CNH2G4/ KOMPUTASI NUMERIK

Transkripsi

1 CNHG4/ KOMPUTASI NUMERIK TIM DOSEN KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

2 Pendahuluan Pesamaan Diffeensial : Gabungan dai fungsi ang tidak diketahui dengan tuunanna. Kategoi Pesamaan Diffeensial : PD Biasa : Pesamaan Diffeensial ang hana memiliki satu vaiabel bebas. Bedasakan tuunan tetinggi ang dimiliki, PDB dikategoikan menjadi : PDB Ode : tuunan tetinggina adalah tuunan petama PDB Ode : tuunan kedua meupakan tuunan tetinggi PDB Ode 3 : tuunan ketiga meupakan tuunan tetinggina. Dan seteusna PD Pasial Pesamaan Diffeensial ang memiliki lebih dai satu vaiabel bebas. //7

3 Pendahuluan Cont. Contoh Pesamaan : d d Tuunan dilambangkan dengan : d/d atau f atau, sedangkan fungsi ang tidak diketahui dilambangkan dengan kebeadaan vaiabel teikatna. sepeti contoh di atas, maka : Tuunan dilambangkan dengan d/d dan fungsi ang tidak diketahui diwakili dengan vaiabel. 3 //7

4 4 Pendahuluan Cont. ' Kategoikan : PD / bukan PD / PDP / PDB? d d 3 ' ' ' Sin Cos '' ' ''' 3 u u t Sin t u 4 ' f 7; 3 ' 5 3 t f t t. PDB ode. PDP 3. Bukan PD 4. PDB ode 5. PDB ode 3 6. Bukan PD 7. PDP 8. PDB ode e u u 6 //7

5 Pendahuluan Cont. Solusi PDB : solusi analitik : salah satuna dengan teknik integal solusi numeik : menggunakan metode hampian. Solusi Numeik : mencai nilai fungsi di +, dimana menunjukkan jumlah langkah atau iteasi. Langkah/iteasi memiliki jaak ang sama h = +h; =,,,,n 5 //7

6 PDB Ode Satu Bentuk baku PDB ode satu : Contoh : d f ' ' f, d ' ; ' ' ; ' Metode penelesaian : Eule Heun Runge-Kutta 6 //7

7 7 Metode Eule Bentuk baku : Penuunan Deet Talo : uaikan + disekita Dipotong sampai ode : Kaena = f, dan + - = h, maka : h f f d d ;, ' '... ''! '! ; ''! '! t t n h O hf,...,,, ;, //7

8 Metode Eule Cont. Penuunan secaa geometis : f, adalah pesamaan diffeensial ang dapat digambakan sebagai gadien gais singgung di titik,. Gais singgung ditaik meninggung titik, untuk menemukan nilai, pada titik, ditaik lagi gais ang meninggung titik tesebut dengan fungsi f, untuk mendapatkan f dan seteusna. 8 //7

9 Metode Eule Cont ,,, 3,3 4,4 5,5 6,6 7, ,8 d/d 9 //7

10 Y+ sejati Y+ hampian Y sejati A B C gal at h,,, ' hf hf h AB BC f m Metode Eule Cont. //7

11 Metode Eule Cont. Galat Galat Pemotongan Ep h '' t O h sebanding dengan kuadat ukuan langkah Galat Kumulatif E kumulatif n h '' t nh '' b a h h b a h'' t '' t O h //7

12 Metode Eule Cont. Contoh Soal : Diketahui d/d = + ; =. Beapa. dengan langkah h =. dan h =.5, jika diketahui fungsi asli adalah = e --, langkah mana ang lebih teliti? h =.5 = = =.5.5 = +.5+ = =.. = =.5 h =. = = =.. = +.+ = =.4.4 = +..+ =.4 =.6.6 = =.8 =.8.8 = =.436 =.. = = = e. -.- =.5798 Langkah h =. lebih teliti //7

13 Metode Heun Meupakan pebaikan metode Eule. Solusi Eule dijadikan solusi pekiaan awal dan dipebaiki dengan metode Heun. Pebaikan gadien ang digunakan meupakan ata-ata gadien dai titik ang ada. 3 //7

14 Metode Heun Cont. Dai satu titik awal,, iteasi dan gadien didapatkan pekiaan nilai + selanjutna +, + beseta gadienna. Dai dua gadien ang ada dicai ata-atana kemudian digunakan untuk menghitung kembali nilai +., f,, ; f hf ; f, f h f,,,, f, Misal : Awal iteasi dimiliki, dan f, Kemudian digunakan untuk menghitung dan didapatkan f, Hitung kembali dengan gadien f, +f, / atau ditulis sekaligus sebagai beikut h f, f, hf, 4 //7

15 Metode Heun Cont. Secaa geometis : , +, + f, fat, f+, + _eule _heun.5 5 //7

16 Metode Runge-Kutta Bentuk umum Runge Kutta Ode n: + = + a k + a k + + a n k n Dengan a,a,a 3,,a n adalah konstanta k = hf, k = hf +p h, +q k k 3 = hf +p h, +q k +q k k 4 = hf +p 3 h, +q 3 k +q 3 k +q 33 k 3 k n = h +p n- h, +q n-, k +q n-, k + +q n-,n- k n- Galat Pe langkah Runge Kuta ode n : Oh n+ Kumulatif ode n :Oh n 6 //7

17 Metode Runge Kutta Cont. Ode k = hf, + = + a k ; a = didapat + = + hf, Metode Eule Galat : Pe langkah : Oh Kumulatif : Oh 7 //7

18 Metode Runge Kutta Cont. Ode k = hf, k = hf +p h, +q k + = + a k + a k Dengan penuunan umus ang sudah ada didapatkan : a = -a = -t p = /a = /t q = /a = /t Atina ada tak behingga fomula ode dua. Dengan a =a = ½, q =, p = k = hf, k = hf +h, +k + = + ½ k + k Metode Heun 8 //7

19 Metode Runge Kutta Cont. Ode 3 k = hf, k = hf +p h, +q k k 3 = hf +p h, +q k +q k + = + a k + a k + a 3 k 3 dengan menggunakan penuunan umus ang ada didapatkan : k = hf, k = hf +/ h, +/ k k 3 = hf +h, -k +k + = + /6 k + 4k + k 3 9 //7

20 Ode 4 Metode Runge Kutta Cont. k = hf, k = hf +p h, +q k k 3 = hf +p h, +q k +q k k 4 = hf +p 3 h, +q 3 k +q 3 k +q 33 k 3 + = + a k + a k + a 3 k 3 + a 4 k 4 dengan menggunakan penuunan umus ang ada didapatkan : k = hf, k = hf +/ h, +/ k k 3 = hf +/h, +/ k k 4 = hf +h, +k 3 + = + /6 k + k + k 3 + k 4 //7

21 THANK YOU