Operasi Aritmatika Sistem Bilangan Biner & Bilangan Oktal Karunia Suci Lestari k.sucilestari97@gmail.com :: http://ksucilestari97.wordpress.com Abstrak Dalam pengolahan data sistem bilangan terdapat juga penghitungan untuk mengetahui jumlah dari setiap pertambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang biasa kita kenal dengan aritmatika. Untuk memudahkan kita untuk mengetahui hasil dari aritmatika tersebut kita dapat menggunakan cara manual maupun kembali menggunakan bantuan rumus atau sistem menggunakan kalkulator programmer yang telah disediakan Sistem Operasi di Linux maupun Windows untuk mengaritmatika bilangan tersebut. Untuk mengetahui hasil dari Artimatika dua bilangan yang berbeda dapat menggunakan konversi yang telah dibahas di Artikel 2 dan Artikel 3 sesuai dengan hasil bilangan yang diinginkan. Di Artikel 4 ini saya akan membahas aritmatika dari sistem bilangan biner dan bilangan oktal terlebih dahulu. Kata Kunci: Aritmatika, sistem bilangan, biner, oktal, Kalkulator Programmer Pendahuluan Aritmatika di pengolahan data pada sistem bilangan desimal tentu sama seperti perhitungan yang telah diajarkan di Sekolah Dasar jadi di artikel ini saya tidak akan menjabarkan cara-cara dasar perhitungan bilangan desimal yang telah kita ketahui sejak kita masih duduk dibangku Taman Kanak-Kanak dulu yang merupakan dasar dalam perhitungan sistem bilangan lainnya. Dalam aritmatika sistem bilangan biner tidak mengenal angka lain selain angka 0 dan 1 jadi ingin ditambah, dikurang, dikali hingga dibagi hasilnya tetap angka 0 ataupun 1. Begitupun dengan sistem bilangan oktal ingin
di aritmatika sebagaimana pun juga tidak akan mengenal angka 8 dan 9 selain angka dari 0 hingga 7. Itu semua sesuai dengan ketentuan yang telah ditetapkan dari bilangan itu sendiri. Dalam cara manual untuk membantu kita mengetahui ke akuratan hasil yang telah kita hitung dapat kita buktikan dengan cara mengkonversikan sistem bilangan biner maupun bilangan oktal tersebut ke sistem bilangan desimal terlebih dahulu. Semoga dengan adanya artikel dapat membantu para pembaca artikel ini untuk mempelajari dan menambah pengetahuan kita tentang cara-cara menghitung sistem bilangan biner dan bilangan oktal secara manual maupun menggunakan rumus yang ada di kalkulator programmer yang telah disediakan sistem operasi Linux maupun Windows. Pembahasan 1. Operasi Aritmatika Bilangan Biner 1. Pertambahan Bilangan Biner Penjumlahan biner pada dasarnya sama dengan penjumlahan pada sisitem decimal, hanya saja jumlah lambing bilangan yang digunakan yaitu 0 dan1 berikut ini adalah aturan dalam penjumlahan Biner : 1. 0 + 0 = 0 2. 0 + 1 = 1 3. 1 + 0 = 1 4. 1 + 1 = 10 (bukan angka sepuluh dalam decimal tetapi hasil dari biner 10 yang dikonversi 2 dalam bilangan desimal) 5. 1 + 1 + 1 = 11 Sama hal-nya seperti pada operasi aritmatika penjumlahan pada bilangan desimal dimana bila ada hasil penjumlahan yang hasilnya dua digit, maka angka paling sebelah kiri akan dijumlahkan pada bilangan berikutnya atau dikenal dengan istilah Disimpan. Sebagai contoh perhatikan penjumlahan bilangan biner berikut ini.
Contoh : ( 1 1 0 1 ) 2 + ( 1 1 1 1 ) 2 = ( ) 2 Kerjakan mulai dari LSB (Suku paling kanan) 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 Carry Out 1 Carry Out 1 Carry Out 1 Carry Out 1 Carry Out 0 Dapat dilakukan juga dengan mentransfer dulu ke bentuk decimal kemudian dijumlahkan dan hasilnya di konversi lagi ke bentuk biner. ( 1 1 0 1 ) 2 = ( 13 ) 10 ( 1 1 1 1 ) 2 = ( 15 ) 10 Jadi (28) 10 = ( 11100 ) 2 ( 28 ) 10 2. Pengurangan Bilangan Biner Operasi aritmatika pengurangan pada bilangan biner juga sama seperti operasi pengurangan pada bilangan desimal, sebagai contoh perhatikan operasi dasar pengurangan bilangan biner berikut ini. 0 0 = 0 1 0 = 1 0 1 = 1 bit 0 meminjam 1 dari bit di sebelah kiri-nya 1 1 = 0
Contoh : ( 1 0 1 1 ) 2 11 ( 0 1 1 1 ) 2 7 0 1 0 0 4 Borrow 1 Untuk menyatakan suatu bilangan desimal yang bernilai negatif adalah dengan menambahkan tanda negatif (-) pada bilangan-nya, contoh -1, -2, -3, -4, -5 dan seterusnya. Tetapi pada bilangan biner ini tidak bisa dilakukan, lalu bagaimana untuk membuat atau membedakan suatu bilangan biner itu bernilai negatif (-). Ada beberapa cara untuk membuat suatu bilangan biner bernilai negatif, cara yang pertama adalah dengan menambahkan ekstra bit pada bagian paling sebelah kiri bilangan (Most Significant Bit / MSB), contoh; 101 = +5 Dengan menambahkan ekstra bit: 0101 = +5 0 merupakan ekstra bit (MSB) untuk tanda positif (+) 1101 = -5 1 merupakan ekstra bit (MSB) untuk tanda negatif (-) Cara seperti di atas ternyata dapat menimbulkan salah persepsi jika kita tidak cermat, karena nilai -5 = 1101, 1101 dapat diartikan juga sebagai bilangan 13 dalam bilangan desimal. Maka digunakan cara kedua yaitu menggunakan satu metode yang dinamakan Komplemen Dua. Komplemen dua merupakan komplemen satu (yaitu dengan merubah bit 0 menjadi 1 dan bit 1 menjadi 0 ) kemudian ditambah satu, contoh; 0101 = +5 ubah ke bentuk komplemen satu 1010 komplemen satu dari 101 ini kemudian ditambahkan 1 1 ----(+) 1111 ini merupakan bentuk komplemen dua dari 0101 yang bernilai -5 Contoh lain, berapakah nilai -7 pada bilangan biner? 0111 = +7 1000 bentuk komplemen satu 1 ----(+) 1001 bentuk komplemen dua dari 0111 yang bernilai -7
Tabel kebenaran pengurangan Biner Masukan Keluaran Minuend Subtrahend Difference Borrow 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 A B Di Bo 3. Perkalian Bilangan Biner Sama seperti operasi perkalian pada bilangan desimal, operasi aritmatika perkalian bilangan biner pun menggunakan metode yang sama. Contoh operasi dasar perkalian bilangan biner. Aturan perkalian biner, yaitu : 1. 0 x 0 = 0 2. 0 x 1 = 0 3. 1 x 0 = 0 4. 1 x 1 = 1 Contoh : 1101 1011 ---------x 1101 1101 0000 1101 --------------+ 10001111 4. Pembagian Bilangan Biner Serupa dengan perkalian, pembagian pada bilangan biner juga menggunakan metode yang sama dengan pembagian desimal. Bit-bit yang dibagi diambil bit per bit dari sebelah kiri. Apabila nilainya lebih dari bit pembagi, maka bagilah bit-bit tersebut,
tetapi jika setelah bergeser 1 bit nilainya masih dibawah nilai pembagi maka hasilnya adalah 0. Contoh : Pembagian pada sistem bilangan biner dapat dilakukan sama seperti contoh pembagian sistem bilangan desimal. Sebagai contoh, untuk membagi 110011 (disebut bilangan yang dibagi) dengan 1001 (disebut pembagi), langkah-langkah berikut yang perlu dilakukan. 1 0 1 Hasil ---------------- 1 0 0 1 / 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 --------------- - 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 ----------- - sisa 1 1 0 Sehingga hasilnya adalah 101, dan sisa pembagian adalah 110. Pembagian bisa juga dilakukan dengan cara menjumlahkan secara berulang kali dengan bilangan pembagi dengan bilangan itu sendiri sampai jumlahnya sama dengan bilangan yang dibagi atau setelah sisa pembagian yang diperoleh lebih kecil dari bilangan pembagi. Metode yang digunakan sama dengan metode pembagian pada system decimal Untuk Penjumlahan, Pengurangan, Pengkalian, dan Pembagian bilangan biner, dapat dilakukan dengan kalkulator programmer. 1. Untuk Linux dapat dilakukan dengan kalkulator gnome, dengan membuka kalkulator > Mode > Programming > Ganti ke Biner. 2. Untuk Windows dapat dilakukan dengan kalkulator standar, dengan membuka kalkulator > View > Programmer > Ganti ke bin. 2. Operasi Aritmatika Bilangan Oktal 1. Pertambahan Bilangan Oktal Ada beberapa ketentuan yang perlu kalian ketahui dalam penjumlahan bilangan oktal. Dimana semua ketentuan akan digunakan pada pengurangan dan perkalian.
Pertambahan bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara yang sama dengan pertambahan atau penjumlahan bilangan desimal. Berikut caranya : 1. Tambahkan masing-masing kolom secara desimal. 2. Kemudian ubah dari hasil desimal ke oktal. 3. Selanjutnya tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil oktal. 4. Jika hasil pertambahan tiap-tiap kolom terdiri dari 2 digit, maka digit yang berada di posisi paling kiri merupakan carry of untuk pertambahan kolom berikutnya. Soal: tambahkan bilangan 9, 6 dan 2. Ketentuan pertama: Tambahkan masing-masing basis secara desimal 9 + 6 + 2 = 17 Ketentuan kedua: Ubah dari hasil desimal ke oktal. 9(8) + 7(8) + 2(8) = 17(8) Konversikan kebilangan oktal: 17 mod 8 = 2 sisa 1 =21 Demikian cara penjumlahan berdasarkan keempat ketentuan tersebut.
Contoh pertambahan bilangan oktal 16 dengan 14: Ada patokan yang perlu kalian ketahui: Perhatikan Tabel. Mungkin ada kalian yang bertanya: Kenapa dari 7 langsung menuju ke angka 10? Bilangan oktal adalah bilangan yang terdiri dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dimana nilai maksimal adalah 7. Dan apabila lebih dari 7 maka itu adalah carry of dan sisanya akan kita jumlahkan pada kolom berikutnya 1 + 6 = 7. ----- > tidak lebih dari 7. Maka tetap. 1 + 7 = 8. ----- > carry of 1 dan sisa 0, maka hasilnya adalah 10 (8 mod 8= hasil 1 sisa 0) 2 + 7 = 11. --- > carry of 1 dan sisa 1, maka hasilnya adalah 11 (9 mod 8= hasil 1 sisa 1) Dan seterusnya...
Contoh pertambahan bilangan oktal 16 dengan 14 menggunakan bantuan tabel diatas. 2. Pengurangan Bilangan Oktal Dalam Pengurangan, terjadi pemisahan setiap digit yang ada. Apabila yang dikurangi lebih kecil daripada pengurangnya, maka digunakan sistem borrow (pinjaman) dari kolom sebelah kirinya. Nilai 1 borrow adalah basis dari oktal yaitu 8, hanya saja untuk mempermudahnya kita gunakan 10. Contoh:
3. Perkalian Bilangan Oktal Perkalian bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara yang sama dengan perkalian bilangan desimal. Berikut caranya : 1. Kalikan masing-masing kolom secara desimal. 2. Kemudian ubah dari hasil desimal ke oktal. 3. Tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil oktal. 4. Jika hasil perkalian tiap-tiap kolom terdiri dari 2 digit, maka digit yang berada di posisi paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom berikutnya. Contoh : 4. Pembagian Bilangan Oktal Untuk Pembagian Oktal terbilang cukup rumit. Caranya hampir sama dengan pembagian desimal hanya saja bilangan harus dibagikan secara oktal, yang artinya kita harus mengetahui hasil perkalian oktal dari pembaginya. misalnya, 53 akan dibagikan dengan 6 dan kita coba dengan 6 x 7. dalam desimal : 6 x 7 = 42 dalam oktal : 6 x 7 = 52
maka: 53 dikurang 52, hasil dari 6 x 7 secara oktal. Jika suatu pembagian memiliki sisa, maka akan menjadi remainder(sisa) yang dilambangkan R. Contoh : Untuk Penjumlahan, Pengurangan, Pengkalian, dan Pembagian bilangan oktal, dapat dilakukan dengan kalkulator programmer. 1. Untuk Linux dapat dilakukan dengan kalkulator gnome, dengan membuka kalkulator > Mode > Programming > Ganti ke Octal. 2. Untuk Windows dapat dilakukan dengan kalkulator standar, dengan membuka kalkulator > View > Programmer > Ganti ke oct.
Penutup Perhitungan sistem bilangan biner dan bilangan oktal memang tidak mudah tetapi jika kita memahami satu persatu perhitungan tersebut kita dapat memahami setiap cara-cara perhitungan sistem bilangan biner dan oktal. Jika ingin lebih mudah dalam menghitung hasil dari penghitungan tersebut kita dapat menggunakan kalkulator programmer yang telah disediakan oleh Sistem Operasi Linux maupun Windows. Referensi Aryani, Diah. Materi Matakuliah Sistem Digital http://dije06.blogspot.co.id/2015/03/sistem-bilangan-oktal.html http://www.haniif.com/sistem-bilangan-oktal/ http://abbecaprux.blogspot.co.id/2012/04/aritmatika-bilangan-biner.html http://irfanfauzanmtktkj.blogspot.co.id/ Biografi Perkenalkan guysss saya Karunia Suci Lestari. Lahir di Tangerang, tepatnya 8 Januari 1997. Saat ini saya sedang menempuh jenjang Strata 1 Teknik Informatika dengan konsentrasi Multimedia Audio Visual and Broadcasting di salah satu Kampus di Kota Tangerang. Saat ini hobi membuat cerpen sambil dengerin musik lebih asyik kayaknya. Untuk menghubungi saya perihal artikel ini dapat menghubungi saya melalui email saya k.sucilestari97@gmail.com.