BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF

BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF Pada bagian ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan definisi sebagai landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi digraph, digraph dwiwarna, terhubung kuat, primitifitas, eksponen dan eksponen titik digraph dwiwarna yang dirujuk dari Brualdi dan Ryser (1991). 2.1 Definisi Pada sub-bab ini akan diberikan beberapa definisi tentang digraph dan digraph dwiwarna serta notasi-notasi yang akan dipergunakan dalam pembahasan selanjutnya. 2.1.1 Digraph Secara sederhana graph adalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang dihubungkan oleh garis. Jika segmen garis tersebut diberi arah maka hal yang demikian disebut dengan digraph. Formalnya, digraph adalah objek yang terdiri dari dua himpunan yaitu : 1. Himpunan berhingga tak kosong V = {v 0, v 1,..., v m } yang elemen-elemen dari himpunan V disebut verteks atau titik dari digraph D. 2. Himpunan E yakni himpunan bagian dari pasangan berurut V XV dengan semua titik tidak harus berbeda dan elemen-elemenya disebut arc dari digraph D. Jika diberikan α = (u, v) adalah suatu arc di D, maka titik u disebut sebagai titik awal dan titik v sebagai titik akhir. Suatu arc (u, v) dapat juga digambarkan 6

7 sebagai u v yang menghubungkan titik u dan v. Contoh 2.1.1 Himpunan titik V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } bersamaan dengan himpunan arc E = {v 1 v 4, v 4 v 4, v 4 v 1, v 4 v 3, v 3 v 2, v 2 v 1, v 1 v 1 } adalah suatu digraph dengan 4 titik dan 7 arc, dinotasikan dengan D(4, 7). Representasi grafis digraph tersebut diperlihatkan seperti pada Gambar 2.1 berikut ini. Gambar 2.1 Digraph dengan 4 titik dan 7 arc Andaikan D adalah sebuah digraph. Misalkan u dan v adalah titik di D. Suatu walk dengan panjang l dari u ke v adalah suatu barisan arc dalam bentuk u = v 0 v 1 v l 1 v l = v Dengan l > 0, v 0 = u dan v l = v. Walk tersebut adalah tertutup jika u = v dan walk disebut terbuka jika u v. Cycle adalah suatu path tertutup uv dan loop adalah sebuah cycle yang panjangnya satu. Dengan menggunakan digraph pada contoh 2.1.1 akan dijelaskan beberapa definisi diatas. a. Barisan arc v 1 v 4 v 1 v 4 v 3 v 2 v 1 adalah sebuah walk tetapi bukan path karena ada perulangan titik v 1. b. Barisan arc v 1 v 4 v 3 v 2 adalah sebuah path terbuka. c. Barisan arc v 1 v 4 v 3 v 2 v 1 adalah sebuah path tertutup dan disebut juga dengan cycle. d. Dan v 1 v 1 dan v 4 v 4 adalah loop.

8 2.1.2 Digraph Dwiwarna Andaikan D adalah sebuah digraph atas n titik v 1, v 2,..., v n. Digraph dwiwarna adalah sebuah digraph D yang setiap arcnya diwarnai dengan warna merah atau warna biru dan dinotasikan dengan D (2). Sebuah arc merah (u, v) dinotasikan dengan u r v dan sebuah arc biru (u, v) dinotasikan dengan u b v. Contoh 2.1.2 Himpunan titik V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } bersama dengan himpunan arc merah R = {(v 3, v 4 ), (v 4, v 5 ), (v 5, v 3 ), (v 3, v 3 )} dan himpunan arc biru B = {(v 5, v 1 ), (v 1, v 2 ), (v 2, v 3 )} adalah sebuah digraph dwiwarna D (2) dengan 5 titik, 4 arc merah dan 3 arc biru. Secara grafis, digraph dwiwarna D (2) dapat direpresentasikan dengan cara berikut a. Setiap titik digambarkan dengan lingkaran kecil hitam. b. Setiap arc merah (a, b) digambarkan dengan garis berarah tidak putus-putus dari titik a ke titik b. c. Setiap arc biru (c, d) digambarkan dengan garis berarah putus-putus dari titik c ke titik d. Dengan demikian contoh 2.1.2 dapat diperlihatkan pada gambar berikut. Gambar 2.2 : Digraph dwiwarna 5 titik dan 7 arc Sebuah (g, h)-walk di digraph dwiwarna D (2) adalah walk yang terdiri dari g- arc merah dan h-arc biru. Andaikan w adalah sebuah walk. Banyaknya arc merah dan arc biru yang termuat di walk w dinotasikan dengan r(w) dan b(w) berturut-turut

dengan panjang walk w adalah l(w) = r(w) + b(w). Vektor komposisi dari walk w. r(w) b(w) 9 disebut sebagai Sebuah path adalah sebuah walk dengan semua titik-titiknya berbeda. Cycle adalah path tertutup dan loop adalah cycle dengan komposisi 1 0 atau 0 1. Berdasarakan definisi tersebut, dari Gambar 2.2 diperoleh a. v 1 b v 2 b v 3 r v 3 r v 4 adalah sebuah walk dengan komposisi 2 2. b. v 1 b v 2 b v 3 r v 4 r v 5 adalah sebuah path terbuka dengan komposisi 2 2. c. v 5 r v 3 r v 4 r v 5 adalah sebuah cycle dengan komposisi 3 0. d. v 3 r v 3 adalah sebuah loop dengan komposisi 1 0. 2.2 Matriks Adjacency Sebuah digraph D atau digraph dwiwarna D (2) atas n titik dapat dinyatakan dalam (0, 1)-matriks, yaitu sebuah matriks dengan entri 0 atau 1. Matriks yang demikian dikenal dengan sebutan matriks adjacency. 2.2.1 Matriks Adjacency Digraph Untuk digraph D atas n titik, matriks adjacency dari D adalah A(D) = [a ij ] dengan ketentuan berikut { 1, jika terdapat arc dari vi ke v j di D a ij = 0, jika sebaliknya

10 Sebagai contoh perhatikan digraph D pada Gambar 2.3 berikut Gambar 2.3 : Digraph dengan 4 titik dan 7 arc matriks adjacency dari digraph pada Gambar 2.3 adalah sebagai berikut 1 1 0 0 0 0 1 0 A(D) = 1 0 1 1 1 2.2.2 Matriks Adjacency Digraph Dwiwarna Pada digraph dwiwarna D (2), matriks adjacency dari D (2) terbagi atas dua buah matriks adjacency yakni, matriks adjacency untuk arc merah, R = [r ij ] dan matriks adjacency untuk arc biru, B = [b ij ] yang masing-masing orde n dengan ketentuan berikut dan { 1, jika terdapat arc merah dari vi ke v j di D (2) r ij = 0, jika sebaliknya { 1, jika terdapat arc biru dari vi ke v j di D (2) b ij = 0, jika sebaliknya Dengan demikian, matriks adjacency dari Gambar 2.2 pada contoh 2.1.2 adalah sebagai berikut

11 a. Arc merah dari D (2) pada contoh 2.1.2 adalah {v 3 v 3, v 3 v 4, v 4 v 5, v 5 v 3 }. Sehingga matriks adjacency arc merah R = [r ij ] dari D (2) tersebut adalah 0 0 0 0 R = 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 b. Arc biru dari D (2) pada contoh 2.1.2 adalah {v 5 v 1, v 1 v 2, v 2 v 3 }. Sehingga matriks adjacency arc biru B = [b ij ] dari digraph dwiwarna D (2) tersebut adalah 0 1 0 0 1 0 0 B = 0 0 0 0 1 0 2.3 Primitifitas Dari Digraph Dwiwarna Terhubung Kuat Pada bagian ini akan dibahas tentang digraph dan digraph dwiwarna terhubung kuat serta primitifitasnya. 2.3.1 Digraph Primitif Sebuah digraph D disebut terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik u dan v terdapat walk dari titik u ke v dan walk dari titik v ke u, sebaliknya digraph D disebut tidak terhubung kuat jika terdapat sembarang satu titik atau lebih sehingga tidak terdapat walk dari u ke v. Berikut ini diberikan contoh digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.

12 Contoh 2.3.1 Representasi dari dua buah digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat. Gambar 2.4 : Digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat Gambar 2.4 menunjukan bahwa (a) adalah terhubung kuat karena terdapat walk dari satu titik ke titik lainya, sedangkan (b) tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v 1 ke v 2. Misalkan himpunan C = {γ 1, γ 2,..., γ t } adalah himpunan semua cycle-cycle yang terdapat pada digrap D dengan panjang dari cycle-cycle tersebut dinotasikan dengan l(γ i ), i = 1, 2,..., t. Digraph terhubung kuat D disebut primitif jika gcd(l(γ i )) = 1, sebaliknya digraph D disebut tidak primitif jika gcd(l(γ i )) 1 (Brualdi dan Ryser, 1991). Berikut ini diberikan representasi grafis digraph yang terhubung kuat dan primitif. Contoh 2.3.2 Representasi dari digraph terhubung kuat atas 5 titik dan 6 arc. Gambar 2.5 : Digraph terhubung kuat dan primitif

13 Digraph D pada Gambar 2.5 adalah terhubung kuat yang terdiri dari dua cycle, yaitu cycle γ 1 = v 1 v 2 v 3 v 5 v 4 v 1 dengan l(γ 1 ) = 5 dan cycle γ 2 = v 4 v 3 v 5 v 4 dengan panjang l(γ 2 ) = 3. Sehingga gcd(l(γ 1 ), l(γ 2 )) = gcd(5, 3) = 1. Karena gcd(l(γ 1 ), l(γ 2 )) = 1, oleh definisi dapat disimpulkan bahwa digraph D adalah primitif. 2.3.2 Digraph Dwiwarna Primitif Sebuah digraph dwiwarna D (2) adalah terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik u dan v di D (2) terdapat walk dari titik u ke titik v dan walk dari titik v ke titik u tanpa memperhatikan warna setiap arc yang dilalui. Perhatikan contoh digraph dwiwarna D (2) terhubung kuat dan digraph dwiwarna D (2) tidak terhubung kuat berikut Contoh 2.3.3 Representasi dari digraph dwiwarna terhubung kuat Gambar 2.6 : Digraph dwiwarna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat Gambar 2.6 memperlihatkan bahwa (a) adalah digraph dwiwarna D (2) terhubung kuat karena terdapat walk dari satu titik ke titik yang lain dan (b) adalah digraph dwiwarna D (2) yang tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v 1 ke v 2. Sebuah digraph dwiwarna terhubung kuat D (2) disebut primitif jika terdapat bilangan tak negatif g dan h sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D (2) terdapat (g, h)-walk dari u ke v. Andaikan C = {γ 1, γ 2,..., γ t } adalah himpunan semua cycle-cycle yang terdapat di D (2) dan didefinisikan M sebagai matriks cycle dari D (2)

14 orde 2 t dengan setiap kolom ke-i dari M merupakan komposisi dari cycle-cycle γ i, i = 1, 2,..., t seperti berikut [ ] r(γ1 ) r(γ 2 ) r(γ t ) M =. b(γ 1 ) b(γ 2 ) b(γ t ) Sebuah digraph dwiwarna D (2) adalah primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 2 dari M adalah ±1 (Fonarsini dan Valcher, 1997). Lemma 2.3.1 Andaikan D (2) adalah digraph dwiwarna terhubung kuat dengan paling sedikit satu arc setiap warna. Misalkan M adalah matriks cycle dari D (2). Digraph D (2) adalah primitif jika dan hanya jika content dari matriks M adalah 1. Contoh 2.3.4 Representasi digraph dwiwarna terhubung kuat dan primitif Gambar 2.7 : Digraph dwiwarna primitif. Digraph dwiwarna D (2) pada Gambar 2.7 adalah terhubung kuat yang terdiri b r r r r dari cycle v 1 v 5 v 4 v 3 v 2 v 1 dengan komposisi 4 1 dengan komposisi 1, maka matriks cycle dari D (2) adalah M = 0 dan loop v 1 r v 1 1 4 0 1 dengan det (M) = 1. Oleh karena det (M) = 1, maka digraph dwiwarna terhubung kuat D (2) adalah primitif. 2.4 Matriks Tak Negatif dan Eksponen Digraph Dwiwarna Berikut ini akan dibahas pengertian matriks tak negatif dan hubungannya dengan

15 Digraph dwiwarna D (2). 2.4.1 Matriks Tak Negatif Matriks tak negatif A merupakan sebuah matriks yang setiap entri-entri a ij dari A adalah bilangan bulat tak negatif, sebaliknya jika setiap entri-entri a ij dari matriks A adalah bilangan bulat positif maka matriks tersebut disebut matriks positif. Perhatikan dua buah matriks berikut ini 5 0 1 11 2 1 N = 3 1 7, matriks tak negatif; P = 3 1 8, matriks positif. 0 2 0 1 4 1 2.4.2 Eksponen Digraph Eksponen dari sebuah digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang k dan dinotasikan dengan exp(d). Proposisi 2.4.1 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri a k ij dari A k menyatakan banyak walk dari v i ke v j yang panjangnya k di digraph D. Bukti. Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap entri (i, j) dari A menyatakan arc dari titik v i ke v j di digraph D. Ini mengakibatkan jika k = 1, maka setiap entri a 1 ij dari A 1 menyatakan walk dari titik v i ke v j dengan panjang 1. Andaikan setiap entri a (k) ij dari A k menyatakan banyaknya walk dari titik v i ke v j yang panjangnya k di D, untuk k 1. Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa a (k+1) ij adalah banyaknya walk dari v i ke v j dengan panjang k + 1 di D dengan k 1.

16 Perhatikan setiap walk dari titik v i ke v j di D dengan panjang k+1 yang terdiri dari walk v i ke v l dengan panjang k untuk l = 1, 2,..., n, dan dilanjutkan dengan arc dari titik v i ke v j, sehingga a (k) il a ij menyatakan walk dengan panjang k+1 dari titik v i ke v j di D untuk k = 1, 2,..., n. Jika tidak terdapat walk yang panjangnya k dari titik v i ke v j di D, maka a (k) il = 0 sehingga a (k) il a ij = 0. Hal ini berakibat tidak terdapat walk yang panjangnya k +1 dari titik v i ke v j melalui titik v l di D sehingga diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1 dari titik v i ke v j di D adalah a (k) i1 a 1j + a (k) i2 a 2j +... + a (k) in a nj = n a k il a lj i=1 karena A k+1 = A k A maka Sehingga a (k+1) ij a (k) ij = n a k il a lj i=1 adalah benar menyatakan banyaknya walk dari titik v i ke titik v j yang panjangnya k + 1 di D. Berikut ini diberikan contoh dari sebuah digraph yang akan dicari eksponennya dengan menggunakan proposisi 2.4.1. Contoh 2.4.1 Representasi digraph dengan 3 titik dan 6 arc. Gambar 2.8 : Digraph dengan 3 titik dan 6 arc. Matriks adjacency dari digraph pada Gambar 2.8 adalah sebagai berikut 1 1 0 A = 0 1 1 1 0 1

17 Berdasarkan proposisi 2.4.1, banyaknya walk dari titik v i ke titik v j dengan panjang k dinyatakan oleh entri a k ij dari matriks A k yang semuanya positif. Eksponen dari digraph D adalah bilangan positif terkecil k yang mengakibatkan matriks A k positif. Perhatikan matriks berikut. 1 1 0 a. Untuk k = 1; diperoleh A 1 = 0 1 1 1 0 1 Bukan eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1, karena tidak terdapat walk dengan panjang 1 dari titik 1 ke titik 3, titik 2 ke titik 1 dan titik 3 ke titik 2. 1 2 1 b. Untuk k = 2; diperoleh A 2 = 1 1 2 2 1 1 Karena terdapat walk dengan panjang 2 dari tiap pasang titik yang ada di D, maka eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1 adalah exp(d) = 2. 2.4.3 Eksponen Digraph Dwiwarna Pada digraph dwiwarna D (2), eksponen dari D (2) didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil g + h dari semua bilangan bulat tak negatif g dan h yang ada sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D (2) terdapat sebuah (g, h)-walk dari u ke v yang terdiri dari g-arc merah dan h-arc biru. Eksponen dari digraph dwiwarna D (2) dinotasikan oleh exp(d (2) ). Andaikan A dan B adalah matiks tak negatif orde m. Untuk bilangan tak negatif g dan h, didefinisikan (g, h)-hurwitz product, (A, B) (g,h) dari A dan B adalah jumlah keseluruhan matriks dari hasil perkalian A sebanyak g kali dan B sebanyak h kali. Sebagai contoh, (A, B) (1,0) = A, (A, B) (0,1) = B, (A, B) (1,1) = AB+BA dan (A, B) (2,2) = A 2 B 2 + ABAB + AB 2 A + BABA + B 2 A 2. Lemma 2.4.1 Jika (R,B) adalah matriks adjacency dari digraph dwiwarna D (2),

18 maka entri (i, j) dari (R, B) (g,h) adalah jumlah (g, h)-walk dari titik u ke v di D (2). Bukti. Lemma 2.4.1 akan dibuktikan dengan induksi pada (g + h) dan (g + h + 1), jika g = 0 maka h = 1 atau jika g = 1 maka h = 0. Jika g = 0 maka entri (i,j) dari (R, B) (0,1) = B adalah walk dengan komposisi 0 1 di D (2). Dengan cara yang sama, jika h = 0 maka (R, B) (1,0) = R adalah walk dengan entri (i, j) menyatakan walk dengan komposisi 1 0 di D (2). Anggap lemma 2.4.1 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif g dan h dengan g +h g +h, akan diperlihatkan untuk g +h+1 juga benar dengan catatan sebagai berikut (R, B) (g+1,h) = R(R, B) (g,h) + B(R, B) (g+1,h 1) dengan induksi matematika entri (i, j) pada R(R, B) (g,h) adalah walk dari v i ke v j yang dimulai dengan arc merah diikuti oleh sebuah (g, h)-walk dan entri (i, j) pada B(R, B) (g+1,h 1) adalah jumlah walk dari v i ke v j yang dimulai dengan sebuah arc biru dan diikuti oleh sebuah (g + 1, h 1)-walk sedemikian sehingga entri (i, j) dari (R, B) (g+1,h) adalah jumlah (g + 1, h)-walk dari i ke j. Perhatikan contoh berikut. Contoh 2.4.2 Reprensentasi D (2) dengan 3 titik, 3 arc merah dan 1 arc biru Gambar 2.9 : Digraph dwiwarna dengan 3 titik dan 4 arc

19 Matriks adjacency merah dan biru dari Gambar 2.9 adalah 1 0 1 R = 1 0 0 dan B = 0 1 0 Berdasarkan Lemma 2.4.1, banyaknya walk dari titik i ke titik j dengan panjang g + h adalah entri (i, j) dari (R, B) (g,h) yang semuanya bernilai positif, dan (g + h) terkecil dari yang demikian adalah eksponen dari matriks (R, B) (g+h). Perhatikan matriks (R, B) (g,h) berikut a. Untuk g + h = 1, maka 1 0 0 1. (R, B) (1,0) = R = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2. (R, B) (0,1) = B = b. Untuk g + h = 2, maka 1 0 0 1. (R, B) (2,0) = R 2 = 1 0 0 1 0 0 2. (R, B) (0,2) = B 2 = 0 1 1 3. (R, B) (1,1) = RB + BR = 0 0 1 c. Untuk g + h = 3, maka 1 0 0 1. (R, B) (3,0) = R 3 = 1 0 0 1 0 0

20 2. (R, B) (0,3) = B 3 = 3. (R, B) (1,2) = RB 2 + B(R, B) (1,1) = 1 1 1 4. (R, B) (2,1) = R(R, B) (1,1) + BR 2 = 0 1 1 0 0 1 d. Untuk g + h = 4, maka 1 0 0 1. (R, B) (4,0) = R 4 = 1 0 0 1 0 0 2. (R, B) (0,4) = B 4 = 3. (R, B) (1,3) = RB 3 + B(R, B) (1,2) = 0 0 1 4. (R, B) (2,2) = R(R, B) (1,2) + B(R, B) (2,1) = 2 1 1 5. (R, B) (3,1) = R(R, B) (2,1) + BR 3 = 1 1 1 0 1 1 d. Untuk g + h = 5, maka 1 0 0 1. (R, B) (5,0) = R 5 = 1 0 0 1 0 0

21 3 1 1 2. (R, B) (4,1) = R(R, B) (3,1) + BR 4 = 2 1 1 1 1 1 Karena terdapat walk dengan panjang 5 dari tiap pasang titik pada digraph dwiwarna D (2), maka eksponen dari digraph dwiwarna D (2) pada Gambar 2.9 adalah exp(d 2 ) = 5, dengan komposisi 4 1 yang terdiri 4 arc merah dan 1 arc biru. 2.5 Eksponen Titik Digraph dan Digraph Dwiwarna Pada sub-bab ini akan dibahas tentang definisi eksponen titik digraph D dan eksponen titik digraph dwiwarna D (2) serta contoh bagaimana menentukan eksponen titik dari digraph D dan digraph dwiwarna D (2). 2.5.1 Eksponen Titik Digraph Misalkan D adalah sebuah digraph primitif atas n titik v 1, v 2,..., v n. Untuk suatu v i di D, i = 1, 2,..., n, eksponen titik v i yang dinotasikan dengan exp D (v i ) adalah bilangan bulat positif terkecil t sehingga terdapat walk dengan panjang t dari v i kesetiap titik di D, dan himpunan eksponen exp D (X) adalah bilangan bulat positif terkecil p sehingga untuk setiap titik v j di D terdapat sebuah walk dari paling sedikit satu titik di X ke v j dengan panjang p. Andaikan D adalah digraph primitif orde n. Jika titik-titik di D adalah (v 1, v 2,..., v n ) sedemikian hingga exp D (v 1 ) exp D (v 2 ) exp D (v n ) maka exp D (v k ) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D, dinotasikan exp D (v k ) (Brualdi dan Liu, 1990).

22 Contoh 2.5.1 Berikut ini akan dicari eksponen titik dari tiap masing-masing titik di digraph D pada Gambar 2.9 dengan asumsi bahwa digraph tersebut tidak diwarnai dengan merah dan biru. Matriks adjacency dari digraph yang demikian adalah 1 0 1 A = 1 0 0 0 1 0 Berdasarkan Proposisi 2.4.1, eksponen titik dari D diperoleh dengan melihat entri a ij dari A k, dengan entri pada baris ke-i harus bernilai positif. Perhatikan matriks A k berikut 1 1 1 a. Untuk k = 2, A 2 = 1 0 1. Karena semua entri pada baris pertama dari 1 0 0 matriks A 2 sudah bernilai positif, maka exp D (v 1 ) = 2. 2 1 1 b. Untuk k = 3, A 3 = 1 1 1. Karena semua entri pada baris kedua dari 1 0 1 matriks A 3 sudah bernilai positif, maka exp D (v 2 ) = 3. 3 1 2 c. Untuk k = 4, A 4 = 2 1 1. Karena semua entri pada baris ketiga dari 1 1 1 matriks A 4 sudah bernilai positif, maka exp D (v 3 ) = 4. Dengan demikian eksponen titik digraph pada Gambar 2.9 tanpa diwarnai dengan warna merah dan biru sudah ditemukan yaitu, exp D (v 1 ) = 2, exp D (v 2 ) = 3, dan exp D (v 3 ) = 4. 2.5.2 Eksponen Titik Digraph Dwiwarna Misalkan D (2) adalah digraph dwiwarna primitif dan V (D (2) ) adalah himpunan semua titik yang ada di D (2) dengan V (D (2) ) = {v 1, v 2,..., v n }. Untuk suatu v i V (D (2) ) dan X V (D (2) ), eksponen titik v i yang dinotasikan oleh exp D (2)(v i ), adalah bilangan bulat positif terkecil p 1 +p 2 sedemikian hingga terdapat sebuah (p 1, p 2 )-walk dari v i ke

23 setiap titik di D (2), dan himpunan eksponen exp D (2)(X) adalah bilangan bulat positif terkecil m 1 +m 2 sehingga untuk setiap titik v j di D (2) terdapat sebuah (m 1, m 2 )-walk dari paling sedikit satu titik di X ke v j. Andaikan D (2) adalah digraph dwiwarna primitif orde n. Jika titik-titik di D (2) adalah (v 1, v 2,..., v n ) sedemikian hingga exp D (2)(v 1 ) exp D (2)(v 2 ) exp D (2)(v k ) maka exp D (2)(v k ) adalah tipe pertama generalisasi eksponen titik ke-k dari digraph dwiwarna D (2) (Gao dan Shao, 2009). Untuk mencari eksponen titik digraph dwiwarna primitif D (2), akan dilakukan dengan operasi (g, h)-matriks Hurwitz Product R dan B yang dapat didefinisikan secara rekurensif. Untuk bilangan bulat tak negatif terkecil g dan h, jika k adalah adalah titik di D (2), maka semua entri pada baris ke-k dari matriks tersebut bernilai positif. Contoh 2.5.2 Berikut ini akan dicari eksponen titik dari masing-masing titik di digraph dwiwarna D (2) pada Gambar 2.9, yaitu dengan melihat entri (i, j) dari (R, B) (g,h) dimana semua entri pada baris ke-i harus bernilai positif. Menggunakan Contoh 2.4.2 telah diperoleh matriks-matriks (R, B) (g,h), perhatikan bahwa 1 1 1 a. Untuk g + h = 3 pada (R, B) (2,1) = R(R, B) (1,1) + BR 2 = 0 1 1. 0 0 1 Karena semua entri pada baris pertama dari matriks (R, B) (2,1) sudah bernilai positif, maka exp D (2)(v 1 ) = 3 dengan komposisi 2 1 yang terdiri dari 2-arc merah dan 1-arc biru. 2 1 1 b. Untuk g + g = 4 pada (R, B) (3,1) = R(R, B) (2,1) + BR 3 = 1 1 1. 0 1 1 Karena semua entri pada baris kedua dari matriks (R, B) (3,1) sudah bernilai

24 positif, maka exp D (2)(v 2 ) = 4 dengan komposisi 3 1 yang terdiri dari 3-arc merah dan 1-arc biru. 3 1 1 c. Untuk g + h = 5 dari (R, B) (4,1) = R(R, B) (3,1) + BR 4 = 2 1 1. 1 1 1 Karena semua entri pada baris ketiga dari matriks (R, B) (4,1) sudah bernilai positif, maka exp D (2)(v 3 ) = 5 dengan komposisi merah dan 1-arc biru. 4 1 yang terdiri dari 4-arc Dengan demikian sudah ditemukan eksponen titik dari digraph dwiwarna D (2) yaitu, exp D (2)(v 1 ) = 3, exp D (2) (v 2 ) = 4, dan exp D (2)(v 3 ) = 5. 2.6 Sistem Persamaan Diophantine Persamaan diophantine adalah suatu persamaan dalam bentuk a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b (1) dengan solusi dari persamaan tersebut adalah bilangan bulat untuk semua bilangan bulat a 1, a 2,..., a n, b. Andaikan bahwa n 1 dan koefisien-koefisien a 1, a 2,..., a n tak semuanya nol. Teorema 2.6.1 Persamaan (1) adalah punya solusi bulat jika dan hanya jika gcd(a 1, a 2,..., a n ) b. Sistem persamaan diophantine adalah himpunan dari m persamaan diophantine dalam n variabel yang sama dengan m dan n adalah bilangan bulat positif seperti

25 berikut a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. (2) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m Sistem persamaan diophantine pada persamaan (2) dapat juga diekspresikan sebagai sebuah persamaan matriks Ax = b, dimana A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n......, x = x 1 x 2., b = b 1 b 2.. a m1 a m2 a mn x n b m Perhatikan bahwa kolom-kolom dari matriks A adalah koefisien-koefisien dari variabel x 1, x 2,..., x n pada persamaan (2). Sistem persamaan diophantine Ax = b adalah punya solusi bilangan bulat jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 2 dari A adalah ±1. 2.7 Formula Eksponen Titik Digraph Dwiwarna dengan Dua Cycle Di bagian ini akan didiskusikan suatu cara untuk menentukan batas atas dan batas bawah eksponen titik digraph dwiwarna primitif. Suwilo (2011) menawarkan suatu teknik untuk menentukan batas atas dan batas bawah eksponen titik digraph dwiwarna primitif yang memuat dua cycle. Pertama sekali akan diberikan suatu teknik untuk menentukan batas bawah eksponen titik digraph dwiwarna primitif pada Lemma 2.6.1 berikut. Lemma 2.7.1 Andaikan D (2) adalah digraph dwiwarna primitif yang memuat dua cycle dengan matrik cycle M = r(γ 1) b(γ 2 ). Misalkan v k adalah sembarang titik b(γ 1 ) r(γ 2 )

26 dari D (2) dan terdapat sebuah (g, h)-walk dari titik v k ke setiap titik v j di D (2) dengan g = M u, maka u M 1 r(p k,j) untuk sembarang bilangan bulat h v v b(p k,j ) tak negatif u, v dan untuk suatu path p (k,j) dari v k ke v j. Bukti. Untuk sembarang j = 1, 2,..., n, misalkan p k,j adalah path dari titik v k ke titik v j. Karena D (2) memuat dua cycle maka setiap walknya dapat didekomposisi kedalam path dan cycle pada persamaan (3) berikut g = M x 1 + r(p k,j) (3) h b(p k,j ) x 2 dengan x 1, x 2 0. Karena D (2) primitif, maka M punya invers. Menggunakan g h = M u v dan persamaan (3) diperoleh persamaan berikut M u = M x 1 + r(p k,j) v x 2 b(p k,j ) M x 1 = M u r(p k,j) x 2 v b(p k,j ) x 1 = u M 1 r(p k,j) 0 x 2 v b(p k,j ) sehingga u M 1 r(p k,j) dan Lemma (2.7.1) terbukti. v b(p k,j ) Berdasarkan informasi yang ada pada pembuktian Lemma (2.7.1), diperoleh teorema berikut ini. Teorema 2.7.1 Andaikan D (2) adalah digraph dwiwarna primitif yang terdiri dari cycle γ 1 dan γ 2. Misalkan v k adalah titik di D (2). Untuk sembarang titik v i dan v j di D (2), definisikan u 0 = b(γ 2 )r(p k,j ) r(γ 2 )b(p k,j ) dan v 0 = r(γ 1 )b(p k,j ) b(γ 1 )r(p k,j ). Maka g M u 0, sehingga exp D (2)(v k ) l(γ 1 )u 0 + l(γ 2 )v 0. h v 0

27 Bukti. Andaikan bahwa eksponen titik v k dicapai oleh (g, h)-walk dengan g h = M u v dan diperoleh persamaan berikut u v M 1 r(p k,j) b(p k,j ) = untuk sembarang path p k,j dari titik v k ke titik v j. b(γ 2)r(p k,j ) r(γ 2 )b(p k,j ) r(γ 1 )b(p k,j ) b(γ 1 )r(p k,j ) (4) Jika untuk sembarang titik v j, j = 1, 2,..., n diperoleh nilai b(γ 2 )r(p k,j ) r(γ 2 )b(p k,j ) 0, maka definisikan u 0 = b(γ 2 )r(p k,j ) r(γ 2 )b(p k,j ) 0 (5) dan jika untuk sembarang titik v i, i = 1, 2,..., n diperoleh nilai r(γ 1 )b(p k,i ) b(γ 1 )r(p k,i ) 0, maka definisikan v 0 = r(γ 1 )b(p k,i ) b(γ 1 )r(p k,i ) 0 (6) sehingga u u 0 dan v v 0. Oleh Lemma (2.6.1) diperoleh g = M u M u 0 (7) h v sehingga exp D (2)(v k ) = g+h (r(γ 1 )+b(γ 1 ))u 0 +(r(γ 2 )+b(γ 2 ))v 0 = l(γ 1 )u 0 +l(γ 2 )v 0. v 0 Proposisi 2.7.1 berikut ini diberikan untuk menentukan batas atas eksponen titik digraph dwiwarna primitif dari sebuah titik yang ditentukan, sebut titik tersebut v. Definisikan d(v k, v) sebagai jarak dari titik v k ke titik v, yakni panjang walk terpendek dari v k ke v. Proposisi 2.7.1 Asumsikan D (2) adalah digraph dwiwarna primitif atas n titik. Misalkan v adalah sebuah titik di D (2) dengan exp D (2)(v). Untuk sembarang titik v k, k =

28 1, 2,..., n di D (2), exp D (2)(v k ) exp D (2)(v) + d(v k, v). Bukti. Untuk setiap k = 1, 2,..., n misalkan p k,v adalah (r(p k,v ), b(p k,v ))-path dari v k ke titik v dengan panjang d(v k, v). Karena eksponen titik v adalah exp D (2)(v), maka terdapat (g, h)-walk dengan panjang exp D (2)(v) = g + h dari v ke setiap titik v j, j = 1, 2,..., n. Ini menunjukan bahwa setiap titik v k di D (2) terdapat suatu (g + r(p k,v ), h + b(p k,v ))-walk dari titik v k ke setiap titik v j. Walk tersebut berawal dari v k menuju v melalui (r(p k,v ), b(p k,v ))-path dan kemudian menuju v j melalui suatu (g, h)-walk dari v ke v j. Oleh karena itu diperoleh exp D (2)(v k ) exp D (2)(v) + d(v k, v) Proposisi 2.7.2 berikut diberikan untuk menentukan batas atas eksponen titik digraph dwiwarna primitif yang memuat dua cycle. Proposisi 2.7.2 Andaikan D (2) adalah digraph dwiwarna yang terdiri atas cycle γ 1 dan γ 2. Misalkan v k adalah titik di D (2) yang terdapat pada cycle γ 1 dan cycle γ 2. Jika untuk setiap i = 1, 2,..., n dan sembarang bilangan bulat positif g dan h, terdapat path p k,i dari v k ke v i sehingga sistem persamaan Mx + r(p k,i) = g (8) b(p k,i ) h punya solusi bilangan bulat tak negatif, maka exp D (2)(v k ) g + h. Bukti. Misalkan bahwa solusi dari sistem persamaan (8) adalah x = (x 1, x 2 ) T. Karena D (2) adalah primitif, maka matriks cycle M adalah invertible, sehingga x 1 dan x 2 tidak dapat nol kedua-duanya. Karena x 1, x 2 0 dan kedua cycle γ 1 dan γ 2 memuat titik v k, maka terdapat tiga kemungkinan berikut. Jika x 1 > 0 dan x 2 > 0, maka walk dari titik v k ke titik v i akan bergerak sebanyak x 1 kali mengelilingi cycle γ 1 dan bergerak sebanyak x 2 kali mengelilingi cycle γ 2 dan kembali lagi ke titik v k, kemudian terus bergerak menuju titik v i di sepanjang path p k,i adalah sebuah (g, h)-walk dari v k ke v i. Jika x 1 = 0 dan x 2 > 0, maka

29 walk dari titik v k ke titik v i akan bergerak sebanyak x 2 kali mengelilingi cycle γ 2 dan kembali lagi ke titik v k, kemudian terus bergerak menuju titik v i di sepanjang path p k,i adalah sebuah (g, h)-walk dari v k ke v i. Jika x 1 > 0 dan x 2 = 0, maka walk dari titik v k ke titik v i akan bergerak sebanyak x 1 kali mengelilingi cycle γ 1 dan kembali lagi ke titik v k, kemudian terus bergerak menuju titik v i di sepanjang path p k,i adalah sebuah (g, h)-walk dari v k ke v i. Dengan demikian, untuk setiap titik v i, i = 1, 2,..., n terdapat sebuah (g, h)-walk dari v k ke v i, sehingga exp D (2)(v k ) g + h