SolusiPesamaanNilanja (Bagian2) Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Infomatika I Oleh; Rinaldi Muni(IF-STEI ITB) Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 1
MetodeSecant Posedu lelaan metode Newton-Raphson memelukan pehitungantuunanfungsi, f'(). Saangna, tidaksemuafungsimudahdicaituunanna, teutamafungsiang bentuknaumit. Tuunan fungsi dapat dihilangkan dengan caa menggantinadenganbentuklain ang ekivalen. Modifikasi metode Newton-Raphson ini dinamakan metode secant Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 2
= g() f '( ) = = AC BC = f ( ) f ( ) 1 1 +1-1 Sulihkan ke dalam umus Newton-Raphson: + 1 = f f ( )( ) 1 ( ) f ( ) 1 + 1 = f f ' ( ) ( ) Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 3
Metode Secant memelukan dua buah tebakan awal aka, aitu 0 dan 1. Kondisi behenti lelaan adalah bila +1 - < ε (galatmutlak) atau +1 +1 < δ +1 Sepintas metode secant miip dengan metode egula-falsi, namun sesungguhna pinsip dasa keduana bebeda, sepeti ang diangkum pada tabel di bawah ini: Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 4
Metode Regula Falsi 1. Dipelukan dua buah nilai awal a dan b (ujung-ujung selang) sedemikian sehingga f(a) f(b) < 0. Metode Secant 1. Dipelukan dua buah nilai awal 0 dan 1 (tebakan awal aka), tetapi tidak haus f( 0 ) f( 1 ) < 0. 2. Lelaan petama: 2. Lelaan petama: = f() = f() a b -1 c +1 Pada lelaan petama, tidak ada pebedaan antaa egula-falsi dan secant. Pebedaan bau muncul pada lelaan kedua. Pada lelaan petama tidak ada pebedaan antaa secant dan egula falsi. Pebedaan bau muncul pada lelaan kedua. Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 5
Lelaan kedua: Lelaan kedua: = f() = f() a b +1-1 Pepotongan gais luus dengan sumbu tetap beada di dalam selang ang mengandung aka. 3. Bedasakan nomo 2 di atas, lelaanna selalu konvegen Pepotongan gais luus dengan sumbu- mungkin menjauhi aka. 3. Bedasakan nomo 2 di atas, lelaanna mungkin divegen. Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 6
pocedue Secant(0, 1:eal); { Mencai aka pesamaan f() = 0 dengan metode secant K.Awal : 0 dan 1 adalah tebakan awal aka, tedefenisi nilaina K.Akhi: aka pesamaan tecetak di laa } const epsilon = 0.000001; { toleansi galat aka hampian } va _sebelumna: eal; function f(:eal):eal; { mengembalikan nilai f(). Definisi f() begantung pada pesoalan } begin epeat _sebelumna:=1; :=-(f(1)*(1-0)/(f(1)-f(0))); 0:=1; 1:=; until (ABS(-_sebelumna) < epsilon); { adalah hampian aka pesamaan } wite( Hampian aka =, :10:6); end; Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 7
Hitunglah aka f() = e - 5 2 dengan metode secant. Gunakan ε = 0.00001. Tebakan awal aka 0 = 0.5 dan 1 = 1. Penelesaian: Tabel lelaanna: ----------------------------------------- i +1 - ----------------------------------------- 0 0.500000-1 1.000000 0.500000 3-0.797042 1.797042 4 10.235035 11.032077 5-0.795942 11.030977 6-0.794846 0.001096 7-0.472759 0.322087 8-0.400829 0.071930 9-0.374194 0.026635 10-0.371501 0.002692 11-0.371418 0.000083 12-0.371418 0.000000 ----------------------------------------- Aka = -0.371418 Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 8
SistemPesamaanNilanja Dalam dunia nata, umumna pesamaan matematika dapat lebihdaisatu, sehinggamembentuksebuahsistemang disebutsistempesamaannilanja. Bentuk umum sistem pesamaan nilanja dapat ditulis sebagai f 1 ( 1, 2,..., n ) = 0 f 2 ( 1, 2,..., n ) = 0... f n ( 1, 2,..., n ) = 0 Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 9
Solusisisteminiadalahhimpunannilaisimultan, 1, 2,..., n, ang memenuhiseluuhpesamaan. Sistem pesamaan dapat diselesaikan secaa belela dengan metode lelaan titik-tetap atau dengan metode Newton-Raphson. Masing-masing dijelaskan pada slide beikut ini Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 10
1) MetodeLelaanTitik-Tetap Posedu lelaanna titik-tetap untuk sistem dengan dua pesamaan nilanja: +1 = g 1 (, ) +1 = g 2 (, ) = 0, 1, 2,... Metode lelaan titik-tetap sepeti ini dinamakan metode lelaanjacobi. Kondisi behenti(konvegen) adalah +1 - < εdan +1 - < ε Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 11
Kecepatan konvegensi lelaan titik-tetap ini dapat ditingkatkan. Nilai +1 ang baudihitunglangsung dipakaiuntukmenghitung +1. Jadi, +1 = g 1 (, ) +1 = g 2 ( +1, ) = 0, 1, 2,... Metode lelaan titik-tetap sepeti ini dinamakan metodelelaanseidel. Kondisi behenti(konvegen) adalah +1 - < εdan +1 - < ε Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 12
Untuk fungsi dengan tiga pesamaan nilanja, lelaan Seidel-na adalah +1 = g 1 (,, z ) +1 = g 2 ( +1,, z ) z +1 = g 3 ( +1, +1, z ) = 0, 1, 2,... Kondisi behenti(konvegen) adalah +1 - < ε dan +1 - < ε dan z +1 -z < ε Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 13
Contoh: Selesaikan sistem pesamaan nilanja beikut ini, f 1 (, ) = 2 + -10 = 0 f 2 (, ) = + 3 2-57 = 0 (Akasejatinaadalah = 2 dan = 3) Penelesaian: Posedu lelaan titik-tetapna adalah 10 2 + 1 = +1 = 57-3 +1 2 Gunakantebakanawal 0 = 1.5 dan 0 = 3.5 dan ε= 0.000001 Tabel lelaanna: Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 14
------------------------------------------------------------------------------- +1 - +1 - ------------------------------------------------------------------------------- 0 1.500000 3.500000 - - 1 2.214286-24.375000 0.714286 27.875000 2-0.209105 429.713648 2.423391 454.088648 3 0.023170-12778.041781 0.232275 13207.755429... ------------------------------------------------------------------------------- Tenata lelaanna divegen! Sekaang kita ubah pesamaan posedu lelaanna menjadi + 1 + 1 = 10 = 57 3 + 1 Tebakanawal 0 = 1.5 dan 0 = 3.5 dan ε= 0.000001 Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 15
Hasilna, ----------------------------------------------------------------------- +1 - +1 - ---------------------------------------------------------------------- 0 1.500000 3.500000 - - 1 2.179449 2.860506 0.679449 0.639494 2 1.940534 3.049551 0.238916 0.189045 3 2.020456 2.983405 0.079922 0.066146 4 1.993028 3.005704 0.027428 0.022300 5 2.002385 2.998054 0.009357 0.007650 6 1.999185 3.000666 0.003200 0.002611 7 2.000279 2.999773 0.001094 0.000893 8 1.999905 3.000078 0.000374 0.000305 9 2.000033 2.999973 0.000128 0.000104 10 1.999989 3.000009 0.000044 0.000036 11 2.000004 2.999997 0.000015 0.000012 12 1.999999 3.000001 0.000005 0.000004 13 2.000000 3.000000 0.000002 0.000001 14 2.000000 3.000000 0.000001 0.000000 --------------------------------------------------------------------- Aka = 2.000000; = 3.000000 Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 16
2) MetodeNewton-Raphson Tinjaufungsidenganduapeubah, u = f(, ). Deet Talo ode petama dapat dituliskan untuk masingmasing pesamaan sebagai u +1 = u + ( +1 - ) u + ( +1 - ) dan v +1 = v + ( +1 - ) + ( +1 - ) v u v Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 17
Kaenapesoalanmencaiaka, maka u +1 = 0 dan v +1 = 0, untukmembeikan u u +1 + +1 = -u + u + u v v +1 + +1 = -v + v + v Dengan sedikit manipulasi aljaba, kedua pesamaan teakhiinidapatdipecahkanmenjadi: Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 18
v u v u u v v u + = +1 u v v u Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 19 v u v u v u + = +1 Penebut dai masing-masing pesamaan ini diacu sebagai deteminan Jacobi dai sistem tesebut
Contoh: Gunakan metode Newton-Raphson untuk mencai aka f 1 (, ) = u= 2 + -10 = 0 f 2 (, ) = v= + 3 2-57 = 0 dengantebakanawal 0 =1.5 dan 0 =3.5 Penelesaian: u u o = 2+ = 2(1.5) + 3.5 = 6.5 u o v o = = 1.5 = 3 2 = 3(3.5) 2 = 36.75 v o = 1+ 6= 1 + 6(1.5) = 32.5 Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 20
Deteminan Jacobi untuk lelaan petama adalah 6.5(32.5) - 1.5(36.75) = 156.125 Nilai-nilai fungsi dapat dihitung dai tebakan awal sebagai u 0 = (1.5) 2 + 1.5(3.5) -10 = -2.5 v 0 = (3.5) 2 + 3(1.5)(3.5) 2-57 = 1.625 Nilaidanpadalelaanpetamaadalah dan ( 2.5 )( 32.5 ) 1.625 ( 1.5 ) = 1.5 = 1 156.125 ( 2.5)( 36.75) 1.625( 6.5) 2.03603 = 3.5 + = 2.84388 1 156.125 Apabila lelaanna diteuskan, ia konvegen ke aka sejati = 2 dan = 3. Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 21
ContohPeneapan Dalam suatu poses Teknik Kimia, campuan kabon monoksida dan oksigenmencapaikesetimbanganpadasuhu300 K dantekanan5 atm. Reaksi teoitisna adalah CO + 1/2 O 2 CO 2 Reaksi kimia ang sebenana tejadi dapat ditulis sebagai CO + O 2 CO 2 + O 2 + (1 -) CO 2 Pesamaankesetimbangankimiauntukmenentukanfaksimol CO ang tesisa, aitu, ditulis sebagai ( 1 )( 3+ ) 1 2 2 ( + 1) 1 p K p =, 0 < < 1 1 2 ang dalamhalini, K p = 3.06 adalahtetapankesetimbanganuntuk eaksico + 1/2 O 2 pada3000 K danp = 5 atm. Tentukannilaidengan metode egula falsi ang dipebaiki. Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 22
Penelesaian: Pesoalan ini memang lebih tepat diselesaikan dengan metode tetutup kaena adalah faksi mol ang nilaina teletak antaa0 dan1. Fungsi ang akan dicai akana dapat ditulis sebagai 1 2 ( 1 )( 3 + ) f() = - K p, 0 < < 1 1 2 2 ( + 1) 1 p dengank p = 3.06 danp =5 atm. Selang ang mengandung aka adalah[0.1, 0.9]. Nilai fungsi di ujungujung selang adalah f(0.1) = 3.696815 dan f(0.9) = -2.988809 ang memenuhi f(0.1) f(0.9) < 0. Tabel lelaanna adalah: Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 23
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a c b f(a) f(c) f(b) Selang bau Lebana --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0 0.100000 0.542360 0.900000 3.696815-2.488120-2.988809 [a, c] 0.442360 1 0.100000 0.288552 0.542360 1.848407-1.298490-2.488120 [a, c] 0.188552 2 0.100000 0.178401 0.288552 0.924204 0.322490-1.298490 [c, b] 0.110151 3 0.178401 0.200315 0.288552 0.322490-0.144794-1.298490 [a, c] 0.021914 4 0.178401 0.193525 0.200315 0.322490-0.011477-0.144794 [a, c] 0.015124 5 0.178401 0.192520 0.193525 0.161242 0.009064-0.011477 [c, b] 0.001005 6 0.192520 0.192963 0.193525 0.009064-0.000027-0.011477 [a, c] 0.000443 7 0.192520 0.192962 0.192963 0.009064-0.000000-0.000027 [a, c] 0.000442 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hampian aka = 0.192962 Jadi, setelah eaksi belangsung, faksi mol CO ang tesisa adalah 0.192962. Rinaldi Muni - Topik Khusus Infomatika I 24