MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean Orang Cerdas Belajar Statistika
Silabus Silabus dan Tujuan Peubah acak kontinu, distribusi dan Tabel normal, penaksiran titik dan selang, uji hipotesis untuk mean
Tujuan Silabus dan Tujuan 1 Memahami definisi dan konsep peubah acak kontinu 2 Mempelajari distribusi dan Tabel normal 3 Menentukan penaksir mean dan selang kepercayaan untuk mean 4 Melakukan uji hipotesis untuk mean
P.A. Kontinu Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya F X dapat diturunkan. Fungsi peluang f X adalah turunan dari fungsi distribusi, atau dengan kata lain f X (x) = d dx F X (x) F X (x) = x f X (t) dt
Definisi: Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnya ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Catatan: 1 = F X ( ) = P(a X b) = F X (b) F X (a) = P(X = a) = a a f X (t) dt = 0 f X (t) dt b a f X (t) dt
Contoh/Latihan 1 Misalkan X p.a kontinu dengan fungsi peluang f (x) = c (4x 2x 2 ), 0 < x < 2, Tentukan c. Hitung P(X > 1). 2 Misalkan X p.a kontinu dengan fungsi peluang f (x) = 10/x 2, x > 10, Hitung P(X > 20). Tentukan fungsi distribusi dari X.
Ilustrasi Silabus dan Tujuan Ilustrasi Definisi Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasil pengukuran akan berbeda antara individu satu dengan yang lainnya. Namun demikian, sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat diprediksi sebagai kelompok individu. Salah satu pola umum pada hasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalah bahwa kebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi di sekitar mean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuran yang jauh dari mean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan, akan tampak kurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang disebut DISTRIBUSI NORMAL.
Ilustrasi Definisi Perhatikan fungsi peluang dari X, p.a yang menyatakan kandungan zat dalam tubuh. Distribusi peluangnya tidak simetri dan menceng ke kanan (skew to the right atau positively skewed) sbb (Gb 4.1):
Ilustrasi Definisi densitas 0 50 100 150 serum trigliserida (mg/dl) Figure: Fungsi peluang kandungan zat
Ilustrasi Definisi Sedangkan fungsi peluang dari tekanan darah pada laki-laki usia 35-44 tahun adalah seperti gambar berikut (Gb 4.2). Area A, B, C berturut-turut menyatakan peluang terjadinya hipertensi ringan, sedang dan berat. Umumnya DBP terjadi disekitar 80 mm Hg, dimana kemudian kemungkinannya berkurang seiring dengan berubahnya nilai DBP yang jauh dari 80.
Ilustrasi Definisi 0.03 densitas 0.02 0.01 A B C 0 50 80 90 100 110 DBP Figure: Fungsi peluang tekanan darah
Ilustrasi Definisi Fungsi peluang dari peubah acak yang menyatakan Berat Badan Lahir berikut fungsi distribusinya saat BB-nya 88 atau P(X 88) (Gb 4.3). Area tersebut memiliki arti khusus dalam kebidanan atau obstetrics dimana 88 adalah nilai batas atau cutoff point yang digunakan untuk mengidentifikasi bayi BBLR.
Ilustrasi Definisi 0.02 densitas 0.01 60 88 120 Berat Badan Lahir (BBL) Figure: Fungsi peluang Berat Badan Lahir
Definisi Ilustrasi Definisi Misalkan X peubah acak berdistribusi normal dengan parameter µ dan σ 2. Fungsi peluangnya adalah ( 1 f X (x) = exp 1 ) (x µ)2, < x <, 2 π σ 2 σ2 Notasi: X N(µ, σ 2 ), dengan mean µ = E(X ) dan variansi σ 2 = Var(X ).
Ilustrasi Definisi Contoh: fungsi peluang untuk distribusi normal dengan mean 50 dan variansi 100 (Gb 4.4). 0.04 f(x) 0.03 0.02 0.01 σ σ 0.00 40 50 60 (µ-σ) µ (µ+σ) x Figure: Fungsi peluang dari distribusi normal
Contoh/Latihan Silabus dan Tujuan Ilustrasi Definisi 1 Misalkan X p.a berdistribusi normal dengan µ = 3 dan σ 2 = 9, hitung: (a) P(2 < X < 5); (b) P(X > 0); (c) P( X 3 > 6)
Ilustrasi Definisi Distribusi N(0, 1) adalah kasus khusus dari distribusi N(µ, σ 2 ) dengan mean 0 dan variansi 1. Distribusi ini disebut juga distribusi normal standar/baku (Gb 4.5). Sifatnya adalah simetrik disekitar 0. Sifat empirik yang penting dari distribusi normal baku adalah P( 1 < X < 1) = 0.6827, P( 1.96 < X < 1.96) = 0.95, P( 2.576 < X < 2.576) = 0.99.
Ilustrasi Definisi f(x) 0.04 0.03 0.02 0.01 68% area 95% area 99% area 0.00-2.58-1.96-1 0 1 1.96 2.58 (µ) x Figure: Fungsi peluang dari distribusi normal standar
Contoh/Latihan Silabus dan Tujuan Ilustrasi Definisi 1 Diketahui Z N(0, 1). Tentukan nilai c dari persamaan peluang berikut: (a) P(Z > c) = 0 (b) P( Z c) = 0.25 (c) P(c Z < 0) = 0.324 2 Misalkan diameter pohon adalah peubah acak berdistribusi normal dengan mean 8 (inchi) dab deviasi standar 2 (inchi). Hitung peluang bahwa sebuah pohon memiliki diameter yang tak wajar yaitu lebih dari 12.
Definisi Silabus dan Tujuan Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Misalkan suatu populasi memiliki mean µ. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari populasi tersebut. Penaksir untuk µ (disebut penaksir sampel) adalah X = 1 n n X i, i=1
Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean dengan sifat E( X ) = µ, Var( X ) = σ 2 /n, dimana deviasi standarnya adalah σ/ n yang disebut standard error of mean atau sem atau standard error. Standard error adalah ukuran kuantitatif dari variablitas mean sampel yang diperoleh dari sampel acak (berulang) berukuran n dari populasi yang sama.
Teorema Limit Pusat Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari populasi dengan mean µ dan variansi σ 2. Maka, untuk n besar, X N(µ, σ 2 /n), meskipun distribusi populasinya tidak normal.
Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Contoh. Hitung peluang bahwa mean BBL dari sampel berukuran 10 akan berada diantara 98 dan 126 (diketahui data populasi: mean 112 dan deviasi standar 20.6).
Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Solusi: ( ) ( ) 126 112 98 112 P(98 < X < 126) = Φ 20.6/ Φ 10 20.6/ = 10
Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Perhatikan transformasi peubah acak: Z = X µ σ/ n, dimana Z berdistribusi normal standar. Akibatnya, 95% nilai Z akan berada diantara -1.96 dan 1.96. Dengan kata lain, 95% mean sampel berada di selang ( µ 1.96 σ/ n, µ + 1.96 σ/ ) n Catatan: Dalam praktiknya, nilai σ tidak diketahui dan harus ditaksir oleh deviasi standar sampel s.
Distribusi t Silabus dan Tujuan Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Jika X 1, X 2,..., X n sampel acak berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ 2, maka X µ S/ n t n 1, berdistribusi t dengan derajat kebebasan (degrees of freedom) n 1, dimana P(t d < t d,u ) = u.
Selang Kepercayaan untuk Mean Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean 100%(1 α) selang kepercayaan (SK) atau confidence interval (CI) untuk mean dari distribusi normal dengan variansi tidak diketahui adalah ( x t n 1,1 α/2 s/ n, x + t n 1,1 α/2 s/ ) n atau dituliskan x ± t n 1,1 α/2 s/ n
Contoh/Latihan Silabus dan Tujuan Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean 1 Tentukan persentil ke-5 (atas) atau persentil ke-95 dari distribusi t dengan derajat kebebasan 23. 2 Hitung 95% selang kepercayaan untuk mean BBL berdasarkan sampel berukuran 10. Diketahui: x = 116.9; s = 21.7.
Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Selang Kepercayaan untuk Mean - Sampel Besar Nilai pendekatan 100%(1 α) selang kepercayaan (SK) atau confidence interval (CI) untuk mean dari distribusi normal (sampel besar) dengan variansi tidak diketahui adalah ( x z 1 α/2 s/ n, x + z 1 α/2 s/ ) n dengan ukuran sampel n > 200.
Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Catatan: Panjang SK dipengaruhi oleh nilai n, s, dan α. Jika: n membesar, maka panjang SK... s membesar, maka panjang SK... α mengecil, maka panjang SK...
Contoh/Latihan Silabus dan Tujuan Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean 1 Hitung 95% dan 99% selang kepercayaan untuk mean temperatur berdasarkan sampel berukuran 10 dan 100. Diketahui: x = 97.2; s = 0.189. 2 Pandang soal no 1. Hitung 95% SK dengan s = 0.4.
Definisi Silabus dan Tujuan Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Uji hipotesis (UH) adalah bagian dari statistika inferensi. UH bertujuan untuk mengambil kesimpulan secara statistik (signifikan) dari hipotesis-hipotesis yang diberikan. Kesimpulan tersebut didasarkan pada tingkat signifikansi α (yang sesungguhnya adalah tingkat kesalahan tipe I).
Tahapan Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Tahap-tahap dalam pelaksanaan UH adalah 1 Membuat (menyatakan) hipotesis nol, H 0, dan hipotesis alternatif, H a atau H 1, 2 Menentukan α, 3 Menentukan statistik uji (test statistic), 4 Menentukan daerah kritis (critical region) atau daerah penolakan/penerimaan, 5 Menghitung statistik uji dengan data sampel 6 Mengambil kesimpulan: menolak atau gagal menolak H 0
Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Contoh: 1. Ini cerita tentang kematian karena kanker yang diduga dimulai dari radiasi nuklir. Diketahui terjadi 13 kematian pada pekerja di suatu proyek nuklir, dimana 5 kematian diantaranya disebabkan oleh kanker. Berdasarkan data statistik, pihak otoritas kesehatan mengklaim bahwa sekitar 20% kematian disebabkan oleh kanker. Benarkah klaim pihak otoritas kesehatan?
Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean 2. Misalkan X p.a menyatakan panjang lompatan yang dilakukan seorang atlet. Diketahui X berdistribusi normal dengan mean µ. Akan diuji H 0 : µ = 3 vs H 1 : µ > 3 dengan menggunakan data sampel 6 atlet terpilih acak dengan mean 3.763 dan deviasi standar 0.724. Apakah kesimpulan yang diambil dari uji hipotesis tersebut?
Kesalahan dalam UH Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Kesalahan-kesalahan dalam UH dibagi atas: - kesalahan tipe-1 atau α, yaitu kesalahan menolak H 0 yang benar, atau P(menolak H 0 H 0 benar) - kesalahan tipe-2 atau β, yaitu kesalahan menerima H 0 yang salah, atau P(menerima H 0 H 0 salah)
Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Catatan: Tidak ada hubungan antara α dan β 1 β adalah kuasa atau power dari UH
Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Kaitan antara pengambilan kesimpulan dan kesalahan dapat dilihat dalam tabel berikut: Table: Pengambilan kesimpulan dan tipe kesalahan. H 0 benar H 0 salah H 0 gagal ditolak keputusan benar β H 0 ditolak α keputusan benar
Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Dua jenis uji hipotesis nol vs hipotesis alternatif: 1 Uji hipotesis 2-sisi atau two-sided: H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ µ 0 2 Uji hipotesis 1-sisi atau one-sided: H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ > µ 0 atau H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ < µ 0
UH 1-Sampel Silabus dan Tujuan Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Uji hipotesis untuk mean populasi dapat dilakukan pada kasus (i) pengambilan sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal dengan variansi diketahui atau tidak diketahui, (ii) pengambilan sampel berasal dari populasi yang tidak berdistribusi normal.
Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Contoh: Seorang peneliti tertarik untuk menguji mean umur orang-orang dari suatu populasi: apakah mean umur orang-orang dari populasi tersebut berbeda dari 30 tahun? (apakah mean umur orang-orang tersebut 30 tahun?). Untuk itu, diambil sampel sebanyak 10 orang dan dihitung bahwa x = 27. Asumsikan data berasal dari distribusi normal dengan σ 2 = 20.
Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Tahapan UH-nya adalah 1. Hipotesis: 2. Tingkat signifikansi: α = 0.05 3. Statistik uji: H 0 : µ = 30, H a : µ 30 Z = X µ 0 σ/ n N(0, 1) 4. Daerah kritis: Tolak H 0 jika z 1.96 atau z 1.96
Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean 5. Perhitungan: z = 27 30 20/10 = 2.12 6. Kesimpulan: Tolak H 0, karena z 1.96. Dengan kata lain, mean umur suatu populasi bukanlah 30 tahun atau berbeda dari 30 tahun.
p-value Silabus dan Tujuan Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Pengambilan kesimpulan dapat pula dilakukan dengan menghitung p-value, yaitu nilai α terkecil untuk menolak H 0. Dengan kata lain tolak H 0 jika p-value lebih kecil dari α. Pada contoh diatas, nilai p-value adalah p value = P(Z z) + P(Z z) = 2 P(Z 2.12) = 0.034. Jadi, karena 0.034 < 0.05 maka H 0 ditolak.
Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Contoh/Latihan: Lakukan UH untuk soal diatas. Pertanyaan yang diajukan adalah apakah mean umur populasi kurang dari 30 tahun?. Gunakan tingkat signifikansi α = 0.01. Bagaimana jika n = 20 dan x = 27?
Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Bagaimana jika σ tidak diketahui? Gunakan statistik uji: T = x µ 0 s/ n t n 1.
Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Contoh: Castillo dan Lilioja meneliti suatu teknik untuk mengukur indeks massa tubuh atau BMI. Mereka ingin menguji apakah mean BMI suatu populasi bukanlah 35. Dilakukan perhitungan pada 14 orang dewasa (laki-laki) dan diperoleh x = 30.5 dan s = 10.64.
Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Tahapan UH-nya adalah 1. Hipotesis: 2. Tingkat signifikansi: α = 0.05 3. Statistik uji: H 0 : µ = 35, H a : µ 35 T = X µ 0 s/ n 4. Daerah kritis: Tolak H 0 jika t 2.16 atau t 2.16
Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean 5. Perhitungan: t = 30.5 35 10.64/ 14 = 1.58 6. Kesimpulan: H 0 gagal ditolak (dengan kata lain, diterima), karena 2.16 t 2.16 atau bukan dalam daerah penolakan. Tidak ada alasan untuk mendukung klaim bahwa mean BMI bukanlah 35.
Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Contoh/Latihan: Lakukan pengambilan kesimpulan pada masalah BMI dengan menggunakan p-value. Bagaimana menurut anda? Manakah yang lebih mudah dilakukan? (dibandingkan dengan menentukan z atau t pada tabel)
Konsep dan Tahapan Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Untuk Mean Bagaimana UH dilakukan pada mean populasi yang tidak berdistribusi normal? Ambil sampel cukup besar! Contoh: PR.