DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS UNIFORM (SERAGAM) BERNOULLI BINOMIAL POISSON MULTINOMIAL HIPERGEOMETRIK GEOMETRIK BINOMIAL NEGATIF MA3181 Teori Peluang 27 Oktober 2014 Utriweni Mukhaiyar
DISTRIBUSI UNIFORM (SERAGAM) PEUBAH ACAK X DIASUMSIKAN SETIAP NILAINYA (X 1, X 2,, X K ) MEMILIKI PELUANG YANG SAMA. DISTRIBUSI PELUANG X : 1 P X x x x x x k RATAAN : 1 k xi k i1 VARIANSI : 2 1 k x 2 i k ( ), 1, 2,..., k i1 2
BUKTI : MEAN DAN VARIANSI UNTUK P.A DISTRIBUSI SERAGAM. Berdasarkan definisi ekspektasi, x 1 E[ X ] x P( X x ) x, k k k i i i i i1 i1 k k i1 k k 2 2 2 2 E X x ( ) i P X xi xi i1 k i1 1 3
P(X=x) CONTOH 1 PELANTUNAN SEBUAH DADU. 1 P( X x), x 1,2,3,4,5,6 6 0.18 1 2 3 4 5 6 6 3,5 0.175 0.17 1 2 3 4 5 6 6 15.17 12.25 2.92 2 2 2 2 2 2 2 2 3.5 0.165 0.16 1 2 3 4 5 6 x 4
PERCOBAAN BERNOULLI PERCOBAAN TERDIRI DARI 1 USAHA Usaha Sukses Gagal PELUANG SUKSES P PELUANG GAGAL 1-P MISALKAN X 1, jika terjadi sukses 0, jika terjadi tidak sukses (gagal) 5
DISTRIBUSI BERNOULLI X BERDISTRIBUSI BERNOULLI, x 1 x p (1 p), x 0,1 P( X x) ber( x; p) 0, x lainnya RATAAN VARIANSI : E[X] = µ X = P : VAR(X)= X 2 = P(1-P) 6
BUKTI 1 x E[ X ] xp (1 p) 0 1 x 0.(1 p) 1. p p var( X ) E[ X ] x p (1 p) p 0 1 2 2 2 2 x 1 x 2 0(1 p) 1. p p p p p(1 p) 2 2 7
PERCOBAAN BINOMIAL N USAHA YANG BERULANG. TIAP USAHA MEMBERI HASIL YANG DAPAT DIKELOMPOKKAN MENJADI SUKSES ATAU GAGAL. PELUANG SUKSES TIDAK BERUBAH DARI USAHA YANG SATU KE YANG BERIKUTNYA. TIAP USAHA SALING BEBAS. 8
DISTRIBUSI BINOMIAL DISTRIBUSI BINOMIAL, PARAMETER N DAN P NOTASI X ~ B(N,P) F.m.p: n x P( X x) b( x; n, p) p (1 p) x nx Koefisien binomial : n! = n.(n-1).(n-2) 1 o Rataan o Variansi n n! x x!( n x)! : E[X] = µ x = np : var(x)= X 2 = np(1-p) untuk x = 0,1,, n 9
x1 BUKTI n n x nx E[ X ] x p (1 p) x0 x n n x nx x p (1 p) x1 x n ( n 1)! x n p (1 p) ( x 1)!( n x)! nx n n 1 x1 nx np p (1 p), misal y x 1 x1 x 1 n1 n 1 y n 1 y np p (1 p) y0 y np 10
BUKTI n 2 2n x nx E X x p (1 p) x0 x n 2 n x nx x p (1 p) x1 x n ( n 1)! x nx p (1 p) ( x 1)!( n x)! x1 nx n n 1 x1 nx np x p (1 p), misal y x 1 x1 x 1 n1 n 1 y n 1 y np( y 1) p (1 p) y0 y np E[ Y 1] np(( n 1) p 1) 2 2 2 n p np np 11
BUKTI Var( X ) E[ X ] ( E[ X ]) 2 2 n p np np n p 2 2 2 2 2 np(1 p) 12
FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN X ~ B(N,P) n n M X ( t) e p (1 p) x0 x n n ( pe ) (1 p) x0 x (1 p) tx x nx t x nx pe t n 13
CONTOH 2 SUATU PENELITIAN DILAKUKAN UNTUK MELIHAT KESADARAN MASYARAKAT TENTANG ASURANSI. PENELITIAN ITU MENUNJUKKAN BAHWA SEKITAR 70% PENDUDUK TIDAK MEMILIKI ASURANSI MANAPUN. APABILA 5 ORANG DIAMBIL SECARA ACAK, BERAPA PELUANG BAHWA PALING SEDIKIT 3 ORANG TIDAK MEMPUNYAI ASURANSI MANAPUN? 14
JAWAB MISALKAN PEUBAH ACAK X MENYATAKAN BANYAKNYA PENDUDUK YANG TIDAK MEMPUNYAI ASURANSI MANAPUN. MAKA X~B(5, 0.7) Yang ingin dicari adalah P(X 3). P(X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) 5 3 2 5 4 1 5 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 5 0.3 0 3 4 5 5! 5! 5! (0, 343)(0, 09) (0, 240)(0, 30) (0,168)(1) 2!3! 1!4! 0!5! 0, 309 0, 360 0,168 0, 837
PERCOBAAN POISSON MEMILIKI 2 KELUARAN HASIL : SUKSES DAN GAGAL. TERDEFINISI PADA : (YANG MEMBEDAKAN DARI PERCOBAAN BINOMIAL) PANJANG SELANG WAKTU LUAS DAERAH/AREA CONTOH : - BANYAK KLAIM YANG DATANG SETIAP HARI DI SEBUAH PERUSAHAAN ASURANSI - BANYAK KECELAKAAN YANG TERJADI DI SEBUAH TITIK RAWAN KECELAKAAN 16
CIRI-CIRI: PROSES POISSON Proses Poisson: proses stokastik barisan atau koleksi dari peubah acak SELANG WAKTU ATAU DAERAHNYA SALING BEBAS. PELUANG PADA PROSES POISSON TERGANTUNG PADA SELANG WAKTU DAN BESARNYA DAERAH. PELUANG UNTUK SELANG YANG PENDEK ATAU DAERAH YANG SEMPIT DAPAT DIABAIKAN. 17
DISTRIBUSI POISSON F.m.p : Peubah acak X berdistribusi Poisson X~P(t) t e t P( X x), x 0,1,2,... x! x e = tetapan Euler (2.71828 ) o RATAAN : E[X] = X = T o VARIANSI : VAR(X)= X 2 = T 18
BUKTI 19
FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN X~POI() 0 0 ( 1) ()! ( )! t t x tx X x t x x e e e M t e x e e x e e e Ingat bahwa: 2 3 0 1... 2! 3!! k y k y y y e y k
CONTOH 3 RATA-RATA BANYAKNYA KLAIM YANG DATANG DALAM SATU HARI KERJA DI SEBUAH PERUSAHAAN ASURANSI ADALAH 7. a. HITUNG PELUANG BAHWA LEBIH DARI 2 KLAIM DATANG SELAMA SETENGAH HARI KERJA. b. BERAPA RATA-RATA BANYAKNYA KLAIM YANG DATANG DALAM PERIODE 2 HARI KERJA. 21
JAWAB Jenis kasus Satuan Parameter distribusi Kasus Diskrit Misal p.a. X : banyak klaim yang datang dalam satu hari kerja Distribusi Poisson Satuan waktu : 1 hari (t = 1) X ~ POI(7) Rata-rata kejadian 1 hari : 7 ( = 7) Rata-rata = t = 7 Variansi : σ 2 = t = 7 Pertanyaan a. t = 0,5, X ~ P(3,5) maka P(X>2) =... Pertanyaan b. t = 2, X ~ P(14) maka =... 22
Ingat definisi: sehingga a.... t e t P( X x), x 0,1,2,... x! P( X 2) 1 2 P X 1 P X 0 P X 1 P X 2 x 3,5 3,5 3,5 3,5 0 3,5 1 3,5 2 t0,5 e e e 1 0! 1! 2! 1 0.030 0,106 0, 370 0, 494 b. Jika dalam 1 hari, rata-rata banyak klaim datang adalah 7 (=7) maka dalam 2 hari (t=2), rata-rata banyak klaim yang datang adalah t = 14. 23
HUBUNGAN DISTRIBUSI BERNOULLI, BINOMIAL, POISSON DAN NORMAL Misalkan p.a X Distribusi Bernoulli X ~ Ber (1, p) n >1 Distribusi Normal X ~ N(μ, σ 2 ) μ = np, σ 2 = np(1- p) μ =, σ 2 = n >>> Distribusi Binomial X ~ Bin (n, p) n >>>, p <<< n >>> DLP Distribusi Poisson X ~ POI (t) = np = np(1- p) 24
BEBERAPA DISTRIBUSI DISKRIT LAINNYA DISTRIBUSI MULTINOMIAL DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF DISTRIBUSI GEOMETRI 25
DISTRIBUSI MULTINOMIAL BILA SUATU USAHA TERTENTU DAPAT MENGHASILKAN K MACAM HASIL E 1, E 2,, E K DENGAN PELUANG P 1, P 2,, P K, MAKA DISTRIBUSI PELUANG PEUBAH ACAK X 1, X 2,, X K YANG MENYATAKAN BANYAK TERJADINYA E 1, E 2,, E K DALAM N USAHA BEBAS IALAH, n P X x X x X x x, x,..., x x1 x2 x (,,..., ) p p p k 1 1 2 2 k k 1 2 k 1 2 k dengan, k x n dan p 1 i i1 i1 k i Percobaan Binomial menjadi Multinomial jika setiap percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil. 26
CONTOH 4 PELUANG SEORANG PERWAKILAN DATANG KE SUATU KONFERENSI DI SUATU KOTA MENGGUNAKAN PESAWAT, BUS, MOBIL PRIBADI, DAN KERETA BERTURUT-TURUT ADALAH 0.4, 0.2, 0.3, DAN 0.1. HITUNG PELUANG DARI 9 PERWAKILAN YANG DATANG 3 ORANG DATANG MENGGUNAKAN PESAWAT, 3 ORANG DENGAN BUS, 1 ORANG DENGAN MOBIL PRIBADI, DAN 2 ORANG DENGAN KERETA. JAWAB: MISALKAN X I : BANYAKNYA PERWAKILAN YANG DATANG MENGGUNAKAN TRANSPORTASI I, I=1,2,3,4 BERTURUT-TURUT MEWAKILI PESAWAT, BUS, MOBIL PRIBADI, DAN KERETA. 9 3 3 1 2 P( X1 3, X 2 3, X 3 1, X 4 2) 0.4 0.2 0.3 0.1 3,3,1,2 9! 3!3!1!2! 5 0.064 0.08 0.3 0.01 2520 1.536 10 0, 038702 27
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK X ~ H(N, N, K) X : BANYAKNYA SUKSES DALAM SAMPEL ACAK UKURAN N YANG DIAMBIL DARI N BENDA YANG MENGANDUNG K BERNAMA SUKSES DAN N-K BERNAMA GAGAL. k N k x n x P( X x) h( x; N, n, k), x 0,1,2,..., n N n Rataan : nk N Variansi : 2 N n k n 1 k N 1 N N 28
CONTOH 5 DARI 50 GEDUNG DI SEBUAH KAWASAN INDUSTRI, 12 GEDUNG MEMPUNYAI KODE PELANGGARAN. JIKA 10 GEDUNG DIPILIH SECARA ACAK DALAM SUATU INSPEKSI, HITUNG PELUANG BAHWA 3 DARI 10 GEDUNG MEMPUNYAI KODE PELANGGARAN! JAWAB : MISALKAN X : BANYAK GEDUNG YANG DIPILIH MEMPUNYAI KODE PELANGGARAN. X ~ H(50, 10, 12) 1238 3 7 22012620256 P( X 3) h(3; 50,10,12) 0.2703 50 10272278170 10 29
KAITANNYA DENGAN DISTRIBUSI BINOMIAL PERCOBAAN BINOMIAL MAUPUN HIPERGEOMETRIK SAMA-SAMA MEMILIKI 2 KEMUNGKINAN, YAITU SUKSES DAN GAGAL. PERBEDAAN MENDASAR ADALAH PADA BINOMIAL PERCOBAAN DILAKUKAN DENGAN PENGEMBALIAN SEDANGKAN HIPERGEOMETRIK, PERCOBAAN DILAKUKAN TANPA PENGEMBALIAN. UNTUK UKURAN SAMPEL ACAK (N) YANG DIAMBIL SEMAKIN KECIL TERHADAP N, MAKA DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK DAPAT DIHAMPIRI OLEH DISTRIBUSI BINOMIAL, DENGAN PELUANG SUKSES K/N. 30
DISTRIBUSI GEOMETRIK X ~ G(P) ATAU X ~ GEOM(P) X : BANYAKNYA USAHA SAMPAI SAAT TERJADI SUKSES PERTAMA DARI USAHA-USAHA YANG SALING BEBAS DENGAN PELUANG SUKSES P DAN GAGAL (1-P). P X x g x p p p x x1 ( ) ( ; ) (1 ), 1,2,... Rataan : Variansi : 1 p 2 1 p 2 p 31
BUKTI 32
CONTOH 6 BERDASARKAN HISTORI KLAIM YANG TERJADI DI SEBUAH PERUSAHAAN, DIPEROLEH BAHWA PELUANG TERJADINYA KLAIM YANG BERNILAI DI ATAS 50 JUTA RUPIAH PADA SUATU TAHUN TAHUN ADALAH 0,2. MISALKAN X ADALAH BANYAK KLAIM YANG TERJADI DALAM SATU TAHUN HINGGA DITEMUKAN KLAIM PERTAMA YANG BERNILAI DI ATAS 50 JUTA RUPIAH. HITUNG PELUANG PADA KLAIM KETIGA DI TAHUN TERSEBUT MUNCUL PERTAMA KALI KLAIM YANG BERNILAI DI ATAS 50 JUTA RUPIAH! JAWAB : X ~ GEOM(0.2) P X 2 ( 3) g(3; 0.2) 0.2(0.8) 0.128 33
X ~ b*(k, p) DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari usaha-usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p). x 1 k xk P( X x) b*( x; k, p) p (1 p), x k, k 1, k 2... k 1 SUATU PEUBAH ACAK BINOMIAL NEGATIF ADALAH JUMLAH DARI PEUBAH ACAK- PEUBAH ACAK GEOMETRIK. X = Y 1 + Y 2 +... + Y K DIMANA Y 1, Y 2,..., Y K ADALAH PEUBAH ACAK SALING BEBAS, MASING-MASING k 2 Rataan : Variansi : p BERDISTRIBUSI GEOM(P). k(1 p) 2 p 34
CONTOH 7 PERHATIKAN CONTOH 6. MISALKAN X ADALAH BANYAK TES YANG DILAKUKAN SEHINGGA DITEMUKAN 3 KLAIM PERTAMA YANG BERNILAI DI ATAS 50 JUTA RUPIAH. HITUNG PELUANG BAHWA TERJADI 8 KLAIM SEHINGGA DITEMUKAN 3 KLAIM BERNILAI DI TAS 50 JUTA RUPIAH! JAWAB : P X 7 2 3 5 ( 8) b*(8;3, 0.2) (0.2) (0.8) 0.05505 35
LATIHAN SOAL 1. PELUANG PEMBELIAN SUATU TELEVISI BERWARNA DI SUATU TOKO TELEVISI ADALAH 0.25. HITUNGLAH PELUANG BAHWA PEMBELIAN TELEVISI YANG KELIMA DI TOKO TERSEBUT AKAN MERUPAKAN PEMBELIAN TELEVISI BERWARNA YANG KEDUA. 2. DALAM SUATU PROSES PRODUKSI DIKETAHUI BAHWA RATA-RATA 1 DIANTARA 100 BUTIR HASIL PRODUKSI CACAT. BERAPA PELUANG MEMERIKSA 5 BUTIR DAN BARU MENEMUKAN YANG CACAT PADA YANG KELIMA 3. DIKETAHUI ADA 50 MAHASISWA YANG MENGIKUTI KULIAH TEORI PELUANG DAN 3 DIANTARANYA MENGULANG. JIKA DIAMBIL 5 ORANG SECARA ACAK, BERAPA PELUANG DIANTARA 5 ORANG TADI: a)tidak TERDAPAT YANG MENGULANG b)terdapat TIDAK LEBIH DARI SEORANG YANG MENGULANG edited 2013 by UM 36
REFERENSI NAVIDI, WILLIAM., 2008, STATISTICS FOR ENGINEERS AND SCIENTISTS, 2ND ED., NEW YORK: MCGRAW-HILL. DEVORE, J.L. AND PECK, R., STATISTICS THE EXPLORATION AND ANALYSIS OF DATA, USA: DUXBURY PRESS, 1997. HOGG, MCKEAN, AND CRAIG, INTRODUCTION TO MATHEMATICAL STATISTICS, NEW JERSEY: PEARSON PRENTICE HALL, 2005. WACKERLY, ET.AL., MATHEMATICSL STATISTICS AND ITS APPLICATION 7 TH ED., USA: THOMSON, 2008. WALPOLE, RONALD E. DAN MYERS, RAYMOND H., ILMU PELUANG DAN STATISTIKA UNTUK INSINYUR DAN ILMUWAN, EDISI 4, BANDUNG: PENERBIT ITB, 1995. WALPOLE, RONALD E., ET.AL, STATISTITIC FOR SCIENTIST AND ENGINEERING, 8TH ED., 2007. 37