Mingg ke V DEFINISI JALUR, LINTASAN, DAN SIRKUIT GRAF. Sa raek ang sema sisina berbeda diseb jalr (rail). Sedangkan sa jalr ang sema simplna berbeda diseb linasan (pah). Sa raek, jalr, aa linasan diseb erp kala simpl aal sama dengan simpl akhir. Linasan erp biasana diseb sirki. Sedangkan sirki dengan panjang iga diseb segiiga Gambar 5.1 Pada gambar 5.1 raek 24 adalah jalr karena simpl dan mncl da kali, sedangkan raek idak mengandng simpl berlang, sehingga merpakan linasan. Selanjna raek erp adalah jalr erp, eapi bkan sirki karena simpl erlang da kali. Akan eapi jalr erp seperi, dan adalah. Sa sirki ang panjangna iga seperi pada segiiga. aa merpakan Dalam merinci sa raek kia dapa memperkarkan keddkan simpl aal dan simpl akhir dan membalik ssnan sisina karena arahna idak dipersoalkan, misalna raek idenik dengan. Akibana rincian sisi-sisi raek erp dapa dimlai dari sembarang simplna, misalna segiiga dapa dicaa sebagai,,, dan masih ada lagi ang lain (sebkan). Apabila nk da simpl sembarang pada sa graf selal dapa diba linasan ang menghbngkan kedana, maka graf erseb diseb graf erhbng. Dengan demikian sema graf ang elah dilas pada pasal-pasal sebelmna adalah graf erhbng. Sekarang baangkan erjadi bencana alam ang menghancrkan jembaan-jembaan dan jalan ang menghbngkan empa B dan C dan C dengan D pada Gambar 4.5. Tampak baha daerah C menjadi erpencil karena idak dapa berkomnikasi dengan daerah lainna. Dalam hal ini sisi grafna menjadi berkrang da bah, sedangkan banakna simpl eap seperi semla. Graf erakhir ini menjadi graf erps. Banak sekali siasi semacam ini ang biasa dijmpai, misalna hambaan/ganggan pada jaringan elekomnikasi aa komnikasi anar kelompok jaringan komper, jaringan disribsi aliran lisrik, dan air minm. DEFINISI GRAF TERHUBUNG. Sa graf G diseb erhbng jika nk seiap da simpl sembarang dan di G ada linasan (pah) dari ke. Dalam hal lainna, G diseb erps.
Kirana jelas graf erps mempnai paling sediki da graf-bagian erhbng; masingmasing graf-bagian ini diseb komponen graf erps i. Misalna graf pada Gambar 5.2 mempnai da komponen. Dari Gambar 5.2 dapa diamai baha himpnan simpl-simpl graf erps dapa diseka menjadi da himpnan ang saling menisihkan sedemikian sehingga keda simpl jng seiap sisina selal merpakan anggoa himpnan bagian ang sama. Keda himpnan ini ialah X a,b,c dan Y,,,, dengan X Y dan X Y V dan idak ada sisi berbenk {p,q} dengan p X dan q Y. Oleh karena i dapa diperlihakan eorema berik. c a b Gambar 5.2. G = (V, E) erps, V = X Y, X Y =, X = {a, b, c}, Y = {,,, } TEOREMA 5.1. Sa graf G = (V, E) adalah erps jika dan hana jika himpnan simpl V dapa diseka menjadi da himpnan bagian saling menisihkan dan idak kosong. X dan Y, sedemikian sehingga idak ada sisi ang sa simpl jngna anggoa X dan simpl jng ang lain anggoa Y. Sebagai akiba Teorema 5.1 dan Teorema 1.1 maka diperoleh eorema berik : TEOREMA 5.2. Jika sa graf mempnai epa da simpl berderaja ganjil, maka ada linasan ang melali keda simpl erseb. Misalna pada Gambar 5.2 d() = d() = 1 dan linasanna ialah 25. Bencana alam ang menebabkan hancrna sarana perhbngan anara C dan B dan D dengan C idak dengan sendirina menghancrkan koa C pada Gambar 4.5. Dengan demikian penghapsan sisi-sisi sa graf idak menebabkan simpl-simpl ang hadir pada sisi i erhaps. Akan eapi hancrna sebah koa dengan sendirina menebabkan idak berfngsina sarana perhbngan ang melali koa erseb; misalna porak-porandana koa B akiba perang ang melmphkan jalan AB, BC, BD dan BE. Oleh karena i penghapsan simpl sa graf menebabkan sema sisi ang berem dengan simpl i jga erhaps. DEFINISI PENGHAPUSAN SISI DAN SIMPUL GRAF (1) Jika e sa sisi sembarang pada graf G = (V, E), maka G e adalah grafbagian G ang diperoleh dengan menghaps sisi e dari G (2) Jika sa simpl sembarang pada graf G = (V, E), maka G adalah graf-bagian G ang diperoleh dengan menghaps dan sema sisi ang mencakp sebagai sa simpl jngna.
Apabila graf G pada Gambar 5.3 merpakan model sisem jaringan lisrik dengan simpl meakili gard lisrik dan sisi meakili jalr kabelna, maka rsakna gard dicerminkan oleh graf G. Sedangkan erpsna jalr kabel e dicerminkan oleh graf G e. Dari Gambar 5.3 dapa diamai baha kersakan pada kabel e idak menggangg kelancaran ars lisrik anar gard. Akan eapi kersakan pada iga kabel, ai e, e 1 dan e 2 menebabkan jaringanna idak berfngsi. Oleh karena i pengerian keerhbngan graf dapa diafsirkan sebagai banakna sisi ang hars dihaps dari sa graf erhbng agar diperoleh graf erps. Ada da pengerian dasar ang dimanfaakan dalam membahas konsep erseb. e 1 e. 2 G = (V, E) G G e Gambar 5.3 DEFINISI HIMPUNAN PEMUTUS DAN HIMPUNAN PEMISAH, Misalkan G = (V, E) merpakan sembarang graf erhbng. (1) Himpnan E 1, ang merpakan himpnan bagian E, diseb himpnan pems graf G jika dan hana jika graf-bagian G 1 = (V, E E 1 ) merpakan graf erps. (2) Himpnan pems ang idak mempnai himpnan bagian ang merpakan himpnan pems diseb himpnan pemisah (himpnan pems minimal). Dengan perkaaan lain sa himpnan pems graf erhbng G adalah himpnan sisi-sisi graf G ang dapa dihaps sehingga G menjadi graf erps. Misalna, pada Gambar 5.4, E 1 = {e 3, e 6, e 7, e 8 } merpakan himpnan pems G; graf erps ang diperoleh dengan cara menghaps sema sisi ang erdapa pada himpnan E 2 diperlihakan pada Gambar 5.5. Dalam hal ini E 1 bkan merpakan himpnan pemisah karena ada himpnan bagian E 1 ang jga merpakan himpnan pems G, ai E 11 = {e 1, e 2 }. Selanjna mdah diperiksa baha E 2 merpakan himpnan pemisah G. Jika himpnan pemisah hana mencakp sa sisi, maka sisi ini diseb jembaan seperi ampak pada Gambar 5.6. e 3 e 6 e e 5 e 1 e 4 e 5 1 e 4 e 2 e 7 e 2 e 8 Gambar 5.4 Gambar 5.5 26
e E = {, } adalah jembaan Gambar 5.6 Jelas baha himpnan pems sembarang graf G (boleh graf erps) adalah himpnan sisi-sisi graf G. Akan eapi pengerian himpnan pemisah adalah sama seperi ang elah diraikan sebelmna. Dalam hal ini perl disadari baha penghapsan sema sisi anggoa himpnan pemisah graf G mengakibakan banakna komponen G selal berambah sa bah. Soal-soal Laihan (1) Periksalah apakah raek-raek ang diberikan merpakan jalr, linasan, aa sirki pada graf berik. Tenkanlah panjang, simpl aal dan simpl akhirna (2) Perhaikanlah graf di samping ini Tenkanlah sa raek (alk) dengan panjang 7 dan 8 Tenkanlah sa jalr (rail) dengan panjang 5 dan 6 1 e 5 e 3 e 1 e 2 e 6 2 e 8 Tenkanlah sa linasan (pah) dengan panjang 1, 2, dan 3 Tenkanlah sa sirki dengan panjang 1, 2, 3, dan 4. 4 e 4 3 e 7 (3) Dafarkanlah sema linasan anara simpl dan pada graf di samping ini. Berapakah panjang linasanna ang erpendek dan erpanjang? Ada berapa banak masing-masing linasan erseb?. s (4) Pada graf di samping ini enkanlah sa raek erp ang bkan jalr erp, dan sa jalr erp ang bkan sirki. s 27
(5) Periksalah apakah himpnan berik inimerpakan himpnan pems aa himpnan pemisah bagi graf di samping ini. a) {s, s, } s b) {,,, } c) {, } d) {,, } e) {,, } f) {s,,,, } (6) Amailah graf Peersen pada soal laihan 7 halaman 21! Tenkanlah sema raek ang panjangna 4! Tenkanlah sirki dengan panjang 5, 6, 8, dan 9.! Tenkanlah sema linasan ang panjangna 5.! Tenkanlah himpnan pemisah ang mempnai 3 dan 5 sisi.!. (7) Berikan conoh graf erhbng ang menjadi erps apabila sa simpl sembarang dihaps. Tafsirkanlah maknana apabila graf ini merpakan model bagi hbngan persahabaan anar mansia. (8) Jelaskan apakah ada graf erhbng G dengan n simpl dan n sisi sera mempnai jembaan. (9) Jelaskan baha sa jembaan pada graf erhbng G idak mngkin merpakan sisi sirki G. (10) Misalkan a, b, dan c adalah iga bah simpl berbeda pada graf G. Jika ada linasan dari a ke b dan dari b ke c, perlihakan baha ada linasan dari a ke c.!. (11) Jelaskan baha banakna sisi pada sembarang graf sederhana ang erhbng dengan n simpl dan m sisi memenhi keaksamaan n 1 m ½n(n - 1).! (12) Jelaskan baha graf erhbng G = (V, E) dengan n simpl mempnai linasan ang panjangna idak lebih dari n 1. Tafsirkanlah maknana apabila graf ini meakili penebaran gosip di anara ib-ib rmah angga.! (13) Jelaskan baha jika banakna sisi sa graf melebihi banakna simpl, maka graf i mempnai sirki.! (14) Jelaskan baha jika banakna sirki jika seiap simplna berderaja idak krang dari da.! 28
(15) Jelaskan ada berapa komponen pada graf di baah ini. Dafarkan pla simpl-simpl masing-masing komponenna. Ssn pla mariks ikaan dan mariks kehadiran masingmasing graf; adakah hal ang isimea?. (a) 5 (b) a c 6 4 b 1 2 3 d (c) 2 1 3 7. 6 4 (d) a d b c 5 (16) Dafarkanlah himpnan pemisah ang banak anggoana minimm pada graf-graf berik.! 1 2 3 4 6 5 7 8 1 3 2 4 5 7 6 1 2 3 6 8 7 5 4 (17) Hinglah panjang seiap sirki pada graf bipari lengkap K 2,3, K 3,3 dan K 4,3. Adakah hal ang isimea?. 29