BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar merupakan salah satu bagian dalam matematika yang mencakup berbagai materi yang dipelajari baik pada tingkat sekolah dasar sampai pada tingkat perguruan tinggi. Pembelajaran aljabar sangat bermanfaat bagi siswa, khususnya untuk mempelajari dan memahami materi matematika yang lain maupun konsep aljabar di jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Analisa lebih lanjut mengenai konsep aljabar diperlukan untuk mengembangkan pemahaman yang jelas tentang apa faktor yang dapat membantu siswa untuk menjadi sukses dalam belajar aljabar dan bagaimana sekolah dan sistem lain dapat membantu dalam mencapai kesuksesan dalam belajar aljabar. Banyaknya masalah-masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dipecahkan secara sederhana dalam bahasa simbol dalam aljabar membuatnya penting untuk dipelajari. Salah satu materi yang menjadi dasar matematika di sekolah adalah bilangan. Berdasarkan kurikulum tingkat satuan pembelajaran dan kurikulum 2013 tersirat secara ekplisit standar kompetensi dan kompetensi dasar yang akan dicapai salah satunya yakni memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan penggunaannya dalam pemecahan masalah, yang didalamnya ada bahasan materi mengenai KPK dan FPB. Pemahaman yang baik tentang konsep bilangan akan sangat membantu dalam memahami konsep-konsep yang lain, seperti pada materi lcm (Least Common Multiple) atau KPK, dan gcd (Greatest Common Divisor) atau FPB yang merupakan materi yang diajarkan dari tingkat sekolah dasar sampai menengah pertama. Konsep-konsep ini banyak digunakan untuk memahami konsep matematika di jenjang menengah atas yaitu pada konsep teorema sisa. Konsep faktor, kelipatan, kelipatan persekutuan terkecil dan faktor persekutuan terbesar di sekolah dasar dan menengah pertama seringkali disajikan sangat mendasar namun tidak secara keseluruhan. Sebagai contoh untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil 1
2 dan faktor persekutuan terbesar yang cenderung menggunakan salah satu cara, yaitu konsep pohon faktor (faktorisasi prima). Sementara itu, munculnya konsep ini tidak dikaji secara keseluruhan (utuh) ataupun melupakan materi prasyarat konsep bilangan prima sehingga metode untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil dan faktor persekutuan terbesar kadangkala sulit untuk dikembangkan dan selalu monoton yang hanya mengikuti cara-cara yang lazim pada buku cetak. Padahal, masih ada konsep yang lain untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil dan faktor persekutuan terbesar yaitu dengan menggunakan algoritma Euclidean. Dalam matematika algoritma Euclidean juga disebut algoritma pembagian yakni suatu algoritma untuk menentukan sisa pembagian suatu bilangan oleh bilangan tak nol. Algoritma Euclid dilaksanakan secara bertahap, di mana hasil yang didapat dari suatu tahap akan digunakan lagi pada tahapan selanjutnya. Algoritma ini dinamai setelah matematikawan Yunani Euclides menuliskan dalam buku VII dan buku X element euclides. Algoritma euclides muncul dalam buku elemen euclides sekitar tahun 300 SM, menjadikannya salah satu algoritma numerik yang tertua dan masih digunakan secara luas. Algoritma euclid pada dasarnya merupakan suatu algoritma yang digunakan untuk mencari Greatest Common Divisor (gcd) atau biasa dikenal dengan faktor persekutuan terbesar (fpb) dari dua bilangan, khususnya untuk bilanganbilangan yang sangat besar sehingga tidak perlu mencari faktorisasi prima dari kedua bilangan tersebut. Algoritma Euclidean adalah algoritma yang dilaksanakan secara bertahap untuk mencari FPB dari dua bilangan bulat m dan n. Dalam pembelajaran matematika, guru tentunya memiliki peran yang sangat penting. Guru harus memiliki wawasan yang luas dalam bidang matematika sehingga mampu melaksanakan pembelajaran yang lebih baik dan lebih mudah dipahami oleh siswa. Guru harus jauh lebih luas pengetahuannya dari apa yang diajarkan supaya luas wawasannya. Berdasarkan latar belakang tersebut maka perlu dilakukan suatu pembahasan lebih lanjut terkait dengan algoritma euclid untuk meningkatkan wawasan guru matematika. Oleh karena
3 itu dipilih tema Dari daerah Euclid ke Ring Euclid (untuk pengayaan pengetahuan guru dalam pembelajaran matematika). 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang tersebut di atas, maka rumusan masalah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Sifat-sifat apa saja dalam daerah Euclid yang bisa dibawa ke ring Euclid? 2. Bagaimanakah aplikasi menentukan algoritma Euclid dalam pembelajaran? 1.3 Tujuan Penelitian Sesuai dengan latar belakang dan rumusan masalah maka tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Untuk melihat sifat-sifat apa saja dalam daerah Euclid yang bisa dibawa ke ring Euclid. 2. Untuk mengetahui aplikasi menentukan algoritma Euclid dalam pembelajaran. 1.4 Manfaat Penelitian Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini dijelaskan sebagaimana berikut. 1. Memberikan kontribusi terhadap pembelajaran matematika terkait dengan cara penyelesaian soal-soal terkait algoritma euclid. 2. Memberikan alternatif yang dapat digunakan dalam pembelajaran terkait dengan algoritma euclid. 3. Menjadi referensi dan pengayaan pengetahuan guru dalam pembelajaran matematika khususnya yang berkaitan dengan algoritma euclid. 1.5 Tinjauan Pustaka Pada penelitian ini merujuk pada beberapa buku sebagai acuan dan jurnal ilmiah. Buku-buku yang menjadi rujukan bagi penulis dalam definisi, asumsi-asumsi, sifat-sifat, teorema dari algoritma Euclid yang digunakan
4 antara lain karya Fraleigh (1993) membahas tentang daerah faktorisasi tunggal, daerah ideal utama, daerah Euclid dan algoritma Euclid, dan bilangan bulat Gaussian. Judson (2010) membahas tentang daerah integral, faktorisasi dalam daerah integral, daerah ideal utama, daerah faktorisasi tunggal serta daerah Euclid. Adkins, dkk (1992) membahas tentang daerah Euclid, algoritma Euclid, daerah ideal utama serta daerah faktorisasi tunggal. Geddes, dkk(1992) membahas tentang algoritma computer aljabar, greatest commom divisor, daerah faktorisasi tunggal serta perhitungan greatest common divisor. Paulsen (2010) membahas tentang bilangan kompleks, daerah faktorisasi tunggal, daerah ideal utama dan daerah Euclid. Burton (2007) membahas tentang algorima pembagian, greatest common divisor dan algoritma Euclid. Buku-buku lain yang digunakan sebagai pendukung dan sebagai pengayaan bagi penulis dalam memahami algoritma euclid adalah karya Gilbert, dkk (1976) membahas tentang ring Euclid, algoritma Euclid dan faktorisasi tunggal. Cohen (1993) membahas tentang algoritma, algoritma Euclid, Euclid dan Lehmer s algoritma dan extended Euclid algoritma. Hungerford (2004) membahas tentang algoritma pembagian, keprimaan dan faktorisasi tunggal. Spiegel (1981) membahas tentang bilangan komplek. Stewart (2002) membahas tentang faktorisasi tak tereduksi, faktorisasi prima dan daerah Euclid. Stillwell (2002) membahas tentang bilangan bulat Gaussian, algoritma Euclid dan gcd dengan pembagian yang bersisa. Rossen (2005) membahas tentang bilangan prima, greatest common divisor, algoritma euclid, bilangan bulat gausian dan faktorisasi tunggal. Serge (1987) dan Mordeson (2007) membahas tentang daerah euclid, algoritma euclid, greatest common divisor, faktorisasi tunggal, prima dan elemen tak tereduksi. Wicklles (2004) dan Irving (2004) membahas tentang faktorisasi prima, greatest common divisor revisit, algoritma Euclid, daerah ideal utama, daerah faktorisasi tunggal, ring Euclid dan ring dari bilangan bulat Gaussian. Selain menggunakan buku, penulis juga mengkaji kembali beberapa jurnal ilmiah. Diantaranya yaitu jurnal yang ditulis oleh Alhassan (2014) dengan judul On Some Algebraic properties of the Euclidean Algorithms with
5 Application to Real Life. Penelitian ini membahas tentang algoritma, extended dari algoritma, perhitungan Greatest Common Divisor (gcd) serta sifat aljabar dan aplikasinya dalam aljabar dan kriptografi, dan bagaimana algoritma euclidean dapat diterapkan dalam perdagangan yaitu memaksimalkan keuntungan. Kemudian jurnal yang ditulis oleh Pierre Samuel (1971) dengan judul About Euclidean Rings. Penelitian ini membahas tetang ring Euclid, sifat elementer dari ring Euclid, contoh ring Euclid (sifat stabilitas), dan algoritma terkecil. 1.6 Metode Penelitian Penelitian merupakan usaha penyelidikan yang sistematis dan terorganisir dengan menggunakan metode ilmiah serta aturan yang berlaku. Untuk mencapai tujuannya, maka suatu penelitian harus menggunakan metode-metode ilmiah yang diatur dengan baik tersebut. Metodologi penelitian berisi pengetahuan yang mengkaji ketentuan mengenai metodemetode yang dapat digunakan dalam penelitian. Dengan demikian, setiap penelitian harus didasarkan pada kerangka tertentu dalam pelaksanaannya, sehingga penelitian dapat dilakukan secara terarah dan mencapai tujuan yang telah ditentukan. Jenis penelitian ini adalah penelitian kepustakaan (library research). Studi pustaka adalah suatu pembahasan yang berdasarkan pada buku-buku referensi yang bertujuan untuk memperkuat materi pembahasan maupun sebagai dasar untuk menggunakan rumus-rumus tertentu dalam menganalisa dan mendesain suatu struktur. Studi pustaka digunakan untuk memecahkan masalah yang ada, baik untuk menganalisa faktor-faktor dan data pendukung maupun untuk mengembangkan aplikasi algoritma euclid. Berdasarkan konsep yang telah dikumpulkan, dilakukan proses analisis dengan cara menghubungkan satu atau beberapa konsep dengan kaidah matematika yang benar. Kemudian merumuskan suatu konsep yang diperoleh dari hubungan tersebut sesuai dengan bahan atau materi penelitian terkait dengan algoritma
6 Euclid dan ring Euclid. Analisis yang dilakukan peneliti dalam penelitian ini adalah menggunakan pendekatan analisis deskriptif. 1.7 Sistematika Penulisan Pada penulisan Tesis ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut: BAB I : Pendahuluan Bab ini berisikan latar belakang penelitian, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II : Landasan Teori Pada bab ini peneliti membahas tentang ring dan beberapa ring khusus diantaranya yakni daerah integral, daerah ideal utama, daerah faktorisasi tunggal, daerah eucid dan faktor persekutuan terbesar. BAB III : Ring Euclid dan Sifat-Sifatnya Bab ini membahas tentang ring Euclid, sifat-sifat ring Euclid, algoritma Euclid dalam menentukan gcd serta ring polinomial. BAB IV : Contoh kasus : Penerapan Algoritma Euclid dalam Penentuan gcd dalam pembelajaran Matematika Bab ini membahas tentang beberapa contoh kasus penerapan algoritma Euclid dalam menetukan faktor persekeutan terbesar atau gcd. BAB V : Penutup Bab ini berisi kesimpulan dari keseluruhan pembahasan dan saran tentang hal-hal yang dapat dikaji lebih jauh mengenai topik dalam penelitian ini.