Bab 3 Barisa da Deret Bilaga Sumber: www.lombokgilis.com Setelah mempelajari bab ii, diharapka Ada dapat meerapka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah, yaitu megidetifi kasi pola, barisa, da deret bilaga, meerapka kosep barisa da deret aritmetika da geometri. Sebuah home idustry pada bula Jauari 008 memproduksi 310 uit kerajia taga. Home idustry tersebut meargetka jumlah produksiya bertambah 0 uit setiap bula. Berapakah jumlah produksi home idustry tersebut pada bula Desember 008? Dega megguaka kosep barisa aritmetika, Ada dapat memecahka masalah ii. Pada pembahasa kali ii, Ada aka mempelajari barisa bilaga, deret bilaga, da peerapaya. Materi ii sebearya telah Ada dapatka di Kelas IX SMP. Aka tetapi, pada pembelajara kali ii materi pembelajara lebih ditekaka pada masalah sehari-hari di sekitar Ada. A. Pegertia Barisa da Deret Bilaga B. Barisa da Deret Aritmetika C. Barisa da Deret Geometri Barisa da Deret Bilaga 85
Peta Kosep Materi tetag Barisa da Deret Bilaga dapat digambarka sebagai berikut. Barisa da Deret Bilaga mempelajari kosep Barisa Bilaga Deret Bilaga terdiri atas Barisa Aritmetika Barisa Geometri Deret Aritmetika Deret Geometri rumus jumlah suku pertama rumus jumlah suku pertama U = a + ( 1) b = ap 1 S = ( a + ( 1 ) b) utuk p<1 utuk p>1 S a ( 1 p ) = 1 - p S a (pp 1) = p - 1 Soal Pramateri Kerjaka soal-soal berikut, sebelum Ada mempelajari bab ii. 1. Tetukalah hasil operasi pejumlaha da peguraga berikut. a. 6 ( 6) c. 1 7 b. 19 + ( 1) d. 15 ( 10). Tetukalah hasil operasi perkalia da pembagia berikut. Ê ˆ a. 5 3 d. 6 : Á Ë 3 Ê 1 ˆ b. 16 4 e. 90 : Á Ë 4 1 c. 36 Ê ˆ Á Ë 3 3. Tetukalah hasil operasi bilaga berikut. a. ( 3 + ( 5 - ) ) ) b. 6 ( (1 1 + ( -6 6 - ) ) 3) 9 c. d. 1 (- 6-3 Ê ˆ 4 - Á Ë 3 ( ) Ê 3-4 1 Ê ˆ ˆ Á Á Ë Ë 4 Ê 3 ˆ 1 - Á Ë 4 86 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
A Pegertia Barisa da Deret Bilaga Pada pembahasa kali ii ada aka megetahui perbedaa atara barisa bilaga da deret bilaga. Pelajari pembahasa berikut dega baik. 1. Barisa Bilaga Sebelum mempelajari barisa bilaga, pelajarilah ilustrasi berikut. Adi da Sadi adalah dua orag yag berprofesi sebagai salesma di sebuah perusahaa produk alat-alat rumah tagga. Keduaya biasa mejual atau meawarka barag dagagaya secara door to door lagsug medatagi rumah calo kosumeya. Suatu hari pada rumah-rumah yag terletak di Jala Delima, mereka berdua berbagi tugas. Adi memasarka produk di sisi Utara, sedagka Sadi memasarka di sisi Selata. Kata Kuci pola bilaga barisa bilaga deret bilga barisa koverge barisa diverge Adi 1 3 5 Sadi Jala Delima 4 6 Secara kebetula Adi medatagi rumah-rumah beromor 1, 3, 5,...da seterusya. Adapu Sadi medatagi rumahrumah beromor, 4, 6,...da seterusya. Nomor-omor rumah yag didatagi Adi da Sadi dapat dituliska dalam uruta bilaga berikut. Nomor rumah yag didatagi Adi :1, 3, 5,... Nomor rumah yag didatagi Sadi :, 4, 6,... Selajutya, omor-omor rumah yag didatagi Adi disebut uruta bilaga (1) da omor-omor rumah yag didatagi Sadi disebut uruta bilaga (). Oleh karea itu, dapat dituliska: uruta bilaga (1) : 1, 3, 5,... uruta bilaga () :, 4, 6,... Coba Ada perhatika. Jika Adi telah medatagi rumah omor 5 da kemudia ia melajutka ke rumah di sebelahya, dapatkah Ada meyebutka omor rumah beromor yag didatagi Adi? U Barisa da Deret Bilaga 87
Utuk mejawabya, Ada harus meemuka pola atau atura dari uruta bilaga (1). Dapatkah Ada meemuka polaya? Secara ituitif Ada dapat melihat polaya, yaitu "ditambah " Perhatikalah pola uruta bilaga berikut. 1, 3, 5, Gambar 3.1 Nomor rumah di perumaha membetuk barisa bilaga. Sebelah kaa membetuk barisa bilaga gajil 1, 3, 5,..., da sebelah kiri membetuk barisa bilaga geap, 4, 6,... + + + Bilaga 1, 3, da 5 terletak pada uruta ke-1,, da 3. Bilaga yag terletak pada uruta ke- merupaka hasil pejumlaha dari bilaga yag terletak pada uruta ke-1 dega, demikia juga bilaga yag terletak pada uruta ke-3 merupaka hasil pejumlaha dari bilaga yag terletak pada uruta ke- dega. Setelah Ada meemuka pola uruta bilaga (1) maka rumah yag didatagi Adi setelah ia medatagi rumah omor 5 adalah rumah beromor 5 + = 7. Dalam matematika, uruta bilaga yag memiliki pola disebut barisa bilaga. Utuk lebih jelasya, pelajarilah pegertia barisa bilaga berikut. Barisa bilaga didefiisika sebagai susua bilaga yag memiliki pola atau atura tertetu atara satu bilaga dega bilaga berikutya. Dalam pembahasa megeai barisa bilaga, dikeal istilah suku. Istilah suku di sii tidak sama dega istilah suku dalam ilmu-ilmu sosial atau budaya yag merujuk pada pegertia etis atau ras. Utuk memahami istilah suku dalam kosep barisa bilaga, coba Ada perhatika kembali uruta bilaga (1). Pada uruta bilaga (1), agka 1, 3, da 5 masig-masig terletak pada uruta ke-1,, da 3. Dega demikia dapat dikataka bahwa 1 merupaka suku ke-1, 3 merupaka suku ke-, da 5 merupaka suku ke-3 dari uruta bilaga (1). Dalam kosep barisa bilaga, suku ke- disimbolka dega. Dega demikia, pada barisa bilaga 1, 3, 5,... dapat dituliska U 1 = 1, U = 3, da U 3 = 5. Cotoh Soal 3.1 Aa seorag Maajer di sebuah perusahaa elektroika. Ia medapat tugas dari atasaya utuk mejadi paitia dalam acara semiar megeai "Strategi Pemasara Barag-Barag Elektroika". Dalam ruag semiar itu, kursi-kursi para peserta disusu seperti pada gambar berikut. 88 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Baris ke- da seterusya Baris ke- Baris ke-1 Berdasarka ilustrasi tersebut tetuka: a. Jika pada barisa terakhir terdiri atas 15 kursi, tetuka jumlah barisa yag disusu dalam ruaga tersebut. b. Jika utuk tamu udaga diperluka tambaha baris kursi maka tetuka jumlah tamu udaga tersebut. Jawab: a. Jumlah kursi yag disusu pada masig-masig barisa dalam ruag semiar adalah sebagai berikut. baris ke-1 = 3 kursi baris ke- = 5 kursi baris ke-3 = 7 kursi Jika Ada cermati, teryata utuk setiap barisya jumlah kursi bertambah dega pola "ditambah ", berarti jumlah kursi pada setiap barisya, dapat disusu megguaka barisa bilaga berikut. 3, 5, 7, 9, 11, 13,15 Pada barisa tersebut, agka 15 terdapat pada suku ke-7, berarti jumlah barisa yag disusu pada ruaga tersebut terdapat 7 baris. b. Jumlah tamu udaga dapat dihitug dari jumlah kursi dari baris terakhir, yaitu baris ke-8 da ke-9. Dega melihat pola barisa bilaga yag meyataka jumlah kursi pada setiap baris pada soal a da kemudia ditambah suku maka diperoleh barisa bilaga berikut. 3, 5, 7, 9, 11, 13,15, 17, 19 dua suku tambaha Berdasarka barisa bilaga di atas, diperoleh jumlah suku ke-8 da ke-9 besarya adalah U 8 + U 9 = 17 + 19 = 36. Jadi, jumlah tamu udaga adalah 36 orag. Gambar 3. Jumlah kursi pada setiap baris di ruaga semiar dapat membetuk barisa bilaga. Barisa da Deret Bilaga 89
Tugas Siswa 3.1 Cermati kembali ilustrasi megeai Adi da Sadi pada awal Bab 3 ii, diskusika dega kelompok, Ada kemudia jawablah pertayaa berikut. 1. Jika Adi ditugaska oleh supervisorya utuk memasarka produkya utuk 15 rumah da Sadi ditugaska utuk 0 rumah, tetuka omor rumah terakhir yag didatagi oleh Adi da Sadi.. Saat Adi selesai medatagi rumah omor 15, ia merasaka telepo selularya bergetar da teryata SMS dari Sadi masuk. SMS itu berbuyi "Adi kamu telah medatagi berapa rumah? Aku sudah sampai di rumah omor 30". Dapatkah Ada membatu Adi mejawab SMS dari Sadi, da apa jawaba yag tepat? 3. Lihat kembali tugas omor, berapakah jumlah rumah yag telah didatagi Sadi saat ia kirim SMS utuk Adi? Cotoh Soal 3. Pak Sausi adalah seorag direktur perusahaa garme asioal. Utuk memprediksi prospek keutuga perusahaaya empat tahu ke depa, ia megguaka jasa kosulta keuaga. Aspek-aspek yag mejadi pertimbaga ada dua macam, yaitu aspek dalam perusahaa da aspek di luar perusahaa. Aspek dalam perusahaa meliputi kualitas SDM, sistem maajeme, da kodisi eraca keuaga perusahaa. Aspek di luar perusahaa seperti tigkat iflasi, agka pertumbuha peduduk, situasi politik regioal, da tred yag berlaku di masyarakat. Hasil prediksiya adalah sebagai berikut. Gambar 3.3 Keutuga perusahaa garme dapat diprediksi dega megguaka kosep barisa bilaga. Tahu 008 009 010 011 Prediksi Keutuga 5 6 11 17 (dalam milyar rupiah) Jika Ada bekerja di perusahaa garme tersebut da meempati posisi sebagai akuta keuaga, kemudia Ada medapat tugas dari Pak Sausi utuk memprediksi keutuga perusahaa pada tahu 01 da 013, dapatkah Ada mejawabya? Jawab: Keutuga perusahaa garme dari tahu 008 higga 011 dapat ditulis dalam uruta bilaga 5, 6, 11, 17, (1) Perhatika uruta bilaga tersebut. Teryata memiliki pola yag dapat diyataka sebagai berikut. U 1 + U = U 3 Æ 5 + 6 = 11 U + U 3 = U 4 Æ 6 + 11 = 17 90 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Berarti uruta bilaga (1) tersebut merupaka barisa bilaga karea memiliki pola tertetu. Coba Ada amati, keutuga perusahaa pada tahu 01 merupaka suku ke-5 dari barisa bilaga (1) da keutuga perusahaa pada tahu 013 merupaka suku ke-6, U 5 da U 6 dihitug dega cara berikut. U 3 + U 4 = U 5 fi 11 + 17 = 8 Berarti, keutuga perusahaa pada tahu 01 besarya adalah 8 milyar rupiah. Dega meambahka U 5 pada barisa bilaga (1), diperoleh barisa bilaga berikut. 5, 6, 11, 17, 8, () U 6 diperoleh dega perhituga berikut U 4 + U 5 = U 6 fi 17 + 8 = 45, Jadi, keutuga perusahaa pada tahu 013 adalah 45 milyar rupiah. Tugas Siswa 3. Coba Ada cermati kembali Cotoh Soal 3.. Misalka, hasil peelitia kosulta keuaga megeai prediksi keutuga perusahaa garme dalam 4 tahu medatag seperti tabel berikut, Tahu 008 009 010 011 Prediksi Keutuga 3 5 1 4 (dalam milyar rupiah) Diskusikalah dega kelompok Ada utuk memprediksika keutuga perusahaa pada tahu 01 da 015. Notes 1,, 3, 4, 5,... diamaka barisa bilaga asli, 4, 6, 8,10,... diamaka barisa bilaga asli geap 1, 3, 6, 10, 15,... diamaka barisa bilaga segitiga 1, 1,, 3, 5, 8, 13,... diamaka barisa bilaga fi boacci 1, 4, 9, 16, 5,... diamaka barisa persegi, 3, 5, 7, 11,... diamaka barisa bilaga prima Dapatkah Ada temuka pola barisa-barisa tersebut?. Deret Bilaga Coba Ada cermati kembali Cotoh Soal 3.1. Jumlah kursi pada setiap barisya dalam ruag semiar tersebut dapat diyataka dega barisa bilaga 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,... Uruta tersebut merupaka barisa bilaga karea memiliki pola, yaitu "ditambah ". Pada pembahasa kali ii, Ada aka diperkealka dega kosep deret bilaga. Deret bilaga merupaka jumlah berutu dari suku-suku suatu barisa bilaga. Berarti, deret bilaga dari barisa 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,... adalah 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +... Jika dalam ruag semiar pada Cotoh Soal 3.1, terdapat 7 baris kursi maka Barisa da Deret Bilaga 91
Jelajah Matematika Fiboacci (1170 150) Leoardo dari Pisa adalah orag yag megealka agka ol ke duia Barat. Aak muda yag lebih dikeal dega ama Fiboacci ii belajar matematika dari orag-orag islam da mejadi matematikawa jeius dega autodidak. Ia meemuka deret bilaga yag diberi ama seperti amaya, deret Fiboacci, yaitu 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89, 144, 33, 377, Sumber: Esiklopedi Matematika,008 jumlah seluruh kursi dalam ruag semiar tersebut dapat dihitug dega cara: 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 63 Selajutya, diperoleh jumlah seluruh kursi dalam ruag semiar tersebut adalah 63 buah. Hasil pejumlaha 7 suku pada suatu deret disimbolka dega S 7 maka pada deret 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +... diperoleh S 7 = 63. Uraia tersebut memperjelas defiisi deret berikut. Jika U 1, U, U 3,, U merupaka suku-suku suatu barisa maka U 1 + U + U 3 + + diamaka deret. Disimbolka dega S. Jadi, U 1 + U + U 3 + + = S Berikut dapat dilihat beberapa cotoh deret. 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 diamaka deret 6 bilaga asli pertama + 3 + 5 + 7 + 11 diamaka deret 5 bilaga prima pertama 0 + + 4 + 6 + 8 + 10 +1 diamaka deret 7 bilaga geap pertama. Tugas Siswa 3.3 Perhatika deret bilaga asli, deret bilaga prima, da deret bilaga geap pada uraia di atas. Kemudia, tetukalah S 10 dari masig-masig deret tersebut. Utuk lebih memahami kosep deret bilaga, pelajari Cotoh Soal 3.3 berikut dega baik. Cotoh Soal 3.3 Ai seorag staf di bagia persoalia pada suatu perusahaa BUMN. Ia medapat kepercayaa utuk mejadi ketua paitia pada hari ulag tahu ke-30 perusahaa tersebut. Peserta upacara pada hari ulag tahu perusahaa itu aka berbaris seperti gambar berikut.. Kelompok 1 Kelompok Kelompok 3 Kelompok 4 Terdiri atas 7 kelompok Tetuka jumlah peserta upacara yag harus dipersiapka Ai. 9 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Jawab: Jumlah peserta pada setiap kelompok dapat diyataka dega barisa bilaga 1, 4, 9, 16,... Oleh karea barisa upacara itu terdiri atas 7 kelompok maka harus ditetuka jumlah peserta pada kelompok 5 higga 7, dega meetuka pola bilaga pada barisa tersebut terlebih dahulu, yaitu: U 1 = 1 maka 1 = 1 diperoleh U 1 = 1 U = 4 maka = 4 diperoleh U = U 3 = 9 maka 3 = 9 diperoleh U 3 = 3 U 4 = 16 maka 4 = 16 diperoleh U 4 = 4 Berdasarka uraia tersebut, diperoleh pola bilaga = sehigga diperoleh: U 5 = 5 = 5 U 6 = 6 = 36 U 7 = 7 = 49 Oleh karea uruta bilaga tersebut memiliki pola maka uruta bilaga itu merupaka barisa bilaga. Jadi, jumlah seluruh peserta upacara adalah 1 orag + 4 orag + 9 orag + 16 orag + 5 orag + 36 orag + 49 orag = 140 orag. Cotoh Soal 3.4 Biro Pusat Statistik memperkiraka bahwa agka kelahira bayi di desa Suka Seag setiap bulaya, dari bula Jauari higga Desember, selama tahu 008 dapat diyataka dega barisa bilaga, 6, 18,. Nilai suku ke-1, ke-, sampai ke-1 meyataka jumlah bayi yag lahir pada bula Jauari, Februari, sampai Desember. Berdasarka ilustrasi tersebut, a. temuka pola barisa bilaga, 6, 18, da tetuka pula ilai suku ke-4 sampai suku ke-6, b. tetuka jumlah seluruh kelahira higga bula Jui. Jawab: a. Perhatika barisa bilaga, 6, 18, Nilai suku ke- barisa bilaga tersebut sama dega hasil perkalia ilai suku ke-1 dega 3. Demikia juga ilai suku ke-3 adalah hasil perkalia ilai suku ke- dega 3. U 1 = U = 3 = 6 U 3 = 6 3 = 18 Berdasarka uraia tersebut, ilai U 4, U 5, da U 6 barisa bilaga tersebut dapat diperoleh dega perhituga berikut. U 4 = 18 3 = 54 U 5 = 54 3 = 16 U 6 = 16 3 = 486 Barisa da Deret Bilaga 93
b. Kelahira bayi pada bula Jauari sampai dega Jui membetuk barisa bilaga, 6, 18, 54, 16, 486. Jadi, jumlah seluruh kelahira bayi dari bula Jauari higga Jui besarya adalah + 6 + 18 + 54 + 16 + 486 = 78 kelahira. Tugas Siswa 3.4 Lakuka tugas ii secara bekelompok. Datagilah kator keluraha atau kecamata di tempat tiggalmu, kemudia mitalah data tetag jumlah seluruh agka kelahira bayi dari tahu 1995 higga tahu 007. Dari data tersebut, dapatkah Ada meemuka polaya?. Kemudia prediksilah jumlah kelahira dari tahu 008 higga 01, da hituglah seluruh kelahira dari tahu 008 higga 01. Evaluasi Materi 3.1 Kerjaka soal-soal berikut di buku latiha Ada. 1. Tetuka pola barisa berikut, kemudia tetukalah U, U, da U 6 dari masig-masig 8 10 barisa. a. 6,, 10, 18, c. 9,, 5, 1, b. 1, 3, 8, 14, d. 3, 1, 4, 8,. Tetukalah U, U, da U 5 dari pola-pola 7 10 bilaga berikut. a. = + 3 c. = + b. = 3 5 d. = 7 3. Buatlah deret 10 suku pertama dari suku-suku barisa pada soal omor 1. Tetukalah ilai S 10 dari deret tersebut. 4. Data kelahira bayi di Kecamata Ruku Makmur selama tahu 000 sampai 007 dapat diyataka dega barisa berikut. 40 bayi, 80 bayi, 160 bayi,... Berdasarka ilustrasi tersebut, jawablah pertayaa berikut. a. Tetukalah pola barisa yag meyataka agka kelahira bayi di Kecamata Ruku Makmur. b. Tetuka agka kelahira bayi pada tahu 006 da 007. c. Tetuka jumlah seluruh bayi yag lahir dari tahu 000 higga 007. 5. Data ilai ekspor dari perusahaa bisis adalah sebagai berikut. Tahu Nilai Ekspor (dalam milyar rupiah) 00 3 003 4 004 6 005 9 006 13 007 18 008 009 Berdasarka ilustrasi tersebut, jawablah pertayaa-pertayaa berikut. 94 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
a. Jika ilai ekspor dari tahu 00 higga 007 membetuk suatu barisa bilaga maka tetuka pola barisa bilaga tersebut b. Prediksilah ilai ekspor perusahaa pada tahu 008 da 009. c. Hituglah jumlah prediksi ilai ekpor perusahaa tersebut dari tahu 00 sampai dega tahu 010. B Barisa da Deret Aritmetika Secara umum, Ada telah mempelajari perbedaa atara barisa da deret bilaga pada Subbab A. Pada Subbab ii, Ada aka mempelajari barisa da deret yag khusus, yaitu barisa da deret aritmetika. Pelajarilah uraia berikut dega baik. Kata Kuci barisa aritmetika deret aritmetika 1. Barisa Aritmetika Ciri barisa aritmetika adalah atara bilaga pada sukusuku yag berdampiga memiliki selisih atau beda yag tetap. Perhatika barisa berikut. (i) 0,, 4, 6, (ii) 8, 5,, 1, 4, Jika Ada cermati, setiap suku-suku yag berdampiga pada barisa bilaga (i) selalu memiliki beda yag tetap, yaitu. 0 = 4 = 6 4 =. Secara umum, dapat ditulis sebagai berikut. U U 1 = U 3 U = U 4 U 3 = 1 = b Pada barisa aritmetika, beda disimbolka dega, da suku ke-1 yaitu U 1 disimbolka dega a. Berdasarka uraia tersebut, ciri barisa aritmetika adalah sebagai berikut. 1 = b Rumus suku ke- diyataka dega persamaa: = a + ( 1)b Barisa (i) memiliki a = 0, da b =. Suku-suku pada barisa itu dapat diyataka sebagai berikut. U 1 = 0 + (1 1) = 0 U = 0 + ( 1) = U 3 = 0 + (3 1) = 4 U 4 = 0 + (4 1) = 6 Barisa da Deret Bilaga 95
Soal Piliha Seorag ayah membagika uag sebesar Rp100.000,00 kepada 4 orag aakya. Maki muda usia aak, maki kecil uag yag diterima. Selisih yag diterima oleh setiap dua aak yag usiaya berdekata adalah Rp5000,00. Tetuka jumlah uag yag diterima oleh si bugsu. UAN, 003 maka diperoleh rumus suku ke- pada barisa (i) adalah sebagai berikut. = a + ( 1)b = 0 + ( 1) = 0 + = Tugas Siswa 3.5 Lihat kembali barisa (ii) pada uraia di atas. Tetukalah rumus suku ke- pada barisa (ii) da tetuka bilaga yag merupaka suku ke-0 pada barisa (ii). Kosep barisa aritmetika dapat diaplikasika dalam kehidupa sehari-hari. Pelajarilah Cotoh Soal 3.5 berikut agar Ada dapat memahamiya dega baik. Cotoh Soal 3.5 Sumber : www.ebizzasia.com Gambar 3.4 Jika tabuga awal diketahui da jumlah perubaha tabuga kosta setiap bulaya maka bula ke- dapat ditetuka dega megguaka barisa aritmetika. Adi membuka rekeig tabuga di sebuah Bak. Pada bula pertama, ia meyetor uag Rp100.000,00. Jumlah setora aka ia aikka sebesar Rp 0.000,00 dari setiap bula sebelumya. Tetuka: a. besar setora Adi pada bula ke-10, b. pada bula ke berapakah jumlah setora Adi Rp 340.000,00? Jawab: a. Jumlah setora Adi setiap bulaya dapat dituliska dega barisa berikut. 100.000, 10.000, 140.000, Setora bula ke-1 Setora bula ke- Setora bula ke-3 Barisa tersebut merupaka barisa aritmetika karea beda setiap suku yag bersebelaha besarya tetap. Setora pada bula ke-1 = a = 100.000 Keaikka setora setiap bulaya = b = 0.000 Setora pada bula ke-10 meyataka suku ke-10 atau U 10 dari barisa tersebut. Dega megguaka rumus suku ke-; diperoleh = a + ( 1) b U 10 = 100.000 + (10 1) 0.000 U 10 = 100.000 + 9 0.000 U 10 = 100.000 + 180.000 U 10 = 80.000 Jadi, setora Adi pada bula ke-10 besarya adalah Rp 80.000,00 96 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
b. Pada bula ke-, setora Adi sebesar Rp340.000, berarti diperoleh persamaa sebagai berikut. = 340.000...(1) = a + ( 1) b = 100.000 + ( 1) 0.000...() Dari persamaa (1) da () diperoleh 340.000 = 100.000 + ( 1) 0.000 340.000 100.000 = 0.000 ( 1) 40.000 = 0.000 ( 1) 1 = 40.000 0.000 1 = 1 1 = 13 Jadi, setora Adi pada bula ke-13 besarya Rp340.000,00. Utuk lebih memahami kosep barisa aritmetika pelajarilah Cotoh Soal 3.6 berikut. Cotoh Soal 3.6 Ayu seorag staf persoalia di sebuah perusahaa maufaktur. Ia medapat tugas dari maajer utuk membuat lapora megeai jumlah surat lamara yag masuk ke perusahaa tersebut dari tahu 1999 sampai tahu 006. Aka tetapi, catata tersebut hilag. Ia haya megigat bahwa jumlah surat lamara setiap tahu dari tahu 1999 sampai tahu 006 membetuk suatu barisa aritmetika, jumlah pelamar pada tahu 001 da tahu 005 besarya masig-masig adalah 110 da 10. Berdasarka ilustrasi tersebut, tetuka jumlah pelamar setiap tahuya dari tahu 1999 sampai tahu 006. Jawab: Jika jumlah pelamar setiap tahu membetuk suatu barisa aritmetika, berarti jumlah pelamar pada tahu 1999 merupaka suku ke-1, jumlah pelamar pada tahu 000 merupaka suku ke-, da seterusya. Oleh karea, jumlah pelamar pada tahu 001 da 005 merupaka suku ke-3 da suku ke-7 dari barisa aritmetika tersebut. Oleh karea rumus suku ke- barisa aritmetika adalah = a + ( 1)b maka diperoleh U 3 = a + (3 1)b = a + b Oleh karea U 3 = 110 maka a + b = 110 (1), da U 7 = a + (7 1)b = a + 6b, Oleh karea U 7 = 10 maka a + 6b = 10 (). Utuk memperoleh beda (b) dari deret aritmetika, dapat diguaka cara substitusi berikut. Dari persamaa (1), diperoleh a + b = 110 a = 110 6 (3) Subtitusi persamaa (3) pada persamaa (), diperoleh (110 b + 6b )= 10 110 + 4b = 10 110 + 4b = 10 Soal Piliha Buatlah 5 cotoh barisa aritmetika selai cotoh yag sudah ada. Dari ke- 5 cotoh tersebut, tetuka pula rumus jumlah suku pertamaya Barisa da Deret Bilaga 97
4b = 10 110 10-110 100 b = = =5 4 4 Kemudia, utuk memperoleh U 1 = a substitusi b = 5 pada persamaa (3) sehigga diperoleh a = 110 (5) = 110 50 = 60 Jadi, suku pertama deret tersebut adalah 60. Berdasarka hasil perhituga tersebut, diperoleh barisa aritmetika yag meyataka jumlah pelamar dari tahu 1999 higga tahu 006 adalah sebagai berikut. 60 orag, 85 orag, 110 orag, 135 orag, 160 orag, 185 orag, 10 orag.. Deret Aritmetika Coba Ada lihat kembali Cotoh Soal 3.3 pada pembahasa sebelumya. Jika ditayaka "berapakah besar setora Adi seluruhya selama 10 bula pertama?" maka jawabaya adalah deret berikut: S 10 = 100.000 + 10.000 + 140.000 + + 80.000 Setora bula ke-1 Setora bula ke-10 Deret tersebut merupaka deret aritmetika karea setiap sukuya memiliki perbedaa tetap. Deret tersebut meyataka jumlah 10 suku pertama, disimbolka dega S 10. Pada pembahasa sebelumya, Ada telah megetahui bahwa jumlah suku pertama dari suatu deret disimbolka dega S. Jumlah suku pertama deret aritmetika dapat diperoleh dega persama berikut. S = (a + ) atau S = (a + ( 1) b) Keteraga: = bayak suku, a = suku pertama, da b = beda Jumlah total setora Adi selama 10 bula pertama dapat dihitug dega perhituga berikut. S = (a + ( 1)b) di maa = 10, a = 100.000, da b = 0.000 sehigga diperoleh 98 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
S 10 = 10 ( 100.000 + (10 1) 0.000 S 10 = 5 (00.000 + 9 0.000) S 10 = 5 (00.000 + 180.000) S 10 = 5 (380.000) S 10 = 1.900.000 Berdasarka perhituga tersebut, diperoleh besar setora Adi selama 10 bula adalah Rp1.900.000,00. Utuk jumlah suku yag tidak bayak, dapat dihitug dega cara berikut: 100.000 + 10.000 + 140.000 + 160.000 + 180.000 + 00.000 + 0.000 + 40.000 + 60.000 + 80.000 = 1.900.000 Diperoleh hasil yag sama, tetapi utuk yag cukup besar cara ii aka memaka waktu lama. Uraia tersebut memperjelas defiisi deret aritmetika berikut. Soal Piliha Keutuga seorag pedagag bertambah setiap bula dega jumlah yag sama. Keutuga sampai bula keempat Rp30.000,00 da sampai bula kedelapa Rp17.000,00. Tetuka keutuga pedagag itu sampai bula ke-18. UMPTN, 1998 Jika U 1, U, U 3, merupaka suku-suku barisa aritmetika, maka U 1 + U + U 3 + diamaka deret aritmetika. Cotoh Soal 3.7 Jumlah agka kelahira bayi di desa Sukamaju pada 1995 bayakya 1.000 orag per tahu. Biro Pusat Statistik (BPS) memperkiraka bahwa jumlah kelahira bayi pada tahu-tahu berikutya aka meigkat 00 orag dari tahu sebelumya. Berdasarka perkiraa BPS tersebut, tetuka: a. jumlah bayi yag lahir pada tahu 007, b. jumlah seluruh kelahira bayi dari tahu 1995 higga tahu 005, c. jumlah seluruh kelahira bayi dari tahu 000 higga tahu 005. Jawab: a. Jumlah bayi yag lahir setiap tahu di desa Sukamaju dapat ditulis dalam barisa aritmetika berikut. 1.000, 1.00, 1.400, Bayi yag lahir pada tahu 1995 Bayi yag lahir pada tahu 1996 Bayi yag lahir pada tahu 1997 Gambar 3.5 Sumber : images.diiauliya. multiply.com Jumlah agka kelahira dari tahu ke tahu dapat ditetuka dega kosep barisa da deret aritmetika. Bayi yag lahir pada tahu 1995 = a = 1.000 Keaika jumlah kelahira bayi tiap tahu = b = 00 Bayi yag lahir pada tahu 007 merupaka suku ke-13 dari barisa aritmetika tersebut. Berarti, bayi yag lahir pada tahu 007 = U 13 da = 13 Dega megguaka rumus suku ke-: = a + ( 1) b, diperoleh Barisa da Deret Bilaga 99
Solusi Cerdas Suatu perusaha pada tahu pertama memproduksi 5.000 uit barag. Pada tahu-tahu berikutya produksiya turu secara tetap sebesar 80 uit per tahu. Produksi 3.000 uit barag terjadi pada tahu ke. a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8 Jawab U 1 = 5.000 b = 80 = 3.000 = a + ( 1) b 3.000 = 5.000 + ( 1) ( 80).000 = 80 + 80 = 80 = -. 080 = 6-80 Jawaba: c UAN SMK, 00 U 13 = 1.000 + (13 1) 00 U 13 = 1.000 + 1 00 U 13 = 1.000 +.400 U 13 = 3.400 Jadi, jumlah kelahira bayi pada tahu 007 adalah 3.400 orag. b. Dari tahu 1995 sampai tahu 005 terdiri atas 11 suku. Jumlah seluruh bayi yag lahir dari tahu 1995 higga tahu 005, adalah S 11 dega a = 1.000, b = 00, da = 11. Dega megguaka rumus jumlah suku pertama dari deret aritmetika, diperoleh S = (a + ( 1)b) S 11 = 11 ( 1.000 + (11 1) 00) S 11 = 11 (.000 + (10) 00) S 11 = 11 (.000 +.000) S 11 = 11 (4.000) S 11 =.000 Jadi, jumlah seluruh bayi yag lahir dari tahu 1995 higga tahu 005 adalah.000 orag. c. Jumlah seluruh kelahira bayi dari tahu 000 higga tahu 005 dapat dihitug dega mejumlah seluruh kelahira bayi dari tahu 1995 sampai dega tahu 005. Kemudia, dikuragi jumlah seluruh kelahira bayi dari tahu 1995 sampai tahu 000. Jumlah bayi yag lahir dari tahu 1995 000 000 higga tahu 005 = S 11 S 6 005 U 1 U 6 U 11 Jumlah bayi yag lahir dari tahu 1995 higaga tahu 000 = S 6 Jumlah bayi yag lahir dari tahu 1995 higga tahu 005 = S 11 Jumlah seluruh kelahira bayi dari tahu 000 higga tahu 005 adalah S 11 S 6, di maa S 11 =.000 S 6 = 6 ( 1.000 + (6 1) -00) = 3 (.000 + 1.000) = 9.000 100 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
sehigga =.000 9.000 = 1.000 Jadi, jumlah kelahira bayi dari tahu 000 higga tahu 005 adalah 1.000 orag. Cotoh Soal 3.8 Diperoleh data megeai jumlah karyawa baru yag diterima oleh suatu perusahaa dari tahu 1997 sampai tahu 006. Teryata data tersebut membetuk suatu barisa aritmetika. Diketahui jumlah seluruh karyawa yag diterima selama kuru waktu dari tahu 1997 sampai tahu 006 berjumlah 35 orag, da jumlah karyawa yag diterima pada tahu 000 adalah 5 orag. Tetukalah: a. jumlah karyawa yag diterima perusahaa tersebut pada tahu 004, b. jumlah seluruh karyawa yag diterima perusahaa tersebut dalam kuru waktu tahu 000 higga 006. Jawab: a. Jumlah karyawa yag diterima oleh perusahaa tersebut dari tahu 1997 sampai tahu 006 dapat diyataka dega barisa bilaga berikut. U 1, U, U 3,, U 10. 1997 1998 Oleh karea dari tahu 1997 sampai tahu 006 terdiri atas 10 suku maka jumlah seluruh karyawa yag diterima oleh perusahaa tersebut dari tahu 1997 higga tahu 006 merupaka deret 10 suku pertamaya, yaitu U 1 + U + U 3 +... + U 10 = 35 S 10 = 35 Dega megigat rumus jumlah suku pertama suatu deret aritmetika S = (a + ( 1) b) maka diperoleh persamaa berikut. S 10 = 10 (a + (10 1)b) 35 = 5(a + 9b) 35 = 10a + 45b (1) Persamaa laiya dapat diformulasika dari keteraga bahwa jumlah karyawa yag diterima pada tahu 000 adalah 5 orag. Jumlah karyawa yag diterima pada tahu 000 merupaka suku ke-4 dari barisa maka dega rumus = a + ( 1)b, diperoleh persamaa U 4 = a + (4 1)b U = a + 3b 4 5 = a + 3b () Barisa da Deret Bilaga 101
Dari persamaa (), diperoleh 5 = a + 3b a = 5 3b (3) Substitusi persamaa (3) pada persamaa (1), diperoleh persamaa berikut. 35 = 10( 5 3b) + 45b 35 = 50 30b + 45b 35 50 = 15b 75 = 15b 75 b = 15 = 5 Jadi, diperoleh beda barisa aritmetika tersebut adalah b = 5. Utuk memperoleh ilai a = U 1, substitusi b = 5 pada persamaa (3), diperoleh a = 5 3(5) a = 5 15 a = 10 Jumlah karyawa yag diterima perusahaa tersebut pada tahu 004 merupaka suku ke-8 maka diperoleh U 8 = a + (8 1)b = 10 + (7) 5 = 10 + 35 = 45. Jadi, jumlah karyawa yag diterima perusahaa tersebut pada tahu 004 adalah 45 orag. b. Jumlah seluruh karyawa yag diterima pada tahu 000 sampai tahu 006 dapat dihitug dega meguragka jumlah seluruh karyawa yag diterima pada tahu 1997 sampai tahu 006 dega jumlah seluruh karyawa yag diterima pada tahu 1997 sampai tahu 1999. Karyawa yag diterima pada tahu 1997 sampai tahu 006 adalah 35 orag da yag diterima pada tahu 1997 sampai tahu 1999 merupaka pejumlaha deret 3 suku pertamaya. Dega demikia, diperoleh 35 S 3 = 35 3 ((10) + (3 1) 5) = 35 3 (0 + 10) = 35 45 = 80 Jadi, jumlah seluruh karyawa yag diterima pada tahu 000 sampai tahu 006 ada 80 orag. Evaluasi Materi 3. Kerjaka soal-soal berikut di buku latiha Ada. 1. Perhatika barisa aritmetika berikut. i., 7, 1, 17, ii. 3, 5, 13, 1, iii. 1, 6, 0, 6, iv., 3, 8, 13, 10 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Jawablah pertayaa berikut. a. Tetuka rumus suku ke- dari barisabarisa tersebut. (Petujuk: tetuka dahulu ilai a da b dari setiap barisa, kemudia substitusika ke rumus ) b. Tetuka suku ke 17 dari barisa i, suku ke-10 dari barisa ii, suku ke-9 dari barisa iii, da suku ke 1 dari barisa iv. c. Pada barisa i, tetuka ilai jika = 77. d. Pada barisa ii, tetuka ilai jika = 93 e. Pada barisa iii, tetuka ilai jika = 108 f. Pada barisa iv, tetuka ilai jika = 48 g. Tetuka jumlah 10 suku pertama pada barisa i. h. Tetuka jumlah 0 suku pertama pada barisa ii. i. Tetuka jumlah 15 suku pertama pada barisa iii. j. Tetuka jumlah 10 suku pertama pada barisa iv. k. Tetuka hasil pejumlaha seluruh suku dari suku ke-5 higga suku ke-1 pada barisa i. l. Tetuka hasil pejumlaha seluruh suku dari suku ke-10 higga suku ke-15 pada barisa iv.. Tetuka bayakya suku pada barisa aritmetika berikut ii. a. 4, 8, 0, 176 b. 10, 6,, -,, 70 c. 8, 3, 38,, 158. 3. Tetuka hasil pejumlaha seluruh suku pada barisa a, b, da c soal omor. 4. Pak Budi membuka peteraka ayam pada awal tahu 007. Mula-mula dipelihara 60 ekor ayam. Selama bula Jauari 007, meetas 10 ekor ayam. Diprediksi jumlah ayam yag meetas setiap bula aka bertambah 5 ekor dari bula sebelumya. Tetuka. a. jumlah ayam yag meetas pada bula Februari 008, Sumber : www.goodexperiece.co b. jumlah seluruh ayam yag meetas selama tahu 007, c. jumlah seluruh ayam yag dimiliki Pak Budi sampai Desember 008, d. jumlah ayam yag meetas sepajag tahu 008. 5. Berdasarka sesus Departeme Sosial yag dilakuka di Kota X, berhasil diketahui bahwa jumlah seluruh peduduk yag hidup di bawah garis kemiskia pada tahu 000 adalah 576.000 jiwa. Setelah perbaika ekoomi asioal, pada tahu 001 jumlah peduduk miski berkurag 1000 orag. Peguraga jumlah peduduk miski tersebut setiap tahu aka meigkat 000 orag dari setiap tahu sebelumya. Kapa seluruh peduduk kota X aka seluruhya hidup di atas garis kemiskia? 6. Dalam suatu perusahaa terdapat 5 divisi. Divisi-divisi tersebut memiliki jumlah persoel. Jika divisi-divisi tersebut diurutka mulai dari yag jumlah persoelya palig sedikit ke jumlah persoel yag maki bayak maka diperoleh uruta sebagai berikut: divisi persoalia, divisi logistik, divisi keuaga, divisi pemasara, da divisi produksi. Setelah diurutka, teryata jumlah masigmasig persoel dari setiap divisi tersebut membetuk barisa aritmetika. Jika diketahui jumlah persoel divisi keuaga adalah 30 orag da jumlah persoel divisi pemasara da produksi adalah 80 orag, tetuka: a. jumlah seluruh persoel divisi persoalia da divisi logistik. b. jumlah seluruh karyawa perusahaa tersebut. Barisa da Deret Bilaga 103
C Barisa da Deret Geometri Kata Kuci barisa geometri deret geometri rasio Pada subbab B, Ada telah mempelajari barisa aritmetika. Ciri barisa aritmetika memiliki beda yag sama. Pada subbab ii, Ada aka mempelajari barisa geometri. Apakah perbedaa atara barisa aritmetika da barisa geometri? Pelajarilah uraia berikut. 1. Barisa Geometri Coba Ada perhatika barisa berikut. a. 3, 9, 7, 81,... b. 3, 18, 8, 4,... Dari barisa a, dapat dilihat bahwa pada suku-suku yag berdekata memiliki hasil bagi yag tetap, yaitu: U U 1 U U 3 U U 4 3 9 = =3 3 7 = =3 9 81 = =3 7 Berdasarka perhituga tersebut, Ada dapat melihat bahwa hasil bagi pada barisa tersebut adalah 3. Barisa tersebut memiliki ciri tertetu, yaitu perbadiga dua suku beruruta memiliki ilai tetap (kosta). Barisa yag memiliki ciri seperti ii disebut barisa geometri. Perbedaa yag kosta itu disebut rasio. Uraia tersebut memperjelas bahwa barisa geometri memiliki ciri sebagai berikut. U U -1 = r dega r merupaka rasio barisa geometri. Rasio pada barisa geometri dapat merupaka bilaga bulat (positif da egatif), dapat pula merupaka bilaga pecaha (positif da egatif). Coba Ada lihat barisa b pada pembahasa sebelumya. Barisa tersebut memiliki uruta bilaga sebagai berikut. 3, 16, 8, 4, 104 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Rasio pada barisa tersebut adalah r = U U r = U U -1 1 r = 16 3 r = 1 U3 U = = U U = 8 16 = 4 8 4 3 Coba Ada badigka barisa a da barisa b pada pembahasa tersebut. Apa yag dapat Ada simpulka? Jika r > 1 maka semaki besar sukuya, bilaga juga semaki besar. Jika r < 1 maka semaki besar sukuya, bilaga juga semaki kecil. Rumus suku ke- barisa geometri dapat diyataka sebagai berikut. = a r 1 dega a merupaka suku ke-1 da r merupaka rasio bilaga. Dapatkah Ada meetuka rumus suku ke- pada barisa a da b? Barisa a memiliki a = 3 da r = 3 maka rumus suku ke- barisa ii adalah = 3 3 1 = 3 1 3 3 1 = 3 3 1 1 = 3 3 0 = 3 Jadi, rumus suku ke- barisa 3, 9, 7, 81,... Barisa b memiliki a = 3 da r = 1 maka rumus suku ke- barisa ii adalah sebagai berikut. -1 Solusi Cerdas Dari suatu barisa geometri diketahui suku ke-5 adalah 5 da suku ke-7 adalah 65. Suku ke-3 barisa tersebut adalah. 1 a. b. 5 1 5 c. 0 d. 1 e. 5 Jawab U 5 = 5 = ar 4. (1) U 7 = 65 = ar 6. () Dari (1) da () diperoleh ar ar 6 4 65 = r = 5 5 r = ± 5 Dari (1), diperoleh ar 4 = a (5) 4 = 5 a 65 = 5 5 a = 65 = 1 5 U 3 = ar = 1 5 (5) Jawaba: d UAN SMK, 003 = 3 1 = 3 = 3 = 64 Ê 1 ˆ Á Ë Ê 1 Ë ÁÊ ˆ Ê 1 ˆ Á. Ë Ê 1 ˆ Á Ë -1 Barisa da Deret Bilaga 105
Jadi, rumus suku ke- barisa 3, 16, 8, 4,... adalah 1 = 64 Ê ˆ Á. Ë Sekarag, coba Ada perhatika uraia berikut. 1 Ê 1 ˆ Bilaga pada suku ke-1 adalah U 1 = 64 Á Ë U 1 = 64 1 Search Ketik: www.e-dukasi.et/ mapok/barisa da deret. Website ii memuat materi barisa da deret, yag terdiri atas barisa da deret aritmetika da geometri. Selai itu, memuat latiha da simulasi megguaka aimasi sehigga Ada dapat berlatih secara olie. U 1 = 3 Ê 1 ˆ Bilaga pada suku ke- adalah U = 64 Á Ë U = 7 1 4 U = 16 Ê 1 ˆ Bilaga pada suku ke-3 adalah U 3 = 64 Á Ë U 3 = 64 1 8 U 3 = 8 Cotoh Soal 3.9 3 Berdasarka peelitia Biro Pusat Statistik (BPS), pertumbuha peduduk di kota A, selalu meigkat 3 kali dari tahu sebelumya. Hasil sesus peduduk tahu 1998 meujukka jumlah peduduk di kota tersebut adalah 900.000 jiwa. Tetuka: a. barisa geometri yag meyataka jumlah peduduk di kota A, mulai dari tahu 1998, b. jumlah peduduk di kota A pada tahu 008 (meurut peelitia BPS). Jawab: a. Jumlah peduduk di kota A tahu 1998 = a = 900.000 Pertumbuha peduduk meigkat 3 kali dari tahu sebelumya, berarti rasio = 3 atau r = 3. Diperoleh barisa geometri sebagai berikut. 900.000,.700.000, 8.100.000,. 3 3 Jadi, barisa geometri yag dimaksud adalah 900.000,.700.000, 8.100.000,... 106 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
b. Jumlah peduduk tahu 1998 = 900.000 Æ suku ke-1 Jumlah peduduk tahu 1999 =.700.000 Æ suku ke- Jumlah peduduk tahu 008 =? Æ suku ke-11 Berdasarka pembahasa pada soal a, diperoleh a = U 1 = 900.000 r = 3 diperoleh rumus suku ke- sebagai berikut = ar 1 = 900.000 3 1 = 900.000 3 3 = 300.000 3 1 3 3 Jumlah peduduk kota A tahu 008 merupaka bilaga pada suku ke-11 dari barisa geometri sehigga diperoleh U 11 = 300.000 3 11 U 11 = 53.144.100.000 jiwa. Jadi, jumlah peduduk kota A pada tahu 008 adalah 53.144.100.000 jiwa. Gambar 3.6 Sumber: demetad.com Cotoh Soal 3.9 merupaka aplikasi dari barisa geometri. Cotoh lai dari aplikasi barisa geometri dapat Ada pelajari pada Cotoh Soal 3.10 berikut. Jumlah peduduk di suatu kota dari tahu ke tahu dapat diprediksi megguaka barisa da deret geometri. Cotoh Soal 3.10 Biro Pusat statistik memperoleh data yag meyataka bahwa jika agka pegaggura diurutka mulai dari tahu 00 higga tahu 007 maka terbetuk suatu barisa geometri. Diperoleh juga iformasi bahwa agka pegaggura pada tahu 004 adalah 000 orag da tahu 006 adalah 8000 orag. Berdasarka ilustrasi tersebut, tulislah barisa geometri yag meyataka agka dari tahu 00-tahu 007. Jawab: Barisa geometri yag dimaksud adalah sebagai berikut. Agka pegaggura tahu 00, pegaggura tahu 003, pegaggura tahu 004, pegaggura tahu 005, pegaggura tahu 006, pegaggura tahu 007. Berdasarka barisa geometri tersebut, diperoleh keteraga bahwa agka pegaggura pada tahu 004 adalah 000, merupaka suku ke-3 atau dituliska U 3 = 000. Dega memperhatika bahwa rumus suku ke- pada barisa geometri dapat ditulis sebagai = a.r 1, maka diperoleh, Barisa da Deret Bilaga 107
Search Ketik: http://bebas_ vism.org/v1/ sposor/sposor. pedampig/ praweda/ matematika Buga majemuk merupaka salah satu aplikasi deret geometri. Website ii memuat rumus buga majemuk yag dapat diguaka utuk masalah pertumbuha taama, perkembaga bakteri (p70), juga utuk masalah peyusuta mesi. U 3 = 000 ar 3 1 = 000 ar = 000...(1) Agka pegaggura pada tahu 006 adalah 8000, merupaka suku ke-5. Dega cara yag sama, diperoleh U 5 = 8000 ar 5 1 = 8000 ar 4 = 8000...() Dari persamaa (1) dapat diperoleh persamaa(3) berikut. 000 ar = 000 (3) r Substitusi persamaa (3) ke persamaa () diperoleh 000 r 4 = 8000 r 000 r = 8000 r = 8. 000. 000 r = 4 r = ± 4 diperoleh r 1 = da r = Diperoleh buah ilai r, yaitu da. Utuk ilai rasio barisa geometri pada kasus permasalaha ii tidak mugki berilai egatif (coba Ada jelaska megapa?). Oleh sebab itu, diambil ilai r =, kemudia substitusi pada persamaa 000 000 (3), sehigga diperoleh a = = = 500. 4 Oleh karea a meyataka ilai suku ke-1 maka diperoleh U 1 = 500, da ilai suku-suku ke- higga ke-6 diperoleh dega perhituga berikut. U = 500 1 = 500 = 1000 U 3 = 500 3 1 = 500 4 = 000 U 4 = 500 4 1 = 500 8 = 4000 U 5 = 500 5 1 = 500 16 = 8000 U 6 = 500 6 1 = 500 3 = 16000 Dega demikia, diperoleh barisa geometri yag meyataka agka pegaggura di desa dari tahu 00 sampai tahu 007 adalah 500, 1000, 000, 4000, 8000, 16000.. Deret Geometri Coba perhatika barisa geometri berikut. 3, 9, 7, 81, Dapatkah Ada meghitug jumlah 4 suku pertamaya? Utuk meghitug jumlah 4 suku pertamaya, dapat dilakuka pejumlaha 3 + 9 + 7 + 81 = 10. 108 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Pejumlaha berutu suku-suku geometri merupaka deret geometri. Jadi, 3 + 9 + 7 + 81 merupaka deret geometri. Pada deret geometri, jumlah suku pertamaya diyataka sebagai berikut. ( ) S = a (rr -1 r -1 S = a ( 1 - r 1 - r ( ) utuk r < 1 atau r > 1 utuk 1 < r < 1 Dega S meyataka jumlah suku pertama. Jadi, jumlah 4 suku pertama barisa geometri 3, 9, 7, 81, dapat dihitug dega rumus berikut. ( ) S = a (rr -1 di maa a = 3, r = 3, da = 3 sehigga r -1 ( ) S 4 = 3 (33 4-1 3-1 S 4 = 3 (81-1 1 ( ) Soal Piliha Jumlah peduduk sebuah kota setiap 10 tahu mejadi kali lipat. Meurut perhituga, pada tahu 000 mecapai 3, juta orag. Tetuka jumlah peduduk kota itu pada tahu 1950. Sipemaru, 1985 S 4 = 380 S 4 = 40 S 4 = 10 36, 18, 9, 4 1,? Barisa geometri tersebut memiliki a = 36, r = 1. Oleh karea 1 < r < 1 maka jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah sebagai berikut. S = a r ( 1 ) 1 r 6 Ê 1 36 1 - Ê ˆ ˆ Á Á Ë S 6 = Ë 1-1 S 6 = Ê 1 ˆ 36 1 - Á Ë 64 1 Barisa da Deret Bilaga 109
64 S 6 = 36 Ê 1 ˆ - Á Ë 64 64 S 6 = 7 63 64 S 6 = 567 8 S 6 = 70 7 8 Cotoh Soal 3.11 Sumber : www.suaratb.com Gambar 3.7 Total keutuga yag diraih suatu perusaha dapat dihitug megguaka deret geometri Sebuah perusahaa home idustry pada tahu 007 mecatat keutuga di bula Jauari sebesar Rp14.000.000,00. Oleh karea kierja perusahaa semaki baik, da didukug ekoomi asioal yag semaki sehat maka di tahu tersebut keutuga perusahaa aik mejadi 1 1 kali lipat dari bula sebelumya. Tetukalah: a. barisa geometri yag meyataka keutuga perusahaa tersebut setiap bulaya, mulai bula jauari 007, b. total keutuga yag diraih perusahaa tersebut higga bula Agustus. Jawab: a. Keutuga bula Jauari Æ U 1 = 14.000.000 Keutuga bula Februari Æ U = 1 1 14.000.000 = 3 7.000.000 = 1.000.000 Keutuga bula Maret Æ U = 1 1 3 1.000.000 = 3 10.500.000 = 31500.000 Jadi, diperoleh barisa geometri sebagai berikut. 14.000.000, 1.000.000, 31.500.000, b. Total keutuga yag diraih perusahaa higga bula Agustus merupaka jumlah 8 suku pertama barisa geometri pada soal a. Barisa geometri tersebut memiliki a = 14.000.000, r = 1 1. Jadi, jumlah keutuga perusahaa sampai bula Agustus dihitug dega rumus ( ) S = a (rr - 1 r - 1 110 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
14. 000. 000 8 diperoleh, S 8 = - 1-1 14. 000. 000 56-1 S 8 = 1 S 8 = 14.000.000 (55) S 8 = 3.570.000.000 000 ( ) 000 ( ) Jadi, keutuga perusahaa home idustry higga bula Agustus adalah Rp3.570.000.000,00. Cotoh Soal 3.1 Hasil peelitia gabuga Dias Sosial da Dias Pedidika Nasioal dari tahu 00 higga tahu 007 meujukka kecederuga miat membaca peduduk kecamata Y selalu meigkat dari tahu ke tahu dega kelipata perbadiga yag tetap. Jika jumlah total peduduk yag memiliki miat membaca pada tahu 00 da tahu 003 adalah 80 orag, da jumlah total peduduk yag memiliki miat membaca pada tahu 00, 003, 004, da 005 besarya 800 orag. Tetukalah jumlah peduduk yag memiliki miat membaca pada tahu 007. Jawab: Oleh karea miat membaca peduduk meigkat dega kelipata perbadiga yag tetap maka aka membetuk barisa geometri dega r > 1 berikut. U 1, U, U 3, U 4, U 5, U 6 00 007 Dari tahu ke tahu jumlah peduduk yag memiliki miat membaca selalu meigkat dega perbadiga tetap maka r > 1. Jumlah total peduduk yag memiliki miat membaca pada tahu 00 ditambah tahu 003 yag berjumlah 80 orag dapat diyataka dega persamaa berikut U 1 + U = 80 (1) Persamaa (1) merupaka hasil pejumlaha dua suku pertama dari suatu deret geometri. Megigat rumus hasil pejumlaha a suku pertama dari suatu deret geometri adalah S = (rr - 1) r - 1 maka hasil pejumlaha dua suku pertama dari suatu deret geometri a dapat diyataka dega rumus S = (rr - 1), sehigga diperoleh r - 1 persamaa berikut. a (rr - 1) = 80 () r - 1 Barisa da Deret Bilaga 111
Jumlah total peduduk yag memiliki miat membaca pada tahu 00, 003, 004, da 005 adalah 800 orag dapat diyataka dega persamaa berikut. U 1 + U + U 3 + U 4 = 800 (3) Persamaa tersebut merupaka hasil pejumlaha empat suku pertama dari suatu deret geometri, sehigga diperoleh persamaa 4 ar ( - 1) S4 = berikut. r - 1 4 ar ( - 1) = 800 (4), r - 1 Dari persamaa () dapat diperoleh persamaa (5) berikut. ar ( - 1) = 80 a = 80 ( r - 1 ) (5) r - 1 r - 1 Persamaa (5) substitusi ke persamaa (4) sehigga diperoleh perhituga berikut. 4 80( r - 1) ( r - 1) = 800 r - 1 r - 1 4 80( r - 1) = 800 ( r - 1) 4 ( r - 1) 800 = ( r - 1) 80 Dega megigat (r 4 1 ) = (r 1 )(r + 1 ), maka diperoleh perhituga berikut. ( r - 1)( r + 1) = 10 ( r - 1) r + 1 = 10 r = 10 1 r = 9 r = ± 9 maka diperoleh ilai rasio barisa geometri tersebut adalah r 1 = 3 atau r = 3. Pada kasus permasalaha ii, ilai rasio barisa geometri tidak mugki berilai egatif maka ilai yag diguaka adalah r = 3, substitusi ilai r ke persamaa () diperoleh a( 3-1) = 80 3-1 a( 9-1) = 80 3-1 a 8 = 80 a = 80 = 0 8 11 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Oleh karea jumlah peduduk yag memiliki miat membaca pada tahu 007 adalah barisa geometri, maka U 6 = 0.3 6 1 = 0.3 5 = 0.43 = 4860 Jadi, jumlah peduduk yag memiliki miat membaca pada tahu 007 adalah 4860 orag. 3. Deret Geometri Tak Berhigga Pada deret geometri, utuk yag besarya meuju tak higga maka deret tersebut dikataka deret geometri tak berhigga. Betuk umum deret geometri tak berhigga adalah sebagai berikut. a + ar + ar + ar 3 +... Deret geometri tak berhigga tersebut aka koverge a (mempuyai jumlah) jika 1 < r < 1 da jumlah S = 1 - r. Jika r tidak terletak pada 1 < r < 1 maka deret tersebut dikataka diverge (tidak mempuyai jumlah) Cotoh Soal 3.13 Soal Piliha Sebuah bola pigpog dijatuhka ke latai dari ketiggia m. Setiap kali setelah bola itu mematul, ia mecapai ketiggia tiga per empat dari ketiggia yag dicapai sebelumya. Dapatkah Ada meetuka pajag litasa bola tersebut dari patula awal sampai bola itu berheti? Suku ke- suatu deret geometri adalah 4 -. Tetuka jumlah berhigga deret tersebut. Jawab: = 4 maka U 1 = a = 4 1 = 1 4 U r = = 4 - - 1 U 4 1 = 4 1 = 1 4 S = a 1 - r 1 = 4 1-1 4 1 = 4 3 4 = 1 3 Jadi, jumlah tak berhigga deret tersebut adalah 1 3. Barisa da Deret Bilaga 113
Cotoh Soal 3.14 Data ilai impor egara X dari tahu 000 higga tahu-tahu berikutya selalu meuru dega perbadiga yag kosta. Nilai impor egara X pada tahu 000 adalah 640 milyar rupiah da tahu 00 besarya 160 milyar rupiah. Jika feomea ii terus berlajut higga tahu-tahu medatag, prediksilah ilai total impor egara X tersebut higga tahu-tahu medatag. Jawab: Oleh karea peurua ilai impor memiliki perbadiga yag kosta maka ilai impor dari tahu 000 higga tahu-tahu berikutya membetuk barisa geometri tak higga berikut. U 1, U, U, U,... 3 4 Dega U 1 = Nilai impor tahu 000 = 640 milyar U = Nilai impor tahu 001, U 3 = Nilai impor tahu 00 = 160 milyar Megigat bahwa ilai suku ke- suatu barisa geometri dapat diyataka dega rumus = ar 1, maka U 1 da U 3 dapat diyataka dega: U 1 = ar 1 1 = ar 0 = a U = ar3 1 3 = ar Dega memperhatika ilai U 1 da U 3 yag masig-masig besarya adalah 640 da 160 milyar, diperoleh dua persamaa berikut a = 640 (1) ar =160 () Dega meyubstitusika persamaa (1) ke persamaa () maka diperoleh persamaa berikut. (640 10 9 ) r = 160 109 9 160 10 1 r = = 9 640 10 4 r = ± 1 4, diperoleh r 1 = 1 atau r = 1 Pada permasalaha ii, guaka r yag berilai positif karea tidak ada ilai impor yag berilai egatif. Dega demikia, diperoleh: U 1 = a = 640 U = ar 1 = ar 1 = 640 109 ( 1 )1 = 30 U 3 =ar3 1 = ar = 640 109 ( 1 ) = 160 U 4 = ar4 1 = ar 3 = 640 109 ( 1 )3 = 80, da seterusya. Nilai total impor egara X higga tahu-tahu medatag dapat 114 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
dihitug megguaka deret geometri tak berhigga berikut. U 1 + U + U 3 + U 4 +... = a 1 - r 640 + 30 + 160 + 80 +... = 640 1-1 = 640 1 = 640 = 180 Jadi, diperoleh ilai total impor egara X dari tahu 000 higga tahutahu medatag besarya adalah 1.80 milyar atau 1,8 triliu rupiah. Evaluasi Materi 3.3 I. Kerjaka soal-soal berikut. 1. Tetuka rumus ke- barisa geometri berikut, kemudia tetuka jumlah 8 suku pertamaya. a. 6, 9, 13, b. 18, 1, 8, - c.,, 6, 18, 3 4 d. 0, 4, 5, 4 5,. Pada awal tahu 001, jumlah wisatawa yag megujugi pulau Padalah 18.000.000 orag. Akibat terjadiya becaa alam di awal tahu tersebut maka setiap bula berikutya jumlah wisatawa berkurag 3 mejadi ya. Berapakah jumlah wisatawa yag megujugi pulau P dari bula 4 Jauari 001 higga Oktober 001? 4. Sebuah perusahaa meubel pada bula Maret 005 medapat pesaa meubel sebayak 64 buah. Teryata higga bula Desember 005, pesaa selalu aik mejadi 1 1 kali lipat tersebut dari bula sebelumya. a. Tetuka deret geometri yag terbetuk dari pesaa meubel pada perusaha itu da tetuka rumus suku ke-. b. Pada bula apakah perusahaa meubel tersebut medapat pesaa meubel sebayak 486? c. Tetuka jumlah mebel yag sudah dibuat perusahaa meubel itu selama 1 tahu. 5. Tetuka jumlah deret geometri tak higga dari 8 + 16 3 + 3 0. 6. Diperoleh data keutuga perusahaa X mulai dari tahu 003 higga tahu 007 membetuk suatu barisa geometri. Jika jumlah total keutuga dari tahu 003 sampai tahu 007 adalah 85,5 milyar rupiah da jumlah keutuga mulai dari tahu 003 sampai tahu 005 adalah 5,5 milyar rupiah, tetukalah keutuga perusaha a X pada tahu 004. Barisa da Deret Bilaga 115
Rigkasa Barisa bilaga didefiisika sebagai susua bilaga yag memiliki pola atau atura tertetu atara satu bilaga dega bilaga berikutya. Deret adalah pejumlaha berurut dari sukusuku barisa. Barisa aritmetika adalah barisa yag selisih dua suku yag beruruta selalu tetap. Rumus suku ke- dari barisa aritmetika adalah = a + ( 1)b a = suku pertama barisa aritmetika b = selisih dua suku yag beruruta (beda) = bayakya suku (bilaga asli 1,, 3,...) = suku ke Jumlah suku pertama barisa aritmetika adalah S = (a + ) S = jumlah suku pertama deret aritmetika Barisa geometri adalah barisa yag memiliki perbadiga dua suku yag beruruta selalu tetap. Perbadiga dua suku yag beruruta disebut rasio. Rumus suku ke- deret geometri adalah = a. r 1 = suku ke- a = suku pertama r = rasio Deret geometri adalah jumlah suku dari suku-suku yag beruruta. Jumlah suku pertama barisa geometri adalah selalu tetap. S = a ( 1 - r) utuk r > 1 ( 1 - r ) S = a ( 1 - r ) utuk r < 1. 1 - r ( ) Jumlah deret geometri tak terhigga adalah S = S a r a ; 1 < r < 1 ( 1 - r ) = jumlah deret geometri tak higga = suku pertama = rasio. Kaji Diri Setelah mempelajari materi tetag Barisa da Deret Bilaga, tuliska bagia maa saja yag belum Ada pahami. Selai itu, tuliska juga materi yag Ada seagi beserta alasaya. Bacaka tulisa Ada di depa kelas. 116 Aktif Megguaka Matematika utuk Kelas XI SMK/MAK Rumpu Sosial, Admiistrasi Perkatora, da Akutasi
Evaluasi Materi Bab 3 I. Pilihlah salah satu jawaba yag tepat. Kerjakalah di buku latiha Ada. 1. Perhatika barisa bilaga berikut. 1,, 3, 5, Bilaga selajutya adalah. a. d. 10 b. 6 e. 7 c. 8. Rumus suku ke- barisa bilaga 10, 5, 0, 5, adalah. a. 10 d. 10 + 3 b. + 3 e. 1 c. 15 5 3. Jumlah 10 suku pertama barisa bilaga 10, 5, 0, 5, adalah. a. 15 d. 100 b. 90 e. 75 c. 85 4. Sebuah barisa aritmetika suku pertamaya adalah 1. Jika jumlah 6 suku pertama barisa bilaga tersebut besarya adalah 66 maka beda pada barisa tersebut adalah. a. 4 d. b. e. 5 c. 4 5. Suku ke 10 barisa aritmetika pada soal omor. 4 adalah. a. 75 d. 190 b. 80 e. 00 c. 100 6. Ato meabug setiap bula di sebuah bak swasta, mulai Jauari 005 higga seterusya. Setora Ato per bulaya terus aik sesuai dega barisa aritmetika berikut. 00.000, 50.000, 300.000,. Setora Ato pada September 005 besarya adalah. a. Rp450.000,00 b. Rp550.000,00 c. Rp600.000,00 d. Rp700,000,00 e. Rp750.000,00 7. Jumlah total setora Ato (pada soal omor 6) higga Desember 005 adalah. a. Rp5.700.000,00 b. Rp5.000.000,00 c. Rp5.000.000,00 d. Rp4.800.000,00 e. Rp4.000.000,00 8. Rumus suku ke barisa geometri 40, 0, 10, 5, adalah. a. = 0 d. = 80 b. = 40 e. = 80 c. 40 9. Jumlah 10 suku pertama barisa 40, 0, 10, 5 adalah. a. 60 1 d. 78 18 5 b. 70 e. 80 1 3 c. 79 59 64 10. Suatu barisa geometri memiliki suku pertama adalah 1, jumlah 3 suku pertama adalah 57. Suku ke empat barisa geometri tersebut adalah. a. 40 1 d. 40 b. 38 e. 36 c. 45 11. Jumlah 5 suku pertama suatu barisa geometri adalah 93. Jika rasio barisa tersebut adalah maka suku ke 6 barisa tersebut adalah. a. 48 d. 96 b. 60 e. 100 c. 90 Barisa da Deret Bilaga 117