Teori Himpunan Learning is not child's play, we cannot learn without pain. - Aristotle 1
Kilas Balik Negasi (1) Semua mobil di kota Malang memiliki plat nomor N. NEGASINYA: Ada mobil di bukan kota Malang memiliki plat nomor bukan N. Ada mobil di kota Malang memiliki plat nomor bukan N. ~( x C, P(x)) x C dimana ~P(x) 2
Kilas Balik Negasi (2) Wati adalah anggota kelas C. negasinya: Wati bukan anggota kelas C. ~ (x C) x C 3
Teori himpunan Elemen dan himpunan sebenarnya Edak memiliki definisi khusus Imajinasikan, misalkan M adalah koleksi yang berisi sekumpulan objek tertentu yang saling terpisah, maka objek - objek tersebut adalah elemen M. Georg Cantor (pencetus teori himpunan) Hint: Himpunan adalah sekumpulan elemen unik, terpisah, dan tanpa urutan tertentu. 4
Notasi = {} adalah himpunan kosong { } himpunan kosong berbeda dengan himpunan yang berisi himpunan kosong x D arenya x adalah elemen himpunan D x D arenya x bukan elemen himpunan D 5
Notasi C D arenya C adalah himpunan bagian (subset) dari D, syaratnya: x ((x C) (x D)) 6
Notasi C = D arenya himpunan C sama dengan himpunan D, syaratnya: C D D C x (((x C) (x D)) ((x D) (x C))) x ((x C) (x D)) Ingat p q (p q) (q p) 7
C D Notasi arenya C adalah tepat himpunan bagian (proper subset) dari D, syaratnya: (C D) (C D) x ((x C) (x D)) ~ x ((x C) (x D)) x ((x C) (x D)) x ((x D) (x C)) 8
A // B Notasi arenya himpunan A dan himpunan B Edak memiliki elemen yang sama (atau dengan kata lain A dan B saling lepas), syaratnya: x((x A) (x B)) x((x B) (x A)) A B = 9
LaEhan {1,2,3}? {1,2,3}? {,1,2,3}? {,1,2,3}? x {x}? {x} {x}? {x} {x, {x}}? {x} {x, {x}}? {x} {x, {x}}? {x} {x} 10
Cara Pendefinisian Himpunan Enumerasi/Eksplisit Contoh: { CS, IS, CE } Implisit Contoh: {1,2,3,4, } Simbol baku Contoh: Z = himpunan bilangan bulat Notasi pembentuk himpunan Contoh: D = {x x Z, 0 < x < 10} Diagram Venn Contoh diagram Venn U A 3 2 1 11
Kardinalitas Jika himpunan S memiliki elemen berhingga, maka kardinalitas himpunan S dinyatakan dengan S Contoh: S = {1,2,3,4}, maka S = 4 S = {x x Z, 0 < x < 10}, maka S = 9 S = {9,9,9,9,9,9,9,9,9,9}, maka S = 1 S= {}, maka S = 0 S= {{},{{}},{{{}}}}, maka S = 3 12
Himpunan Kuasa Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A. Notasi: P(A) atau 2 A A = {1}, maka P(A) = {,{1}} A = {1,2}, maka P(A) = {,{1},{2},{1,2}} A = {,{ }}, maka P(A) = {,{ },{{ }},{,{ }}} Jika A berhingga, maka P(A) = 2 A 13
n- tuples berurutan Karena himpunan Edak merepresentasikan suatu urutan, maka kita membutuhkan sesuatu yang merepresentasikan koleksi berurutan. Notasi n- tuples berurutan menggunakan tanda kurung, sedangkan notasi himpunan menggunakan tanda kurung kurawal. (1,2) berbeda dengan (2,1) (a,b) berbeda dengan (b,a) kecuali a = b. (a,b,c) berbeda dengan (c,b,a) kecuali a = b = c. (a,b) sama dengan (c,d) jika a = c dan b = d. 14
Perkalian Kartesian Perkalian Kartesian antara dua himpunan A dan B adalah : A x B = { (a,b) a A b B } Contoh: A = {a, b} B = {1,2,3} A x B = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)} B x A = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} 15
Operasi Himpunan Gabungan (union): A B A B = {x U x A x B} Irisan (interseceon): A B A B = {x U x A x B} 16
Operasi Himpunan Selisih (difference): B A B A = { x U x B x A } Komplemen: A c A c = { x U x A } 17
Operasi Himpunan Beda setangkup (symmetric difference): A B A B = (A B) (A B) 18
Hukum komuta(f: A B = B A A B = B A Hukum asosia(f: (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Hukum distribu(f: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Hukum iden(tas: A = A A U = A Hukum komplemen: A A c = U A A c = Hukum dobel komplemen: (A c ) c = A Hukum idempotent: A A = A A A = A Hukum dominasi: A U =U A = Hukum DeMorgan: (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c Hukum penyerapan: A (A B) = A A (A B) = A Komplemen U dan : U c = c = U Hukum selisih himpunan: A B = A B c 19
PembukEan Proposisi Himpunan PembukEan dengan diagram Venn PembukEan dengan tabel keanggotaan PembukEan dengan aljabar himpunan PembukEan dengan definisi 20
PembukEan dengan diagram Venn Tunjukkan A (B C) = (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) 21
PembukEan dengan tabel keanggotaan Tunjukkan bahwa A (B C) = (A B) (A C) 22
PembukEan dengan aljabar himpunan Tunjukkan bahwa: (A (B C)) c = (C c B c ) A c Jawab: (A (B C)) c = A c (B C) c hukum De Morgan = A c (B c C c ) hukum De Morgan = (B c C c ) A c hukum komutaef = (C c B c ) A c hukum komutaef 23
PembukEan dengan definisi Diketahui A dan B adalah himpunan. Jika A B = dan A (B C) maka A C. BukEkan. Jawab: i. Karena A (B C), maka jika x A, maka x (B C). Jika x (B C), maka x B atau x C. ii. Jika x A dan A B =, maka x B. Dari (i) dan (ii), x C harus benar (karena x B). Karena x A juga berlaku x C, maka disimpulkan A C. 24
Referensi Cinda Heeren. CS 173: Discrete MathemaFcs Structure. Kenneth H. Rosen. Discrete MathemaFcs and Its ApplicaFons 7 th Ed. Rinaldi Munir. MatemaFka Diskrit edisi kefga. Susanna S.Epp. Discrete MathemaFcs with ApplicaFons 4 th Ed. EmoEcons by Kaskus (hjp://kaskus.co.id) 25