KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana Bagian 3 Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR
1. Fungsi
Sebelum membahas fungsi, akan ditunjukkan pengertian dari relasi yang kemudian mempunyai hubungan dengan fungsi.
A. Relasi
Pengertian Relasi Secara umum relasi berarti hubungan Matematika: Relasi antara dua himpunan (himpunan A dan himpunan B) adalah suatu aturan yang memangsangkan anggotaanggota himpunan A dengan anggota pada himpunan B.
Menyatakan Relasi Terdapat tiga cara untuk menyatakan relasi antara dua himpunan, yaitu dengan menggunakan diagram panah himpuanan pasangan berurutan diagram Cartesius
Contoh 1 Diberikan tabel untuk nama kota dan propinsinya, sebagai berikut: No Kota Propinsi 1 Semarang Jateng 2 Makasar Sulsel 3 Kupang NTT 4 Sala7ga Jateng 5 Jailolo Malut
1. Diagram Panah Dinamakan relasi diagram panah karena dihubungkan/ dinyatakan dengan arah panah. Kadang disebut dengan diagram Venn
Relasi dari Contoh 1, diperoleh: Kupang Makasar Semarang Saltiga Jailolo Malut Sulsel Jateng NTT
2. Himpunan Pasangan Berurutan Menyatakan relasi antara dua himpunan dengan memasangkan domain dengan range. Misalnya himpunan A dan B yang dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x, y) dengan x A dan y B
Dari Tabel pada Contoh 1, diperoleh pasangan berurutan: {(Semarang, Jateng), (Makasar, Sulsel), (Kupang, NTT), (Salatiga, Jateng), (Jailolo, Malut)}
3. Diagram Cartesius Relasi yang menempatkan sebuah himpunan pada sumbu mendatar dan himpunan yang lain pada sumbu tegak, atau sebaliknya. Setiap anggota suatu himpunan yang berpasangan dengan anggota himpunan yang lain, diberi tanda ( ).
Dari Tabel pada Contoh 1, digambarkan dalam diagram Cartesius Malut NTT Sulsel Jateng Semarang Makasar Kupang Sala7ga Jailolo
B. Fungsi
1. Pengertian Fungsi Fungsi (pemetaan) f adalah relasi khusus yang memasangkan setiap elemen x dalam himpunan D secara tepat ke satu anggota f(x) di himpunan E.
Contoh 2 Dari diagram panah berikut, manakah yang merupakan fungsi? A p q r B 1 2 A p q r B 1 2 A p q r B 1 2 i ii iii
Penyelesaian (contoh 2) A p q r B 1 2 (i) Diagram panah (i) merupakan fungsi karena setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.
Penyelesaian (contoh 2) A p q r B 1 2 (ii) Diagram (ii) bukan merupakan fungsi karena ada anggota A, yaitu p, mempunyai dua pasangan anggota B, yaitu 1 dan 2.
Penyelesaian (contoh 2) A p q r B 1 2 (iii) Diagram panah (iii) bukan merupakan fungsi kerana ada anggota A, yaitu p, tidak mempunyai pasangan anggota B.
2. Domain, Kodomain, & Range Ketiga istilah ini sering dijumpai dalam fungsi. Domain merupakan daerah asal, Kodomain adalah daerah kawan, Range merupakan daerah hasil.
Contoh 3 Diberikan fungsi berikut P a b c Q 1 2 3 Maka diperoleh : Domain (Df) adalah P = {a, b, c} Kodomain (Kf) adalah Q = {1, 2, 3} Range (Rf) adalah = {2, 3}.
Diagram mesin untuk fungsi Akan mudah membayangkan sebuah fungsi sebagai sebuah mesin. Jika x adalah daerah asal fungsi f, maka pada waktu x memasuki mesin, dia diterima sebagai masukan (input) dan mesin menghasilkan keluaran (output) f(x) menurut aturan fungsi.
3. Sejarah Fungsi Istilah fungsi pertama kali digunakan G. W. Leibniz pada tahun 1673, yang digunakan untuk menujukan suatu besaran tergantung pada kuantitas yang lain. Misalnya luas daerah A adalah lingkaran dengan jari-jari r, sehingga A = ᴨr 2 maka A adalah fungsi dari r. G. W. Leibniz
Setelah itu matematikawan berasal dari Swis, Leonhard Euler menotasikan f sebagai fungsi. Yang di tulis y = f(x) (dibaca: y sama dengan f dari x atau y sama dengan f x ) Kadang fungsi juga dinotasikan w = f(t), g (x), v(r), dll. Leonhard Euler
4. Grafik Fungsi Q 9 4 1 P Dari Gambar di samping, diperoleh Himpunan P = 1, dan Q = 1 sehingga (1,1). Himpunan P = 2, berpasangan dengan Q = 4 sehingga (2,4). Himpunan P = 3, dan Q = 9 sehingga (3,9). 1 2 3
Dari Gambar, menunjukkan aturan yang memetakan anggota pada himpunan P tepat satu anggota ke himpunan Q. 9 Q 4 1 P 1 2 3 Dimana untuk setiap x anggota P dipetakan ke x 2 anggota pada himpunan Q. Sehingga dapat dipandang sebagai sebuah fungsi yang dinotasikan dengan y = f (x) = x 2.
Untuk memudahkan cara menulis atau membaca, suatu pemetaan dapat dituliskan dalam tabel. Seperti pada fungsi y = f (x) = x 2 x - 2-1 0 1 2 3 f (x) = x 2 4 1 0 1 4 9 (x, y) (- 2, 4) (- 1, 1) (0, 0) (1, 1) (2, 4) (3, 9)
Sehingga dapat dibuat grafik fungsi y = x 2 f(x) 9 4 1 x -2-1 1 2 3
Contoh 4 Gambarlah grafik fungsi dari f(x) = x Solusi: y = f(x) = x, berdasarkan defenisi nilai mutlak maka y = { x, x 0 x, x < 0
Atau dapat juga diselesaikan menggunakan tabel x -3-2 -1 0 1 2 3 f (x) = x 3 2 1 0 1 2 3 (x, y) (-3,3) (-2, 2) (-1, 1) (0, 0) (1, 1) (2, 2) (3, 3) Grafik f(x) = x f(x) 3 2 1 x -3-2 -1 1 2 3
Domain & Range pada Grafik Fungsi Grafik fungsi f(x) digambarkan dengan daerah asal (domain) pada sumbu-x dan daerah hasil (range) pada sumbu-y
Contoh 5 Grafik fungsi dari f, ditunjukkan pada gambar di bawah ini. a). Carilah nilai f(1) dan f(5) b). Carilah domain dan range f
Penyelesaian Contoh 5 Dari grafik fungsi dari f, diperoleh bahwa a) nilai f(1) = 3, dan f(5) = 0.7 b) f(x) terdefenisi jika 0 x 7 sehingga domain f pada [0, 7], dan hasil dari f adalah semua nilai dari 2 sampai 4, maka range f adalah {{ y 2 y 4} = [ 2, 4]
Contoh 6 Diberikan grafik dari fungsi f, maka carilah a. Nilai dari f( 1). b. Estimasi dari nilai f(2). c. Untuk x bernilai berapakah f(x) = 2? d. Estimasi nilai dari x agar f(x) = 0. e. Domain dan range dari f. f. Interval berapakah f naik?
Pembahasan (Contoh 6) a. f(-1) = -2 b. f(2) = 2.8 c. Untuk f(x) = 2, maka x = 3 dan x = 1. d. Untuk f(x) = 0, x = 2.5 dan x = 0.3 e. Domain = [ 3, 3] atau 3 x 3, dan Range = [ 2, 3] atau 2 x 3 f. Fungsi naik (increasing) pada selang [ 1, 3] atau 1 x 3.
Cara Menyajikan Fungsi Terdapat empat cara untuk menyajikan suatu fungsi: Secara lisan (dengan uraian dalam kata-kata) Secara numerik (dengan tabel nilai) Secara visual (dengan grafik) Secara aljabar (dengan rumus)
Menentukan kurva sebagai grafik fungsi Grafik fungsi adalah kurva pada bidang-xy Tetapi muncul pertanyaan: kurva mana di bidang-xy yang merupakan grafik fungsi?
Uji Garis Tegak Kurva di bidang-xy merupakan grafik suatu fungsi x jika dan hanya jika tidak terdapat garis tegak yang memotong kurva lebih dari sekali.
Contoh 7 Parabola x = y 2 2 pada gambar berikut, bukan merupakan fungsi x, karena dengan uji garis tegak akan memotong parabola dua kali.
Contoh 8 Dari Contoh 7, x = y 2 2 berarti y 2 = x 2 sehingga y = ± x + 2 Maka setengah bagian atas dan bawah parabola merupakan grafik fungsi f(x) = x + 2 dan g(x) = x + 2
Fungsi Piecewise Fungsi Piecewise merupakan sebuah fungsi yang terdefenisi secara sepotong-potong.
Contoh 9 Fungsi f didefenisikan oleh y = f(x) = 1- x, jika x 1 x 2, jika x > 1 Hitung f(0), f(1), dan f(2) dan sketsakan grafiknya.
Pembahasan Contoh 9 Karena fungsinya y = f(x) = 1- x, jika x 1 x 2, jika x > 1 Maka f(0) = 1 0 =1, f(1) = 1 1=0 & f(2) = 2 2 = 4, sehingga grafiknya:
Contoh 10 Carilah rumus untuk fungsi f yang disajikan pada gambar
Penyelesaian Contoh 10 Dari grafik f(x) = x untuk (0,0) & (1,1), diperoleh f(x) = x jika 0 x 1 f(x) = x untuk (1,1) & (2,0), diperoleh f(x) = x jika 0 < x 2 f(x) = 0 untuk (2,0) dan seterusnya, diperoleh f(x) = 0 jika x > 2 Sehingga, y = f(x) = x, jika 0 x 1 2 - x, jika 1< x 2 0, jika x > 2
Contoh 11(Fungsi Tangga) Diberikan C sebagai biaya pengiriman surat, terhadap berat w, sehingga menjadi fungsi C(w) Dari grafik, diperoleh:
Fungsi yang Simetri Fungsi Genap Jika fungsi f memenuhi f( x) = f(x) untuk setiap bilangan x di dalam daerah asalnya. Fungsi Ganjil Jika fungsi f memenuhi f( x) = f(x) untuk setiap bilangan x di dalam daerah asalnya.
Fungsi Genap Memenuhi f(x) = f( x), juga Secara geometris, grafiknya simetris terhadap sumbu-y. Lihat f(x) = x 2 Diperoleh: f( x) = ( x) 2 = x 2 = f(x)
Fungsi Ganjil Memenuhi f(x) = f(x), juga Secara geometris, grafiknya simetris terhadap titik asal. Contoh: Fungsi f(x) = x 3 Diperoleh: f( x) = ( x) 3 = x 3 = f(x)
Contoh 11 Tentukan apakah masing-masing fungsi berikut genap atau ganjil atau tidak keduanya a) f(x) = x 5 + x b) g(x) = 1 x 4 c) h(x) = 2x x 2
Penyelesaian Contoh 11 a) f(x) = x 5 + x Dilakukan uji pada f(x) f( x) = ( x) 5 + ( x) = ( 1) 5 x 5 + ( 1)x = x 5 x = (x 5 + x) = f(x) Sehingga f(x) adalah fungsi ganjil
Penyelesaian Contoh 11 b) g(x) = 1 x 4 Dilakukan uji pada g(x) g( x) = 1 ( x) 4 = 1 ( 1) 4 x 4 = 1 x 4 = g(x) maka, g(x) adalah fungsi genap
Penyelesaian Contoh 11 c) h(x) = 2x x 2 Dilakukan uji pada h(x) h( x) = 2( x) ( x) 2 = 2x x 2 h(x) h(x) diperoleh, h(x) bukan fungsi genap atau ganjil
Fungsi Naik dan Turun Dari Gambar, menujukkan grafik naik dari A ke B pad interval [a, b], turun dari B ke C di interval [b, c], dan naik lagi dari C ke D pada interval [c, d]. Jika x1 dan x2 dua bilangan antara a dan b, dengan x1 < x2, maka f(x1) < f(x2)
Defenisi Fungsi Naik dan Turun Fungsi f naik pada interval L jika f(x1) < f(x2) bilamana x1 < x2 di L Fungsi f disebut turun pada interval L jika f(x1) > f(x2) bilamana x1 < x2 di L
Contoh 12 Diberikan sebuah grafik fungsi f(x) = x 2 Fungsi f(x) menurun pada interval (, 0] dan naik pada interval [0, )
2. Model Matematika
Pengantar Model matematika adalah uraian secara matematika (sering menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata. Seperti model untuk populasi, permintaan suatu barang, kecepatan benda jatuh, kosentrasi hasil dalam reaksi kimia, harapan hidup sesorang pada waktu lahir, dll.
Tujuan & Proses Pemodelan Tujuan model adalah memahami suatu fenomena dan mungkin membuat prakiraan tentang prilaku di masa depan Proses pemodelan ditunjukkan pada gambar berikut Persoalan Dunia Nyata Rumuskan Model Matematika Uji Pecahkan Prakiraan Duni Nyata Tafsirkan Kesimpulan Matematika