Telkom University
Alamanda
JENIS JENIS FUNGSI1
JENIS JENIS FUNGSI 2 Jenis Fungsi Gambar 1. FUNGSI POLINOM mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n 2. FUNGSI LINEAR Pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu y = a 0 + a 1 x, a 0 = konstanta ; a 1 0
JENIS JENIS FUNGSI 3 Jenis Fungsi Gambar 3. FUNGSI KUADRAT Disebut fungsi berderajat dua y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2, a 0 = konstanta, a1 dan a 2 = koefisien, a 2 0 4. FUNGSI KUBIK y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a 2 x 3
JENIS JENIS FUNGSI 4 Jenis Fungsi Gambar 5. FUNGSI EKSPONENSIAL Variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol y = n x, n > 0 6. FUNGSI LOGARITMIK Kebalikan eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik y = n log x 7. FUNGSI TRIGONOMETRIK DAN HIPERBOLIK Variabel bebasnya merupakan bilangan bilangan goneometrik. Contoh persamaan hiperbolik : y = arc cos 2 x
Tujuan Matematika Ekonomi Matematikawan Matematika sebagai tools dalam mengambil keputusan bisnis
Fungsi Matematika (1) Model matematika dalam masalah Ekonomi dan Bisnis Fungsi adalah hubungan antara variabel tidak bebas (dependent variable) dan variabel bebas (independent variable) Contoh : Variabel harga dan jumlah Variabel konsumsi dan pendapatan
Fungsi Matematika (2) Notasi fungsi: Misal y variabel tidak bebas dan x variabel bebas Setiap nilai y tergantung dari besarnya nilai x yang ditetapkan Definisi fungsi: setiap nilai x tertentu memiliki hubungan dengan satu dan hanya satu nilai y Hubungan fungsional tersebut ditulis, y=f(x) Jenis fungsi: Fungsi dengan satu variabel bebas, y=f(x)=a 0 +a 1 x Fungsi dengan dua atau lebih variabel bebas, y=f(x 1,x 2,...,x n )=a 1 x 1 +...+a n x n
Fungsi Linier Permasalahan dalam Ekonomi dan Bisnis sering kali disederhanakan menjadi model-model yang bersifat linier Secara umum, fungsi linier ditulis dalam bentuk Ax + By + C = 0 Contoh: 5x + 3y -12 = 0 x + y 6 = 0 5x - 0.5y +2 = 0
Contoh Grafik Fungsi Linier 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 y = x + 0.5 1 2 3 4
Gradient dan Intercept Ax + By + C = 0 By = -Ax + -C y = (-A/B)x + (-C/B) y = ax + b b = -A/B adalah gradient / slope / kemiringan a = -C/B adalah intercept atau titik potong dengan sumbu y y=0 adalah absis atau titik potong dengan sumbu x Contoh soal: 5x + 3y -12 = 0
Soal Latihan 1 Tentukan gradient dan titik potong dari fungsi linier di bawah ini: a. x + y 6 = 0 b. 5x - 0.5y +2 = 0 c. -3x + 2y +8 = 0 d. x + y 10 = 0 e. 4x - 3y -25 = 0
Grafik Fungsi Linier A. Langkah menggambar grafik fungsi linier 1. Model fungsi linier 2. Titik potong dengan sumbu x dan y B. Tipe soal: a) Menggambar grafik fungsi jika diketahui dua buah titik, yaitu (x1, y1) dan (x2, y2). b) Menggambar grafik fungsi jika diketahui satu buah titik, yaitu (x1, y1), dan kemiringan m.
Fungsi Linear (2) Rumus persamaan garis linear yang melalui 2 titik y y 2 y 1 y 1 Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,5) dan (4,9). x x 2 x 1 x 1 16
Fungsi Linear (3) Rumus persamaan garis linear yang diketahui slope atau kemiringannya y y b( x 1) 1 x Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan kemiringannya 0,5. 17
Contoh Soal Grafik Fungsi Linier a) Jika diketahui A(3,7) dan B(12,6), maka tentukan persamaan garis dan grafik fungsi liniernya! b) Jika diketahui m=2/3 dan titik koordinat A(5,6), maka tentukan bentuk persamaan garis dan grafik fungsinya!
Soal Latihan 2 1. Diketahui titik-titik koordinat seperti berikut: a. A(3,4) dan B(-3,-4) b. A(12,4) dan B(-5,7) c. A(1/2,-3/4) dan B(-3,-5) d. A(4,3) dan B(-3,2) Tentukan persamaan garis, gradien, dan grafik fungsinya! 2. Jika diketahui a. m=1/2 dan titik A(3,-4) b. m=-2/3 dan titik A(2,5) c. m=-2/3 dan titik A(-6,-2) Tentukan persamaan garis dan grafik fungsinya!
Bentuk Umum Bentuk umum fungsi kuadrat dimana variabel bergantung variabel bebas konstanta (a 0)
Grafik Fungsi (1)
Grafik Fungsi (2) Titik potong dengan sumbu y pada saat x=0 Nilai diskriminan Koordinat titik puncak Titik potong dengan sumbu x
Catatan Nilai parameter a Jika a positif maka kurva terbuka ke atas Jika a negatif maka kurva terbuka ke bawah Nilai diskriminan D D>0 memotong sumbu x pada dua titik D=0 menyinggung sumbu x D<0 tidak dapat digambar pada garis bilangan real
Contoh Soal Misal Tentukan koordinat titik puncak dan grafik fungsi tsb!
Soal Latihan 3 Tentukan koordinat titik potong dan grafik fungsi berikut: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
PENCARIAN AKAR- AKAR PERSAMAAN LINEAR Pencarian besarnya harga bilangan- bilangan anu dari beberapa persamaan linear, dengan kata lain penylesaian persamaan- persamaan linear secara serempak (simultaneously), dapat dilakukan melalui tiga macam cara : cara substitusi cara eliminasi cara determinan
Cara Substitusi Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan untuk salah satu bilangan anu, kemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan yang lain. Contoh : Carilah nilai variable- variable x dan y dari dua persamaan berikut: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 untuk variabel x, diperoleh x = 23-4y 2x + 3y = 21 2(23 4y) + 3y = 21 46 8y + 3y = 21 46 5y = 21, 25 = 5y, y = 5
Cara Eliminasi Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat diselesaikan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan anu yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan anu yang lain. 2x 3y 21 1 2x 3y 21 x 4y 23 2 2x 8y 46-5y 25, y 5
Cara Determinan Cara determinan bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang jumlahnya banyak. Determinan secara umum dilambangkan dengan notasi determinan derajad 2 a d b e ae - db determinan derajad 3 a b c d e f aei bfg chd gec dbi afh g h i
Ada 2 persamaan : ax + by = c dx + ey = f Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan : c b x Dx D f a e b ce ae fb db d a e c Determina n y Dy D d a f b af ae dc db d e
Contoh : 2x + 3y = 21 dx + 4y = 23 Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan : 21 3 x Dx D 23 2 4 3 15 5 3 1 4 2 21 y Dy D 1 2 23 3 25 5 5 1 4