TINJAUAN PUSTAKA. ρw z. Gambar 1 Elemen luas fluida dalam dua dimensi.

Transkripsi

1 3 II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dibahas penrnan persamaan dasar flida ideal yang disarikan dari psaka (Doglas 2001) dan konsep dere Forier disarikan dari psaka (Ross 1984) 2.1 Persamaan Dasar Flida Ideal Flida adalah merpakan a yang dapa mengalir seperi air dan dara. Persamaan dasar flida dirnkan berdasarkan hkm kekekalan massa dan hkm kekekalan momenm. Persamaan ini merpakan dasar bagi penrnan persamaan-persamaan gerak gelombang inernal, seperi persamaan CW, KdV dan BO. Jika flida diinja dalam da dimensi, maka secara sederhana hkm kekekalan massa dalam flida erseb dapa dinyaakan sebagai laj perbahan massa pada sa elemen las sama dengan selisih anara massa yang mask dan massa yang kelar pada elemen las erseb, seperi pada Gambar 1. ρw +Δ +Δ ρ ρ +Δ ρw +Δ Gambar 1 Elemen las flida dalam da dimensi. Misalkan rapa massa flida dinoasikan dengan ρ, kecepaan parikel flida arah horional dan verikal masing-masing dinyaakan oleh dan w, maka dalam da dimensi ρ, dan w masing-masing berganng pada koordina rang dan sera pebah wak. Jika ρ Δ dan ρw Δ masing-masing menyaakan massa yang mask dalam arah horisonal dan verikal, sera ρ +Δ Δ dan ρw +Δ Δ

2 4 masing-masing menyaakan massa yang kelar dalam arah horisonal dan verikal, maka berdasarkan hkm kekekalan massa diperoleh ρ ΔΔ =Δ( ρ ρ +Δ ) +Δ( ρw ρw +Δ). (2.1) Kemdian, jika keda ras pada persamaan (2.1) dibagi dengan, dan memba Δ 0 dan Δ 0, maka diperoleh ρ ρ ρ w = aa ρ = ( ρ + ρ + wρ + ρw ). (2.2) Jika dignakan noasi rnan oal erhadap wak, yai D = + + w D, maka didapa Dρ = ρ + ρ + wρ (2.3) D. Sbsisi persamaan (2.2) ke dalam persamaan (2.3) menghasilkan Dρ = ρ D Dengan asmsi flida ak mampa, yai persamaan (2.3) dan (2.4) menjadi Dρ, D w ρ. ρ + ρ + wρ (2.4) (2.5) dan + w. (2.6) Persamaan (2.5) dan (2.6) diseb persamaan koninias flida yang ak ermampakan. Berdasarkan asmsi flida ideal yang ak beroasi, maka erdapa fngsi φ(,y,) yai fngsi poensial kecepaan yang memenhi φ = q dengan

3 5 =, dan q = (, w). Jadi φ = ( φ, φ ) = (, ). w Berdasarkan persamaan (2.6) dan (2.7) diperoleh φ + φ, (2.7) (2.8) yang merpakan persamaan dasar flida ideal yang ak beroasi. Hkm kekekalan momenm dapa dinyaakan sebagai laj perbahan momenm sama dengan selisih anara momenm yang mask dengan momenm yang kelar diambah gaya-gaya yang bekerja pada elemen las yang diinja. Berdasarkan Gambar 1 : - Momenm mask pada arah horional : - Momenm mask pada arah verikal : - Momenm kelar pada arah horional : - Momenm kelar pada arah verikal : ( ρ Δ + ρw Δ) ( ρ Δ + ρw Δ) w ( ρ Δ + ρw Δ) +Δ +Δ ( ρ Δ + ρw Δ ) w. +Δ +Δ aj perbahan momenm pada arah horional adalah ( ρ) ΔΔ =Δ( ρ ρ +Δ ) +Δ( ρw ρw +Δ) + ( P P ) Δ (2.9) +Δ dan laj perbahan momenm pada arah verikal adalah ( ρw) ΔΔ =Δ( ρw ρw +Δ ) +Δ( ρww ρww +Δ) + ( P P ) Δ ρ gδδ. (2.10) +Δ Jika keda ras persamaan (2.9) dan (2.10) dibagi dan memba, maka persamaan (2.9) dan (2.10) masing-masing menjadi ( ) ( ) ( w) P ρ (2.11) dan ( w) ( w) ( ww) P ρ ρg. (2.12)

4 6 Dengan menggnakan persamaan (2.5) dan (2.6), persamaan (2.11) dan (2.12) masing-masing menjadi ρ ( + + w ) + P, (2.13a) ρ( w + w + ww ) + P + ρg. (2.13b) Persamaan (2.13) sering diseb persamaan momenm (persamaan Eler). Dengan demikian dari persamaan (2.5), (2.6) dan (2.13) diperoleh persamaan dasar flida ideal yang diberikan dalam sisim persamaan berik : ρ + ρ + wρ (2.14a) + w (2.14b) ρ ( + + w ) + P (2.14c) ρ( w + w + ww ) + P + ρg. (2.14d) 2.2 Asmsi Flida Ideal dengan Aliran Tnak Asmsi flida yang memiliki aliran yang nak (seady) dapa diilsrasikan dengan sa gelombang yang difoo. Gelombang bergerak seakan-akan bingkai foo yang bergerak. Jadi kecepaan gelombang sama dengan kecepaan bingkai. Jika gelombang ers bergerak ke kanan dengan kecepaan c (c > 0), maka X X koordina foo X dapa dilis X = c. Sehingga diperoleh = 1, = c, = X dan = c. Jadi dalam benk nak persamaan (2.14a) dapa dilis aa cρ + ρ + wρ Uρ + wρ dengan U = c. Dengan cara yang sama diperoleh benk nak dari persamaan (2.14). Unk memdahkan penlisan noasi U dilis. Jadi persamaan dasar flida ideal dalam benk nak adalah :

5 ρ + wρ (2.15a) 7 + w (2.15b) ρ ( + w ) + P (2.15c) ρ( w + ww ) + P + ρg. (2.15d) 2.3 Syara Baas Ada da macam syara baas yang akan dibahas, yai syara baas kinemaik dan syara baas dinamik. Syara baas kinemaik erjadi karena gerak parikel dan syara baas dinamik erjadi karena adanya gaya-gaya yang bekerja pada flida. Misalkan = η 0 () adalah persamaan krva yang membaasi anara air dan dara. Dalam benk eksplisi persamaan krva erseb dapa dinyaakan dengan S(,) = - η 0 () +. Dalam noasi rnan oal DS S = + w S. D Berdasarkan persamaan (2.7) diperoleh φ '( ) φ η 0 0 = pada = η 0 (). (2.16) Persamaan (2.16) diseb syara baas kinemaik pada permkaan flida. Selanjnya syara baas dinamik dirnkan sebagai berik. Misalkan Dq q q = + w = (. q ). q D Persamaan (2.17) dapa dilis (2.17) Dq 1 2 = ( q) q+ ( 2 q ). (2.18) D Dengan asmsi flida ak beroasi, yai q, persamaan (2.18) menjadi Dq φ φ = ( ( + )). (2.19) D Persamaan (2.15c) dan (2.15d) dapa dilis dalam noasi vekor berik Dq ρ + P+ ρg. (2.20) D Sbsisi persamaan (2.19) ke dalam persamaan (2.20) diperoleh

6 8 aa bisa dilis P ( 2φ + 2φ + ) + g ρ P ( 2 φ + 2 φ + + g ). (2.21) ρ Kemdian diinegralkan erhadap koordina rang diperoleh persamaan Bernolli P φ φ g C ρ =. (2.22) Konsana C bisa digabng dalam fngsi φ. Misalkan C dan ekanan di permkaan sama dengan ekanan amosfir yang diasmsikan nol, maka syara baas dinamik pada permkaan flida adalah φ 2φ gη = pada = η 0 (). (2.23) Persamaan (2.23) diseb syara baas dinamik pada permkaan flida. 2.4 Flida Da apisan Flida da lapisan adalah flida yang erdiri aas da lapisan yang masingmasing memiliki rapa massa yang konsan. Misalkan = η() adalah baas anara da flida ideal ak beroasi dengan aliran nak yang memiliki ars sebesar c pada. Flida lapisan bawah memiliki rapa massa ρ 1 dengan poensial kecepaan φ 1 dan flida lapisan aas memiliki poensial kecepaan φ 2 dengan rapa massa ρ 2 dengan ρ 2 < ρ 1 seperi diilsrasikan pada Gambar 2. ρ 2, φ 2 = h = η() ρ 1, φ 1 Gambar 2 Domain flida da lapisan

7 9 Berdasarkan persamaan (2.8) diperoleh persamaan dasar sebagai berik : φ 1 + φ 1 pada 0 < < η (2.24) φ 2 + φ 2 pada η < < (2.25) dengan baas bawah dan baas aas φ 1 pada (2.26) φ 2 c pada. (2.27) Syara baas kinemaik pada lapisan bawah dan aas masing-masing adalah φ1 φ1 η '( ) pada = η() (2.28) dan φ2 φ2 η '( ) pada = η(). (2.29) Sedangkan syara baas dinamiknya adalah ρ ( φ + φ + gη) + ρ ( φ + φ + gη) = P = konsan. (2.30) Kemdian berdasarkan persamaan dasar dan syara baas yang diberikan akan dirnkan persamaan CW yang diraikan pada bagian selanjnya. Persamaan CW sli diselesaikan secara analiik, karena i akan diselesaikan secara nmerik. Meode nmerik yang dignakan adalah meode pemoongan dere Forier. Penjelasan konsep dere Forier diberikan pada bagian selanjnya. 2.5 Uraian Dere Forier Dere Forier merpakan sa dere yang dinyaakan oleh penjmlahan fngsi periodik dalam benk fngsi rigonomeri (fngsi sins dan kosins). Berik ini adalah salah sa definisi yang erkai dere Forier yang dignakan pada peneliian ini.

8 Misalkan f sa fngsi yang erdefinisi pada inerval < < dan inegral nπ nπ f ( )cos d dan f ( )sin d (n,1,2,3, ) ada, maka ras kanan dari persamaan 10 a nπ nπ f = + a + b ( ) 0 ( 2 n= 1 n cos nsin ), diseb dere Forier nk fngsi f dengan dan 1 nπ an = f( )cos d ( n 0,1, 2,...), = 1 nπ bn = f( )cos d ( n 1, 2,3,...). = Bilangan a n (n=0,1,2, ) dan b n (n=1,2,3, ) dinamakan koefisien dere Forier dari fngsi f. Berdasarkan definisi di aas, jika benk simpangan gelombang η(,) yang dicari merpakan fngsi konin yang periodik dengan periode 2π, maka fngsi erseb dapa diliskan dalam benk 0 [ k k ] (2.31) η(, ) = a ( ) + a ( )cos( k) + b ( )sin( k) k = 1 dengan koefisien-koefisien a k dan b k erganng pada variabel wak.