Bab 2 Geometri Riemann dan Persamaan Ricci Flow 2.1 Geometri Riemann Geometri Riemann pertama kali dikemukakan secara general oleh Bernhard Riemann pada abad ke 19. Pada bagian ini akan diberikan penjelasan singkat mengenai hal-hal penting dari geometri Riemann. Untuk mendapatkan penjelasan lebih lengkap dapat lihat referensi [1, 5, 6, 13]. 2.1.1 Manifold Riemannian Manifold adalah suatu ruang topologi yang secara lokal menyerupai R n. Kalkulus dalam manifold ini terdefinisikan dengan adanya keberadaan suatu sistem koordinat yang halus. Suatu manifold dapat memiliki suatu struktur yang lebih lanjut dengan adanya suatu tensor metrik, yang merupakan generalisasi dari perkalian dalam antara dua vektor pada R n. Dengan struktur yang baru ini, didefinisikan perkalian dalam antara dua vektor dalam ruang tangen T p M. Kita dapat juga membandingkan vektor pada titik p M dengan vektor lain pada titik yang berbeda p M dengan menggunakan koneksi. Definisi 1.1. Misalkan M adalah sebuah manifold yang differensiabel. Metrik Riemannian g yang bekerja pada M adalah medan tensor tipe 0,2) pada M yang 4
2.1 Geometri Riemann 5 memenuhi aksioma-aksioma berikut pada tiap titik p M 1. g P U, V ) = g P V, U) 2. g P U, U) 0, dimana g P U, U) = 0 berlaku jika dan hanya jika U = 0 Disini U, V T P M dan g P = g P. Singkatnya, g P berbentuk simetrik, definit positif dan bilinear. Misalkan U, ϕ) adalah peta dari M dan {x µ } merupakan koordinat dan µ, ν = 0, 1, 2, 3, maka dengan g P = g µν p) µ ν 2.1) ) g µν p) = g P x, = g µ x µ νµ p) p M) Jika M adalah suatu manifold yang differensiabel yang terdapat metrik Riemannian g, maka pasangan M, g) disebut sebagai manifold Riemannian. Definisi 1.2 Suatu koneksi affine adalah pemetaan : χ M) χ M) χ M) atau X, Y ) X Y dimana memenuhi kondisi X Y + Z) = X Y + X Z 2.2) X+Y ) Z = X Z + Y Z 2.3) fx Y = f X Y 2.4) X fy ) = X [f] Y + f X Y 2.5) dimana f F M) dan X, Y, Z χ M). Misalkan U, ϕ) adalah peta dari M dengan koordinat x = ϕ p) dan definisikan fungsi Γ λ νµ yang disebut sebagai koefisien koneksi ν e µ = eν e µ = e λ Γ λ νµ dengan {e µ } = { / x µ } adalah basis dalam T p M. Koefisien koneksi menjelaskan bagaimana vektor basis berubah dari titik ke titik. Jika basisnya telah ditentukan maka kita dapat menghitung aksi terhadap suatu vektor.
2.1 Geometri Riemann 6 Dalam manifold Riemann, biasanya digunakan koneksi Levi-Civita koneksi yang bebas torsion, Γ λ µν = Γ λ νµ) dan X disebut sebagai turunan kovarian dari X. Dalam koordinat lokal x 1,..., x n ), simbol Christoffel Γ λ µν diberikan oleh Γ λ µν = 1 2 gλσ µ g σν + ν g µσ σ g µν ) 2.6) 2.1.2 Kurvatur dari Manifold Riemannian Misalkan M, g) merupakan manifold Riemannian Definisi 1.3 Tensor kurvatur Riemann dari M merupakan tensor tipe 1,3) yang menghubungkan tiap pasangan X, Y χ M) ke sebuah pemetaan R X, Y ) : χ M) χ M) dengan R X, Y ) Z X Y Z Y X Z [X,Y ] Z 2.7) dimana merupakan koneksi Levi-Civita pada M. Karena R merupakan operator differensial yang memiliki sifat tensorial, maka dapat dibuktikan bahwa R memenuhi R X, Y ) Z = X λ Y µ Z ν R e λ, e µ ) e ν Karena R merupakan tensor, maka operasinya terhadap basis vektor dapat diketahui. Dengan komponen basis vektor e 1,..., e n ) dan basis dual 1,..., n ), maka komponen tensor kurvatur Riemann R κ λµν = κ, R e µ, e ν ) e λ = κ, µ ν e λ ν µ e λ = κ, µ Γ η νλ e η) ν Γ ηµλ e ) η = κ, µ Γ η νλ ) e η + Γ η νλ Γξ µηe ξ ν Γ η µλ ) eη Γ η µλ Γξ νηe ξ = µ Γ κ νλ ν Γ κ µλ + Γ η νλ Γκ µη Γ η µλ Γκ νη 2.8) Komponen tensor kurvatur Riemann ini memiliki sifat-sifat Simetri : R λµνκ = R νκλµ 2.9)
2.1 Geometri Riemann 7 Antisimetri : Siklik : R λµνκ = R µλνκ = R λµκν = +R µλκν 2.10) R λµνκ + R λκµν + R λνκµ = 0 2.11) Dari tensor kurvatur Riemann ini dapat dibentuk tensor baru dengan menkontraksi indeksnya. Tensor Ricci R adalah tensor orde 0,2) yang didefinisikan R X, Y ) µ, R e µ, Y ) X 2.12) dengan komponen R µν = R e µ, e ν ) = R λ µλν 2.13) Dan skalar Ricci R didefinisikan sebagai R g µν R e µ, e ν ) = g µν R µν 2.14) Tensor-tensor kurvatur memenuhi suatu identitas differensial yang penting, sebagai tambahan kepada sifat-sifat yang diberikan pada bagian sebelumnya. Identitas ini disebut identitas Bianchi η R λµνκ + κ R λµην + ν R λµκη = 0 2.15) Persamaan diatas dapat dikontraksikan, sehingga didapat η R µκ κ R µη + ν R ν µκη = 0 Jika dikontraksikan sekali lagi, η R µ R µ η ν R ν η = 0 atau µ R µ η 1 ) 2 δµ ηr = 0 Persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk yang lebih familiar µ R µν 1 ) 2 gµν R = 0 2.16)
2.2 Metrik Axisimetrik 8 Definisikan komponen tensor Einstein G µν = R µν 1 2 gµν R 2.17) sehingga persamaan diatas dapat ditulis sebagai µ G µν = 0 2.18) Persamaan ini disebut sebagai identitas Bianchi yang terkontraksi. 2.2 Metrik Axisimetrik Untuk mendeskripsikan suatu metrik yang stasioner dan axisimetrik maka diambil koordinat waktu x 0 = t) dan koordinat sudut azimut x 2 = φ) sebagai sumbu simetri. Dari karakter ruangwaktu stasioner dan axisimetrik diperlukan bahwa koefisien dari metriknya tidak bergantung pada koordinat t dan φ, sehingga g αβ = g αβ x 1, x 3) 2.19) dimana x 1 dan x 3 merupakan koordinat ruang yang lainnya. Di samping stasioner dan axisimetrik, diperlukan juga sifat invarian dari ruangwaktu terhadap transformasi simultan inversi waktu dan sudut azimut. Maka metriknya harus invarian terhadap transformasi t t dan φ φ Arti fisis dari sifat invarian ini berhubungan dengan sumber medan gravitasinya, yaitu sumber yang hanya berotasi murni terhadap sumbu simetrinya. Dengan kata lain, ruangwaktunya berhubungan dengan rotating body. Pada tiap event, sifat invarian diatas menghasilkan g 01 = g 03 = g 12 = g 32 = 0 sehingga metriknya mempunyai bentuk ds 2 = g 00 0 ) 2 + 2g02 0 2 + g 22 2 ) 2 + [ g 11 1 ) 2 + 2g13 1 3 + g 33 3 ) 2 ]
2.3 Ricci Flow 9 dimana semua koefisien metriknya hanya fungsi dari x 1 dan x 3. [7] Untuk mensederhanakan metriknya, maka digunakan teorema sebagai berikut Teorema 1.1 Suatu metrik ds 2 = g 11 1 ) 2 + 2g12 1 2 + g 22 2 ) 2 2.20) dari suatu ruang dua dimensi x 1, x 2 ) dengan signature definit postif atau definit negatif dapat selalu diubah ke dalam bentuk diagonal [ ds 2 = ±e ) 2γ 1 2 ) ] + 2 2 dengan suatu transformasi koordinat, dimana γ merupakan fungsi dari x 1 dan x 2. Dengan menggunakan teorema diatas, maka metrik axisimetrik dapat ditulis dalam bentuk umum, yaitu ds 2 = f 0) ω 2)) [ 2 f 1 e ) 2γ 1 2 ) ) + 3 2 + ρ 2 2) ] 2 2.21) dengan semua fungsi f, ω dan γ hanya bergantung kepada x 1 dan x 3. 2.3 Ricci Flow Ricci Flow pertama kali diperkenalkan oleh Richard Hamilton [Hamilton, 1982] pada tahun 1981 untuk memahami konjektur geometrisasinya William Thurston [Thurston,1982], yang berkenaan dengan klasifikasi topologi dari manifold halus tiga dimensi. Ide Hamilton adalah untuk mendefinisikan sejenis persamaan difusi nonlinear. Dengan menempatkan suatu metrik g τ) pada suatu manifold smooth M dan menyusunnya dengan Ricci flow, maka seharusnya metriknya memiliki bentuk yang bagus, dimana memungkinkan untuk menjadikan metrik tersebut sebagai bentuk kanonik untuk manifold M. Bentuk-bentuk kanonik telah diidentifikasi oleh William Thurston sebagai Thurston model geometries, termasuk di dalamnya S 3 Sphere-3 ), E 3 Euclidean-3 ), H 3 Hyperbolic-3 ) yang homogen dan isotropik.
2.3 Ricci Flow 10 Definisi 1.4 Persamaan Ricci Flow merupakan persamaan evolusi dari metrik Riemannian: g µν τ = αr µν 2.22) dengan α adalah konstanta real. Solusi dari persamaan ini persamaan Ricci Flow) adalah keluarga satu parameter dari metrik g τ), yang diparameterisasi oleh τ dalam interval yang tak terdegenerasi I, dalam manifold manifold smooth M yang memenuhi persamaan diatas. Jika I berada pada titik awal τ 0, maka M, g τ 0 )) disebut sebagai kondisi awal atau metrik awal bagi solusi persamaan Ricci Flow. Salah satu contoh solusi eksak dari Ricci flow adalah manifold Einstein. Misalkan g 0 merupakan metrik Einstein dimana R g 0 ) = λg 0 dengan λ merupakan konstanta dan untuk suatu konstanta positif c, tentukan g = cg 0, sehingga kita mempunyai R g 0 ) = λg 0 = λ g. Dengan menggunakan hubungan ini kita dapat membentuk c solusi persamaan Ricci flow. Misalkan g τ) = u τ) g 0. Jika keluarga metrik satuparameter ini merupakan solusi persamaan Ricci flow, maka g τ = u τ) g 0 = αr u τ) g 0 ) = αr g 0 ) = αλg 0 Maka u τ) = αλ sehingga u τ) = 1 + αλτ. Dan g τ) = 1 + αλτ) g 0 merupakan solusi dari persamaan Ricci flow.