0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1
0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4
0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. Q : a q, a, b Z, b 0 b R Q Irasional Contoh Bil Irasional,, 6
0/08/015 Garis bilangan Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real) - 0 1 Selang Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang 7 Sifat sifat bilangan real Komutatif (pertukaran), hanya untuk penjumlahan dan perkalian + y = y + dan y = y Asosiatif (pengelompokan), hanya untuk penjumlahan dan perkalian ( + y) + z = + (y + z) dan ( y ) z = (y z) Distributif, perkalian terhadap penjumlahan ( + y) z = z + y z Unsur identitas Terhadap operasi jumlah yaitu + 0 Terhadap operasi kali yaitu 1 sehingga 1 = Invers Terhadap penjumlahan yaitu sehingga + (-) = 0 Terhadap perkalian yaitu 1/ sehingga 1/ = 1 8 4
0/08/015 Sifat sifat bilangan real Sifat-sifat urutan : Trikotomi Jika dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari < y atau > y atau = y Ketransitifan Jika < y dan y < z maka < z Penambahan < y + z < y + z Perkalian Misalkan z bilangan positif dan < y maka z < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka z > yz 9 Selang Jenis-jenis selang Himpunan a a, a a a b b selang, a a, b a, b Grafik a a a a b b b b, b b,, b b 10 5
0/08/015 Sistem Bilangan Real Himpunan bilangan real dengan semua operasi dan sifat-sifat yang berlaku di dalamnya dinamakan sistem bilangan real Penulisan himpunan dalam bentuk interval/selang: disebut selang tutup disebut selang buka keduanya disebut selang setengah buka / setengah tutup keduanya disebut selang tak terbatas 11 Supremum Infimum a. Definisi unsur maksimum dan unsur minimum b. Definisi batas atas dan batas bawah c. Definisi supremum infimum 1 6
0/08/015 Supremum Infimum Supremum bisa juga disebut batas atas terkecil Infimum bisa juga disebut batas bawah terbesar 1 Pertidaksamaan Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan : A B D E dengan A(), B(), D(), E() adalah suku banyak (polinom) dan B() 0, E() 0 14 7
0/08/015 Pertidaksamaan Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan (HP) Cara menentukan HP : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P( ) 0, dengan cara : Q( ) 15 Pertidaksamaan Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P() dan Q() diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul 16 8
0/08/015 Contoh : Tentukan Himpunan 1 1 5 1 5 16 8 8 4 4 8 Hp = 4,8 4 8 17 Contoh : Tentukan Himpunan 6 4 8 8 4 8 4 4 8 1 Hp 1, 1 18 9
0/08/015 Contoh : Tentukan Himpunan 5 0 1 0 Titik Pemecah (TP) : 1 dan 19 Hp = ++ -- ++ 1 1, Contoh : Tentukan Himpunan 4 4 6 7 6 4 6 7 dan 6 7 6 7 6 4 dan 7 6 6 9 10 dan 10 0 10 9 dan 10 0 10 9 dan 0 0 10
0/08/015 Hp = 10, 0, 9 1 0 10 9 Dari gambar tersebut dapat disimpulkan : Hp = 10 0, 9 5. Contoh : Tentukan Himpunan 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 TP : -1, 1, 0 0 -- -1 ++ -- ++ 1 Hp = 1, 1, 11
0/08/015 6. Contoh : Tentukan Himpunan 1 1 0 1 0 0 Untuk pembilang mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP :,- Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah. Hp = -- ++ -- -,, 4 1
0/08/015 Pertidaksamaan nilai mutlak Nilai mutlak ( ) didefinisikan sebagai jarak dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak :,, 0 0 5 Pertidaksamaan nilai mutlak Sifat-sifat nilai mutlak: 1 4 5 a, a 0 a a a, a 0 a atau a y y y y 6. Ketaksamaan segitiga y y y y 6 1
0/08/015 Contoh : 1. 5 Kita bisa menggunakan sifat ke-. 5 5 5 8 1 4 Hp = 1,4 1 4 7. 5 Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif. 5 9 4 0 16 0 4 0 5 9 ++ 10 8 0 4 0 Hp = 1,4 TP : 1, 4 -- 1 4 ++ 8 14
0/08/015 9. 4 5 Kita bisa menggunakan sifat 4 4 5 4 1 9 16 40 5 1 8 16 0 7 4 0 4 1 0 4 TP :, -1 Jika digambar pada garis bilangan : ++ 4 4 -- -1 ++ Hp =,, 1 0 15
0/08/015 4. 7 7 atau 7 5 atau 9 10 atau 18 Hp = 10,, 18 1-18 -10 5. 1 Kita definisikan dahulu : 1 1 1 1 1 Jadi kita mempunyai interval : I II III,1 1,, -1 16
0/08/015 1,1 1 I. Untuk interval atau 1 6 1 7 9 9 9 atau 9, Jadi Hp1 = 9,, 1-1 9 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah,1 sehingga Hp1 =,1 4 17
0/08/015 II. Untuk interval 1 atau 1, 5 1 1 6 1 5 4 4 7 4 7 7 7 atau, 4 4 7 4 Jadi Hp =, 1, -1 7 4 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 7 1, 7 4 sehingga Hp = 1, 4 6 18
0/08/015 III. Untuk interval 1 1 6 1 7 5 5 atau atau, 5, 7 5 Jadi Hp =,, 5 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5 sehingga, Hp = 5, 8 19
0/08/015 Hp = Hp1 Hp Hp 7 5 Hp, 4, 1 1, Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan 9-1 7 4 5-1 7 5 4-1 7 4 5 Jadi Hp = 7 5,, 4 40 0
0/08/015 Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1 1 4 1 4 5 6 1 4 5 41 1