Pegguaa Artmetka Modulo da Balka Modulo pada Modfkas Algortma Kapsack Sesdka Sasa NIM 3507047 Jurusa Tekk Iformatka ITB, Badug, Jl. Gaesha 0, emal: f7047@studets.f.tb.ac.d Abstract Makalah membahas megea pegguaa artmetka modulo, relatf prma, da balka modulo pada algortma kapsack. Sela tu, makalah uga memberka peelasa yag cukup bayak megea permasalaha kapsack, algortma kapsack tu sedr yatu sstem krptograf Merkle- Hellma, da seraga terhadap kapsack. Kata Kuc: kapsack, Merkle-Hellma, teor blaga, artmetka modulo, relatf prma, balka modulo. PENDAHULUAN Kehdupa kta saat dlgkup oleh krptograf. Mula dar trasaks d mes ATM, trasaks d bak, trasaks dega kartu kredt, percakapa melalu telepo geggam, megakses teret, sampa megaktfka peluru kedal pu megguaka krptograf. Begtu petgya krptograf utuk keamaa formas (formato securty), sehgga ka berbcara megea masalah keamaa yag berkata dega pegguaa komputer, maka orag tdak bsa memsahkaya dega krptograf. Salah satu teor yag serg dguaka dalam krptograf adalah teor blaga (umber theory). Bayak permasalaha dalam teor blaga yag dguaka pada krptograf, msalya permasalaha RSA (Rvest, Shamr, Adlema), logartma dskrt, Dffe-Hellma, da subset sum problem. Sepert yag sudah dsebutka d atas, subset sum problem adalah salah satu persoala dalam teor blaga. Subset sum problem merupaka salah satu persoala khusus dar persoala Kapsack. Persoala kapsack sedr cukup bayak megguaka teor blaga dalam modfkasya, atara la artmetka modulo, relatf prma, da balka modulo. 2. KNAPSACK PROBLEM [] Kapsack problem adalah suatu persoala dalam optmsas kombatoral. Namaya berasal dar permasalaha maksmsas dar plha terbak dar barag-barag yag perlu dbawa sehgga memeuh satu tas peuh utuk dbawa dalam peralaa. Dberka beberapa barag, masg-masg memlk bobot (weght) da harga (value), tetuka umlah masg-masg barag utuk dmasukka dalam suatu kumpula sehgga umlah bobot kurag dar batasa bobot yag dberka da umlah harga setgg mugk. Cotoh. Seorag pecur merampok sebuah toko da meemuka barag. Sebayak barag memlk harga v dolar da berbobot w poud (v da w adalah agka rl), tetap da haya bsa membawa palg bayak W poud d dalam butlaya. Barag apa yag seharusya da ambl?
2.. Defs Terdapat es barag,. Setap barag mempuya harga v da bobot w. Dasumska bahwa semua harga da bobot adalah blaga oegatf. Bobot maksmum yag dapat dbawa adalah W. Ada tga macam dar persoala kapsack secara umum, yatu: 0- kapsack problem membatas umlah tap barag x dega ol atau satu. Secara matematka 0--kapsack problem dapat dformulaska sebaga berkut: Optmas = p x dega syarat w x W, = x {0,}, =,, Bouded kapsack problem membatas umlah tap barag x dega harga maksmal teger b. Secara matematka bouded kapsack problem dapat dformulaska sebaga berkut: Optmas = w x = W p x dega syarat, x {0,,, b }, =,, Ubouded kapsack problem tdak memberka batas atas utuk umlah masg-masg barag. 3. ALGORITMA KNAPSACK [6] Algortma Kapsack merupaka salah satu algortma krptograf kuc-publk. Dsebut krptograf kuc publk (publc-key cryptography) karea kuc utuk ekrps tdak rahasa da dapat dketahu oleh sapapu (dumumka ke publk), semetara kuc utuk dekrps haya dketahu oleh peerma pesa (karea tu rahasa) [9]. Dalam teor algortma, persoala kapsack termasuk ke dalam kelompok NP-complete. Suatu persoala C dsebut NP-complete ka [3]:. C adalah NP C adalah NP dapat dtuukka dega memperlhatka bahwa calo solus dar C dapat dpecahka dalam orde waktu polomal. [4] Secara tutf, NP adalah sekumpula dar persoala yag awaba yes -ya memlk pembukta sederhaa terhadap fakta bahwa awabaya memag yes. Utuk meelaskaya, msal dberka hmpua dar blaga teger, yatu { 7, 3, 2, 5, 8}, da kta g megetahu apakah umlah dar beberapa blaga dar hmpua tersebut memlk umlah = 0. Pada cotoh, awabaya adalah yes, karea hmpua baga dar blaga teger {-3, -2, 5} dhubugka dega peumlaha (-3) + (- 2) + 5 = 0. Persoala meetuka apakah umlah dar hmpua baga memlk umlah = 0 dsebut dega subset sum problem. Selag blaga teger yag dberka pada algortma bertambah besar, umlah dar hmpua baga uga bertambah secara ekspoesal, da memag pada keyataaya subset sum problem adalah NP-complete. Bagamaapu, perhatka ka dberka suatu hmpua baga tertetu (serg dsebut dega sertfkat), kta dapat dega mudah megecekya atau memperlhatkaya (verfy) apakah umlah dar hmpua bagaya = 0 haya dega meumlahka blaga teger dar hmpua baga tu. Jad ka memag umlah = 0, hmpua baga tersebut merupaka bukt (proof) atau saks mata (wtess) utuk keyataa bahwa awabaya adalah yes. Algortma yag memperlhatka apakah hmpua baga yag dberka memlk umlah = 0 dsebut verfer. Suatu persoala dsebut NP ka da haya ka terdapat suatu verfer utuk persoala tersebut yag membuthka waktu pegeraa dalam orde waktu polomal, yag merupaka alasa bahwa subset sum problem merupaka NP. 2. Setap persoala pada NP dapat dreduks mead C. Persoala K dapat dreduks mead C ka terdapat waktu-polomal reduks, sebuah algortma determstk yag megubah k K mead c C, sehgga awaba c adalah YES ka da haya ka awabah k adalah YES. Utuk membuktka bahwa persoala NP A merupaka persoala NP-complete cukup dega meuukka bahwa persoala NP-complete yag telah dketahu dreduks mead A. Persoala yag termasuk NP-complete tdak dapat dpecahka dalam orde waktu polomal sehgga sult dpecahka. 2.. Algortma Kapsack Sederhaa Ide dasar dar algortma krptograf kapsack adalah megkodeka pesa sebaga ragkaa solus dar persoala kapsack. Setap bobot w d dalam persoala kapsack merupaka kuc prvat, sedagka bt-bt plateks meyataka b. Cotoh 2. Msalka = 6 da w =, w 2 = 5, w 3 = 6, w 4 =, w 5 = 4, da w 6 = 20. Plateks: 000000000000000 Plateks dbag mead blok yag paagya, kemuda setap bt d dalam blok dkalka dega w yag berkorepsode: Blok plateks ke- : 00 Kapsack :, 5, 6,, 4, 20 Krptogram : ( x ) + ( x 5) + ( x 6) + ( x 20) = 32 Blok plateks ke-2 : 000 Kapsack :, 5, 6,, 4, 20 Krptogram : ( x 5) + ( x ) + ( x 4) = 30 Blok plateks ke-3 : 000000
Kapsack :, 5, 6,, 4, 20 Krptogram : 0 Blok plateks ke-4 : 0000 Kapsack :, 5, 6,, 4, 20 Krptogram : ( x 5) + ( x 6) = Jad, cpherteks yag dhaslka: 32 30 0 Sayagya, algortma kapsack sederhaa d atas haya dapat dguaka utuk ekrps, tetap tdak dracag utuk dekrps. Msalya, ka dberka krptogram = 32, maka tetuka b, b 2,, b 6 sedemka sehgga 32= b + 5b 2 + 6b 3 + b 4 + 4b 5 + 20b 6 (2) Solus persamaa (2) tdak dapat dpecahka dalam orde waktu polomal dega semak besarya (dega catata barsa bobot tdak dalam uruta meak). Namu, hal lah yag dadka sebaga kekuata algortma kapsack. 2.2. Supercreasg Kapsack Supercreasg kapsack adalah persoala kapsack yag dapat dpecahka dalam orde O() (polomal). I adalah persoala kapsack yag mudah sehgga tdak dsuka utuk dadka sebaga algortma krptograf yag kuat. Jka seara bobot dsebut barsa supercreasg, maka kta dapat membetuk supercreasg kapsack. Barsa supercreasg adalah suatu barsa d maa setap la d dalam barsa lebh besar darpada umlah semua la sebelumya. Msalya {, 3, 6, 3, 27, 52} adalah barsa supercreasg, tetap {, 3, 4, 9, 5, 25} buka. Solus dar supercreasg kapsack (yatu b, b 2,, b ) mudah dcar sebaga berkut (berart sama dega medekrpska cpherteks mead plateks semula):. Jumlahka semua bobot d dalam barsa. 2. Badgka bobot total dega bobot terbesar d dalam barsa. Jka bobot terbesar lebh kecl atau sama dega bobot total, maka a dmasukka ke dalam kapsack, ka tdak, maka a tdak dmasukka. 3. Kurag bobot total dega bobot yag telah dmasukka, kemuda badgka bobot total sekarag dega bobot terbesar selautya. Demka seterusya sampa seluruh bobot d dalam barsa selesa dbadgka. 4. Jka bobot total mead ol, maka terdapat solus persoala supercreasg kapsack, tetap ka tdak ol, maka tdak ada solusya. Cotoh 3. Msalka bobot-bobot yag membetuk barsa supercreasg adalah {2, 3, 6, 3, 27, 52}, da dketahu bobot kapsack (M) = 70. Kta aka mecar b, b 2,, b 6 sedemka sehgga 70 = 2b + 3b 2 + 6b 3 + 3b 4 + 27b 5 + 52b 6 Caraya sebaga berkut: () Badgka 70 dega bobot terbesar, yatu 52. Karea 52 70, maka 52 dmasukka ke dalam kapsack. () Bobot total sekarag mead 70 52 = 8. Badgka 8 dega bobot terbesar kedua, yatu 27. Karea 27 > 8, maka 27 tdak dmasukka ke dalam kapsack. () Badgka 8 dega bobot terbesar berkutya, yatu 3. Karea 3 8, maka 3 dmasukka ke dalam kapsack. (v) Bobot total sekarag mead 8 3 = 5. (v) Badgka 5 dega bobot terbesar kedua, yatu 6. Karea 6 > 5, maka 6 tdak dmasukka ke dalam kapsack. (v) Badgka 5 dega bobot terbesar berkutya, yatu 3. Karea 3 5, maka 3 dmasukka ke dalam kapsack. (v) Bobot total sekarag mead 5 3 = 2. (v) Badgka 2 dega bobot terbesar berkutya, yatu 2. Karea 2 2, maka 2 dmasukka ke dalam kapsack. (x) Bobot total sekarag mead 2 2 = 0. Karea bobot total terssa = 0, maka solus persoala supercreasg kapsack dtemuka. Barsa bobot yag dmasukka ke dalam kapsack adalah {2, 3,, 3,, 52} sehgga 70 = ( x 2) + ( x 3) + (0 x 6) + ( x 3) + (0 x 27) + ( x 52). Dega kata la, plateks dar krptogram 70 adalah 00. 3. TEORI BILANGAN 3. Artmetka Modulo [7] Artmetka modulo (modular arthmetc) memaka peraa yag petg dalam komputas teger, khususya pada aplkas krptograf. Operator yag dguaka pada artmetka modulo adalah mod. Operator mod, ka dguaka pada pembaga blaga bulat, memberka ssa pembaga. Msalya 23 dbag 5 memberka hasl = 4 da ssa = 3, sehgga kta tuls 23 mod 5 = 3. Defs dar operator mod dyataka sebaga berkut: DEFINISI Msalka a adalah blaga bulat da m adalah blaga bulat > 0. Operas a mod m (dbaca a modulo m ) memberka ssa ka a dbag dega m. dega kata la, a mod m = r sedemka sehgga a = mq + r, dega 0 r < m. Notas: a mod m = r sedemka sehgga a = mq + r, dega 0 r < m. Blaga m dsebut modulus atau modulo, da hasl artmetka modulo m terletak d dalam hmpua {0,, 2,, m } Jka a mod m = 0, maka dkataka bahwa a adalah kelpata dar m, yatu a habs dbag dega m. 3.2. Relatf Prma [7] DEFINISI Dua buah blaga bulat a da b dkataka relatf prma ka PBB(a, b) = Sebaga cotoh, 20 da 3 relatf prma sebab PBB(20, 3) =. Tetap 20 da 5 tdak relatf prma sebab PBB(20, 5) = 5. Jka a da b relatf prma, maka dapat dtemuka blaga bulat m da sedemka sehgga
ma + b = Cotoh 4. Blaga 20 da 3 adalah relatf prma karea PBB(20, 3) =, atau dapat dtuls 2. 20 + ( 3). 3 = dega m = 2 da = 3. 3.3. Balka Modulo (Modulo Ivers) [8] Jka a da m relatf prma (PBB(a, m) = ) da m >, maka kta dapat meemuka balka (vers) dar a modulo m. Balka dar a modulo m adalah blaga bulat a - sedemka sehgga a a - (mod m) Dar defs relatf prma dketahu bahwa PBB(a, m) = sehgga terdapat blaga bulat p da q sedemka sehgga pa + qm = yag megmplkaska bahwa pa + qm (mod m) Karea qm 0 (mod m), maka pa (mod m) Cotoh 5. Tetuka balka modulo dar 4 (mod 9) Jawab: Karea PBB(4, 9) =, maka balka dar 4 (mod 9) ada. Dar algortma Eucldea dperoleh bahwa 9 = 2. 4 + -2. 4 +. 9 = Dar persamaa terakhr kta peroleh -2 adalah balka dar 4 modulo 9. Perksalah bahwa -2. 4 (mod 9) (9 habs membag -2. 4 = -9) 5. PENGGUNAAN TEORI BILANGAN PADA SISTEM KRIPTOGRAFI MERKLE-HELLMAN [2] Krptograf Merkle-Hellma merupaka sstem kuc rsmetr, yag berart bahwa dalam sstem komukas dperluka dua kuc, yatu kuc publk da kuc prvat. Berbeda dega RSA, kuc publk dguaka haya utuk ekrps, sedagka kuc prvat haya dguaka utuk dekrps. Karea tu sstem krptograf tdak dapat dpaka utuk otetkas dega krptograf. Sstem Merkle-Hellma ddasarka pada subset sum problem (kasus khusus dar persoala kapsack). Msal dberka hmpua blaga da suatu blaga yag merupaka umlah dar hmpua baga dar hmpua blaga tersebut. Pada umumya, persoala termasuk NP-complete. Aka tetap, ka hmpua blaga yag dguaka (dsebut sebaga kapsack) merupaka supercreasg, persoala mead mudah da dapat dpecahka dalam orde waktu polomal dega algortma Greedy sederhaa. Sudah delaska pada pembahasa sebelumya bahwa algortma supercreasg kapsack adalah algortma yag lemah, karea cpherteks dapat ddekrps mead plateksya secara mudah dalam waktu laar (O()). Sedagka algortma osupercreasg kapsack atau ormal kapsack adalah kelompok algortma kapsack yag sult (dar seg komputas) karea membutuhka waktu dalam orde ekspoesal utuk memecahkaya. Namu, Mart Hellma da Ralph Merkle meemuka cara utuk memodfkas supercreasg kapsack mead o-supercreasg kapsack dega megguaka kuc publk (utuk ekrps) da kuc prvat (utuk dekrps). Modfkas dlakuka dega megguaka perhtuga artmetka modulo. 5. Pegguaa Artmetka Modulo da Relatf Prma pada Pembagkta Kuc Merkle-Hellma [2] Pada krptograf Merkle-Hellma, kuc yag dguaka terdr dar kapsack. Kuc publk merupaka 'hard' kapsack, sedagka kuc prvat prvat merupaka yag mudah (supercreasg kapsack), yag dkombaska dega dua blaga tambaha, yatu pegal (multpler) da modulus yag dguaka utuk megubah supercreasg kapsack mead hard kapsack. Blaga-blaga yag sama dguaka utuk megubah umlah dar hmpua baga dar hard kapsack mead umlah dar hmpua baga dar supercreasg kapsack yag dapat dpecahka dalam orde waktu polomal. Utuk megekrpska -bt pesa, caraya adalah sebaga berkut:. Tetuka barsa supercreasg w = (w, w 2,..., w ) dar blaga buka ol.. Plh salah satu blaga teger q sehgga memeuh q > w = da salah satu agka teger blaga teger r secara acak sehgga PBB(r, q) = (r relatf prma dega q). Blaga q dplh dega cara d atas utuk memastka keuka dar chperteks. Jka blaga yag dguaka lebh kecl, lebh dar satu plateks aka dekrps mead chperteks yag sama. Sedagka r harus tdak memlk persekutua dega q karea ka tdak maka balka modulo dar r mod q tdak dapat dtemuka. Blaga yag merupaka balka modulo dar r mod q adalah petg agar memugkka dekrps.. Kemuda htug barsa β = (β, β 2,..., β ) yag memeuh β rw mod q Kuc publk adalah β, sedagka kuc prvat adalah (w, q, r). Cotoh 6. Msalka barsa supercreasg adalah {2, 3, 6, 3, 27, 52}, q = 05, da r = 3. Barsa osupercreasg (ormal) kapsack dhtug sebaga berkut: 2 3 mod 05 = 62 3 3 mod 05 = 93 6 3 mod 05 = 8 3 3 mod 05 = 88 27 3 mod 05 = 02 52 3 mod 05 = 37 Jad, kuc publk adalah {62, 93, 8, 88, 02, 37}, sedagka kuc prvat adalah {2, 3, 6, 3, 27, 52, 05, 3}.
5.2. Pegguaa Balka Modulo pada Deskrps Ekrps [2] Terdapat -bt pesa α = (α, α 2,..., α ) dega α adalah bt ke- dar pesa da α {0, }. Cara utuk megekrps pesa tersebut adalah sebaga berkut:. Plh hmpua baga dar ormal kapsack (kuc publk) yag berkorespodes dega pada plateks da megabaka baga yag berkorespodes dega 0 pada plateks.. Eleme dar hmpua baga yag telah dplh dumlahka da haslya mead chperteks. c = α β = Cotoh 7. Msalka terdapat suatu plateks plateks: 00000000 da kuc publk yag dguaka sepert pada Cotoh 5. Plateks dbag mead blok yag paagya 6, kemuda setap bt d dalam blok dkalka dega eleme yag berkorepsode d dalam kuc publk: Blok plateks ke- : 0000 Kuc publk : 62, 93, 8, 88, 02, 37 Krptogram : ( x 93) + ( x 8) = 74 Blok plateks ke-2 : 00 Kuc publk : 62, 93, 8, 88, 02, 37 Krptogram : ( x 62) + ( x 93) + ( x 88) + ( x 37) = 280 Blok plateks ke-3 : 00 Kuc publk : 62, 93, 8, 88, 02, 37 Krptogram : ( x 62) + ( x 8) + ( x 88) + ( x 02) = 333 Jad, cpherteks yag dhaslka : 74, 280, 333 Dekrps [2] Utuk medekrps cpherteks c, peerma harus meemuka pesa dalam betuk α sehgga memeuh c = α β = I aka mead persoala yag sult ka β merupaka la acak karea peerma harus memecahka permsala dar permasalaha peumlaha dar hmpua baga, yag dketahu merupaka NP-hard. Walaupu demka, la β dplh sehgga dekrps mudah dlakuka ka kuc prvat (w, q, r) dketahu. Hal yag petg dar dekrps adalah meemuka suatu blaga teger s yag merupaka balka modulo (modular verse) dar r modulo q. I berart s memeuh persamaa sr mod q = atau sr (mod q) atau terdapat blaga teger k sehgga sr = kq +. Karea r dplh sehgga memeuh persamaa PBB(r, q) =, maka s da k mugk dtemuka dega megguaka perhtuga balka modulo yag memeuh sr (mod q). Kekogruea dapat dhtug dega cara yag sederhaa sebaga berkut: sr (mod q) sr = kq + s = ( + kq)/r, k sembarag blaga bulat Kalka setap krptogram dega s mod m, lalu yataka hasl kalya sebaga peumlaha elemeeleme kuc prvat utuk memperoleh plateks dega megguaka algortma pecara solus supercreasg kapsack. Cotoh 8. Kta aka medekrpska cpherteks dar Cotoh 7 dega megguaka kuc prvat {2, 3, 6, 3, 27, 52}. D s, r = 3 da q = 05. Nla s dperoleh sebaga berkut: s = ( + 05k)/3 Dega mecoba k = 0,, 2,, maka utuk k = 8 dperoleh s blaga bulat, yatu s = ( + 05 8)/3 = 6 Cpherteks dar Cotoh 7 adalah 74, 280, 222. Plateks yag berkorespode dperoleh kembal sebaga berkut: 74 6 mod 05 = 9 = 3 + 6, berkorespode dega 0000 280 6 mod 05 = 70 = 2 + 3 + 3 + 52, berkorespode dega 00 333 6 mod 05 = 48 = 2 + 6 + 3 + 27, berkorespode dega 00 Jad, plateks yag dhaslka kembal adalah: 0000 00 00 6. SERANGAN PADA SISTEM KNAPSACK [5] Ketka Ralph Merkle megauka sstem d atas pada tahu 976, da yak bahwa sstem tersebut ama, walaupu dalam kasus teras tuggal, da meawarka $00 utuk sapa saa yag mampu memecahkaya. Pada tahu 982, Ad Shamr meemuka seraga pada sstem Kapsack teras tuggal. Seraga tersebut sedkt terbatas, da tdak lama setelahya dumumka cara utuk megubah skema umum yag kemuda mecegah peyeraga. Walaupu demka, Merkle tetap membayar $00 sebagamaa telah daka. Da yag lebh petg, merupaka terobosa yag sagat petg utuk kehacura dar sstem Kapsack. Utuk semetara, dasumska tdak ada permutas yag dguaka. Kemuda utuk setap, berlaku β w r mod q Dega defs dar kekogruea modulo, harus ada blaga teger sehgga utuk setap berlaku s β qk = w dega s adalah balka modulo dar r mod q. Kemuda bag persamaa d atas mead s k w q β = qβ Jka q blaga yag sagat besar, persamaa d sebelah kaa aka mead sagat kecl, sehgga setap persamaa dar kompoe k da β dekat dega u/m. Gat dega da kuragka dar persamaa sebelumya, ddapatka
k k β β w w = qβ qβ Karea kedua pembaga d sebelah kaa laya postf, da hasl peguragaya sagat kecl, persamaa d atas dapat dtulska k k β β w = qβ Perhatka bahwa w adalah barsa supercreasg, setap elemeya harus lebh kecl dar setegah blaga sebelumya, sehgga utuk setap berlaku w < q2 Kemuda dapat uga dyataka bahwa k k β β 2 = β Dega meyusu ulag persamaa d atas ddapatka k k = 2 β β β Karea β termasuk kuc publk, haya sedkt dar pertdaksamaa d atas (tga atau empat) bersfat uk utuk meetuka k. Pertdaksamaa merupaka salah satu cotoh dar teger programmg, sehgga dega algortma Lestra teger lear programmg dapat dtemuka la k dega cepat. Da ka la k sudah dketahu, mudah utuk memecahka sstem. Adaka dlakuka permutas terhadap β sebelum mempublkaskaya. Karea haya dbutuhka 3 atau 4 dar eleme pertama k, kta dapat mecoba semua kombas kemugka yag haya sampa blaga kubk atau quartk. 6. KESIMPULAN Teor blaga memlk peraa yag sagat luas dalam bdag krptograf. Salah satuya adalah dalam persoala kapsack. Teor blaga yag dpaka atara la artmetka modulo, balka modulo, da relatf prma. Kapsack sedr pada awalya bayak dguaka pada bdag keamaa. Hal dkareaka persoala termasuk ke dalam NP-complete. Namu sudah bayak seraga yag dtemuka utuk memecahka persoala. Da sekarag, sstem apapu yag megguaka perkala modular utuk meyembuyka supercreasg kapsack dapat dpecahka dega efse. Walaupu demka, sepert yag sudah dlhat, buka satu-satuya plha utuk haya megguaka kapsack dalam bdag krptograf. Mash bayak algortma-algortma magkus yag dapat dguaka utuk meam sekurtas dar suatu peagaa. DAFTAR REFERENSI [] http://e.wkpeda.org/wk/kapsack_problem Waktu akses: 24 Desember 2008 pukul 20.0 WIB [2] http://e.wkpeda.org/wk/merkle-hellma Waktu akses: 26 Desember 2008 pukul 6.0 WIB [3] http://e.wkpeda.org/wk/np-complete Waktu akses: 24 Desember 2008 pukul 20.0 WIB [4] http://e.wkpeda.org/wk/np_(complexty) Waktu akses: 26 Desember 2008 pukul 5.26 WIB [5] http://www.derf.et/kapsack/#attacks Waktu akses: 28 Desember 2008 pukul 4.07 WIB [6] Ir. Rald Mur, M.T., Algortma Kapsack, Badug, hal. 2-0 http://www.formatka.org/~rald/krptograf/ 2006-2007/Algortma%20Kapsack.doc Waktu akses: 2 Desember 2008 pukul 0.02 WIB [7] Ir. Rald Mur, M.T., Dktat Kulah IF209 Struktur Dskrt, Badug, 2003, hal. V-3 [8] dem, hal. V-6 [9] www.formatka.org/~rald/buku/krptograf/ Bab-_Pegatar%20Krptograf.pdf Waktu akses: 2 Desember 2008 pukul 09.50 WIB