ANAL TABLTA PADA MODEL EPDEMK MULT GRUP DENGAN LAJU PENULARAN TAK LNEAR Nama : Dy Tr War NRP : 748 Jurusa : Matematka FMPA T Dose Pembmbg : Drs. M. etjo Warko, M. Drs. uhud Wahyud,M. Abstrak Dalam suatu ekosstem yag terdr dar oulas heteroge yag daat dbag mejad gru homoge, eyebara sebuah eyakt daat terjad secara slag datara gru tersebut. Dega megguaka edekata dar teor grah, sstem daat dgambarka sebaga sebuah jarga dmaa seta smul meujukka sebuah gru homoge da sebuah busur (j, ) ada jka da haya jka eyakt daat meular dar gru ke gru j. Jka suatu blaga reroduks dasar R eyakt aka hlag da terdaat ttk kesetmbaga bebas eyakt P yag stabl asmtotk lokal da stabl asmtotk global, sedagka jka R > eyakt aka mejad edemk da terdaat ttk kesetmbaga edemk P yag stabl asmtotk global. Utuk megaalss stabltas lokal dguaka krtera Routh-Hurwtz, sedagka utuk megaalss stabltas global ddaatka melalu kostruks fugs Lauov dega meeraka grah berarah. Kata kuc: Aalss tabltas, Fugs Lyauov, Peulara Taklear, Jarga PENDAHULUAN Persamaa dferesal adalah ersamaa yag memuat turua dar satu atau beberaa fugs yag tdak dketahu. Persamaa dferesal serg dguaka utuk membagu model matematka yag daat membatu memermudah eyelesaa masalah dalam kehdua yata. Masalah tersebut daat dbuat suatu model matemats dega megguaka asums tertetu, setelah tu dcar solusya. stem berasaga dar ersamaa dferesal taklear ada jarga telah dguaka utuk memodelka berbaga hal atara la utuk meyeldk sstem berasaga dar oslator tak lear, eyebara eyakt meular ada oulas heteroge, serta utuk megaalss stabltas dar sstem berasaga ada model ekosstem komleks [4]. Telah bayak eelta tetag aalss stabltas suatu model eulara eyakt meular, amu kebayaka dar eelta tersebut megabaka keheterogea dar suatu oulas [5,6]. Dalam kehdua sehar har laju eulara eyakt daat berbeda atara sekelomok dvdu satu da laya. Maka derluka sebuah kose jarga ada aalss eyebara suatu eyakt meular. Deskrs matematka dar sebuah jarga adalah sebuah grah berarah yag terdr dar beberaa smul da dhubugka oleh busur berarah. Busur berarah megdkaska koeks atar smul. Dalam sstem model, sebuah smul daat berua sebuah oslator, sebuah komutas besar ekolog atau sebuah ltasa, da daat juga berua gru gru homoge dalam oulas heteroge utuk sebuah eyakt meular. edagka teraks atara smul-smul yag ada daat berua koeks fska datara oslator, eyebara datara gru-gru kecl ada ltasa, da feks slag datara gru homoge d dalam suatu oulas heteroge [4]. Utuk mejelaska damka eyebara dar suatu eyakt meular ada oulas makhluk hdu yag heteroge daat dguaka sebuah model mult gru. Keheterogea dalam suatu oulas daat dsebabka oleh bayak faktor. ekelomok dvdu daat dbag mejad beberaa gru homoge berdasarka erbedaa ola keterkata ada suatu hal, seert embaga oulas berdasarka usa ada eyebara eyakt godok da cacar ar, serta embaga gru berdasarka ola hubuga seksual utuk eyakt yag meular secara seksual seert HV/AD [4]. Dalam Tugas Akhr daalss stabltas lokal da stabltas global dar model edemk mult gru dega laju eulara taklear. Dalam megaalss stabltas lokal dguaka krtera Routh-Hurwtz, sedagka stabltas global ddaatka melalu kostruks fugs Lauov dega meeraka teor grah. etelah tu dkembagka sebuah stud kasus aalss stabltas ada model edemk dua gru dega laju eulara taklear.
TNJAUAN PUTAKA. Peyakt Meular Peyakt meular adalah eyakt yag dsebabka oleh kuma yag mejagkt tubuh mausa. Kuma daat berua vrus, bakter, atau jamur. Peyakt meular dsebut juga wabah. Wabah dalam lgku yag lebh luas dsebut edemk, yatu wabah yag terjad secara lebh ceat darada yag derkraka. Peyakt yag umumya terjad ada laju yag kosta amu cuku tgg ada suatu oulas dsebut sebaga edemk. uatu feks eyakt dkataka sebaga edemk bla seta orag yag terfeks eyakt tersebut meularkaya keada orag la. Bla feks tersebut tdak leya da jumlah orag yag terfeks bertambah, suatu feks dkataka berada dalam keadaa edemk.. Dasar Teor Grah Grah berarah atau dgrah (drected grah) G(V, E) berska dua hmua, yatu hmua berhgga tak kosog V(G) = {,,, } dar obyek-obyek yag dsebut smul da hmua berhgga (mugk kosog) E(G) yag elemeya dsebut busur (, j), sedemka hgga seta eleme (, j) dalam E(G) meruaka asaga beruruta dar smul V(G). ebuah subgrah H dar G, dkataka membetag jka H da G memlk hmua smul yag sama. Dgrah G dkataka berbobot jka seta busur (j, ) dkatka dega suatu blaga real ostf (a j ), dmaa blaga yag dkatka tersebut dsebut bobot. Bobot w(h) dar sebuah subgrah H adalah jumlaha bobot dar semua busur d H []. Ltasa adalah suatu barsa berhgga (tak kosog) yag suku-sukuya bergata smul da busur dmaa semua smul da busur haya boleh mucul satu kal. edagka ltasa berarah P ada G adalah sebuah subgrah dega smul { k, k+, k =,,, m }. Jka m =, P dsebut cycle berarah. ebuah subgrah terhubug T dsebut sebuah oho jka tdak terdaat cycle, berarah atauu tak berarah. mul meruaka akar dar sebuah oho, jka buka smul tujua dar beberaa busur, da seta smul yag terssa meruaka smul tujua dar teat satu busur. ebuah subgrah Q dsebut ucyclc jka Q meruaka oho berakar dmaa betuk akarya berua cycle berarah, da seta smul d Q adalah smul tujua dar teat satu busur [4]. Poho berakar da grah ucyclc dtujukka oleh Gambar.. Gambar.. (A) oho berakar. (B) grah ucyclc Dberka dgrah berbobot G dega smul, msal bobot matrks A = (a,j ) dmaa a,j meruaka bobot dar busur (j, ) jka ada, da utuk yag laya. Grah berarah G dkataka terhubug kuat jka utuk sebarag asag smul, terdaat sebuah ltasa berarah yag meghubugka dar satu ke laya. Grah terhubug berbobot (G, A) terhubug kuat jka da haya jka bobot matrks A tak tereduks. Matrks Lalaca dar (G, A) ddefska sebaga berkut []: L = k a k a a k a a a k a a k a k dega c adalah kofaktor dar eleme dagoal ke- dar L da memeuh Defs.. Defs. Dasumska, da c = w(t) TεT, =,, (.) dega T adalah hmua semua oho embetag T dar (G, A) yag berakar ada smul, da w(t) adalah bobot dar T. Jka (G, A) terhubug kuat, maka c. Defs. Msal E = e j, F = f j adalah matrks tak egatf. E F jka e j f j utuk semua da j, da E > F jka E F da E F. Dasumska P. P. Jka E tak egatf, maka jarak sektral ρ E dar E adalah sebuah la ege, da E memlk sebuah vector ege tak egatf yag bersesuaa dega ρ E. Jka E tak egatf da tak tereduks, maka ρ E adalah la ege sederhaa, da E
memlk sebuah vektor ege ostf x yag bersesuaa dega ρ E. P3. Jka E F, maka ρ E ρ F. ela tu, jka E < F da E + F tak tereduks, maka ρ E < ρ F. P4. Jka E tak egatf da tak tereduks, da F adalah matrks dagoal da ostf, maka EF tak tereduks. dega ρ E adalah sebuah la ege. Jka λ adalah la ege dar E maka λ = ρ E []. Teorema. Dasumska. Msalka c dberka ada Defs. maka berlaku:,j= c a j F j (x, x j ) = w(q) Q Q (s,r) E(C Q ) F rs (x r, x s ) (.) F j x, x j,, j, adalah fugs sebarag, Q adalah hmua semua grah ucyclc embetag dar (G, A), w(q) adalah bobot dar Q, C Q meujukka cycle berarah d Q, E(C Q ) adalah hmua busur dar cycle berarah d Q. Teorema. Dasumska. Msalka c dberka ada Defs. maka berakbat:, c a j G (x ) = c a j G j (x j ), (.3) dmaa G x,, adalah fugs sebarag..3 stem Berasaga dar Persamaa Dferesal ada Jarga ebuah jarga dtamlka oleh grah G dega smul. stem berasaga dbagu dega meetuka damka smul teralya da kemuda meggabugka berdasarka busur berarah d G. Dasumska seta damka smul ddeskrska oleh sstem ersamaa dferesal [4], u = f t, u (.4) dmaa u R m da f : R R m R m. Msalka g j : R R m R m j R m meruaka egaruh dar smul j ada smul, da g j jka tdak terdaat busur dar j ke ada G. stem berasaga ada grah G dgambarka oleh ersamaa berkut, u = f t, u + g j t, u, u j (.5) Msalka V t, u adalah fugs Lyauov utuk seta sstem smul (.4), daat dkostruks sebuah fugs Lyauov utuk sstem berasaga (.5) yatu Teorema.3 V t, u = c V t, u Dasumska bahwa asums berkut tereuh (.6) ) Terdaat fugs V t, u, F j t, u, u j, da kostata a j sedemka hgga V t, u a j F j t, u, u j, t >, u D, =,,,. ) ektar seta cycle berarah C dar grah berarah berarah (G, A),, A = a j, (s,r) E(C) F rs t, u r, u s, t >, u r D r, u s D s. 3) Kostata c dberka dalam (.) maka V t, u utuk t > da u D, V adalah fugs Lyauov utuk (.5)..4 Model Edemk Mult Gru dega Laju Peulara Taklear ebuah model edemk mult gru =,,, dega laju eulara taklear dberka oleh : = Λ d β j f j (, j ) (.9) = β j f j (, j ) d + ε (.) = ε d + γ (.) Model tersebut meggambarka eyebara eyakt meular ada oulas yag heteroge, yag dbag mejad gru homoge. eta gru ke- selajutya dbag mejad, da, dega: : Poulas ada gru ke- yag reta terkea eyakt (uscetble) : Poulas ada gru ke- yag terjagkt eyakt da daat meularka eyakt teta belum meujukka adaya gejala eyakt awal (Exosed) : Poulas ada gru ke- yag megalam gejala (terfeks, meular da terdagoss) d : Laju kemata alam dar E d : Laju kemata alam dar d : Laju kemata alam dar Λ : Laju rekrutmet dar oulas ada gru ke- 3
β j : Peluag terjadya eulara slag datara gru tersah da j γ : Laju kesembuha dar dvdu yag terfeks ada gru ke- ε : Laju kubas ada gru ke- f j (, j ) : Fugs laju eulara slag datara gru da j Dberka asums dasar utuk fugs f j (, j ) adalah : (H ) < lm j + f j, j j = C j +, < ; (H ) f j, j C j j utuk j cuku kecl; (H 3 ) f j, j C j j utuk semua j > (H 4 ) C j < C j, < < Betuk dar f j, j yag memeuh (H ) (H 4 ) melut laju eulara umum seert f j, j = j, f j, j = j q j, da f j, j = j j q j +A j +B.5. Ttk etmbag da Kestablaya Utuk =,,,, adag ersamaa dferesal d dt = f (, E,,,, E, ) de dt = g (, E,,,, E, ) d dt =, E,,,, E, d dt =, E,,,, E, (.) ebuah ttk, E,,,, E, meruaka ttk setmbag dar ersamaa (.9) (.) jka memeuh f, E,,,, E, = g, E,,,, E, =, E,,,, E, = =, E,,,, E, = karea turuaya sama dega ol, maka t, E t E, t,, t adalah eyelesaa kesetmbaga dar ersamaa (.) utuk semua t. tabltas Lokal Kestabla suatu ttk setmbag juga daat derksa dar akar karakterstk (la ege λ) dega meyelesaka A λ = dega A adalah matrk dar sstem ersamaa dferesal (.) yag lear da berukura, meghaslka olomal dega derajat tertgg sama dega ukura matrk A yatu olomal yag memuya betuk umum fat stabltas ttk setmbag berdasarka tada baga real dbag mejad 3 yatu :. tabl Ttk etmbag dkataka stabl jka da haya jka akar karakterstk (la ege λ) adalah real da egatf atau memuya baga real tak ostf.. tabl Asmtots Ttk etmbag dkataka stabl asmtots jka da haya jka akar karakterstk (la ege λ) adalah real da egatf atau memuya baga real egatf. 3. Tdak stabl Ttk etmbag dkataka tdak stabl jka da haya jka la ege λ adalah real da ostf atau memuya alg sedkt satu a ege dega baga real ostf. Krtera kestabla Routh Hurwtz Krtera kestabla Routh Hurwtz adalah metode utuk meujukka kestabla sstem dega memerhatka koefse dar ersamaa karakterstk taa meghtug akarakar karakterstk secara lagsug. Jka dketahu ersamaa karakterstk dega orde ke-, yatu q. Kemuda susu koefse ersamaa karakterstk mejad Tabel. Tabel Routh Hurwtz a a a 4 a a 3 a 5 b b b 3 dega q b = a a a a 3 a, b = a a 4 a a 5 a, b 3 = a a 6 a a 7 a, c = b a 3 a b b, c = b a 5 b 3 a b Dega megguaka akar karakterstk, sstem dkataka stabl atau memuya baga real egatf jka da haya jka eleme ada kolom ertama memlk tada yag sama..6 Kestabla Global Kestabla global dar ttk setmbag daat dtetuka dega membagu fugs Lyauov. Fugs Lyauov V(x) meruaka hmua kurva tertutu yag megellg ttk setmbag tertetu, jka dambl sembarag ttk yag ada ada kurva tertutu maka ltasa ttk tersebut aka medekat ttk setmbag. q = a + a + a + + a = 4
METODOLOG. Medaatka ttk setmbag dar model edemk mult gru yatu ttk setmbag bebas eyakt da ttk setmbag edemk.. Medaatka blaga reroduks dasar, meetuka jes kestabla lokal da global ada ttk setmbag. 3. Megambl kasus khusus sebaga eeraa dar model edemk mult gru yatu dega megguaka =, setelah tu dcar blaga reroduks dasar, emat ttk setmbag, megaalss stabltas lokal, serta membuat smulas dega megguaka software Matlab. 4. Aalss Hasl kesmula da Pearka Kesmula V ANAL PEMBAHAAN 4.. Model Edemk Mult Gru Model edemk mult gru meruaka model edemk dega, j =,,,, yag memeuh (.9) 9.) atau dsebut juga model edemk -Gru. 4... Blaga Reroduks Dasar Utuk meetuka blaga reroduks dasar, aka dguaka metode Dressche da Watmough [] yag drumuska R = ρ F V V V dar ersamaa (.) da (.) serta meeraka asums H ddaatka F = β j C j ( ), V = dag d E + ε, V = dag ε, V = dag d + γ maka R = ρ msalka R = ρ M maka R = ρ dmaa matrks β j ε C j ( ) d E + ε d + γ β ε C ( ) β ε C ( ) d E + ε d + γ d E + ε d + γ β ε C ( ) β ε C ( ) d E + ε d + γ d E + ε d + γ β j ε C j ( ) d E +ε d +γ dsebut ext geerato matrx. Parameter R dsebut sebaga blaga reroduks dasar. Jka R eyakt aka hlag dar oulas sedagka jka R > eyakt mejad edemk. 4... Kestabla Lokal Ttk etmbag Bebas Peyakt Ttk setmbag P =,,,,,, dega = Λ d meujukka bahwa oulas fectous tdak ada, sehgga β j = E = = ε = γ =. Pada ttk setmbag P matrks Jacobaya adalah : J P = d E d d d E d d la ege dar J P deroleh dega det J P λ =, maka d λ d E λ d λ d λ d E λ d λ sehgga ddaatka la ege = λ = d, λ = d E, λ 3 = d, λ 4 = d, λ 5 = d E,, λ = d Karea la ege (λ, λ, λ 3,, λ ) berla egatf ada baga realya, maka ttk setmbag P bersfat stabl asmtots lokal. 4..3. Kestabla Global Ttk etmbag Bebas eyakt Msalka =,,, da =,,, maka M = M utuk, sehgga M M. Jka maka M < M. Karea L tak tereduks, daat dketahu bahwa M da M tak tereduks, selajutya M + M juga tak tereduks. Dega megguaka asums P3 ddaatka bahwa ρ M < ρ M jka. Jka R = ρ M da, maka ρ M < da M = haya memlk solus trval =. Jad P meruaka satu satuya ttk setmbag d Г jka R. Dega megguaka asums P, msalka ω,, ω adalah vektor ege dar M yag sesua dega ρ M, maka ω,, ω ρ M = ω,, ω M karea M tak tereduks, dketahu ω > utuk =,,,. ddefska 5
B =,j= ω ε d E + ε d E + ε d + γ Dega mesubsttuska (.) da (.) serta asums (H 3 ) deroleh : maka B = ω ε β j C j d + ε d + γ, B = ω,, ω M ω,, ω M = ω,, ω ρ M Jka R = ρ M < maka B = =, jka R =, maka B = meujukka bahwa ω,, ω M = ω,, ω (4.) jka maka ω,, ω M < ω,, ω M Maka B = = atau = dega R <, serta B = jka R =. Daat dsmulka bahwa P stabl asmtotk global d Г jka R. 4..4. Kestabla Global Ttk etmbag Edemk Dasumska B = β j tak tereduks, R > da f j, j memeuh H da f, >, (4.) f j, j f, f j, j. f j, j f, f j, j j,, j > j (4.3) Msalka, E,,,, E, Ѓ, da dlh sebuah fugs Lyauov V,, = f ξ, f, f ξ, + d E + ε ε l dξ + l elajutya fugs Lyauov dturuka terhada t deroleh V = f, + + d E + ε ε V = f, Λ d s β j f j, j β j f j, j d E + ε ε d + γ 6 d s + β j f j, j d s + + β j f j, j d s ε β j f j, j β j f j, j β j f j, j ε ε E = f, f, + β j f j, j (3 f, + f j, j f, f j, j f, f j, j f j, j E E ) (4.4) Msalka a j = β j f j, j, G = + l, da F j,,, j = 3 f, f, + f j, j f, f j, j f j, j f j, j E E karea β j tak tereduks, maka a j tak tereduks. Dasumska f j, j memeuh kods (4.), sehgga ersamaa (4.4) mejad V, a j F j,,, j (4.5) Utuk meujukka bahwa F j memeuh asums ada Teorema.3, dmsalka Φ a = a + l a, kemuda Φ a utuk a >, da Φ a = jka a =, selajutya F j = G G j j + φ f, +φ j f j, j j f j, j f, + f j, j f, f j, j f, + φ + φ f j, j f j, j j f j, j j f j, j f, F j G G j j + f j, j f, f j, j j f j, j f, j f j, j f, Dega kods (4.3) daat dtujukka bahwa V, F j, G, a j memeuh asums ada Teorema.3. ehgga fugs V = = c V,, meruaka fugs Lyauov utuk (.9) (.). Dar Teorema.3, ddaat V utuk semua, E,,,, E, Ѓ. Utuk meujukka P stabl asmtotk global, aka derksa hmua varat komak terbesar dmaa V =. Karea G, A terhubug kuat, maka c > utuk.
ehgga secara tdak lagsug V = meyataka bahwa = da F j,,, j = utuk a j >. Dar F j,,, j = da karea Φ a = jka a = ddaatka = = f j, j f j, j = j j (4.6) dega (, j) E C Q. Jka = utuk, kemuda F j = jka da haya jka = c da = c utuk =,,, dega c adalah blaga ostf sebarag. Dar ersamaa (4.6) daat dsmulka bahwa = = j j (4.7) Karea G terhubug kuat jelas bahwa seta busur (, j) d grah G meruaka cycle dar subgrah Q sehgga ersamaa (4.7) berlaku utuk seta busur (, j). Msalka da q meruaka smul berbeda ada G, maka terdaat sebuah ltasa dar ke q. Dega megalkaska ersamaa (4.7) utuk busur ada ltasa secara beruruta ddaatka E E = = q q = E q E q Maka V = jka da haya jka =, = c da = c utuk =,,,. Kemuda dega mesubsttuska ke dua ersamaa ertama ada (.9) (.) deroleh = Λ d d E + ε c (4.8) Ruas kaa ersamaa (4.8) meuru bergatug ada c. Dar ttk setmbag daat dketahu bahwa (4.8) berlaku jka da haya jka c =, yatu ada P. Hal meujukka bahwa hmua baga varat komak dar, E,,,, E, Ѓ V = adalah P, sehgga daat dsmulka P stabl asmtotk global ada Ѓ jka R >. 4.. Model Edemk Dua Gru Dberka, j =, da f j, j = j j q. Maka = Λ d β j j j q (4.7) E = β j j q j d E + ε E (4.8) = ε E d + γ (4.9) = Λ d β j j j q (4.) d E = β j j q j d E + ε E (4.) = ε E d + γ (4.) 4... Ttk etmbag Ttk setmbag dar model edemk dua gru dega laju eulara taklear yatu : a. Ttk etmbag Bebas Peyakt P =,,,,, dega = Λ d, = Λ d. b. Ttk etmbag Edemk P =, E,,, E, c. Ttk etmbag P =,,,, E, dmaa Gru Pertama Bebas Peyakt da Gru Kedua Terjad Edemk. d. Ttk etmbag P =, E,,,, dmaa Gru Pertama Terjad Edemk da Gru Kedua Bebas Peyakt 4... Blaga Reroduks Dasar Dar embahasa ada baga 4.. da dar asums awal daat dketahu bahwa R = ρ β ε q d E + ε d + γ β ε q d E + ε d + γ β ε q d E + ε d + γ β ε q d E + ε d + γ Utuk medaatka R, aka dcar akar terbesar dar matrks M dega megguaka ersamaa det M λ =, ddaatka R = + q β ε q d E + ε d + γ + β ε d E + ε d + γ β ε q d E + ε d + γ β ε q d E + ε d + 4 β ε q β ε q + γ d E + ε d + γ d E + ε d + γ 4..3. Kestabla Lokal Matrks Jacoba dar (4.7) (4.) adalah : β j j j q q β j j j q q β q β q d E + ε β q β q ε d + γ β q d β j j q j q β q β q βj j j q q d E + ε β q ε d + γ a. Kestabla Lokal Ttk etmbag P Pada ttk setmbag β j = β j = ε = ε = γ = γ =. Matrks Jacobaya adalah : J P = ddaatka la ege d E d d d E d d 7
λ = d, λ = d E, λ 3 = d, λ 4 = d, λ 5 = d E, λ 6 = d Karea la ege (λ, λ, λ 3, λ 4, λ 5, λ 6 ) berla egatf ada baga realya, maka ttk setmbag P bersfat stabl asmtots lokal. b. Kestabla Lokal d Ttk etmbag P dega : a = d b = Matrks Jacoba utuk P adalah : J = c = d E + ε a b d k b c d k ε f g l g j l ε m β j j j q q d = β q f = d + γ g = β q = d = j = d E + ε β j j j q q k = β q l = β q m = d + γ Utuk medaatka la ege aka dlakuka oeras bars elemeter, ddaatka J = dega b a d + a a a k + a c + a d a a a M a a a N a l g fc + a f ε ε P l fc + a f ε g ε Q M = fc + a f ε ε ( + ) N = g P = j ( + ) g fc + a f ε ε a fc + a f ε ε a a Q = m j( + ) fc + a f ε + jagε + agε ε gε l fc + a f ε + a g ε la ege deroleh dar det J P λ =. Karea J P meruaka matrks segtga atas, maka la ege ada ada dagoal utama. Agar sstem stabl, maka la real dar λ harus egatf. Dar λ telah daat dastka bahwa λ <. elajutya aka dberka syarat agar λ, λ 3, λ 4, λ 5, λ 6 <, yatu :. d < d E + ε. d + γ d E + ε d ε d < + a + a 3. d + β j j q j q λ 3 d β q < 4. d E + ε λ 4 d d < 5. d + γ β q λ 5 + ε β q λ 3 d ε β q < Daat dsmulka bahwa ttk setmbag P stabl asmtots lokal jka syarat tereuh. c. Kestabla Lokal Ttk etmbag P Pada ttk setmbag β = β = β = ε = γ =. ehgga ddaatka R = β ε q d E + ε d + γ da matrks jacoba dar P adalah : d E d d d β q q β q β q q d E + ε β q ε d + γ Daat dketahu d, d E, d + γ meruaka la ege dar J P sedagka 3 la ege berkutya deroleh megguaka krtera kestabla Routh-Hurwtz, yag kemuda meghaslka syarat R > agar P stabl. d. Kestabla Lokal Ttk etmbag P Pada ttk setmbag β = β = β = ε =, da = Λ d. ehgga R = β ε q d E + ε d + γ da matrks jacoba dar P adalah : d β q q β q q β q d E + ε β q ε d + γ d E d d γ Matrks J(P ) smlar dega matrks J(P ), dega cara yag sama deroleh hasl yatu P stabl asmtotk lokal utuk R >. 4.3. mulas Model Edemk Dua Gru Utuk R Dega megambl arameter Gru Pertama Gru Kedua Nla Awal Laju Peulara Λ =. d =.9 d E =. d =.5 ε =.3 γ =.3 Λ =. d =.7 d E =.7 d =. ε =. γ =. = 5 E = = 4 = E = = 3 β =. β =. β =. β =. serta koefse =, q =, =, q = deroleh la R =.95 <. Grafk laju erubaha utuk kasus adalah : 8
Gambar 4.. Grafk Laju Perubaha Model Edemk Dua Gru dega R Laju Perubaha ada Poulas uscetble Pada awal laju erubaha oulas suscetble kedua gru megalam eurua karea adaya dvdu awal yag terfeks serta laju eulara yag kecl, amu kemuda kurva megalam egkata, kemuda stabl ketka jumlah oulas sektar utuk gru ertama da sektar 4 utuk gru kedua. meujukka bahwa dalam keadaa bebas eyakt, jumlah dvdu reta bertambah. Laju Perubaha ada Poulas Exosed Pada awal laju erubaha oulas exosed kedua gru megalam egkata dsebabka karea adaya laju eulara serta adaya dvdu awal yag terfeks, sehgga beberaa dvdu ada oulas suscetble masuk kedalam oulas exosed. etelah tu laju erubaha megalam eurua kemuda kosta meuju ol, meujukka bahwa sstem dalam kods bebas eyakt. Laju Perubaha Poulas fectous Laju erubaha oulas fectous ada kedua gru megalam eurua kemuda kosta meuju ke ol, sehgga daat dsmulka eyakt telah hlag dar oulas. Utuk R > Dega megambl arameter Gru Pertama Gru Kedua Nla Awal Laju Peulara Λ =. d =.3 d E =.4 d =.5 ε =. γ =. Λ =. d =. d E =. d =. ε =. γ =. = 3 E = = 8 = E = = 6 β =.5 β =. β =. β =. serta koefse =, q =, =, q = deroleh la R = 9.6 >. Grafk laju erubaha utuk kasus adalah : Gambar 4.. Grafk Laju Perubaha Model Edemk Dua Gru dega R > Laju Perubaha ada Poulas uscetble Laju erubaha oulas suscetble megalam eurua ada kedua gru dkareaka dalam kods terjad eyebara eyakt atau edemk, sehgga bayak oulas suscetble yag tertular eyakt da masuk kedalam oulas exosed. etelah tu, laju erubaha megalam sedkt keaka dsebabka oleh adaya laju rekrutme yag cuku besar. Laju Perubaha ada Poulas Exosed Laju erubaha oulas exosed megalam keaka ada kedua gru. dakbatka oleh adaya laju eulara eyakt yag cuku besar, sehgga bayak dvdu yag masuk dalam oulas exosed. Kemuda kurva laju erubaha megalam eurua dsebabka dvdu exosed k telah meamakka gejala eyakt meular, sehgga dvdu ada oulas exosed masuk kedalam oulas fectous da kemuda stabl d sektar 8 utuk gru ertama da dsektar 4 utuk gru kedua. dakbatka tdak ada eambaha dar dvdu suscetble yag terfeks. Laju Perubaha Poulas fectous Laju erubaha oulas fectous ada kedua gru megalam keaka karea ada oulas d kedua gru tersebut terjad edemk. Keaka laju erubaha ada oulas fectous bergatug ada bayakya dvdu ada oulas exosed yag telah membulka gejala awal eyakt meular. Kemuda kurva laju erubaha oulas fectous megalam eurua da stabl karea tdak ada eambaha dar dvdu exosed yag telah meamakka gejala eyakt. 9
V KEMPULAN DAN ARAN.. Kesmula Pada model edemk mult gru :. Ddaatka ttk setmbag bebas eyakt P =,,,,,, dega = Λ d, =,,, da ttk setmbag edemk P =, E,,,, E, yag memeuh ersamaa Λ = d + β j f j (, j ) d E + ε = β j f j, j ε E = d + γ. Ddaatka blaga reroduks dasar β ε C ( ) β ε C ( ) d E + ε d + γ d E + ε d + γ R = ρ β ε C ( ) β ε C ( ) d E + ε d + γ d E + ε d + γ dmaa ρ meyataka jarak sektral da matrks β j ε C j ( ) d E +ε d +γ dsebut ext geerato matrx. 3. Ddaatka aalss stabltas dega megasumska B = (β j ) tak tereduks da f j, j memeh (H ), maka : a. Jka R maka P stabl asmtotk lokal. b. Jka R maka P stabl asmtotk global. c. Jka R > maka P stabl asmtotk global. Pada model edemk dua gru :. Ddaatka emat ttk setmbag, yatu ttk setmbag bebas eyakt P =,,,,, ; ttk setmbag edemk P =, E,,, E, ; ttk setmbag dmaa ada gru ertama bebas eyakt da ada gru kedua terjad edemk P =,,,, E, ; ttk setmbag dmaa ada gru ertama terjad edemk da ada gru kedua bebas eyakt P =,,,, E,.. Ddaatka blaga reroduks dasar R = + q β ε q d E + ε d + γ + β ε d E + ε d + γ β ε q d E + ε d + γ β ε q d E + ε d + 4 β ε q β ε q + γ d E + ε d + γ d E + ε d + γ 3. Ddaatka aalss stabltas lokal sebaga berkut : a. Jka R maka P stabl asmtotk lokal. b. Jka R > maka P stabl asmtotk lokal. c. Jka R > maka P stabl asmtotk lokal dega R = β ε q d E +ε d +γ d. Jka R > maka P stabl asmtotk lokal dega R = β ε q d E +ε d +γ 5.. ara Pada embahasa Tugas Akhr telah djelaska aalss stabltas ada model edemk mult gru dega laju eulara taklear secara umum. Perlu dkembagka lag eeraa dar model edemk mult gru ada suatu kasus khusus utuk eelta selajutya. DAFTAR PUTAKA [] Berma, A., Plemmos, R. J. 979. Noegatve Matrces the Mathematcal cece. New York : Academc Press. [] Budayasa, K. 7. Teor Grah da Alkasya. urabaya : Uesa Uversty Press. [3] Fzo N., Ladas G. 988. Ordary Dfferetal Equatos wth Moder Alcatos. Calfora : Wadsworth Publshg Comay Belmot. [4] L, M. Y., hua, Z. Global-stablty for Couled ystems of Dfferetal Equato o Network. J. Dfferetal Equato 48 () -. [5] Rahmala, D.. Pemodela Matematka da Aalss tabltas dar Peyebara Peyakt Flu Burug. Tugas Akhr Jurusa Matematka T urabaya. [6] ar, A.N.. Aalss tabltas dar Model Peyebara Peyakt Meular Melalu Trasortas Atar Dua Wlayah (Kota). Tugas Akhr Jurusa Matematka T urabaya. [7] Wggs,. 99. troducto to Aled Nolear Dyamcal ystems ad Chaos. New York : lger-verlag.