PENGENDALIAN CHAOS MENGGUNAKAN SLIDING MODE CONTROL (SMC) PADA SISTEM PERSAMAAN RӦSSLER YANG TERMODIFIKASI Muhammad Hajarul Aswad, Moh. Isa Irawan 2, Mardlijah 3 Saf Pengajar MAN Kendari, Jurusan Maemaika FMIPA Insiu Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2,3 Kampus ITS, Sukolilo - Surabaya 6 as_wad82@yahoo.co.id, mii@is.ac.id 2, mardlijah@maemaika.is.ac.id 3 Absrak Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi merupakan suau sisem persamaan yang berkaian kineika kimia. Pada sisem ersebu akan erjadi osilasi secara erus menerus menuru waku. Dalam peneliian ini, erlebih dahulu dianalisa sabilias yang erjadi di sekiar iik seimbang. Kemudian, menggunakan raa-raa Lyapunov exponen, diperoleh bahwa Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi merupakan suau sysem yang bersifa chaos. Terakhir, dierapkan Sliding Mode Conrol (SMC) unuk mengonrol perilaku sisem. Dari hal ersebu perilaku sisem yang awalnya idak sabil dan bersifa chaos dapa diarahkan menuju iik seimbang. Kaa kunci : Sisem Persamaan Rӧssler, Chaos, Sliding Mode Conrol (SMC). Absrac Rossler Equaion Sysem is a sysem of modified equaions associaed wih he chemical kineics. In such a sysem will be oscillaing coninuously by ime. In his sudy, firs analyzed he sabiliy ha occurs around he poin of equilibrium. Then, using he average Lyapunov exponen, found ha a modified Rossler Equaion Sysem is a sysem ha is chaoic. Finally, applied o Sliding Mode Conrol (SMC) o conrol he behavior of he sysem. From his behavior of a sysem ha is unsable and chaoic naure can be direced oward he equilibrium. Keywords: Rossler Equaion Sysem, Chaos, Sliding Mode Conrol (SMC).. Pendahuluan Sisem Persamaan Rӧssler peramakali diperkenalkan oleh Oo Rӧssler pada ahun 97-an sebagai suau sisem persamaan yang berkaian laju perubahan konsenrasi dari reakan aau produk dari suau reaksi kimia. Karena reaksinya yang kompleks, maka dimungkinkan Sisem Persamaan Rӧssler ersebu akan bersifa chaos (Gaspard, 25). Chaos merupakan suau fenomena sisem yang idak eraur yang disebabkan oleh sensiifias sisem erhadap kondisi awal. Salah sau meode yang digunakan unuk menjelaskan suau sisem berperilaku chaos aau idak, adalah menggunakan Lyapunov exponen. Hilborn (993) mendefinisikan suau sisem bersifa chaos apabila dalam sisem ersebu erdapa sau Lyapunov exponen yang bernilai posiif. Gamaika. No. I Nopember 2 55
Beberapa meode yang elah digunakan unuk mengonrol chaos dianaranya OGY, differenial geomery, adapife conrol, inverse opimal conrol, dan adapive fuzzy conrol (Dadras dkk, 28) Sliding Mode Conrol (SMC) merupakan salah sau meode pengendalian yang bersifa robus sehingga mampu bekerja pada sisem linear maupun nolinear yang memiliki keidakpasian. Pendekaan SMC elah efekif diaplikasikan unuk mengonrol sisem nonlinear (Nazzal dkk, 27) dan sisem keidakerauran (Feki, 28). Dalam Nikolov (26) elah dielii ransisi hyperchaos-chaos-hyperchaos yang erjadi pada Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi. Transisi ersebu dikarenakan adanya perubahan parameer bifurkasi yang berdampak pada perubahan ipe iik seimbang. Sisem Persamaan Rӧssler dibua menjadi 8 sisem memodifikasi parameer b menjadi b + b x + b 2 y + b 3 z + b 4 w kemudian menambahkan sebuah persamaan linear ẇ. Pada sisem yang ke-8 ( parameer a =.25, b = 3, c =.5, d =.5, b [.,.5], b 2 = -., b 3 = b 4 =.), perubahan perilaku dari hyperchaoschaos erjadi pada saa b =.3 dan b =.4. Seelah iu erjadi perubahan perilaku chaoshyperchaos pada saa b =.6. lebih lanju dikaakan bahwa, sisem yang ke-8 memiliki perilaku yang lebih chaos dibandingkan keujuh sisem lainnya. Berdasarkan hal ersebu, maka dalam peneliian ini akan dikaji bagaimana penerapan Sliding Mode Conrol (SMC) dalam mengonrol chaos yang erjadi pada Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi. 2. Kesabilan Sisem di Sekiar Tiik Seimbang Definisi Suau iik dikaakan sebagai suau iik seimbang dari ẋ = f (x) jika f ( ) =. Adapun Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi yang dimaksud dalam peneliian ini adalah (2.) a =.25, b = 3, c =.5, d =.5, b =.5, b 2 = -., b 3 = b 4 =.. Berdasarkan Definisi, diperoleh iik seimbang dari Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi sebagai beriku Gamaika. No. I Nopember 2 56
dan Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi merupakan suau sisem persamaan yang nonlinear, sehingga perlu dierapkan linearisasi di sekiar iik seimbang (Phillips, 996). Meode ini menghasilkan suau mariks Jacobian yang merupakan inerpreasi dari sisem nonlinear yang elah dilinearisasi. Akiba dari Linearisasi ersebu, maka kesabilan sysem akan bersifa local (Ogaa, 985). Misalkan iik seimbang e dan e 2 disimbolkan sebagai, maka linearisasi Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi di seikar iik seimbang adalah (2.2) Jadi, mariks Jacobian pada iik seimbang adalah Seelah dilinearisasi sehingga diperoleh mariks Jacobiannya, maka selanjunya dianalisa kesabilan Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi di sekiar iik seimbang 2. Analisa Sisem di Sekiar Tiik Seimbang Perama (e ) Hasil linearisasi sisem di seikar iik seimbang e adalah Sehingga diperoleh mariks Jacobian pada iik seimbang e adalah Dengan menyelesaikan λi J =, maka polynomial akar-akar karakerisiknya adalah Gamaika. No. I Nopember 2 57
Karena anda bilangan real dari Persamaan (2.3) idak mudah unuk dienukan, maka kesabilan sisem di sekiar iik seimbang perama (e ) akan diinerpreasi menggunakan krieria kesabilan Rouh-Hurwiz. Misalkan Persamaan (2.3) diulis dalam benuk beriku p(s) = a 4 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a s + a (2.4) Berdasarkan krieria kesabilan Rouh-Hurwiz, perilaku sisem di sekiar iik seimbang e dikaakan sabil jika idak erdapa perubahan anda pada kolom perama dalam abel Rouh (Subiono, 28) Karena a 4 >, maka dan Dengan menurunkan peridaksamaan di aas, maka perilaku sisem di sekiar iik seimbang perama (e ) dikaakan sabil jika memenuhi keadaan beriku. (2.5) 2. (2.6) 3. (2.7) 4. (2.8) 5. (2.9) Gamaika. No. I Nopember 2 58
2.2 Analisa Sisem di Sekiar Tiik Seimbang Kedua (e 2 ) Linearisasi sisem di sekiar iik seimbang e 2 adalah Jadi mariks Jacobian pada iik seimbang e 2 adalah Selanjunya, menyelesaikan λi J =, maka polynomial akar-akar karakerisiknya adalah Misalkan Polinomial (2.) diulis dalam benuk beriku p(s) = a 42 s 4 + a 32 s 3 + a 22 s 2 + a 2 s + a 2 (2.) Karena a 42 >, maka a 32 > dan Gamaika. No. I Nopember 2 59
Dengan menurunkan peridaksamaan ersebu di aas,, maka perilaku sisem di sekiar iik seimbang e 2 dikaakan sabil jika memenuhi keadaan beriku yaiu. (2.2) 2. (2.3) 3. (2.4) 4. (2.5) 5. (2.6) 3. Exisensi Chaos Chaos pada Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi dihiung menggunakan Lyapunov exponen. Unuk sisem dua dimensi aau lebih, maka exisensi chaos diperoleh menghiung raa-raa Lyapunov exponen pada sisem ersebu. Suau sisem bersifa chaos jika pada sisem ersebu erdapa paling sediki sau raa-raa Lyapunov exponen (Hilborn, 993). Raa-raa Lyapunov exponen di sekiar iik seimbang adalah 4. Sliding Mode Conrol Sliding Mode Conrol (SMC) merupakan salah sau meode pengonrol sisem yang memiliki performa yang baik dalam mengonrol sysem linear maupun nonlinear. Perancangan Conrol law pada SMC berujuan unuk mengeliminasi perilaku sisem yang idak sabil sehingga konvergen ke iik seimbang. u = u eq K sign S (4.) Pada proses SMC, erlebih dahulu dienukan sliding surface yang melalui iik seimbang. (4.2) e() = x() x d () (4.3) Kemudian, dirancang pengonrol u sehingga mampu mengarahkan sae sysem ke sliding surface dan erus berada pada posisi sliding hingga menuju ke iik seimbang. Selanjunya, menggunakan konsep kesabilan Lyapunov akan diemukan K sehingga memenuhi reaching condiion (Palm, 996). Gamaika. No. I Nopember 2 6
w() z() Pengendalian Chaos Menggunakan Sliding Mode Conrol (SMC) Gambar 4. Kondisi Sliding 5. Inerpreasi Numerik Telah diunjukkan bahwa Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasiasi sebagaimana yang erliha pada Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi merupakan suau sisem dua iik seimbang. Selain iu, berdasarkan krieria kesabilan Rouh- Hurwiz, elah diperoleh analisa kesabilan sisem di sekiar iik seimbang ersebu. Selanjunya akan diperoleh inerpreasi numerik mensubiusi parameer sisem. Dengan mensubiusi parameer sisem a =.25, b = 3, c =.5, d =.5, b =.5, b 2 = -., b 3 = b 4 =. ke dalam e, maka diperoleh e = (-3.8745, -.3974,.3974, 3.9738). Dari hasil perhiungan yang elah dilakukan, diperoleh bahwa nilai,,, dan. Sehingga diperoleh a 3 = 3.4745; a 3 a 2 a 4 a =.4647; a (a 2 a 3 a a 4 ) =.559; a a 3 a 3 = 6.8954; a =.572; a = 3.3399. Berdasarkan hasil ersebu, erliha bahwa a 3 a 2 a 4 a, dan a. Jadi perilaku sisem di sekiar iik seimbang e idak sabil. Dengan cara yang sama diperoleh e 2 = (7.5495,.7743, -.7743, -7.743), dan berdasarkan perhiungan yang elah dilakukan, diperoleh nilai,,,, dan sehingga a 32 = 7.4495; a 32 a 22 a 42 a 2 = 6.633; a 2 (a 22 a 32 a 2 a 42 ) = 3.997; a 2 a 32 a 32 = 36.96; a 2 =.572; a 2 = 7.8753. Berdasarkan hasil ersebu, erliha bahwa a 32, a 32 a 22 a 42 a 2, dan a 2. Jadi, perilaku sisem di sekiar iik seimbang e 2 idak sabil. Perilaku Sisem Rossler di Sekiar Tiik Seimbang e2 5-5 5-5 y() - -4 X: 7.55 Y:.7743 Z: -.7743-2 x() 2 4-2 w() -4-6 5 5 Gambar 5. Perilaku sisem di sekiar iik seimbang kedua (e 2 ) sebelum diberikan pengonrol u Perilaku sisem di sekiar iik seimbang e dan e 2 idak sabil rajecory sisem yang erus bergerak menjauhi iik seimbang. Masing-masing species memiliki laju yang lamba konsenrasi yang erus berubah menuru waku. Molekul dari masing-masing species memiliki energi akivasi yang erlalu inggi sehingga kemungkinan erbenuknya produk sanga kecil. Karena perilaku sisem di sekiar iik seimbang e = ( 3.8745,.3974,.3974, 3.9738) dan iik seimbang e 2 = (7.5495,.7743,.7743, 7.743) idak sabil, maka Gamaika. No. I Nopember 2 6
dapa dikaakan bahwa Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi merupakan suau sisem yang idak sabil. Dengan menggunakan Persamaan (3.), diperoleh raa-raa Lyapunov exponen -.8686 pada iik seimbang e dan.9874 pada iik seimbang e 2. Karena erdapa sau raa-raa Lyapunov exponen yang bernilai posiif, maka Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi merupakan suau sisem persamaan yang bersifa chaos. Suau inpu conrol dileakkan pada masing-masing sae dari Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi, sehingga diperoleh suau sisem persamaan sebagai beriku (5.) Misalkan suau iik seimbang sebagai. Karena e() = x() x d (), x d () adalah sae yang diinginkan, maka diperoleh eror dinamik dari Sisem Persamaan (5.) (5.2) Selanjunya, akan diurunkan auran pengonrol u unuk masing-masing sae. sliding surface unuk n = adalah Berdasarkan (5.3), maka (5.3) Unuk, maka (5.4) Sehingga auran pengonrolan u berdasarkan conrol law adalah (5.5) Reaching condiion erpenuhi jika η > Sehingga Arinya, K > Jadi, auran pengonrol u unuk sae perama adalah (5.6) Dengan cara yang sama diperoleh Gamaika. No. I Nopember 2 62
w() z() Pengendalian Chaos Menggunakan Sliding Mode Conrol (SMC) Seelah diberi pengonrol u, perilaku sisem di sekiar iik seimbang ampak berubah. Trajecory sysem yang awalnya membenuk osilasi, mampu menuju sliding surface dan bergerak menuju ke iik seimbang. Pada saa yang berlainan, konsenrasi masing-masing species idak lagi mengalami perubahan yang mengindikasikan bahwa perlakuan yang diberikan erhadap reaksi mampu menurunkan energi akivasi. Reaksi berlangsung semakin cepa sehingga dapa membenuk produk. Perhaikan Gambar 5.2 beriku Perilaku Sisem Rossler di Sekiar Tiik Seimbang e2 Dengan Inpu Conrol u.5 -.5 X: 4 Y: - Z: X: 7.55 Y:.7736 Z: -.7735 -.5 y() -.5-4 5 x() 6 7 8-4 -6 w()=w -8 2 3 4 5 6 7 8 9 Gambar 5.2 Perilaku sisem di sekiar iik seimbang kedua (e 2 ) seelah diberi pengonrol u nilai awal (4,,, 4) Jika dilakukan smoohing cara menggani fungsi signum sign (S) pada conrol inpu u fungsi saurasi sa (S/Φ). maka Persamaan (5.6) menjadi (5.7) Dengan cara yang sama diperoleh Gamaika. No. I Nopember 2 63
e3() e4() e() e2() w() z() Pengendalian Chaos Menggunakan Sliding Mode Conrol (SMC).5 -.5 - Perilaku Sisem Rossler di Sekiar Tiik Seimbang e2 Dengan Inpu Conrol u X: 4 Y: - Z: X: 7.549 Y:.7743 Z: -.7743 y() - 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 x() -4-6 w()=w -8 2 3 4 5 6 7 Gambar 5.3 Perilaku sisem di sekiar iik seimbang kedua (e 2 ) seelah diberi pengonrol u cara smoohing. (Nilai awal = (4,,, 4), K = 3, dan Φ = 2) Selanjunya, perubahan nilai eror akiba inpu conrol u dapa diliha pada Gambar 5.4 beriku 4 Perubahan Nilai Error.5 2 -.5-2 2 4 6-2 4 6.5 - -2-3 -.5 2 4 6-4 2 4 6 Gambar 5.4 Perubahan nilai eror seelah diberi pengonrol u unuk sisem di sekiar iik seimbang kedua (e 2 ) 6. Kesimpulan Dari analisis dan pembahasan di aas, diperoleh kesimpulan bahwa. Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi merupakan suau sisem yang memiliki dua iik seimbang hyperbolic yaiu ipe sadle poin, dan ipe sources. 2. Krieria kesabilan Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi diperoleh menggunakan konsep kesabilan Rouh-Hurwiz. Perilaku sisem di Gamaika. No. I Nopember 2 64
sekiar iik seimbang perama sabil jika memenuhi Peridaksamaan (2.5), (2.6), (2.7), (2.8), dan (2.9) sedangkan perilaku sisem di sekiar iik seimbang kedua sabil jika memenuhi Peridaksamaan (2.2), (2.3), (2.4), (2.5), dan (2.6). 3. Raa-raa Lyapunov exponen di sekiar iik seimbang adalah 4. Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi parameer sisem a =.25, b = 3, c =.5, d =.5, b =.5, b 2 =., b 3 = b 4 =. merupakan suau sisem persamaan yang idak sabil dan bersifa chaos. 5. Sliding Mode Conrol (SMC) merupakan suau meode pengonrol yang mampu mengonrol chaos yang erjadi pada Sisem Persamaan Rӧssler yang ermodifikasi. Auran konrol yang bekerja pada SMC, mampu mengarahkan sisem menuju ke iik seimbang unuk sebarang iniial condiion. Fenomena chaering yang imbul sebagai akiba dari model pengonrolan yang diskoninu pada SMC murni dapa diminimalkan smoohing yaiu menempakan suau boundary layer di sekiar sliding surface sehingga rajecory sysem hanya akan bergerak di dalam boundary layer lalu menuju ke iik seimbang. 7. Saran Peneliian ini dapa dilanjukan mengkombinasikan anara SMC murni meode pengonrol sisem yang lain sehingga sliding surface dapa langsung diperoleh anpa harus mereduksi sisem. Dafar Pusaka. Chang, Raymond, 22, Chemisry: Sevenh Ediion, Boson, McGraw-Hill. 2. Dadras dkk, Sara., dkk., 28, Sliding Mode Conrol for Uncerain New Chaoic Dynamical Sysem, Chaos, Solions and fracals. 3. Feki, Moez., 28, Sliding Mode Conrol and Synchronizaion of Chaoic Sysems Wih Parameric Uncerainies, Chaos, Solions and Fracals. 4. Gaspard, Pierre, 25. Rӧssler Sisem dalam Encyclopedia of Nonlinear Science, ed. Sco, Alwyn., Rouledge, New York, hal. 88-8. 5. Hilborn, Rober C., 993, Chaos and Nonlinear Dynamics :An Inroducion For Scieniss and Engineers, Oxford Universiy Press, Inc., New York. 6. Nazzal, Jamal M., dan Nashes, Ammar N., 27, Chaos Conrol using Sliding-Mode Theory, Chaos, Solions and Fracals, No. 33, hal. 695 72. 7. Nikolov, Sveoslav., dan Clodong, Sébasien., 26, Hyperchaos Chaos Hyperchaos Transiion in Modified Rӧssler Sysems, Chaos, Solions and Fracals, No. 28, hal. 252 263. 8. Ogaa, Kasuhiko, 985, Teknik Konrol Auomaik: Sisem Pengauran Jilid 2, Penerbi Erlangga, Jakara. 9. Palm, Rainer., dkk., 996, Model Based Fuzzy Conrol: Fuzzy Gain Schedulers and Sliding Mode Fuzzy Conrol, Springer-Verlag, New York.. Phillips, Charles L., dan Harbor, Royce D., 996, Feedback Conrol Sysems :Third Ediion, Prenice Hall, Inc., New Jersey.. Subiono, 28, Maemaika Sisem (Dika), Jurusan Maemaika FMIPA-ITS, Surabaya. Gamaika. No. I Nopember 2 65