grup ini merupakan pola bagi grup lainny abstrak dari elemenelemen operasi tertentu. Eleman identitas dalam grup abstrak tersebut dinyatakan dengan i. Operasi biner pada grup abstrak didefinisikan dengan Tabel Cayley. Apabila G = {i, c, d}, (G, *) disebut grup abstrak ordo 5. dengan operasi biner * dalam tabel Cayley adalah sebagai berikut: Tabel.: Tabel Cayley (G,*) grup. * i a b c d i i a b c d a a b c d i b b c d i a c c d i a b d d i a b c Pada tabel tersebut, setiap anggota hanya muncul satu kali pada tiap baris tiap kolom memenuhi sifat grup. Grup dari Automorfisme Graf Sederhana Himpunan semua automorfisme graf G, dinotasikan dengan Aut(G), membentuk grup di bawah operasi komposisi fungsi yang dinotasikan dengan Aut(G).. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada graf k, banyak automorfisme dari graf tersebut ke dirinya sendiri adalah sebanyak fungsi. Pada graf k, banyak automorfisme dari graf tersebut ke dirinya sendiri adalah sebanyak 8 fungsi. Pada graf k, banyak automorfisme dari graf tersebut ke dirinya sendiri adalah sebanyak fungsi. Pada graf 78
Jurnal MSA Vol. No. Ed. Jan-Juni 0 k, banyak automorfisme dari graf tersebut ke dirinya sendiri adalah sebanyak 8 fungsi. Segkan pada graf k, banyak automorfisme dari graf tersebut ke dirinya sendiri adalah sebanyak 6 fungsi. Pada graf k, banyak automorfisme dari graf tersebut ke dirinya sendiri adalah sebanyak fungsi. Pada graf k, banyak automorfisme dari graf tersebut ke dirinya sendiri adalah sebanyak 7 fungsi. Pada graf k, banyak automorfisme dari graf tersebut ke dirinya sendiri adalah sebanyak fungsi. Berdasarkan tabel.9 dapat dijelaskan bahwa graf k,memiliki diperoleh berdasarkan rotasi antara titik titik yang dinotasikan sebagai ()() ( ), segkan titik tidak melakukan rotasi dengan titik manapun sehingga titik hanya dipetakan terhadap dirinya sendiri sehingga dapat dibentuk bahwa banyaknya automorfisme untuk untuk graf k, adalah. Untuk graf memiliki 8 k, diperoleh berdasarkan rotasi antara titik titik rotasi antara titik titik yang juga membentuk notasi, kemudian dirotasi kembali antara titik dengan titik sehingga menghasilkan notasi baru untuk setiap rotasi antara titik dengan titik dengan sehingga dapat dibentuk bahwa banyaknya automorfisme untuk untuk graf k, adalah. Untuk graf k, memiliki automorfisme dimana automorfisme tersebut diperoleh berdasarkan rotasi antara titik titik yang menghasilkan notasi rotasi antara titik, 5 yang menghasilkan 6 notasi, sehingga untuk graf k, adalah 6. Untuk graf k, memiliki 8 diperoleh berdasarkan rotasi antara titik titik yang menghasilkan notasi rotasi antara titik,, 5 6 yang menghasilkan notasi, sehingga dapat dibentuk bahwa banyaknya automorfisme untuk graf bipartisi komplit. k, adalah Untuk graf k, memiliki 6 diperoleh berdasarkan rotasi antara titik, yang menghasilkan 6 notasi yaitu ()()(),()( ),( )(),( )(),( ) ( ) segkan titik tidak melakukan rotasi dengan titik manapun, sehingga dapat dibentuk bahwa banyaknya automorfisme untuk graf k, adalah 6. Untuk graf k, memiliki automorfisme dimana automorfisme tersebut diperoleh berdasarkan rotasi antara titik, yang menghasilkan 6 notasi rotasi antara titik 5 yang menghasilkan notasi, sehingga untuk graf Untuk graf k, adalah 6. k, memiliki 7 diperoleh berdasarkan rotasi antara titik, juga rotasi antara titik, 5 yang juga membentuk 6 notasi, kemudian dirotasi kembali antara titik,, dengan titik, 5 sehingga menghasilkan notasi baru untuk setiap rotasi antara titik, juga titik,5 6 sehingga untuk graf Untuk graf k, adalah 6 6. k, memiliki diperoleh berdasarkan rotasi antara titik, yang menghasilkan 6 notasi rotasi antara titik,5,6 7 yang menghasilkan notasi, sehingga dapat dibentuk bahwa banyaknya automorfisme untuk graf k, adalah 6.. KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Adapun bentuk umum dari grup automorfisme graf k, adalah m n a. Sm Sn untuk 79
Jurnal MSA Vol. No. Ed. Jan-Juni 0 Saran b. Sm S n untuk m=n Hasil yang diperoleh hanyamengkaji salah satu graf partisi n komplit, yang terbatas pada partisi. Oleh karena itu penulis menyarankan agar pembaca mencoba untuk mengkaji graf partisi n komplit dengan partisi yang lebih besar dapat membuat program untuk menentukan suatu automorfisme. 5. Daftar Pustaka Abdussakkir,.Teori Graph. Penerbit: UIN- Malang Press, 009. Budayasa I Ketut,.Teori Graph Aplikasinya. Penerbit: Unesa University Press 007. Viii, 5 hal.,lllus,. Damayanti, Reni try, Jurnal cauchy@yahoo.com, (vol, no ; 0), ISSN: 086 08. (diakses tanggal 7 Januari 0) Darminto, Priyo Bambang. Grup Permutasi, Grup Dihedral.(http://wwwgroup.dcs.st.and.ac.uk/~history/.). (diakses Tanggal november 0). Jek, Jong Siang, Matematika Diskrit Aplikasinya Pada Komputer. Yogyakarta: Andi, 009 Johnsonbaugh, Richard,.Matematika Diskrit. Jakarta: Prenhallindo,998 Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit. Bandung: Informatik 005 Seymour Lipschuts, Marc Lars Lipson. Matematika Diskrit. Jakarta: Salemba Teknik 00. Tahmir, Suradi, Teori grup.makassar: Andira Publisher, 00. Wibisono, Samuel. Matematika Diskrit. Penerbit: Graha Ilmu, 008 80