TEORI PERMAINAN. Digunakan jika permainan stabil ada titik saddle (saddle point) Titik sadel minimaks = maksimin Contoh :

Transkripsi

1 TEORI PERMAINAN Aplikasi Teori Permainan Lawan pemain (punya intelegensi yang sama) Setiap pemain mempunyai beberapa strategi untuk saling mengalahkan Two-Person Zero-Sum Game Permainan dengan pemain dengan perolehan (keuntungan) bagi salah satu pemain merupakan kehilangan (kerugian) bagi pemain lainnya Matriks/tabel payoff (perolehan) tabel yang menunjukkan perolehan bagi pemain baris Strategi Murni Digunakan jika permainan stabil ada titik saddle (saddle point) Titik sadel minimaks maksimin Contoh : Pemain A Strategi Strategi Strategi Strategi Strategi Strategi 6 Strategi Strategi Strategi Tentukan strategi terbaik bagi masing-masing pemain!! Jawab : Pemain A Minimum Strategi Strategi Strategi Strategi Strategi Strategi 6 Strategi Strategi Strategi maks 6 Teori Permainan oleh Hotniar Siringoringo hal

2 Minimaks maksimin permainan seimbang (stabil) Titik sadel nilai permainan (v) Strategi Campuran Strategi campuran digunakan jika permainan tidak seimbang Pemilihan strategi dilakukan dengan mengevaluasi kombinasi strategi lawan menggunakan prinsip peluang Definisikan : x i adalah peluang pemain baris akan menggunakan strategi ke-i j adalah peluang pemain kolom akan menggunakan strategi ke-j y y y n Strategi Strategi Strategi n x Strategi a a a n x Strategi a a a n x m Strategi m a m a m a mn Solusi Grafik Solusi grafik dapat digunakan jika paling salah satu pemain mempunyai hanya strategi ( x n atau m x ) Perhatikan matriks payoff untuk dua pemain berikut : B A y y y y n x a a a a n x -x a a a a n Menghitung x dan x dengan menganggap pemain B menggunakan strategi murni Maka ekspektasi perolehan bagi pemain A adalah sbb: Teori Permainan oleh Hotniar Siringoringo hal

3 Strategi murni B Ekspektasi perolehan A a x a x a x a x a x a x n a n x a n x Ekspektasi digambarkan dengan sumbu horizontal x (0 sampai ) dan vertikal sebagai ekspektasi perolehan Nilai optimum (x x dan v) akan didapat dari titik perpotongan Titik perpotongan menunjukkan strategi B yang digunakan maka y y y n selanjutnya dapat ditentukan Contoh : Perhatikan matriks payoff permainan di bawah ini: Pe ma Strategi Strategi Strategi Strategi Strategi in Strategi - - A Strategi Permainan di atas memiliki nilai minimaks dan nilai maksimin - tidak seimbang permainan Dengan solusi grafik: Pe ma y y y y y in Strategi Strategi Strategi Strategi Strategi A x Strategi - - x Strategi Teori Permainan oleh Hotniar Siringoringo hal

4 Bagi Pemain A : Strategi murni B Ekspektasi perolehan A x x (-)x x - 7x - -8x 6-6x 0 0 x - Ada 6 titik perpotongan yang menjadi kandidat solusi optimal untuk x (titik perpotongan garis () () () () () dan ()) Karena pemain A adalah pemain baris dimana dia akan memaksimumkan ekspektasi perolehan minimumnya maka solusi optimalnya adalah titik perpotongan ungu (perpotongan garis ()) Dengan demikian x 7/ dan x -7/ 6/ Teori Permainan oleh Hotniar Siringoringo hal

5 v x - / diperoleh dengan memasukkan nilai x pada pers () atau () Bagi : Solusi optimal bagi pemain A di atas merupakan perpotongan garis () dan () Hal ini menunjukkan bahwa B dapat mengkombinasikan kedua strategi tersebut Kombinasi strategi dan menunjukkan bahwa y y y 0 Pe ma y y in Strategi Strategi A x Strategi - x Strategi - 6 Strategi murni A Ekspektasi perolehan B y - y ()y -6y - -7y 6 6y --7y 6 maka y 8/ dan y /; y y y 0; v / (sama dengan nilai di atas) Contoh : Perhatikan permainan dengan matriks payoff berikut: B A - 6 Penyelesaian : Tidak ada saddle point dan pemain B memiliki hanya strategi solusi grafik Bagi : Teori Permainan oleh Hotniar Siringoringo hal

6 Strategi murni A Ekspektasi payoff B -y -y y -8y y - Ada titik maksimum (perpotongan warna ungu biru dan hijau) sebagai pemain kolom akan meminimumkan ekspektasi perolehan maksimumnya maka solusi optimalnya adalah titik hijau y / dan y /; v -*/ 8/ Pemain A Titik optimum bagi pemain B merupakan perpotongan strategi dan pemain A B A Teori Permainan oleh Hotniar Siringoringo hal 6

7 Strategi murni B Ekspektasi payoff A -x x -x x x / x 0 x / x 0 dan v 8/ (sama dengan di atas) Metode Simpleks Bentuk umum LP bagi pemain baris : Min Sub To : z m a a am m a a am m Μ Μ an an amn m m 0 x i i v ; z v Bentuk umum LP bagi pemain kolom (Dual pemain baris) Maks w n Sub To : a a an n a a ann Μ Μ am am amnn n 0 y j i ; v w v Perhatikan kembali matriks payoff berikut: Teori Permainan oleh Hotniar Siringoringo hal 7

8 Strategi Strategi Strategi Strategi Strategi Strategi - - Pe ma in A Strategi Maka bentuk umum LP untuk pemain baris (pemain A) adalah : Min z Sub To : 0 6 Maka bentuk umum LP untuk pemain kolom (pemain B) adalah : Maks w Sub To: 0 6 Tabel simpleks awal (iterasi-0): VB s s NK w s s Iterasi-: Teori Permainan oleh Hotniar Siringoringo hal 8

9 VB s s NK w -/ -/ 0-7/ -6/ 0 / / / -/ -/ 0 / s 9/ / 0 6/ / 7/ Iterasi- : VB s s NK w /6 -/6 0 0 /6 6/ 7/6 /6 9/ / 0 /6 / / / 9/6 /6 0 /6 / /6 7/6 Iterasi-: optimal VB s s NK w / 0 / / / / 9/ / 0 / / / / 7/ 0 -/ 0889 / / / 0 y y y 0; w / v/w / y 8 ; w / y z w /; s 7/ x s / x 6 z 7 z 7 w Teori Permainan oleh Hotniar Siringoringo hal 9