Smart Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 0/0 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 0 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusun oleh : Hario Pamungkas
4.. Menyelesaikan persamaan trigonometri. Nilai Perbandingan Trigonometri Tabel Nilai Trigonometri θ sin θ cos θ tan θ 0 0 0 0 45 60 90 0 Kuadran Relasi Sudut Periodisasi 90 sin + Semua + Kuadran II Kuadran I 80 Kuadran III Kuadran IV tan + cos + 70 SEMUA SINdikat TANgan KOSong 0 60 Periksa Sudut Pilih Acuan sin x = sin( + n 60 ) x (80 x) cos x = cos( + n 60 ) Genap Ganjil x ( x) 80 ± 90 ± 60 70 ± tan x = tan( + n 80 ) x Fungsi Fungsi Berubah dimana n bilangan bulat Tetap sin cos tan cot Grafik Cek Kuadran sin Tanda ± 60 Selesai cos 60 tan Relasi Sudut Negatif Persamaan Trigonometri sin x = sin x = + n 60 (80 ) cos x = cos x = + n 60 ( ) tan x = tan x = + n 80 60 sin( ) = sin cos( ) = cos tan( ) = tan dimana n bilangan bulat
LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Persamaan Trigonometri: Persamaan Trigonometri Sederhana sin x = sin x = + n 60 (80 ) cos x = cos x = + n 60 ( ) tan x = tan x = + n 80 dimana n bilangan bulat Peta konsep di samping bisa diterjemahkan sebagai berikut: o Jika ada persamaan sin x = sin, maka penyelesaiannya adalah: x = + n 60 x = (80 ) + n 60 o Jika ada persamaan cos x = cos, maka penyelesaiannya adalah: x = + n 60 x = ( ) + n 60 o Jika ada persamaan tan x = tan, maka penyelesaiannya adalah: x = + n 80 Nah, proses menentukan persamaan trigonometri sederhana adalah melalui manipulasi aljabar menggunakan identitas trigonometri pada persamaan awal pada soal. Jadi logika praktisnya bisa tergambar dalam diagram di bawah: Misal ditanyakan tentukan himpunan penyelesaian dari: Persamaan Awal pada Soal cos 4x cos x = Manipulasi Aljabar Identitas Trigonometri ( cos x ) cos x = cos x cos x = cos x cos x = 0 cos x ( cos x ) = 0 Diperoleh Persamaan Trigonometri Sederhana cos x = 0 atau cos x = sin x = sin cos x = cos tan x = tan Cari Himpunan Penyelesaian Jadi, untuk cos x = 0 = cos 90, maka x = 90 + n 60 x = 45 + n 80 x = 90 + n 60 x = 45 + n 80 Jadi, untuk cos x = = cos 60, maka x = 60 + n 60 x = 0 + n 80 x = 60 + n 60 x = 0 + n 80 Dst dst. Sehingga akan diperoleh himpunan nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri tersebut.
LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Persamaan Trigonometri dengan Panduan Grafik Trigonometri: Grafik periode 60 periode 60 Inti permasalahan tentang persamaan trigonometri adalah menemukan sudut-sudut yang menghasilkan suatu nilai perbandingan trigonometri. Sudut-sudut tersebut berulang untuk periode tertentu. Misalnya, berapa saja sih sudut yang dapat menghasilkan nilai sinus sama dengan? Pernyataan di atas bisa dituliskan dalam bentuk: sin x = = sin 90 x = 90 periode 60 Nah, karena sudah hafal tabel nilai trigonometri dan paham tentang konsep dasar perbandingan trigonometri, maka bisa ditentukan nilai sinus sama dengan dipenuhi oleh sin 90. Daerah kuadran bernilai positif Padahal, fungsi sinus memiliki grafik yang berulang-ulang sesuai periodenya masing-masing. Sehingga, untuk nilai sinus sama dengan tidak hanya dipenuhi oleh sudut 90. Namun, masih banyak lagi sudut yang menghasilkan nilai sinus sama dengan. Bagaimana cara mudah menyusun rumus perbandingan trigonometrinya? Perhatikan gambar di atas. Grafik sinus berulang-ulang naik turun, seperti huruf S tidur terbalik. Berulang-ulangnya setiap 60. Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik sinus di kuadran I adalah positif. Nilai sinus akan kembali positif di kuadran II. Jadi, sin x = sin x = + n 60 (80 ) Grafik kosinus berulang-ulang turun naik seperti huruf C tidur. Berulang-ulangnya setiap 60. Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik kosinus di kuadran I adalah positif. Nilai kosinus akan kembali positif di kuadran IV. (karena grafiknya simetris terhadap sumbu Y, maka kuadran sebelah kiri kuadran I juga positif, kan ya?). Jadi, cos x = cos x = + n 60 ( ) Grafik tangen berulang-ulang naik terputus-putus. Berulang setiap 80. Sekarang perhatikan grafiknya, nilai positif hanya di kuadran I dan berulang-ulang setiap 80. Jadi, tan x = tan x = + n 80
Tipe Soal yang Sering Muncul Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri. Contoh Soal: Himpunan penyelesaian dari cos 4x cos x = ; 0 x 60 adalah. a. {0, 45, 5, 50, 0, 5, 5, 0 } b. {0, 60, 5, 80, 0, 5, 00, 0 } c. {0, 0, 5, 50, 0, 5, 00, 0 } d. {0, 45, 0, 5, 0, 5, 00 } e. {0, 45, 5, 50, 40, 5, 5 } Penyelesaian: cos 4x cos x = ( cos x ) cos x = cos x cos x = cos x cos x = 0 cos x ( cos x ) = 0 cos x = 0 atau cos x = Jadi, untuk cos x = 0 = cos 90, maka x = 90 + n 60 x = 45 + n 80 untuk n = 0 x = 45 untuk n = x = 5 x = 90 + n 60 x = 45 + n 80 untuk n = x = 5 untuk n = x = 5 Jadi, untuk cos x = = cos 60, maka x = 60 + n 60 x = 0 + n 80 untuk n = 0 x = 0 untuk n = x = 0 x = 60 + n 60 x = 0 + n 80 untuk n = x = 50 untuk n = x = 0 Sehingga himpunan penyelesaian adalah {0, 45, 5, 50, 0, 5, 5, 0 }.
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 0 kemarin:. Himpunan penyelesaian persamaan cosx cosx ; 0 x π adalah... A. {0, π } B. {0, C. {0, D. {0, E. {0, π π } } π } } cos x cos x = ( cos x ) cos x + = 0 cos x cos x = 0 cos x (cos x ) = 0 cos x = 0 atau cos x = 0 cos x = 0 cos x = cos x = 0 = cos π x = ± π + k π ) x = π + k π = π cos x = = cos 0 x = 0 + k π ) x = 0 + k π = 0, π ) x = π + k π = π Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 < x < π maka yang memenuhi hanya { π, π} Jika intervalnya diubah 0 x maka penyelesaiannya {0, π, π}. Himpunan penyelesaian persamaan cos4x sinx ; 0 x 80 adalah... A. { 0,50 } cos 4x + sin x = ( sin B. { 50,65 } x) + sin x + = 0 sin x + sin x + = 0 sin x = C. { 0,50 } ( sin x + )( sin x + ) = 0 D. { 0,65 } sin x + = 0 atau sin x + = 0 E. { 5,05 } sin x = (mustahil) sin x = sin x = = sin 0 = sin( 0 ) = sin 50 = sin( 50 ) ) x = 0 + k 60 = 5 + k 80 = 65 ) x = 50 + k 60 = 75 + k 80 = 05 Soal ini tidak ada jawabannya, mungkin maksudnya pilihan jawaban B bukan 50, tapi salah ketik. Seharusnya 05.. Himpunan penyelesaian persamaan cos x sin x ; 0 x π adalah... π cos x sin x = A. { 0,, π} ( sin x) sin x = 0 sin x sin x = 0 4π sin x (sin x + ) = 0 B. { 0,, π} sin x = 0 atau sin x + = 0 sin x = 0 sin x = ) x = 0 + k π C. { 0, π} = 0 TRIK SUPERKILAT: D. { 0, π} Satu-satunya jawaban yang tidak memuat ) x = π π + k π π adalah E. Perhatikan batas yang E. { 0, } diminta soal. π tidak diikutkan. = π sin x = 0 = sin 0 = sin π sin x = = sin π ) x = π + k π = π
4. Himpunan penyelesaian persamaan cosx cosx 0 untuk 0 x π adalah... π cos x cos x + = 0 A. 0,, π cos x = = cos π ( cos x ) cos x + = 0 cos x cos x + = 0 π 5 ( cos x )(cos x ) = 0 x = ± π + k π B. 0,, π cos x = 0 atau cos x = 0 π cos x = ) x = π + k π cos x = C. 0,, π = π D. π cos x = = cos 0 0,, π x = 0 + k π E. π 0,, π ) x = 0 + k π = 0, π ) x = π + k π = 5 π Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 x < π maka yang memenuhi hanya {0, π, 5 π} Jika intervalnya diubah 0 x maka penyelesaiannya {0, π, 5 π}