POHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH INTERVAL TESIS Oleh SITI AISYAH 117021046/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
POHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH INTERVAL TESIS Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Oleh SITI AISYAH 117021046 /MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Judul Tesis : POHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH INTERVAL Nama Mahasiswa : Siti Aisyah Nomor Pokok : 117021046 Program Studi : Magister Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua (Prof. Dr. Herman Mawengkang) Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang ) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus : 17 Desember 2013
Telah diuji pada Tanggal: 17 Desember 2013 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang 2. Prof. Dr. Tulus, M.Sc 3. Dr. Marwan Ramli, M.Si
PERNYATAAN POHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH INTERVAL TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya Medan, Desember 2013 Penulis, Siti Aisyah i
ABSTRAK Tesis ini menghadirkan graph dengan konsep pohon interval untuk memecahkan masalah graph interval. Graph Interval merupakan subclass yang sangat penting dalam irisan graph dan graph sempurna. Telah banyak aplikasi dalam situasi kehidupan nyata/sebenarnya yang berbeda. Permasalahan dalam graph Interval dapat diselesaikan dengan menggunakan struktur data yang berbeda di antaranya adalah dengan menggunakan pohon Interval. Beberapa sifat penting disajikan di sini. Memperkenalkan beberapa masalah pada graph Interval yang diselesaikan dengan menggunakan struktur data dengan menggunakan pohon interval. Sebuah pohon interval dapat diaplikasikan pada pohon 3-spanner. Jika T pohon, maka terdapat satu lintasan yang menghubungkan kedua verteks tersebut. Kata kunci: Pohon interval, Pohon perentang, Graph interval, Pohon 3-spanner ii
ABSTRACT This thesis presents the concept of a tree graph to solve the problem interval interval graph. Interval graph is a very important subclass of intersection graphs and perfect graphs. It has many applications in different real life situations. The problems on interval graph are solved by using different data structures among them interval tree is very useful. Some of its important properties are presented here. introduced some problems on interval graphs which are solved by using the data structure interval tree. An interval tree can be applied to a tree 3-spanner. If T is a tree, then there is a path that connects the two points. Keyword: Interval tree, Spanning tree, Interval graphs, Tree 3-spanner iii
KATA PENGANTAR Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkat dan rahmadnya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul Pohon Interval Pada Persoalan Graph Interval. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada : Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2011 yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. iv
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Jesnawati S.Pdi dan ayahanda Yusmar Ali SE, M.Si yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. Terima kasih juga buat Suamiku Erwin Halil SE yang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Terima kasih juga kepada Anak-anakku Raisyah Halil, Fathinnisyah Halil, M. Al- Fathir Halil serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah diberikan kepada penulis. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih. Medan, 17 Desember 2013 Penulis, Siti Aisyah v
RIWAYAT HIDUP Siti Aisyah dilahirkan di Medan pada tanggal 15 Oktober 1983 dari pasangan Bapak Yusmar Ali SE, M.Si & Ibu Jesnawati S.Pdi. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar 064955 tahun 1995, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 4 Medan tahun 1998, Sekolah Menengah Atas (SMA) Swasta Eria Medan dan lulus tahun 2001. Pada tahun 2001 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara fakultas MIPA jurusan Matematika pada Strata Satu (S-I) dan lulus tahun 2005. Pada tahun 2011, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika. September 2010, penulis bekerja sebagai staf pengajar di Politeknik Negeri Media Kreatif Medan (Polimedia) di jurusan Teknik Grafika. Kemudian pada Oktober 2013, penulis dipercayakan untuk mengajar di Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara (UMSU) di Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan sampai dengan sekarang. vi
DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vi vii ix BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 5 1.3 Tujuan Penelitian 5 1.4 Manfaat Penelitian 6 1.5 Metode Penelitian 6 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 7 BAB 3 GRAPH INTERVAL 12 3.1 Graph Interval 12 3.1.1 Sifat graph triangulated 13 3.1.2 Sifat orientasi transitif 13 3.1.3 Beberapa sifat dari graph interval 14 vii
3.2 Representasi Graph Interval 18 BAB 4 POHON INTERVAL DAN APLIKASINYA 20 4.1 Pohon Interval 20 4.1.1 Sifat dari pohon interval 22 4.1.2 Representasi pohon interval 24 4.2 Aplikasi Pohon Interval 25 4.2.1 Pohon 3-spanner 25 4.3 Representasi Pohon 3 Spanner 26 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 28 5.1 Kesimpulan 28 5.2 Saran 28 DAFTAR PUSTAKA 29 viii
DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 1.1 Digraph dengan 5 verteks dan 7 edge 2 1.2 Pohon 5 2.1 Graph lengkap G dan empat buah pohon perentangnya, T1, T2, T3, dan T4 10 3.1 Graph interval 12 3.2 Sifat graph interval 15 3.3 Matriks clique 16 3.4 Graph induced 18 3.5 Graph interval 19 3.6 Representasi graph interval 19 3.7 Array dari Gambar 4.2 19 4.1 Pohon interval 25 4.2 Pohon 3-Spanner 27 ix