Probabilitas dan Statistika Fungsi Lanjut Adam Hendra Brata
Gabungan Gabungan Fungsi Acak Fungsi Rapat Kumulatif Gabungan Untuk variabel random kontinu, analog dengan kasus diskrit, fungsi rapat probabilitas bersama f(,) didefinisikan sebagai :. f(,) untuk seluruh dan. Total integral di seluruh area = f (, ) dd 3. Probabilitas nilai X= dan Y= di dalam area tertentu diberikan oleh hasil integral f(,) dengan (,) dalam area termaksud P [( X, Y) A] f (, ) dd A
Gabungan Gabungan Fungsi Acak Fungsi Rapat Kumulatif Gabungan Untuk variabel random kontinu, analog dengan kasus diskrit, fungsi rapat probabilitas bersama f(,) didefinisikan sebagai :. f(,) untuk seluruh dan. Total integral di seluruh area = f (, ) dd 3. Probabilitas nilai X= dan Y= di dalam area tertentu diberikan oleh hasil integral f(,) dengan (,) dalam area termaksud P [( X, Y) A] f (, ) dd A
Contoh Soal Gabungan Contoh Soal Fungsi Gabungan Sebuah perusahaan coklat mendistribusikan kotak-kotak cokelat ang berisi isian jenis: krim, kopi dan kacang. Terdapat dua tipe cokelatna aitu : coklat gelap dan putih. Misalkan dipilih acak kotak, dan variabel random X dan Y menatakan persentase dari coklat putih dan gelap ang berisi krim, dengan fungsi rapat probabilitas bersamana : f (, ) ( 3) 5, lainna, a. Periksalah apakah integral f(,) di seluruh daerah = b. Carilah probabilitas untuk <</ dan ¼<</
Contoh Soal Fungsi Contoh Soal Fungsi a. Integral di seluruh wilaah, : f (, ) dd ( 3) dd 5 b. P(<X</,/4<Y</) / / / 4 / / f (, ) dd ( 3) dd 5 / 4 3/6
Marginal Gabungan Marginal Fungsi Rapat Kumulatif Marginal Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk univariat F ( ) dan f( ) dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada seluruh rentang variabel random pasanganna ( ) dikenal sebagai distribusi marginal kontinu
Marginal Gabungan Marginal Fungsi Rapat Kumulatif Marginal Misalkan f(,) fungsi kerapatan peluang bersama dari X dan Y Perhatikanlah peristiwa a<x<b dengan a < b Peristiwa ini ekuivalen dengan peristiwa a < X < b, - < Y <, dengan demikian maka : P a < < b = P a < X < b, < Y < Akan tetapi, P a < X < b, < Y < = f, b a dd, kontinu
Marginal Gabungan Marginal Fungsi Rapat Kumulatif Marginal Oleh karena itu kita peroleh : P a < < b = Dimana : b a f = f d kontinu f, d, kontinu Dan selanjutna f kita sebut sebagai fungsi marginal dari karena jelas bahwa f adalah fungsi kerapatan peluang dari saja
Marginal Gabungan Marginal Fungsi Rapat Kumulatif Marginal Analog dengan f, maka f adalah : P - < < = Dimana : f = d Dan selanjutna f kita sebut sebagai fungsi marginal dari f kontinu f, d, kontinu
Bersarat Gabungan Marginal Bersarat Bersarat Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk univariat F ( ) dan f( ) dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada sebagian rentang variabel random pasanganna ( ) dikenal sebagai kemungkinan distribusi bersarat Misalkan f,, f, dan f masingmasing fungsi kerapatan peluang.bersama dari X dan Y, fungsi kerapatan peluang marginal dari X, dan fungsi kerapatan peluang marginal dari Y. Misalkan a dan b dua bilangan real sembarang
Bersarat Gabungan Marginal Bersarat Bersarat Jika : Maka A = B = P B A =, = a, < <, < <, = b P A B P A Akan tetapi P B A = P Y = b X = a. Karena a dan b sembarang. Kita temukan bahwa peluang bersarat dari Y diketahui X =, adalah f (, f ( ) ) dengan P X a, Y b P X a f( ) f a, b f a
Bersarat Gabungan Marginal Bersarat Bersarat Bila harga ditetapkan, maka peluang tersebut merupakan fungsi dari. Jelas fungsi itu merupakan suatu fungsi kerapatan peluang, sebab : f (, ) f ( ) f (, ) f( ) f (, ) f ( ) f ( ) f ( ) Fungsi kerapatan peluang tersebut selanjutna diberi lambang f
Bersarat Gabungan Marginal Bersarat Bersarat Dengan f () adalah distribusi marginal untuk X saja, aitu distribusi probabilitas f(, ) ang dijumlahkan terhadap seluruh nilai : f () = f(, ) Fungsi kerapatan peluang f ini dinamakan fungsi kerapatan peluang bersarat dari Y jika diketahui nilai X =
Bersarat Gabungan Marginal Bersarat Secara analog fungsi kerapatan peluang bersarat dari X diketahui Y = atau f () adalah distribusi marginal untuk Y saja, aitu distribusi probabilitas f(, ) ang dijumlahkan terhadap seluruh nilai, maka : f () = f(, ) Bersarat
Bersarat Gabungan Marginal Bersarat Sifat Bersarat Dalam hal X dan Y kontinu, maka : a. P a < X < b Y = = adalah peluang bersarat dari a < X b jika diketahui Y = - catatan : ruas kiri biasa ditulis P a < X b b. P c < Y d X = = adalah peluang bersarat dari c < Y d jika diketahui X = b a d c f f d d
Contoh Soal Bersarat Contoh Soal Fungsi Bersarat Fungsi rapat probabilitas bersama antara variabel random X dan Y, dengan X adalah perubahan temperatur dan Y adalah persentase pergeseran spektrum dari suatu atom diberikan oleh : f (, ) lainna a. Carilah fungsi rapat probabilitas marginal g() dan h() b. Carilah fungsi rapat probabilitas bersarat f( ) c. Carilah probabilitasna bahwa spektrum akan bergeser lebih dari 5% dari seluruh pengamatan, jika temperatur dinaikkan.5 unit
Contoh Soal Fungsi Contoh Soal Fungsi a. Fungsi Rapat Probabilitas Marginal : b. Fungsi probabilitas bersarat f( ), 5 ), ( ) ( d d f h ), ( 3 ), ( ) ( 3 d d f g 3 ) ( 3 ) ( ), ( ) ( 3 3 g f f
Contoh Soal Fungsi Contoh Soal Fungsi c. Probabilitas spektrum akan bergeser > 5% dari seluruh pengamatan, jika temperatur dinaikkan,5 unit, maka kasus ini dapat dianggap dengan P (>,5 =,5) P(.5.5).5 f (.5) d.5 3.5 3 d 8 9
Tugas 7 Mengerjakan soal soal ang berada di beberapa slide selanjutna secara individu Mengerjakan soal soal tersebut dengan cara menghitung dan ditulis di kertas Dikumpulkan pada pertemuan berikutna (Rabu minggu depan)
Tugas 7. Hasil pengukuran arus listrik pada suatu generator telekomunikasi nirkabel merupakan distribusi probabilitas acak kontinu dengan fungsi kerapatan : f(),75 +, 3 5 lainna a. Apakah total luas dari fungsi tersebut =? b. Hitung P(3,5 < X < 4,5)!
Tugas 7. Jika ada data fungsi kerapatan peluang sebagai berikut : f(, ) ( 3 4 ) ; ;, ang lainna a. Apakah f(,) memenuhi sarat fungsi rapat peluang? b. Hitung P((,), < < ; < < )!
Tugas 7 3. Fungsi rapat probabilitas bersama antara variabel random X dan Y, dengan X adalah perubahan amplitudo dan Y adalah persentase pergeseran frekuensi dari sebuah gelombang adalah sebagai berikut : f (, ) 3 3 lainna a. Carilah fungsi rapat probabilitas marginal g() dan h() b. Carilah fungsi rapat probabilitas bersarat f( ) c. Carilah probabilitasna bahwa frekuensi akan bergeser lebih dari 7% dari seluruh pengamatan, jika amplitudo dinaikkan,5 unit
Sekilas Info Diberitahukan pada semua mahasiswa di kelas ini, minggu depan kita akan adakan Quiz 3 Ruang Lingkup Quiz 3 - Variabel Acak dan Fungsi Diskrit - Variabel Acak dan Fungsi Sifat Quiz Close Book, tetapi Diperbolehkan membawa lembar harapan Quiz akan diadakan pada hari Rabu, April 5 Selamat belajar v^^
Terimakasih dan Semoga Bermanfaat v^^