II LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan diketahui tetapi hasil pada percobaan selanjutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak. Definisi 2.1 (Ruang contoh) Ruang contoh himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω. Definisi 2.2 (Kejadian) Kejadian suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. Definisi 2.3 (Medan - ) Medan- suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut: 1. 2. Jika, maka 3. Jika, maka i1 A i Jika, maka medan- disebut medan Borel. Anggota medan Borel disebut himpunan Borel. Definisi 2.4 (Ukuran peluang) Ω ruang contoh suatu percobaan dan medan- pada Ω. Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur ke himpunan bilangan nyata, atau disebut ukuran peluang jika 1. P tak negatif, yaitu untuk setiap 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan n1 n1 maka P An = P An. 3. P bernorma satu, yaitu P(Ω)=1. Pasangan disebut ruang ukuran peluang atau ruang probabilitas. 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 2.5 (Peubah acak) medan- dari ruang contoh Suatu peubah acak suatu fungsi dengan sifat bahwa { } untuk setiap Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran. Definisi 2.6 (Fungsi sebaran) X peubah acak dengan ruang. kejadian A ( ], maka peluang dari kejadian A Fungsi disebut fungsi sebaran dari peubah acak X. Definisi 2.7 (Peubah acak diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. Definisi 2.8 (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X fungsi [ ] yang diberikan oleh Definisi 2.9 (Peubah acak kontinu) Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat ditulis sebagai untuk suatu fungsi [ ) yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi X. Definisi 2.10 (Peubah acak Poisson) Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter, jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh
3 Definisi 2.11 (Sebaran gamma) Peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang { dikatakan memunyai sebaran gamma dengan parameter (Gahramani 2005) Definisi 2.12 (Sebaran normal) Suatu peubah acak X disebut mempunyai sebaran normal dengan nilai harapan dan ragam, ditulis X menyebar, jika fungsi kepekatan peluangnya { }, 2.3 Kekonvergenan Peubah Acak Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan suatu pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak. Definisi 2.13 (Konvergen dalam peluang) barisan peubah acak pada suatu ruang peluang. Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan, jika untuk setiap berlaku ( ), untuk Definisi 2.14 (Konvergen dalam sebaran) peubah acak pada suatu ruang peluang. Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak X, ditulis, untuk jika untuk, untuk semua titik x dimana fungsi sebaran kontinu. 2.4 Statistik, Penduga, dan Sifat-sifatnya Definisi 2.15 (Statistik) Statistik suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. Definisi 2.16 (Penduga) contoh acak. Suatu statistik yang digunakan untuk menduga fungsi parameter, disebut penduga bagi, dilambangkan dengan Bilamana nilai maka nilai disebut sebagai dugaan (estimate) bagi Definisi 2.17 (Penduga tak bias) (i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter yaitu [ ] disebut penduga tak bias bagi (ii) Jika [ ] maka disebut penduga tak bias asimtotik bagi Definisi 2.18 (Penduga konsisten) Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter, disebut penduga konsisten bagi. 2.5 Nilai Harapan dan Ragam Definisi 2.19 (Nilai harapan) 1. Jika X peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang, maka nilai harapan dari X dinotasikan dengan asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Jika X peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang, maka nilai harapan dari X asalkan integral di atas konvergen mutlak. Definisi 2.20 (Ragam) 1. X peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang dan nilai harapan. Ragam dari X, dinotasikan dengan atau, (( )
4 ( ) 2. X peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang dan nilai harapan. Maka ragam dari X, dinotasikan dengan Var atau, (( ) ) ( ), jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas tidak konvergen, maka ragam dari tidak ada. 2.6 Proses Stokastik Definisi 2.21 (Proses stokastik) Proses stokastik { } suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state Jadi, untuk setiap pada himpunan indeks suatu peubah acak. Kita sering menginterpretasikan sebagai waktu dan sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu Definisi 2.22 (Proses stokastik waktu kontinu) Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika berupa suatu interval. Definisi 2.23 (Inkremen bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu { } disebut memiliki inkremen bebas, jika untuk semua peubah acak bebas. Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas, jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) bebas. Definisi 2.24 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu { } disebut memiliki inkremen stasioner, jika memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai. Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen stasioner, jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya bergantung pada jarak antara kedua titik tersebut dan tidak bergantung pada lokasi titik-titik tersebut. 2.7 Proses Poisson Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu proses Poisson. Pada proses ini, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks interval bilangan real tak negatif yaitu [ ) Definisi 2.25 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik { } disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan harus memenuhi syaratsyarat berikut: (i) untuk semua [ ) (ii) Nilai integer. (iii) Jika maka untuk [ ) (iv) Untuk maka sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang ( ] Definisi 2.26 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan { } disebut proses Poisson dengan laju, jika dipenuhi tiga syarat berikut: (i). (ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. (iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan Jadi untuk semua, ( ) dengan. Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat (iii) juga dapat diperoleh ( )
5 Proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu disebut proses Poisson homogen (homogeneous Poisson process). Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu, maka proses tersebut disebut proses Poisson takhomogen (inhomogeneous Poisson process). Untuk kasus ini, disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas harus memenuhi syarat untuk semua proses Poisson dan suatu interval bilangan nyata. Jika proses Poisson homogen, maka [ ] dengan panjang interval, sedangkan menyatakan banyaknya kejadian dari proses Poisson pada interval Jika proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas, maka [ ] Dengan kata lain, jika proses Poisson takhomogen, maka memiliki sifat : (i) ( ) k=0,1, untuk setiap interval dengan (ii) Untuk setiap bilangan bulat positif dan interval yang disjoint dengan proses merupakan peubah acak yang saling bebas. Definisi 2.27 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas pada titik yaitu nilai fungsi di. (Cressie 1993) Definisi 2.28 (Intensitas Global) ([ ]) proses Poisson pada interval [ ]. Fungsi intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai: ([ ]) jika limit di atas ada. (Mangku 2001) Definisi 2.29 (Fungsi siklik) Suatu fungsi disebut siklik (periodik), jika berlaku untuk semua dan. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode fungsi tersebut. (Browder 1996) Definisi 2.30 (Proses Poisson siklik) Proses Poisson siklik suatu proses Poisson takhomogen yang fungsi intensitasnya fungsi siklik. (Mangku 2001) 2.8 Beberapa Definisi dan Lema Lema 2.1 (Eksistensi Fungsi intensitas global) Jika ([ ]) proses Poisson siklik (periodik) dengan fungsi intensitas, maka ([ ]) pada Definisi 28 ada dan nilainya sama dengan Bukti: lihat Lampiran 1. Definisi 2.31 (Fungsi terintegralkan lokal) Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas kita peroleh (Dudley 1989) Definisi 2.32 (O(.) dan o(.)) Simbol-simbol O(.) dan o(.) merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi dan dengan menuju suatu limit. (i) Notasi ( ) menyatakan bahwa terbatas, untuk (ii) Notasi ( ) menyatakan bahwa untuk (Serfling 1980) Definisi 2.33 (Titik Lebesque) Kita katakan titik Lebesque dari jika berlaku (Wheeden & Zygmund 1977) Definisi 2.34 (Teorema deret Taylor) Deret Taylor dari fungsi di (atau di sekitar atau yang berpusat di ) memenuhi persamaan (Stewart 1999)
6 Definisi 2.35 (Teorema deret MacLaurin) Deret Taylor fungsi di (atau di sekitar atau yang berpusat di 0) memenuhi persamaan (Stewart 1999) Definisi 2.36 (Formula Young dari Teorema Taylor) memiliki turunan ke- yang berhingga pada suatu titik, maka untuk ( ) (Serfling 1980) Lema 2.2 (Pendekatan Stirling) Untuk nilai yang besar, tidak praktis untuk mengevaluasi langsung terhadap. Dalam kasus seperti ini digunakan rumus pendekatan/aproksimasi yang dibangun oleh James Stirling, yaitu: di mana logaritma natural. Bukti : lihat Lampiran 2. Lema 2.3 (Teorema Limit Pusat) suatu barisan peubah acak yang bebas dan sebarannya identik (memiliki sebaran yang sama dengan parameter yang sama pula) dengan masingmasing memiliki nilai harapan dan ragam tak nol Jika dengan maka konvergen ke sebaran normal baku dinotasikan Bukti : lihat Lampiran 3.