MODEL CAMPURAN LINEAR. Bab 6 Linear Mixed Models ( )

Transkripsi

1 MODEL CAMPURAN LINEAR Bab 6 Linea Mixed Models ( )

2 Outline Model umum Stuktu Ragam Peagam Model Campuan untuk data longitudinal Menduga pegauh tetap untuk Ragam (V) diketahui Menduga pegauh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui Pediksi pegauh acak untuk Ragam (V) diketahui

3 Model umum y = Xβ + Zu + e y adalah vekto amatan beukuan nx1 β adalah vekto penguh tetap beukuan px1 u adalah vekto pengauh acak beukuan x1 e adalah vekto komponen sisaan beukuan nx1 X adalah matiks ancangan pengauh tetap beukuan nxp Z adalah matiks ancangan pengauh acak beukuan nx y u diasumsikan mengikuti sebaan tetentu dengan E y u = Xβ + Zu dan Va y u = R Untuk mendapatkan momen petama dan kedua dai y, dibutuhkan pengauh acak u Nilai haapan dai u diasumsikan sama dengan 0 dengan agam D, sehingga dipeoleh E y = Xβ dan Va y = V = ZDZ + R

4 Stuktu Ragam Peagam Misalkan data sko ujian matematika level 9 dai empat kelas pada 15 sekolah di New Yok City. Data dibedakan bedasakan jenis kelamin. Tiga sumbe keagaman yaitu : anta sekolah, anta kelas pada setiap sekolah anta siswa pada setiap kelas Misalkan y tijk adalah sko ujian siswa ke k ( dai jenis kelamin ke-t) dalam kelas-j dai sekolah ke-i, maka pesamaan model dapat dituliskan : E y tijk s i, c ij = β t + s i + c ij β t adalah pengauh tetap dai jenis kelamin ke-t (t= 1,2) s i adalah pengauh acak dai sekolah ke-i (i = 1,, 15) c ij adalah pengauh acak dai kelas ke-j (j = 1, 2,3,4) untuk setiap sekolah ke-i Indeks k = 1,, 10

5 Stuktu Ragam Peagam E y tijk s i, c ij = β t + s i + c ij E y u = Xβ + Zu β = β m β f, u = u 1 u 2 = 15 { c s i } i=1 4 { c { c c ij } j=1 15, Z = Z 1 Z 2 sehingga Zu = Z 1 u 1 + Z 2 u 2 } i=1 E y u = Xβ + Z 1 u 1 + Z 2 u 2 V = Z 1 D 1 Z 1 + Z 2 D 2 Z 2 + Z 1 D 12 Z 2 + Z 2 D 21 Z 1 + R D = va u = va(u 1) cov(u 1, u 2 ) cov(u 2, u 1 ) va(u 2 ) = D 1 D 12 D 21 D 2 D 1 adalah matiks agam pengauh acak dai sekolah, D 2 adalah matiks agam pengauh acak dai anta kelas pada setiap sekolah, dan D 12 = D 21 adalah maiks peagam anta sekolah dan kelas. R didefenisikan sebagai Va y u, yaitu agam-peagam dai komponen p tijk (pengauh acak dai galat).

6 y tijk y 1,1,1,1 y 2,15,4,10 = β m β f + Z 1 Z 2 u 1 u 2 y 1200x1 X 1200x2 β 2x1 Z 1200x15 Z 1200x60 u 75x1 u 1 u 2 15 x 1 60 x 1 D = va u = D 1 D 12 D 21 D 2 D 75x75 D 1 D 2 D 12 D x x x x 15

7 Bentuk umum dai E y u dan V jika tedapat fakto pengauh acak E y u = Xβ + i=1 Z i u i V = Z i D ii Z i + Z i D ii Z i + R i=1 i=1 i =1 Z = Z 1 Z 2 Z = { Z i } i=1 u = { c u i } i=1 dan D = va u = { m D ii } i,i =1 dimana D ii = va u i dan D ii = cov u i, u i Jika anta fakto acak diasumsikan saling bebas sehingga D ii = 0 maka D = { d D i } i=1 dan V = i=1 Z i D i Z i + R

8 Jika pada contoh kasus diasumsikan anta sekolah saling bebas, dan agam dai sekolah homogen maka dapat dituliskan sebagai D 1 = σ s 2 I 15 Jika diasumsikan juga anta kelas pada setiap sekolah saling bebas maka agam dai pengauh inteaksi dapat dituliskan D 2 = { d σ 2 i I 4 } 15 i=1 = σ 2 c I 60 Va y u = R = σ 2 I 1200 D = va u = D 1 0 = σ s 2 I D 2 0 { d σ 2 15 = σ s 2 I 15 0 i I 4 } i=1 0 σ 2 c I 60 V = Z 1 Z 1 σ s 2 + Z 2 Z 2 σ c 2 + σ 2 I 1200 Sehingga secaa umum jika tedapat fakto acak saling bebas, anta individu dalam fakto acak tesebut juga bebas, dan memiliki agam homogen, maka dapat dituliskan D = { d σ 2 i I qi } i=1 dan V = i=1 Z i Z i σ i 2 + σ 2 I N

9 Peubahan penulisan notasi Peubahan penulisan notasi yang disaankan oleh Hatley dan Rao (1967) dengan mendefenisikan ulang matiks D. Hal ini dilakukan dengan mendefenisikan telebih dahulu σ 0 2 σ 2, Z 0 I N dan q 0 N, D = σ 0 2 I q0 0 0 D = { dσ 2 i I qi } i=0 dan V = i=0 Z i Z i σ i 2 Atau V dapat juga dituliskan sebagai V = Z D Z Z = Z 0 Z 1 Z 2 Z = Z 0 Z

10 Model Campuan untuk data longitudinal Laid dan Wae (1982) untuk kasus dengan data longitudinal sebagai beikut : E y i u i = X i β + Z i u i Jika y i adalah vekto dai n i pengukuan pada pasien ke-i, β dan u i adalah vekto dai pengauh tetap dan acak Nilai koefisien β akan sama untuk setiap pasien, sedangkan u i akan bebeda Misalkan ada m pasien, maka y = { c y i }, X = { c X i }, Z = { d Z i }, dan u = { c u i }, { c E y i u i } m i=1 = E y u = Xβ + Zu Sehingga stuktu agam yang diajukan oleh Laid dan Wae (1982) V = ZDZ + R, dengan D ii = D i, D ii = 0 i i dan R = { d R i }, V = va(y) = { d Z i DZ i + R i } Moe detail in section 7

11 Menduga pegauh tetap untuk Ragam (V) diketahui Menduga pengauh tetap untuk agam (V )diketahui, dilakukan dengan menggunakan pendekatan maksimum likelihood. Misalkan y~n(xβ, V), pesamaam log likelihood untuk y, l = 1 2 (y μ) V 1 y μ 1 2 log V N 2 log 2π dimana μ = μ θ dan V = V(φ) l θ = μ θ V 1 y μ = 0 Penduga bagi β (dilambangkan dengan β 0 ) X V 1 y Xβ 0 = 0 X V 1 y X V 1 Xβ 0 = 0 β 0 = (X V 1 X) X V 1 y

12 Menduga pegauh tetap untuk Ragam (V) diketahui Penduga maksimum likelihood bagi Xβ ML Xβ = Xβ 0 = X(X V 1 X) X V 1 y dengan Va y = V, maka Va Xβ 0 = Va(X X V 1 X) X V 1 y = X(X V 1 X) X V 1 Va(y)V 1 X(X V 1 X) X = X(X V 1 X) X V 1 VV 1 X(X V 1 X) X = X(X V 1 X) X V 1 X(X V 1 X) X Kaena (X V 1 X) adalah kebalikan umum dai (X V 1 X), sehingga Va Xβ 0 = X(X V 1 X) X

13 Menduga pegauh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui-- Estimation Penduga bagi β (dilambangkan dengan β) dipeoleh dengan caa yang sama sepeti pada menduga pengauh tetap untuk agam (V ) diketahui Penduga ML bagi Xβ ML Xβ = X β = X(X V 1 X) X V 1 y Penduga ML bagi V dengan tuunan petama pesamaan log likelihood l φ k = 1 2 t V V 1 φ k l = 0 dan V = V(φ) φ k (y μ) V 1 V V 1 (y μ) φ k dan untuk σ 2 digunakan V φ k = V σ 2 i = ( j Z j Z j σ 2 i σ 2 i = Z i Z i sehingga pesamaan diatas dapat dituliskan sebagai beikut : l 2 σ = 1 i 2 t V 1 Z i Z i 1 2 (y Xβ) V 1 Z i Z i V 1 (y Xβ) dengan menyelesaikan setiap pesamaan diatas untuk i = 1,2,, dan mengganti β dengan β, V digantikan dengan V maka akan dipeoleh : t V 1 Z i Z i = (y X β) V 1 Z i Z i V 1 (y X β) Newton Raphson dan Fishe Scoing

14 Menduga pegauh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui-- Sampling Vaiance Penduga agam bagi X β, akan didekati dengan kasus sedehana misalkan ada l β untuk menduga l β(l = t X ) Kacka dan Haville (1984) mengatakan l β l β dapat dituliskan sebagai penjumlahan dua bagian yang saling bebas, l β l β 0 dan l β 0 l β l β l β = l β 0 l β + l β 0 l β

15 Menduga pegauh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui-- Sampling Vaiance Sehingga untuk menghitung va(l β) dapat dituliskan sebagai beikut : va l β = va l β 0 l β + va l β l β 0 = l X V 1 X l + l Tl l Tl = l X V 1 X i=0 j=0 c ij G ij F i (X V 1 X) F j (X V 1 X) l c ij adalah elemen matiks asimtotik agam peagam, C = { m c ij } i=0,j=0 = { m cov ( σ 2 i, σ 2 j )} i=0,j=0 G ij = X V 1 Z i Z i V 1 Z j Z j V 1 X, F i = X V 1 Z i Z i V 1 X, h = l X V 1 X X V 1 sehingga l Tl = i=0 j=0 c ij h Z i Z i PZ j Z j h = t C{ m h Z i Z i PZ j Z j h} i,j=0 va l β = l X V 1 X l + t C{ m h Z i Z i PZ j Z j h} i,j=0

16 Menduga pegauh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui Bias in the Vaiance Kenwad dan Roge (1997) mengatakan bahwa l X V 1 X l adalah bias dai l X V 1 X l Untuk menginvestigasi bias, dimulai dengan two-tem Taylo seies expansion l X V 1 X l = l X V 1 X + ( σ 2 σ 2 ) X V 1 X σ i=0 j=0 ( σ i 2 σ i 2 ) ( σ j 2 σ j 2 ) 2 X V 1 X σ i 2 σ j 2 l E l X V 1 X l = l X V 1 X l i=0 j=0 cov( σ 2 i, σ 2 j )l 2 X V 1 X σ 2 2 l i σ j 2 X V 1 X σ i 2 σ j 2 = X V 1 X X V 1 (Z i Z i PZ j Z j + Z j Z j PZ i Z i ) V 1 X X V 1 X

17 Menduga pegauh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui Bias in the Vaiance E l X V 1 X l l X V 1 X l = 1 c 2 ij l X V 1 X X V 1 i=0 j=0 (Z i Z i PZ j Z j + Z j Z j PZ i Z i )V 1 X X V 1 X l = c ij h Z i Z i PZ j Z j h = l Tl dengan h = l X V 1 X X V 1 i=0 j=0 Sehingga E l X V 1 X l = l X V 1 X l l Tl

18 Menduga pegauh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui Bias in the Vaiance Pada dasanya yang ingin diduga adalah va l β = l X V 1 X l + l Tl dan dai penuunan sebelumnya dipeoleh E l X V 1 X l = l X V 1 X l l Tl sehingga pendekatan untuk penduga takbias bagi va l β yang di-adjusted adalah : bedasakan l X V 1 X l l X V 1 X l adjusted = l X V 1 X ) l + 2l Tl

19 Pediksi pegauh acak untuk Ragam (V) diketahui Misalkan y~(xβ, V) untuk V = ZDZ + R, diasumsikan y dan u mengikuti sebaan besama nomal dengan nilai haapan besyaat : E u y = DZ V 1 (y Xβ) u = DZ V 1 y Xβ, dengan va( u) = DZ V 1 ZD β diganti dengan β 0 = (X V 1 X) X V 1 y sehingga menghasilkan BLUP (best linea unbiased pedicto), sehingga u 0 = DZ V 1 y Xβ 0 = DZ Py, va( u 0 ) = va DZ Py = DZ Pva y P ZD = DZ PVP ZD = DZ PZD dengan PVP = P, dimana P = V 1 V 1 X(X V 1 X) X V 1 Jadi dengan D dan V diketahui, selang kepecayaan bagi u dapat dihitung.

20 Buti penting tekait model campuan sesuai dengan pemahaman saya : Penentuan pengauh tetap dan pengauh acak yang masuk ke dalam model Sebaan dai pengauh acak Sebaan y besyaat dai pengauh acak Penentuan matiks ancangan X untuk pengauh tetap dan matiks ancangan Z untuk pengauh acak Stuktu dai agam dan peagam matiks D atau matiks agam peagam dai pengauh acak Stuktu dai agam dan peagam matiks V atau matiks agam peagam dai y Metode pendugaan/pediksi pengauh tetap/acak baik untuk matiks V diketahui maupun tidak diketahui

21