FAMILI METODE ITERASI DENGAN KEKONVERGENAN ORDE TIGA. Rahmawati ABSTRACT

FAMILI METODE ITERASI DENGAN KEKONVERGENAN ORDE TIGA Rahmawati Mahasiswa Program Studi S Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293 rahma.wati669963@yahoo.com ABSTRACT In this paper, a new iterative method for solving a nonlinear equation is derived. Using Taylor expansion and geometry series, it is shown that the method has a third-order of convergence. Numerical comparisons show that this method can be used as an alternative method for solving a nonlinear equation. Keywords: Nonlinear equation, iterative method, order of convergence ABSTRAK Pada artikel ini diturunkan sebuah metode iterasi dengan satu parameter untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Secara analitik, menggunakan ekspansi Taylor dan deret geometri ditunjukkan bahwa metode iterasi ini memiliki orde konvergensi tiga. Perbandingan numerik dengan metode orde tiga yang sudah dikenal menunjukkan bahwa metode dan dapat dijadikan sebagai metode alternatif dalam menyelesaikan persamaan nonlinear. Kata kunci: Persamaan nonlinear, metode iteratif, orde konvergensi. PENDAHULUAN Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang mengalami perkembangan secara terus-menerus dari tahun ketahun. Berkembangnya ilmu pengetahuan matematika akan mempermudah dalam menyelesaikan suatu permasalahan pada bidang sains khususnya pada metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan suatu persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan menggunakan operasi perhitungan atau aritmatika biasa dan memiliki penerapan dalam semua bidang sains. Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi, perhitungan berulang dari data numerik yang ada. Jika proses iterasi tersebut dilakukan secara manual, akan membutuhkan waktu yang relatif lama dan akan kemungkinan

munculnya nilai kesalahan error. Pada keadaan demikian ini sangat dibutuhkan untuk mengurangi waktu penyelesaian. Atkinson [, h. 68-69] menjelaskan bahwa salah satu metode numerik yang sering digunakan untuk mencari akar hampiran dari suatu persamaan nonlinear adalah metode Newton dengan orde konvergensi dua, yang bentuk umumnya adalah dengan x n = x n fx n, n = 0,, 2,..., f x n f x n 0. Selain metode Newton terdapat beberapa metode lain untuk menyelesaikan persamaan nonlinear, diantaranya metode Ostrowski yang dijelaskan oleh Ostrowski [4, h.253] dan metode Traub yang dikembangkan oleh Traub [7, h.83]. Pembahasan ini merupakan review sebagian dari artikel Ermakov dan Kalitkin [3]. Pada artikel ini di bagian dua dibahas metode iterasi dua langkah dengan satu Parameter dan analisis kekonvergenannya. Kemudian uji komputasi yang dilakukan dibahas pada bagian tiga. 2. METODE ITERASI DUA LANGKAH DENGAN SATU PARAMETER Pada bagian ini dibahas sebuah keluarga iterasi dua titik berparameter tunggal untuk menyelesaikan persamaan nonlinear fx = 0. Metode yang dibahas menggunakan modifikasi metode Newton pada langkah pertama dan didefinisikan sebagai skema bertipe Newton yang mana mempunyai tiga evaluasi fungsi. Secara khusus skema damped Newton disajikan oleh Emakov dan Kalitkin [3] dengan bentuk iterasinya sebagai berikut: dengan fx n x n = x n β n, n = 0,,..., f x n β n = fx n 2 fx n 2 fx n fx n 2. f x n Diketahui skema metode iterasi dua langkah y n = x n α fx n, n = 0,,..., f x n fx n 2 = x n bfx n 2 pfy n 2 x n fx n f x n, 2 dengan α, b dan p adalah parameter. Metode iterasi pada persamaan 2 dinamakan metode parameter MP. Parameter b, dan p dipilih pada metode parameter akan 2

ditentukan sedemikian hingga metode parameter memiliki konvergensi berorde setinggi mungkin. Teorema Analisis kekonvergenan Misalkan f : I R R dinotasikan sebagai interval terbuka yang didefinisikan pada I. Jika x 0 adalah nilai awal yang cukup dekat dengan akar sederhana x dari fx maka fx = 0 dan f α 0. Asumsikan bahwa f mempunyai turunan secukupnya pada I. Maka metode iterasi pada persamaan 2 mempunyai orde konvergensi tiga, dengan parameter b = α 2α 2 2α 2, p =, α / {0, } dan memenuhi persamaan error 2α 2 α e n = 2c 3 e 3 n Oe 4 n. Bukti: Misalkan e n = x n x adalah error pada iterasi ke-n, x adalah akar sederhana dari persamaan nonlinear fx = 0 sehingga fx = 0 dan f x 0. Dengan melakukan ekspansi Taylor dari fx di sekitar x = x sampai orde ketiga dan mengabaikan orde yang lebih tinggi dan mengevaluasi di titik x = x n diperoleh [2, h. 26-27] fx n = fx f x x n x 2! f x x n x 2 3! f x x n x 3 Ox n x 4. 3 Kemudian dengan menggunakan ekspansi Taylor dari fx n dilakukan di sekitar x = x sampai orde ketiga dan mengabaikan orde yang lebih tinggi dan mengevaluasi di titik x = x n diperoleh [2, h. 26-27] fx n = f x e n 2! f x e 2 n 3! f x e 3 n Oe 4 n. 4 Selanjutnya dengan memfaktorkan f x pada persamaan 4 diperoleh fx n = f x e n f x 2! f x e2 n f x 3! f x e3 n Oe 4 n, atau fx n =f x e n C 2 e 2 n C 3 e 3 n Oe 4 n, 5 dengan C 3 = f j x j! 5 diperoleh f x, j = 2 dan 3. Selanjutnya dengan menggunakan persamaan fx n 2 = f x 2 e 2 n 2C 2 e 3 n Oe 4 n. 6 Dengan menggunakan ekspansi Taylor dari f x dilakukan di sekitar x = x sampai orde ketiga dan mengabaikan orde yang lebih tinggi dan mengevaluasi di titik x = x n diperoleh [2, h. 26-27] 3

f x n = f x f x x n x 2! f x x n x 2 3! f 4 x x n x 3 Ox n x 4. 7 Karena e n = x n x, persamaan 7 dapat ditulis menjadi f x n = f x f x e n 2! f x e 2 n 3! f 4 x e 3 n Oe 4 n. 8 Selanjutnya dengan memfaktorkan f x pada persamaan 8 diperoleh f x n = f x f x f x f x e n 2! f x e2 n f 4 x 3! f x e3 n Oe 4 n, atau f x n = f x 2C 2 e n 3C 3 e 2 n 4C 4 e 3 n Oe 4 n. 9 Jika persamaan 6 dibagi dengan persamaan 9 diperoleh fx n f x n = e n C 2 e 2 n C 3 e 3 n Oe 4 n 2C 2 e n 3C 3 e 2 n 4C 4 e 3 n Oe 4 n. 0 Untuk menyederhanakan persamaan 0 digunakan deret geometri dengan r = 2C 2 e n 3C 3 e 2 n 4C 4 e 3 n Oe 4 n, sehingga diperoleh [6, h. 500] fx n f x n = fx n f x n, = fx n r, = fx n r r 2 r 3 Or 4, fx n f x n = e n C 2 e 2 n 2C 3 2C 2 2e 3 n Oe 4 n. Dengan mengalikan parameter α pada persamaan diperoleh α fx n f x n =αe n C 2 αe 2 n 2C 3 2C 2 2αe 3 n Oe 4 n. 2 Selanjutnya persamaan 2 disubstitusikan ke langkah pertama dari persamaan 2 dengan x n = e n x sehingga diperoleh y n = x αe n C 2 αc 2 n 2αC 3 2αC 2 2e 3 n Oe 4 n. 3 Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, dengan melakukan ekspansi Taylor dari f x n dilakukan di sekitar x = x sampai orde ketiga dan dievaluasi pada titik x = y n dan setelah disederhanakan diperoleh [2, h. 26-27] 4

fy n = fx f x y n x 2 f x y n x 2 6 f x y n x 3 Oy n x 4. 4 Karena fx = 0, maka persamaan 4 dapat ditulis menjadi fy n = f x αe n C 2 C 2 α 2 C 2 αe 2 n C 3 3C 2 C 3 α 3 αc 3 2C 2 2α 2 e 3 n Oen 4. 5 Kemudian dengan menggunakan persamaan 5 diperoleh fy n 2 = f x 2 2α α 2 e 2 n 2C 2 4C 2 α 4C 2α 2 2C 2 α 3 e 3 n Oe 4 n. 6 Dengan mengalikan parameter b ke persamaan 6 dan p ke persamaan 6, kemudian dengan melakukan penjumlahan diperoleh bfx n 2 pfy n 2 = f x 2 b p 2x x 2 e 2 n 2bC 2 C2C 2 4C 2 x 4C 2 x 2 2C 2 x 3 e 3 n Oe 4 n. 7 Dengan membagi persamaan 6 dengan persamaan 7 menggunakan deret geometri diperoleh [6, h. 500] fx n 2 bfx n 2 pfy n 2 = p 3 b 3 6b 2 pα 3b 3 pα 2 3bp 2 α 4 b p 2pα pα 2 4 2bp 2 α 8bp 2 α 2 2bp 2 α 3 3b 2 p 3bp 2 6p 3 α 5 5p 3 α 2 20p 3 α 3 5p 3 α 4 p 3 α 6 6p 3 α 4p 2 c b p 2pα pα 2 4 2 α 2 b 0p 3 c 2 α 6 0p 3 c 2 α 3 20p 3 c 2 α 4 20p 3 c 2 α 5 2pc 2 α 3 b 2 4p 2 c 2 α 5 b 2p 2 c 2 α 3 b 2p 2 c 2 α 4 b 2pc 2 α 2 b 2 2p 3 c 2 α 7 2p 3 c 2 α 2 e n 20c 2 b p 2pα pα 2 4 2 p 3 α 7 56c 2 2p 3 α 5 6c 2 2p 2 α 5 b 28c 2 2p 2 α 4 b 8c 2 2p 2 α 2 b 4c 2 2pα 3 b 2 4c 2 2p 2 α 6 b 44c 2 2p 3 α 6 4c 2 2p 3 α 8 4c 2 2p 3 α 2 4c 2 2pα 2 b 2 44c 2 2p 3 α 4 24c 2 2p 2 α 3 b 20c 2 2p 3 α 3 e 2 n 5

96p 3 c 3 b p 2pα pα 2 2α 7 44p 3 c 3 2α 5 8p 3 c 3 2α 2 4 40p 3 c 3 2α 8 40p 3 c 3 2α 3 96p 3 c 3 2α 4 44p 3 c 3 2α 6 8b 2 c 3 2pα 3 64bc 3 2p 2 α 4 6bc 3 2p 2 α 6 8b 2 c 3 2pα 2 48bcp 2 α 3 48bc 3 2p 2 α 5 8p 3 c 3 2α 9 6bc 3 2p 2 α 2 e 3 n Oe 4 n. 8 Dengan mengalikan persamaan dan persamaan 8 diperoleh fx n 2 fx n bfx n 2 pfy n 2 f x n = e b p 2pα pα 2 n 2pc 2 b p 2pα pα 2 c 2 2 b p 2pα pα 2 4pc 2 α 2 b p 2pα pα 2 4pc 2 α 2 b p 2pα pα 2 2 2pc 2 α 3 b p 2pα pα 2 2bc 2 e 2 2 b p 2pα pα 2 2 n 2c 3 b p 2pα pα 6p 2 c 2 2α 5 2 b p 2pα pα 2 3 4b 2 c 2 2 b p 2pα pα 2 32p 2 c 2 2α 2 3 b p 2pα pα 2 3 4p 2 c 2 2 b p 2pα pα 2 40p 2 c 2 2α 3 3 b p 2pα pα 2 3 6bc 2 2pα b p 2pα pα 2 2c 2 2b 3 b p 2pα pα 2 2 6bc 2 2pα 2 b p 2pα pα 2 32p 2 c 2 2α 4 3 b p 2pα pα 2 3 4p 2 c 2 2α 6 b p 2pα pα 2 4c 2 2pα 2 3 b p 2pα pα 2 2 2c 2 2pα 3 b p 2pα pα 2 6p 2 c 2 2α 2 b p 2pα pα 2 3 2c 2 2p b p 2pα pα 2 4c 2 2pα 2 b p 2pα pα 2 2 8bc 2 2p b p 2pα pα 2 8bc 2 2pα 3 e 3 b p 2pα pα 2 3 n 3 Oe 4 n. 9 6

Agar persamaan 9 memiliki orde tiga, dari koefisien e n terbukti satu dan e 2 n terbukti nol sehingga e b p 2pα pα 2 n = 20 dan 2pc 2 b p 2pα pα 2 2 c 2 b p 2pα pα 2 4pc 2 α 2 b p 2pα pα 2 2 Dari persamaan 20 diperoleh = b p 2pα pα 2 4pc 2 α b p 2pα pα 2 2pc 2 α 3 2 b p 2pα pα 2 2 2bc 2 = 0. 2 b p 2pα pα 2 2 b = p 2pα pα 2. 22 Selanjutnya persamaan 22 disubstitusikan ke persamaan 2 dengan diperoleh c 2 α 2 α 2α 2 α αα 2α 2α 2 α αα 2α c 2 2c 2 α 2α 2 α αα 2α αα 2c 2 2α 2 α αα αc 2 2α 2c 2 = 0. 23 α 2α 2 α αα 2α Selanjutnya nilai b = α 2α2 dan p =, serta persamaan 20 dan 2α 2 2α 2 α 22 disubstitusikan ke dalam persamaan 23 sehingga diperoleh fx n 2 fx n bfx n 2 pfy n 2 f x n = e n 2C 3 e 3 n Oe 4 n. 24 7

Selanjutnya persamaan 24 disubstitusikan ke langkah ke dua dari persamaan 2 dengan x n = e n x sehingga diperoleh x n = e n x e n 2c 3 e 3 n Oe 4 n. 25 Karena x n x = e n maka persamaan 25 menjadi e n = 2c 3 e 3 n Oe 4 n, 26 Persamaan 26 merupakan persamaan error dari metode parameter. Berdasarkan definisi orde konvergensi [5], dapat disimpulkan bahwa metode parameter memiliki orde konvergensi tiga. 3. UJI KOMPUTASI Pada bagian ini, uji komputasi dilakukan untuk membandingkan metode-metode yang dibahas dalam menemukan akar persamaan nonlinear fx = 0 antara metode Newton MN, metode Ostrowski MO, metode Traub MT dan metode parameter MP. Persamaan nonlinear yang digunakan adalah i f x = x 3 2, ii f 2 x = sinx 2 x, iii f 3 x = cosx x. Untuk mendapatkan solusi numerik dari ketiga contoh fungsi di atas, digunakan toleransi.0 0 25 serta kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang ditentukan untuk setiap metode yang dibandingkan, yaitu jika nilai fx n < toleransi, atau x n x n < toleransi atau jika jumlah iterasi mencapai maksimum iterasi. Hasil komputasi dapat dilihat pada Tabel. 8

Tabel : Perbandingan Uji komputasi untuk MN, MO, MT dan MP f i x 0 Metode n fx n x n x n COC MN 5 7.80e 42.44e 2 2.00.2 MO 3.58e 87.78e 22 4.00 MT 3 4.7e 3 4.e 3.00 MP 3 4.9e 28 3.45e 0 3.00 MN 5.7e 3 2.3e 6 2.00 f.4 MO 4 3.03e 266 3.72e 67 4.00 MT 4 3.5e 69 8.07e 24 3.00 MP 4 3.05e 60 6.68e 2 3.00 MN 5 3.69e 48 9.88e 25 2.00.3 MO 3 5.38e 00.36e 25 4.00 MT 3 7.7e 37 4.93e 3 3.00 MP 3 7.34e 34 4.5e 2 3.00 MN 3 8.9e 30 2.86e 5 2.00.9 MO 6 2.08e 47 2.4e 2 4.00 MT 6 6.55e 36.49e 2 3.00 MP 5.37e 28 3.48e 0 3.00 MN 7.36e 39 3.69e 20 2.00 f 2 3.4 MO 6.34e 28.08e 07 4.00 MT 5 4.08e 42.27e 4 3.00 MP 5 4.97e 27.5e 09 3.00 MN 7.57e 40.25e 20 2.00 3.2 MO 4.3e 39.83e 0 4.00 MT 4.09e 28 3.79e 0 3.00 MP 4 8.2e 45.36e 5 3.00 MN 5 5.34e 32 3.80e 6 2.00.5 MO 3.74e 50 7.98e 3 4.00 MT 4 6.53e 72 3.42e 24 3.00 MP 3 4.23e 34.27e 3.00 MN 8.87e 333 7.2e 67 2.00 f 3.0 MO 3 6.00e 74.09e 8 4.00 MT 3.54e 3 9.8e 3.00 MP 3.25e 30.8e 0 3.00 MN 5.89e 47 7.6e 24 3.00 0.9 MO 3 2.44e 86 8.69e 22 4.00 MT 3 2.26e 36 2.40e 2 3.00 MP 3 3.24e 35 5.37e 2 3.00 Pada Tabel dapat dilihat bahwa dengan fungsi dan tebakan awal yang berbeda, semua metode yang dibandingkan berhasil mencapai akar hampiran yang diharap- 9

kan. Secara umum dari semua contoh persamaan nonlinear yang diberikan dengan tebakan awal yang berbeda, tidak terdapat perbedaan yang signifikan dari semua metode. Dapat disimpulkan bahwa metode Parameter terlihat lebih unggul dari metode Newton, tetapi metode Parameter sebanding dengan metode Ostrowski dan metode Traub dari segi jumlah iterasi. Jadi metode parameter dapat dijadikan sebagai metode alternatif untuk menyelesaikan persamaan nonlinear berdasarkan simulasi numerik beberapa contoh fungsi nonlinear yang didiskusikan. 4. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan pada sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa proses untuk mendapatkan metode iterasi yang dibahas pada skripsi ini adalah dengan memodifikasi metode Newton. Selanjutnya dengan menggunakan ekspansi Taylor diperoleh sebuah metode baru yang disebut dengan metode parameter MP. Selanjutnya secara analitik dengan menggunakan ekspansi Taylor ditunjukkan bahwa metode parameter memiliki orde tiga. Pada simulasi numerik dilakukan uji komputasi untuk empat persamaan nonlinear dengan menggunakan program Maple. Metode yang diuji adalah metode parameter dengan metode pembanding yaitu metode Newton, metode Ostrowski, dan metode Traub. Tebakan awal yang diberikan berpengaruh untuk menentukan akar pendekatan yang dicari, sama dengan metode pembanding. Dapat dilihat melalui simulasi numerik untuk membandingkan keempat metode iterasi yang dibahas pada skripsi ini untuk mencari akar pendekatan suatu persamaan nonlinear. Pada bagian ini terlihat bahwa metode parameter sebanding dengan metode Ostrowski dan metode Traub serta lebih unggul dari metode Newton dari segi jumlah iterasi. Jadi metode parameter dapat dijadikan alternatif dalam menyelesaikan persaman nonlinear. Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [] K. E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, Second Edition John Wiley & Son, New York, 989 [2] R. G. Bartle dan R. D. Shebert, Introduction to Real Analysis, Second Edition., Jhon Wiley & Son, New York, 200. [3] V. V. Ermakov dan N. N. Kalitkin, The optimal step and regularization for newton s method, USSR Computh. Math. Phys, 2 98, 235-242. [4] A. M. Ostrowski, Solution of Equations and Systems of Equations. Academic Press, New York, 966. 0

[5] J. R. Sharma, R. K. Guha dan R. Sharma, Some modified Newton s methods with fourth-order convergence, Advances in Applied Science Research, 2 20, 240-247. [6] J. Stewart, Kalkulus Edisi 5 Buku 2. Terjemahan dari Calculus, Fifth Edition, oleh C. Sungkono, Salemba Teknika, Jakarta, 200. [7] J. F. Traub, Iterative Methods for the Solution of Equations, Prentice-Hall Inc, Englewood Cliffs, 964.