Bab 4 SOLUSI PENGAMBILAN KEPUTUSAN Pada bab ini akan dibahas mengenai masalah pengambilan keputusan Markov pada pengelolaan mata kuliah MA1122 Kalkulus I dengan pendekatan program linier, solusi dari masalah tersebut, analisis sensitifitas program linier pada masalah ini, dan perbandingan antara pendekatan program linier dan pendekatan iterasi kebijakan dalam menyelesaikan masalah pengambilan keputusan Markov ini. 4.1 Masalah Pengambilan Keputusan Markov dengan Pendekatan Program Linier Dari pembahasan pada bab 2, masalah program linier untuk pengambilan keputusan Markov pada pengelolaan mata kuliah MA1122 Kalkulus I adalah meminimumkan biaya rata-rata jangka panjang per satuan waktu terhadap sifat-sifat dari distribusi peluang stasioner. Untuk model pengelolaan mata kuliah MA1122 Kalkulus I kita miliki ruang keadaan I = {1, 2, 3}. Fungsi objektif untuk masalah program liniernya adalah g(r), yaitu biaya rata-rata dalam satu semester akibat pengambilan suatu tindakan. Para- 31
BAB 4. SOLUSI PENGAMBILAN KEPUTUSAN 32 meter yang diperlukan dalam masalah program linier ini adalah biaya yang harus dikeluarkan akibat pengambilan suatu tindakan dan peluang transisi maisng-masing tindakan apabila diterapkan pada suatu keadaan. Untuk biaya, dapat dilihat pada tabel 3.4 di halaman 30. Untuk peluang transisi masing-masing tindakan di setiap keadaan, kita merujuk pada hasil tugas akhir Vonny Subadera [6]. P (1) = 0.232 0.459 0.309 0.211 0.457 0.332 0.180 0.452 0.368. (4.1.1) P (1) menyatakan peluang transisi keadaan apabila tindakan 1 diterapkan. 0.226 0.472 0.302 P (2) = 0.199 0.469 0.332. (4.1.2) 0.169 0.463 0.368 P (2) menyatakan peluang transisi keadaan apabila tindakan 2 diterapkan. 0.250 0.470 0.280 P (3) = 0.230 0.467 0.303. (4.1.3) 0.195 0.463 0.342 P (3) menyatakan peluang transisi keadaan apabila tindakan 3 diterapkan. Misalkan ekspektasi biaya yang diperlukan bila tindakan R j diterapkan saat keadaan j(j I) dinyatakan oleh c j (R j ) dan peluang transisi dari keadaan k ke keadaan j akibat tindakan R k diterapkan pada saat keadaan k dinyatakan oleh p kj (R k ) maka masalah program linier ini dapat dituliskan sebagai berikut.
BAB 4. SOLUSI PENGAMBILAN KEPUTUSAN 33 3 min g(r) = c j (R j )π j (R) j=1 3 terhadap π j (R) = p kj (R k )π k (R) k=1 π j (R) = 1. j I Jadi, target dari masalah linier program linier ini adalah R = {R 1, R 2, R 3 } (kebijakan stasioner untuk tiap keadaan), g(r) (biaya rata-rata dalam satu semester), dan π j (R) (proporsi sistem (sesudah jangka panjang) dalam keadaan j bila kebijakan R diterapkan). 4.2 Hasil Dengan menggunakan algoritma program linier pada bab 2 di halaman 19 untuk menyelesaikan masalah program linier di atas, diperoleh hasil sebagai berikut. Tabel 4.1: Hasil Program Linier Kebijakan Stasioner (R) R 1 = 2 atau 3 R 2 = 3 R 3 = 1 Biaya Rata-rata (g(r)) Rp 18.412.000,00 Peluang Stasioner π 1 (R 2 ) = 0.1992339191 π 1 (R 3 ) = 0.0139419999 π 2 (R 3 ) = 0.4633538221 π 3 (R 1 ) = 0.3234702588 Dari tabel di atas dapat disimpulkan : 1. Apabila sistem berada dalam keadaan 1 (persentase banyaknya mahasiswa yang memperoleh nilai tidak memuaskan pada UTS I mata kuliah MA1122
BAB 4. SOLUSI PENGAMBILAN KEPUTUSAN 34 Kalkulus I lebih dari 10%) maka sebaiknya pengelola mata kuliah MA1122 Kalkulus I mengambil kebijakan berupa penerapan tindakan 2 atau tindakan 3 (dapat dilihat pada tabel 3.1 di halaman 27). X n = 1 Tindakan 1. PR/Tugas 1. Tutorial di Kelas 2 2. Tugas Tambahan 2. PR/Tugas 3. Tutorial di MAC (9 shift/minggu) 3. Tutorial di MAC 4. MAC by Appointment (2 shift/minggu) 5. Tutorial di Study Hall (8 shift/sem.) Tindakan 1. Tutorial di Kelas 1. Tutorial di Kelas 3 2. PR/Tugas 2. PR/Tugas 3. Tutorial di MAC (9 shift/minggu) 4. MAC by Appointment (1 shift/minggu) 5. Tutorial di Study Hall (8 shift/sem.) 2. Apabila sistem berada dalam keadaan 2 (persentase banyaknya mahasiswa yang memperoleh nilai tidak memuaskan pada UTS I mata kuliah MA1122 Kalkulus I antara 5% - 10%) maka sebaiknya pengelola mata kuliah MA1122 Kalkulus I mengambil kebijakan berupa penerapan tindakan 3 (dapat dilihat pada tabel 3.2 di halaman 28).
BAB 4. SOLUSI PENGAMBILAN KEPUTUSAN 35 X n = 2 Tindakan 1. PR/Tugas 1. Tutorial di Kelas 3 2. Tutorial di MAC (8 shift/minggu) 2. PR/Tugas 3. Tutorial di Study Hall (6 shift/sem.) 4. MAC by Appointment (1 shift/minggu) 3. Apabila sistem berada dalam keadaan 3 (persentase banyaknya mahasiswa yang memperoleh nilai tidak memuaskan pada UTS I mata kuliah MA1122 Kalkulus I kurang dari 5%) maka sebaiknya pengelola mata kuliah MA1122 Kalkulus I mengambil kebijakan berupa penerapan tindakan 2 atau tindakan 1 (dapat dilihat pada tabel 3.3 di halaman 29). X n = 3 Tindakan 1. PR/Tugas 1. PR/Tugas 1 2. Tugas Tambahan 2. Tugas Tambahan 3. Tutorial di MAC (9 shift/minggu) 4. Tutorial di Study Hall (5 shift/sem.) 4. Biaya rata-rata yang harus dikeluarkan untuk 1 semester pengelolaan mata kuliah MA1122 Kalkulus I sebesar Rp 18.412.000,00. 5. Proporsi sistem (sesudah jangka panjang) dalam keadaan 1 bila tindakan 2 diterapkan dinyatakan dengan π 1 (R 2 ) dan proporsi sistem (sesudah jangka panjang) dalam keadaan 1 bila tindakan 3 diterapkan dinyatakan dengan π 1 (R 3 ). Proporsi sistem (sesudah jangka panjang) dalam keadaan 2 bila tindakan 3 diterapkan dinyatakan dengan π 2 (R 3 ) dan proporsi sistem (sesudah jangka panjang) dalam keadaan 3 bila tindakan 1 diterapkan dinyatakan dengan π 3 (R 1 ).
BAB 4. SOLUSI PENGAMBILAN KEPUTUSAN 36 4.3 Analisis Sensitivitas Masalah program linier pada halaman 33 diselesaikan dengan metode simpleks. Metode ini memungkinkan dilakukannya analisis sensitivitas. Analisis sensitivitas dilakukan untuk mengetahui seberapa sensitif solusi optimal untuk berubah apabila terdapat perubahan nilai input pada masalah program linier yang akan diselesaikan. Untuk lebih jelasnya, masalah program linier tersebut dituliskan menjadi : min terhadap c T π Aπ = b π 0. dengan A merupakan matriks berukuran 4 9 dan b merupakan vektor kolom berukuran 4 1. Masalah di atas dapat dituliskan dalam bentuk tableau di bawah ini. π B π N B N b c T B c T N 0 dan dengan operasi baris elementer (OBE) diperoleh : π B π N I B 1 N B 1 b 0 c T N ct B B 1 N c T B B 1 b Sousi basis π B akan merupakan solusi optimal jika vektor reduced cost c T N ct B B 1 N semua elemennya lebih besar atau sama dengan nol. Dari pembahasan pada subbab hasil di halaman 33, solusi optimal yang diperoleh adalah π B = {π 1 (R 2 ), π 1 (R 3 ), π 2 (R 3 ), π 3 (R 1 )}. Jika terdapat perubahan biaya maka solusi optmal tidak akan berubah apabila sesudah perubahan ini semua elemen dari vektor reduced cost masih bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Di sini, yang berubah hanya biaya rata-ratanya saja. Jika terdapat perubahan di parameter lain, yaitu di matriks basis B atau di matriks
BAB 4. SOLUSI PENGAMBILAN KEPUTUSAN 37 non basis N, kita dapat melihat apakah solusi optimalnya berubah atau tidak dengan melihat ke tableau di atas. Contoh 4.1. Misalkan terdapat perubahan pada biaya penanganan MAC by appointment menjadi Rp 30.000,00/jam. c N lama c N baru c B lama c B baru Rp 24.030.000,00 Rp 24.030.000,00 Rp 22.390.000,00 Rp 22.630.000,00 Rp 22.380.000,00 Rp 22.500.000,00 Rp 23.020.000,00 Rp 23.140.000,00 Rp 21.420.000,00 Rp 21.420.000,00 Rp 21.060.000,00 Rp 21.180.000,00 Rp 12.620.000,00 Rp 12.620.000,00 Rp 11.970.000,00 Rp 11.970.000,00 Rp 11.700.000,00 Rp 11.700.000,00 Perubahan ini mengakibatkan vektor reduced costnya menjadi : c T N ct B B 1 N = (1491992, 2784972, 901115, 23409729, 523775). Semua elemen dari vektor reduced cost yang baru masih lebih besar atau sama dengan dari nol. Ini berarti solusi optimalnya masih tetap π B = {π 1 (R 2 ), π 1 (R 3 ), π 2 (R 3 ), π 3 (R 1 )} dan biaya rata-rata yang harus dikeluarkan menjadi Rp 18.517.000,00. Untuk mendapatkan hasil-hasil ini, perhitungannya dapat dilihat pada lampiran. 4.4 Perbandingan Antara Program Linier dan Iterasi Kebijakan Dalam masalah pengambilan keputusan Markov pada pengelolaan mata kuliah MA 1122 Kalkulus I dilakukan dua pendekatan, yaitu pendekatan program linier dan pendekatan iterasi kebijakan (dilakukan oleh Vonny Subadera [6]). Berikut ini perbandingan antara pendekatan program linier dan pendekatan iterasi kebijakan dalam menyelesaikan masalah pengambilan keputusan Markov. Pada pendekatan prgram linier, hasil yang diperoleh antara lain kebijakan stasioner, biaya rata-rata yang harus dikeluarkan, dan peluang stasioner. Pada
BAB 4. SOLUSI PENGAMBILAN KEPUTUSAN 38 pendekatan iterasi kebijakan, hasil yang diperoleh hanya kebijakan stasioner dan biaya rata-rata saja. Pada pendekatan iterasi kebijakan, solusi cepat konvergen. Pada pendekatan program linier dengan metode simpleks, sulit menemukan solusi apabila variabel keputusannya cukup banyak (memerlukan waktu yang cukup lama untuk menemukan solusi optimalnya). Pada pendekatan program linier dapat dilakukan analisis sensitivitas terhadap perubahan nilai input (dalam hal ini, paeameter biaya dan peluang transisi).
Bab 5 Kesimpulan Tugas Akhir ini membahas proses pemilihan kebijakan yang harus diambil oleh pengelola mata kuliah MA1122 Kalkulus I dalam membantu proses belajar mahasiswa di luar tatap muka dengan dosen, sehingga biaya rata-rata yang harus dikeluarkan minimum. Kebijakan yang dimaksud adalah suatu komposisi penanganan (tindakan) yang harus diambil berdasarkan kondisi pencapaian prestasi mahasiswa di kuliah ini. Model penentuan kebijakan ini diturunkan berdasarkan teori pengambilan keputusan Markov dan diselesaikan dengan pendekatan program linier. Kebijakan stasioner yang dihasilkan antara lain : 1. Apabila keadaan dari persentase banyaknya mahasiswa yang memperoleh nilai tidak memuaskan pada UTS I mata kuliah MA1122 Kalkulus I lebih dari 10%, maka sebaiknya pengelola mata kuliah MA1122 Kalkulus I mengambil kebijakan berupa penerapan tindakan berikut. 39
BAB 5. KESIMPULAN 40 1. PR/Tugas 1. Tutorial di Kelas 2. Tugas Tambahan 2. PR/Tugas 3. Tutorial di MAC (9 shift/minggu) 3. Tutorial di MAC 4. MAC by Appointment (2 shift/minggu) 5. Tutorial di Study Hall (8 shift/sem.) 1. Tutorial di Kelas 1. Tutorial di Kelas 2. PR/Tugas 2. PR/Tugas 3. Tutorial di MAC (9 shift/minggu) 4. MAC by Appointment (1 shift/minggu) 5. Tutorial di Study Hall (8 shift/sem.) 2. Apabila keadaan dari persentase banyaknya mahasiswa yang memperoleh nilai tidak memuaskan pada UTS I mata kuliah MA1122 Kalkulus I antara 5%- 10%, maka sebaiknya pengelola mata kuliah MA1122 Kalkulus I mengambil kebijakan berupa penerapan tindakan berikut. 1. PR/Tugas 1. Tutorial di Kelas 2. Tutorial di MAC (8 shift/minggu) 2. PR/Tugas 3. Tutorial di Study Hall (6 shift/sem.) 4. MAC by Appointment (1 shift/minggu) 3. Apabila keadaan dari persentase banyaknya mahasiswa yang memperoleh nilai tidak memuaskan pada UTS I mata kuliah MA1122 Kalkulus I kurang dari 5%, maka sebaiknya pengelola mata kuliah MA1122 Kalkulus I mengambil kebijakan berupa penerapan tindakan berikut.
BAB 5. KESIMPULAN 41 1. PR/Tugas 1. PR/Tugas 2. Tugas Tambahan 2. Tugas Tambahan 3. Tutorial di MAC (9 shift/minggu) 4. Tutorial di Study Hall (5 shift/sem.) Biaya rata-rata yang harus dikeluarkan untuk satu semster perkuliahan dari penerapan kebijakan stasioner ini adalah sebesar Rp 18.412.000,00. Nominal biaya ini relatif lebih kecil dibandingkan dengan biaya yang dikeluarkan bila hanya diterapkan kebijakan yang biasa (hanya PR/tugas, tutorial di kelas, dan tutorial di MAC (Mathematics Aid Center 9shift/minggu), yaitu sebesar Rp 22.260.000,00). Kebijakan stasioner ini juga dapat diterapkan pada pengelolaan mata kuliah MA1222 Kalkulus II. Dalam pendekatan program linier ini juga dapat dilakukan analisis sensitivitas untuk mengetahui seberapa sensitif solusi optimal untuk berubah apabila terdapat perubahan nilai input (dalam hal ini, input berupa biaya dan peluang transisi untuk masing-masing penanganan). Akan tetapi, program linier ini akan memunculkan masalah apabila variabel keputusannya cukup banyak. Jika hal ini terjadi, maka diperlukan suatu teknik khusus untuk menyelesaikan program liniernya, seperti column generation technique atau metode dekomposisi untuk masalah program linier.