Lampiran: Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang contoh, kejadian dan peluang Berbagai macam pengamatan diperoleh melalui penggulangan percobaan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Dalarn banyak kasus, hasil percobaan tersebut bergantung pada faktor kebetulan dan tidak dapat diprediksi dengan tepat. Tetapi, kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil untuk setiap percobaan. Definisi 14 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan 0. (~rimmett dan Stirzaker 2001) Defenisi 15 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari Nang contoh a. Definisi 16 (Kejadian lepas) Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah hiipunan kosong (0). Definisi 17 (Medan-u) Medan-g adalah suatu himpunan T yang anggotanya terdiri atas hipunan bagian Nang contoh a, yang memenuhi syarat berikut : 1. 0E T. 2. Jika A E T, maka AC E T. 3. Jika A1,A2,... E T maka U gl Ai E T.
Misalkan R=R (himpunan bilangan nyata) dan 7 adalah himpunan dari semua selang terbuka di R Jika 23 C T sehingga 23 adalah Medan-a, maka 23 disebut Medan Borel yang anggotanya disebut himpunan Borel. Definisi 18 (Ukuran peluang) Misalkan fi adalah ruang contoh suatu percobaan dan 7 adalah Medan-u pads R. Suatu fungsi P yang mernetakan unsur -unsur T ke himpunan bilangan nyata R, atau P: T + R disebut ukuran peluang jika : I. P tak negatif, yaitu untuk setiap A E F, P(A) 2 0. 2. Bersifat aditif tak hingga, yaitu jika A1,A2,... E T dengan A, nak = 0, j # k maka P(U,",l An) = C&=, P(An). 3. P bemorma satu, yaitu P(R) = 1. Pasangan (n,t, P) disebut ruang peluang atau ruang probabilitas. Definisi 19 (Kejadian saling bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: P(A n B) = P(A)P(B). Secara umum himpunan kejadian (Ai; i E I) dikatakan saling bebas jika : untuk setiap himpunan bagian Jdari I. Peubah acak dan fungsi sebaran Defioisi 20 (Peubah acak) Misalkan adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang ~erdefinisi pada a yang memetakan setiap unsur E ke satu dan hanya satu bilangan real X(U) = x disebut peubah acak. (Hogg et ~1.2005)
Ruang dari Xadalah himpunan bagian bilangan real d= {x:x = X(o), o E a). Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran. Definisi 21 ( Fungsi sebaran) Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang d dan kejadian A = (-m, x] c d maka peluang dari kejadian A adalah px(a) = P(X I x) = Fx(x). Fungsi Fx disebut fungsi sebaran dari peubah acakx. (Hogg el al. 2005) Definisi 22 (Peubah acak diskret) Suatu peubah acak disebut peubah acak diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. Definisi 23 (Fuugsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret Xadalah fungsi p: R -t [0,1] yang diberikan oleh: px(x) = P(X = x). Definisi 24 (Peubah acak Poisson) Suatu peubah acak Xdisebut peubah acak Poisson dengan parameter l, h> 0, jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh (Ross 2007)
Lema 6 (Jumlah peubah acakpoisson) Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliii sebaran Poisson dengan parameter berturut - turut I= dan 1,. Maka X+Ymemiliki sebaran Poisson dengan parameter hl+h2. (Taylor dan Karlin 1984) Bukti: lihat Taylor dan Karlin (1984). Nilai harapan, ragam dan momen Definisi 25 (Nilai harapan) Misalkan Xadalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang px(x). Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah jika jumlah di atas konvergen mutlak. Definisi 26 (Ragam) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang px(x) dan nilai harapan E(X). Maka ragam dari X, dinotasikan dengan Varm atau a:, adalah Definisi 27 (Covarian) Misalkan X dan Y adalah peubah acak, covariance dari X dan Y didefmisikan sebagai Cov(X, Y) = E[(X - E(x))(Y - E(Y))].
Definisi 28 (Fungsi indikator) - Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi IA: fl {0,1}, yang diberikan oleh: 1, jika w E A 0, jika w E AC. Dengan fungsi indikator kita dapat menyatakan ha1 berikut : EIA = P(A). (Grimmet dan Stirzaker 200 1) Kekonvergenan peubah acak Terdapat beberapa cam untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak, Xn + X untuk n -t w. Definisi 29 (Kekonvergenan dalarn peluang) Misalkan Xl,X2,..., X adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang (Q,F, P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan Xn 5 X, jika untuk setiap s > 0 berlaku P(IXn - XI > e) + 0, untuk n + w. (Grimmett dan Stiaaker 2001) Penduga dan sifat - sifatuya Definisi 30 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau bebempa parameter yang nilainya tidak diketahui. Definisi 31 (Penduga) Misalkan XI, Xz,..., Xn adalah contoh acak. Suatu statistik U(Xi, X,,...,Xn) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g(b), diiatakan sebagai penduga (estin~ator) bagi db), dilambangkan oleh &(B).
Bilamana nilai Xl = xl, X2 = x,,..., Xn = x,, disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g(0). maka nilai U(Xl, X2,..., Xn) Definisi 32 (Penduga tak bias) (i) Suatu penduga yang nilai harapannya sarna dengan parameter g(o), yaitu E[U(Xl,X2,..., Xn)]=g(0) disebut penduga tak bias bagi parameter g(0). Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias. (ii) Jika lim, EIU(Xl, X2,...,X,)] = g(o), maka U(Xl,X2,...,X,) disebut penduga tak bias asimtotik bagi g(0). (Hogg et at. 2005) Definisi 33 (Penduga Konsisten) Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter g(0), disebut penduga konsisten bagi g(0). Definisi 34 (MSE suatu penduga) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter g(0), didefinisikan sebagai: MSE(U) = E(U - g(0))2 = (Bias(U))' + Var(U), dengan Bias (U) = EU - g(0). (Cassela dan Berger 1990) Definisi 35 (Fungsi terintegralkan lokal) Fungsi intensitas h disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Bore1 terbatas B kita peroleh p(~) = h(s)ds m. (Dudley 1989)
Definisi 36 (0 (.) ) Simbol 'big-oh' ini merupakan cara untuk membandingkan besamya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L. Notasi u(x) = O (v(x)), x -, L, menyatakan bahwa 1 ~ f. terbatas, l untuk x + L. Definisi 37 (o(.)) Simbol 'little-oh' ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L. Notasi u(x)=o(v(x)), x -+ L, menyatakan bahwa pg1 -+ 0, untuk x + L (Sertling 1980) Dengan menggunakan Definisi 23 dan 24 kita peroleh ha1 berikut: a. Suatu barisan bilangan nyata {a,) disebut terbatas dan ditulis a,= O(1) untuk n + m, jika ada bilangan terhiigga A dan B sehingga B < a, <A untuk semua bilangan asli n. b. Suatu barisan { b,) yang konvergen ke nol, untuk n + m, dapat ditulis b,,=o(l), untuk n + a. (Purcell dan Varberg 1998) Definisi 38 (Titik Lebesgue) Kita katakan s adalah titik Lebesgue dari fungsi jika berlaku 1im2 J ( s + x) - ( s ) dx = O. h-ro2h -h (Wheeden dan Zygmund 1977) Lema 7 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan g memiliki turunan ke-n yang berhingga pada suatu titikx. Maka untuk y + x. (Serfling 1980)
Bukti: lihat Serfling (1980). Lema 8 (Pertidaksarnaan Chebyshev) Jika Xadalah peubah acak dengan nilai harapan p dan ragam a2, maka untuk setiap k>o, Bukti : lihat Ross (2007). (Ross 2007) LEma 9 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika Xdan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas maka E[XY] 5 Jm, dan akan bemilai ' sama dengan' jika dan hanya jika P(X = 0) = 1 atau P(Y = ay) = 1 untuk suatu konstanta a. Bukti : lihat Helms (1996) (Helms 1996)