F U N G S I. A. Variabel

Transkripsi

1 F U N G S I Pemahaman akan konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari disiplin ilmu ekonomi, mengingat telaah-telaah ekonomi banyak dinyatakan dengan matematika dan biasanya dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi. Misalnya : fungsi permintaan, fungsi penawaran, fungsi produksi, fungsi konsumsi dan lain sebagainya. Yang dimaksud dengan fungsi adalah bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Apabila dilihat banyak sedikitnya variabel maka fungsi itu dapat dinyatakan dalam beberapa kemungkinan yaitu : y = f (x) apabila fungsi hanya mempunyai dua variabel : x dan y saja y = f (x 1 ;x 2 ) apabila fungsi mempunyai tiga variabel : x 1, x 2 dan y y = f (x 1 ;x 2...x n ) apabila fungsi mempunyai banyak variabel Kalau kita membicarakan masalah fungsi maka paling tidak ada tiga macam unsur yang perlu diketahui, yaitu : variabel, bilangan konstan dan koefisien. A. Variabel Yang dimaksud dengan variabel adalah suatu besaran yang sifatnya tidak tetap dan masing-masing variabel biasanya saling mempengaruhi. Variabel juga dapat diartikan sebagai konsep yang dapat diamati dan diukur, misalnya : motivasi, prestasi belajar, sikap dan sebagainya. Tanda atau notasi dari variabel biasanya dituliskan dengan : x, y dan z. Pada dasarnya variabel dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu : variabel kuantitatif dan variabel kualitatif. Variabel kuantitatif adalah yang sifatnya berubah-ubah dan nilainya dapat diukur. Secara sederhana variabel kuantitatif juga dapat diartikan sebagai variabel yang berbentuk angka (numerik), misalnya : berat dalam satuan kg., jarak dalam satuan meter, harga dalam satuan Rupiah dan sebagainya. Sedangkan variabel kualitatif adalah variabel yang sifatnya tidak tetap dan nilainya dapat diukur atau variabel yang berbentuk bukan angka (pernyataan) misalnya : rasa, kepuasan, selera, kesenangan dan lain-lain. Variabel kuantitatif juga dapat dibedakan menjadi dua macam yaitu : variabel kuantitatif kontinue dan variabel kuantitatif deskrit. Jayadi, STIE IPWIJA Page 1

2 Yang dimaksud dengan variabel kuantitatif kontinue adalah variabel kuantitatif yang dapat diukur sampai dengan sekecil-kecilnya bahkan sampai dengan bilangan pecahan. Misalnya : satuan berat (kg), satuan panjang (meter) satuan waktu (menit), satuan volume (m 3 ) dan lain sebagainya. Variabel jenis ini merupakan hasil dari pengukuran dengan menggunakan alat ukur tertentu, sehingga kemungkinan besar akan dihasilkan bilangan pecahan atau desimal. Yang dimaksud dengan variabel kuantitatif deskrit adalah variabel kuantitatif yang hanya dapat diukur dengan bilangan-bilangan bulat, dan paling kecil adalah satu dan tidak dapat dinyatakan dengan bilangan pecahan. Contoh : satuan barang, satuan orang, satuan ternak dan sebagainya. Variabel jenis ini merupakan hasil dari penghitungan, makanya akan dihasilkan bilangan paling kecil adalah satu. Berdasarkan kedudukan atau sifatnya dalam suatu fungsi variabel juga dapat dibedakan menjadi dua, yaitu : variabel independen dan variabel dependen. Variabel independen adalah variabel yang nilainya tidak terpengaruh oleh variabel lain, oleh karena itu variabel independen ini dapat juga disebut variabel bebas. Biasanya menggunakan notasi atau lambang X Variabel dependen adalah variabel yang nilainya berubah-ubah dan tergantung oleh variabel lain, oleh karena itu variabel dependen ini dapat disebut variabel tidak bebas = variabel tergantung = variabel terikat. Biasanya variabel dependen dituliskan dengan lambang Y. B. Bilangan Konstan Yang dimaksud dengan bilangan konstan adalah bilangan yang nilainya tidak berubah (tetap). Setiap fungsi tidak harus mempunyai bilangan konstan. Ada tidaknya bilangan konstan tergantung masalahnya, apakah permasalahan itu terdapat masalah yang nilainya tetap, seperti biaya tetap, harga tetap dan lain sebagainya. Walaupun sebuah persamaan atau sebuah fungsi tidak mengandung bilangan konstan, tidaklah mengurangi arti dari sebuah fungsi itu sendiri. Bilangan konstan dapat dibedakan menjadi dua pengertian yaitu : bilangan konstan absolut dan bilangan konstan parametris. Bilangan konstan absolut adalah bilangan konstan yang nilainya tetap disetiap fungsi, biasanya digunakan notasi : 1,2,3,4 dan seterusnya. Jayadi, STIE IPWIJA Page 2

3 Contoh : y = 2x + 5 y = 0,5x + 5 Bilangan atau angka 5 inilah yang dimaksud bilangan konstan absolut. Bilangan konstan parametris adalah bilangan konstan yang nilainya berubah-ubah untuk setiap fungsi, biasanya digunakan notasi : a,b,c dan seterusnya. Contoh : 1. y = 2x + a 2. y = 0,5x + a Apabila y = 30 dan x = 10; maka a pada persamaan (1) sama dengan 10, sedangkan nilai a pada persamaan nomor (2) sama dengan 25. C. Koefisien variabel Koefisien atau koefisien garis adalah bilangan konstan yang terletak di depan independen dan menjadi satu kesatuan, misalnya angka 2 pada 2x (pada persamaan 1) dan angka 0,5 pada 0,5x (pada persamaan 2). Kebiasaan ini sering disebut koefisien arah, karena angka ini menunjukkan arah dari suatu fungsi. Artinya condong dan tegaknya fungsi itu dalam gambar ditentukan oleh koefisien arah tersebut. Arah suatu garis ditunjukkan oleh gradien yang didefinisikan sebagai tangens dari sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu x. Koefisien garis tak lain adalah hasil bagi selisih antara dua ordinat (y 2 - y 1 ) terhadap selisih antara dua absis (x 2 - x 1 ) atau dapat dirumuskan: y 2 - y 1 x 2 - x 1 Contoh suatu fungsi : dimana : Y = -0,5X + 5 Y = variabel dependen X = variabel independen -0,5 = koefisien arah 5 = bilangan konstan. Jayadi, STIE IPWIJA Page 3

4 Gambar : Y 5 Y = -0,5X X Jayadi, STIE IPWIJA Page 4

5 FUNGSI LINIER Hubungan sebab akibat antara berbagai variabel ekonomi, misalnya antara permintaan dan harga, antara investasi dengan tingkat bunga dapat dinyatakan dan dijelaskan dalam bentuk fungsi. Diantara berbagai macam hubungan fungsional yang ada, hubungan linier merupakan bentuk yang paling dasar dan paling sering digunakan dalam analisis ekonomi. Bentuk umum fungsi linier : y = a + bx Contoh : Buktikan bahwa titik A (3,9) terletak pada garis y = 3 + 2x Untuk menyelesaikan persoalan ini ada dua cara yang dapat ditempuh, yaitu: 1. Dengan memasukkan titik koordinat tersebut kedalam persamaan, maka harus memenuhi persamaan tersebut. Jadi : y = 3 + 2x 9 = (3) 9 = 9 2. Dengan menggambarkan persamaan tersebut melalui grafik. Karena pada dasarnya setiap fungsi dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang sumbu silang (sistem koordinat). Sesuai dengan namanya fungsi linier akan menghasilkan sebuah garis lurus (kurva linier) Kalau kita gambarkan dengan grafik, persamaan; y = 3 + 0,2x adalah : x y y x Jayadi, STIE IPWIJA Page 5

6 Setiap garis lurus mempunyai arah. Arah suatu garis lurus ditunjukkan oleh curam garis atau koefisien garis (gradien) dan didefinisikan sebagai tangens dari sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu x. b = tg (besar sudut antar ) Dalam kasus-kasus tertentu, garis dari sebuah persamaan linier dapat berupa garis horisontal sejajar sumbu x atau garis vertikal sejajar sumbu y. Hal ini terjadi apabila koefisien garisnya sama dengan nol, sehingga ruas kanan persamaan hanya tinggal sebuah konstanta yang melambangkan penggal garis tersebut. Untuk garis yang sejajar dengan sumbu x koefisiennya sama dengan 0 b = tg 0 0 = 0 Untuk garis yang sejajar dengan sumbu y koefisiennya sama dengan tak terhingga b = tg 90 0 = y x = c a y = a 0 c x Cara Membentuk Persamaan Linier Sebuah persamaan linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara : a. Jika diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x 1,y 1 ) dan (x 2,y 2 ), maka persamaan liniernya : y - y 1 x - x 1 = y 2 - y 1 x 2 - x 1 Contoh : Diketahui titik A (2,3) dan titik B (6,5), maka persamaan liniernya adalah : y - y 1 x - x 1 y - 3 x - 2 = = y 2 - y 1 x 2 - x Jayadi, STIE IPWIJA Page 6

7 y - 3 x - 2 = 2 4 4y - 12 = 2x - 4 4y = 2x + 8 y = 2 + 0,5x b. Jika diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x 1,y 1 ) dan koefisien garisnya (lereng garis) b, maka persamaan liniernya : y - y 1 = b(x - x 1 ) Contoh : Diketahui titik A (2,3) dan koefisien garisnya adalah 0,5, maka persamaam liniernya adalah : y - 3 = 0,5(x - 2) y - 3 = 0,5x - 1 y = 2 + 0,5x c. Jika diketahui penggal garis pada salah satu sumbu dan koefisien garis, maka persamaan liniernya adalah : y = a + bx Contoh : Diketahui penggal dan koefisien garis y = f(x) masing-masing adalah 2 dan 0,5, maka persamaan liniernya adalah : y = 2 + 0,5x d. Jika diketahui penggal garis masing-masing sumbu, yakni penggal sumbu vertikal (ketika x = 0) dan penggal sumbu horisontal (ketika y = 0), maka persamaan liniernya adalah : y = a (a/c).x dimana : a = penggal vertikal b = penggal horisontal Contoh : Diketahui penggal garis sebuah garis pada sumbu vertikal dan sumbu horisontal masing-masing 2 dan -4, maka persamaan liniernya : y = a - a/c.x y = 2-2/(-4).x y = 2 + 0,5x Jayadi, STIE IPWIJA Page 7

8 Hubungan Dua Buah Garis Lurus Dua buah garis lurus mempunyai empat kemungkinan bentuk hubungan, yaitu : berimpit, sejajar, berpotongan dan tegak lurus. a. Dua buah garis lurus akan berimpit, jika persamaan garis satu merupakan kelipatan dari persamaan yang lain. Garis y 1 = a 1 + b1x akan berimpit dengan garis y 2 = a 2 + b 2 x, jika : y 1 = ny 2 a 1 = na 2 b 1 = nb 2 b. Dua buah garis lurus akan sejajar apabila koefisien garis yang satu sama dengan koefisien garis yang lain. Garis y1 = a 1 + b 1 x akan sejajar dengan garis y 2 = a 2 + b 2 x, jika : b 1 = b 2 dan a 1 a 2 c. Dua buah garis lurus akan berpotongan apabila koefisien garis yang satu tidak sama dengan koefisien garis yang lain. Garis y 1 = a 1 + b 1 x akan berpotongan dengan garis y 2 = a 2 + b 2 x, jika : b 1 b 2 d. Dua buah garis lurus akan tegak lurus jika koefisien garis yang satu merupakan kebalikan dari koefisien garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Garis y1 = a 1 + b 1 x akan tegak lurus dengan garis y 2 = a 2 + b 2 x, jika : b 1 = - 1/b 2 atau b 1.b 2 = -1 Mencari Akar-Akar Persamaan Linier Mencari akar-akar persamaan maksudnya adalah menghitung besarnya nilai variabel-variabel didalam persamaan yang bersangkutan. Dengan kata lain menghitung harga dari bilangan tak diketahui dalam persamaan tersebut. Ada tiga cara untuk mencari akar-akar persamaan linier : a. Cara Substitusi b. Cara Eliminasi c. Cara Determinan Jayadi, STIE IPWIJA Page 8

9 a. Cara Substitusi Menyelesaikan dua persamaan dengan cara menyelesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan yang satu, kemudian mensubstitusikan kedalam persamaan lain : Contoh : Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut : 2x+3y = 21 dan x + 4y = 23. Jawab : x + 4y = 23 x = 23-4y 2x + 3y = 21 2(23-4y) + 3y = y + 3y = y = 21-5y = -25 y = 5 Untuk menghitung harga x dengan jalan memasukkan harga y kedalam salah satu persamaan : 2x + 3y = 21 atau x + 4y = 23 2x + 15 = 21 x + 20 = 23 2x = 6 x = 3 x = 3 b. Cara Eliminasi Menyelesaikan dua persamaan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari variabel tertentu yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari variabel yang lain. Contoh : Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut : 2x+3y = 21 dan x + 4y = 23. Jawab : 2x + 3y = 21 x 1 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 x 2 2x + 8y = y = -25 y = 5 masukkan nilai y = 5 ke salah satu persamaan, misalnya persamaan 2 : x + 4y = 23 x + 20 = 23 x = 3 Jayadi, STIE IPWIJA Page 9

10 c. Cara Determinan Determinan secara umum dilambangkan dengan notasi : a b dimana a,b,d dan e mencerminakan bilangan tertentu d e Sebuah determinan terdiri atas beberapa baris dan kolom. Prinsip pengerjaan determinan adalah dengan mengalikan unsur-unsur secara diagonal. a b = ae - db d e Andaikan kita menghadapi dua persamaan dengan dua bilangan : ax + by = c dx + ey = f Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan sebagai berikut : x = D x / D dan y = D y / D D = a b = ae - db d e D x = c b = ce - fb f e D y = a c = af - dc d f Contoh : Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut : 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 Jawab : D = 2 3 = 2(4) - 1(3) = D x = 21 3 = 21(4) - 23(3) = D y = 2 21 = 2(23) - 1(21) = x = D x / D = 15/5 = 3 y = D y / D = 25/5 = 5 Jayadi, STIE IPWIJA Page 10

11 Jika kita menghadapi tiga persamaan, misalnya : ax + by + cz = k dx + ey + fz = l gx + hy + iz = m maka nilai x, y dan z dapat dicari dengan rumus : x = D x / D y = D y / D z = D z / D a b c D = d e f = aei + bfg + cdh gec dbi - ahf g h i k b c D x = l e f = kei + bfm + clh mec lbi - khf m h i a k c D y = d l f = ali + kfg + cdm glc dki - amf g m i a b k D z = d e l = aem + blg + kdh gek dbm - ahl g h m Soal Latihan : 1. Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui pasangan titik-titik berikut : a. (-1,4) dan (1,0) c. (0,0) dan (1,5) b. (-1,-2) dan (-5,-2) d. (1,4) dan (2,3) 2. Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui titik (-1,3) dan mem-punyai koefisien arah atau lereng sebesar : a. -1 c. 5 b. 2 d Berapa koefisien dan penggal garis (pada sumbu y) dari persamaan berikut: a. y = -x c. y = x b. y = -3-4x d. y = 6 + 4x Jayadi, STIE IPWIJA Page 11

12 4. Hitunglah nilai-nilai x dan y dari persamaan 8x = 4 + 4y dan 2x + 3y - 21 = 0 dengan cara : a. Substitusi b. Eliminasi c. Determinan 5. Selesaikan determinan-determinan berikut : a) b) c) Jayadi, STIE IPWIJA Page 12

13 FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN Fungsi Permintaan Fungsi permintaan adalah persamaan yang menghubungkan antara variabel harga dan variabel jumlah barang/jasa yang diminta. Bentuk umum persamaan fungsi permintaan adalah : Q = a bp dimana : Q = jumlah unit barang yang diminta P = harga barang tersebut per unit a = konstan b = parameter/koefisien ( b > 0) Gambar fungsi permintaan : P a/b Q = a - bp 0 a Q Hukum Permintaan : Bila harga suatu barang naik, maka jumlah barang yang diminta akan turun (berkurang); sebaliknya bila harga barang turun maka jumlah barang yang diminta akan naik (bertambah). Apabila hukum permintaan itu dipenuhi, maka fungsi permintaan mempunyai koefisien yang nilainya negatif. Jayadi, STIE IPWIJA Page 13

14 Contoh Soal : 1. Sepuluh jam tangan merk Alba akan terjual kalau harganya (dalam ribuan) Rp. 80,- dan 20 jam tangan akan terjual bila harganya Rp. 60,-. Tunjukkan bentuk fungsi permintaan dan gambarkan grafiknya. J a w a b : 1. Diketahui : Q 1 = 10 dan P 1 = 80 Q 2 = 20 dan P 2 = 60 Dengan menggunakan rumus : y - y 1 x - x 1 = dengan mengganti X menjadi Q y 2 - y 1 x 2 - x 1 Y menjadi P P - P 1 Q - Q 2 P - 80 Q - 10 = = P 2 - P 1 Q 2 - Q Grafik persamaan garisnya adalah : P 100 P - 80 Q - 10 = P = -20Q P + 20Q = 1000 P + 2Q = 100 2Q = P Q = 50-0,5P Q = 50 0,5P 0 50 Q Jayadi, STIE IPWIJA Page 14

15 Fungsi Penawaran Fungsi penawaran adalah persamaan yang menghubungkan antara variabel harga dan variabel jumlah barang/jasa yang ditawarkan. Bentuk umum persamaan fungsi penawaran adalah : Q = -a + bp Gambar fungsi penawaran : P Q = -a + bp a/b -a 0 Q Hukum Penawaran : Bila harga suatu barang naik, maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah; sebaliknya bila harga barang turun maka jumlah barang yang ditawarkan akan berkurang. Apabila hukum penawaran itu dipenuhi, maka fungsi penawaran mempunyai koefisien yang nilainya positif, karena gerakan harga searah dengan gerakan jumlah. Contoh Soal : 1. Suatu jenis barang tertentu fungsi penawarannya ditunjukkan oleh persamaan Q = 3P - 2 a. Pada tingkat harga Rp. 5 berapakah jumlah barang yang ditawarkan? b. Jika produsen bersedia menawarkan sebanyak 10, berapakah harga per unit barang tersebut? c. Berapakah harga terendah yang produsen mau menjual barangnya? d. Gambarkan grafik dari fungsi tersebut! Jawab : 1. Diketahui fungsi persamaan Q = 3P - 2 a. Bila P = 5 maka Q = 13 b. Bila Q = 10 maka P = 4 Jayadi, STIE IPWIJA Page 15

16 c. Pada saat produsen tidak bersedia menjual barangnya berarti Q = 0, maka P = 2/3. Jadi harga terendah agar produsen mau menjual barangnya harus pada tingkat harga yang lebih tinggi dari 2/3. d. Grafik fungsi linier P Q = 3P - 2 2/3-2 0 Q Latihan Soal : 1. Jika harga kamera Ricoh adalah Rp. 65,- (dalam ribuan) maka ada 125 kamera yang tersedia dipasar. Kalau harganya Rp. 75,- (dalam ribuan) maka dipasar akan tersedia 145 kamera. Tunjukkan persamaan penawarannya dan gambarkan grafiknya! 2. Suatu fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan Q = 25-5P a. Berapa jumlah yang diminta bila harga permintaannya Rp. 3,-? b. Misalkan jumlah yang diminta adalah 18 unit, berapakah tingkat harga yang berlaku? c. Kalau barang tersebut adalah barang bebas (tidak mempunyai harga), berapakah jumlah yang diperlukan konsumen? d. Berapakah harga tertinggi yang mau dibayar oleh konsumen? e. Gambar grafik fungsi permintaan tersebut! Jayadi, STIE IPWIJA Page 16

17 KESEIMBANGAN PASAR (EQUILIBRIUM) Keseimbangan pasar terjadi apabila jumlah barang yang diminta di pasar sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Pada keadaan keseimbangan baik penjual maupun pembeli sepakat untuk menjual/membeli sejumlah barang pada tingkat harga yang disepakati bersama. Secara umum, keseimbangan akan berarti jika nilai Q (jumlah) dan P (harga) yang diperoleh positif atau nol. Secara matematik keseimbangan pasar dapat ditunjukkan : Q d = Q s Q d = jumlah permintaan Q s = jumlah penawaran E = titik keseimbangan P e = harga keseimbangan Q e = jumlah keseimbangan Secara grafik keseimbangan dapat digambarkan : P Q s P e E Q d 0 Q e Q Jayadi, STIE IPWIJA Page 17

18 Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 15 - Q, sedangkan penawarannya P = 3 + 0,5Q. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar? Penyelesaian : Permintaan : P = 15 - Q -----> Q = 15 - P Penawaran : P = 3 + 0,5Q -----> Q = P Keseimbangan pasar : Q d = Q s 15 - P = P 21 = 3P P = 7 Q = 15 - P Q = 15-7 Q = 8 Jadi keseimbangan tercapai pada tingkat harga 7 dan jumlah 8. Dengan demikian titik keseimbangannya E (8,7) Gambar grafiknya : P 15 Q s 7 E (8,7) 3 Q d Q Keseimbangan Kasus Dua Macam Barang : Permintaan akan komoditas barang X ditunjukkan oleh persamaan Q dx = 10-4P x + 2P y sedangkan penawarannya Q sx = P x. Sementara permintaan akan komoditas barang Y dtunjukkan oleh persamaan Q dy = 9-3P x + 4P x sedangkan penawarannya Q sy = P y Jayadi, STIE IPWIJA Page 18

19 Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar untuk masingmasing barang tersebut. Penyelesaian : Keseimbangan pasar komoditas barang X : Q dx = Q sx 10-4P x + 2P y = P x -10P x + 2P y = P x - 2P y = ) Keseimbangan pasar komoditas barang Y : Q dy = Q sy 9-3P y + 4P x = P y 4P x - 10P y = ) Dengan cara eliminasi 1) dan 2) : 10P x - 2P y = 16 x 5 50P x - 10P y = 80 4P x - 10P y = -12 x 1 4P x - 10P y = P x = 92 P x = 2 P x = 2 dimasukkan ke persamaan 1) atau 2) : 10P x - 2P y = 16 10(2) - 2P y = 16-2P y = -4 P y = 2 Selanjutnya Q x dan Q y dapat dihitung dengan memasukkan nilai P x dan Py kedalam persamaan permintaan atau persamaan penawaran masing-masing komoditas. P x = 2 dimasukkan kedalam fungsi penawaran komoditas barang X : Q x = P x Q x = (2) Q x = 6 P y = 2 dimasukkan kedalam fungsi penawaran komoditas barang Y : Q y = P y Q y = (2) Q y = 11 Jadi, P x equilibrium = 2 P y equilibrium = 2 Q x equilibrium = 6 Q y equilibrium = 11 Jayadi, STIE IPWIJA Page 19

20 Soal Latihan : 1. Fungsi permintaan pasar atas suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 20-3P, sedangkan penawarannya Q = P a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan yang terjadi di pasar b. Tunjukkan tingkat keseimbangan tersebut dalam gambar. 2. Bila fungsi permintaan untuk suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 10-3P dan penawarannya Q = 2P - 1. a. Berapa harga dan jumlah keseimbangannya b. Buatlah gambar fungsi keseimbangan tersebut. Jayadi, STIE IPWIJA Page 20

21 PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar Pajak yang dikenakan atas penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut naik. Sebab setelah dikenakan pajak, produsen akan berusaha mengalihkan (sebagian) beban pajak tersebut kepada konsumen, yaitu dengan jalan menawarkan harga jual yang lebih tinggi. Akibatnya harga keseimbangan yang tercipta di pasar menjadi lebih tinggi daripada harga keseimbangan sebelum pajak, dilain pihak jumlah keseimbangannya menjadi lebih sedikit. Sebelum ada pajak persamaan penawarannya P = a + bq Setelah dikenakan pajak sebesar t atas setiap unit barang, maka persamaan penawarannya menjadi P = a + bq + t Misalnya : P = 6 + 0,5Q t = 4 P = 6 + 0,5Q + 4 P = ,5Q Apabila persamaan penawaran berbentuk Q = f(p), kita dapat memasukkan unsur pajak tersebut secara langsung, tanpa harus mengubah dulu fungsi penawaran yang berbentuk Q = f(p) menjadi bentuk P = f(q). Dalam hal ini rumusnya adalah : Q = 1/b(P - t) - a/b Misalnya : Q = 2P - 12 t = 4 Q = 2(P - 4) - 12 Q = 2P Q = 2P - 20 Contoh 1: Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 15 - Q, sedangkan persamaan penawarannya P = 3 + 0,5Q. Terhadap barang tersebut dikenakan pajak sebesar 3 per unit. a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan sebelum pajak dan sesudah pajak? b. Tunjukkan dengan grafik! Jayadi, STIE IPWIJA Page 21

22 Penyelesaian : a. Sebelum pajak : Permintaan : P = 15 - Q -----> Q = 15 - P Penawaran : P = 3 + 0,5Q -----> Q = P Keseimbangan : Q d = Q s 15 - P = P 21 = 3P P = 7 Q = 15 - P Q = 8 titik keseimbangan (8,7) Setelah pajak : Permintaan (tetap) : P = 15 - Q -----> Q = 15 - P Penawaran (berubah): P = 3 + 0,5P + 3 P = 6 + 0,5Q 0,5Q = -6 + P ----> Q = P Keseimbangan : Q d = Q s 15 - P = P 27 = 3P P = 9 Q = 15 - P Q = 6 titik keseimbangan baru (6,9) b. Grafiknya : P 15 Q s = sesudah pajak E 9 7 E 6 Q s = sebelum pajak 3 Q d Q Jayadi, STIE IPWIJA Page 22

23 Contoh 2: Fungsi permintaan dan penawaran akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q d = 15 - P dan Q s = 2P - 6 Pajak yang dikenakan Rp. 3,- per unit. Berapa harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah pajak? Penyelesaian : Sebelum Pajak : Permintaan : Q d = 15 - P Penawaran : Q s = 2P - 6 Keseimbangan : Q d = Q s 15 - P = 2P - 6-3P = - 21 P = 7 Q = 15-7 Q = 8 titik keseimbangan (8,7) Sesudah Pajak : Permintaan (tetap) : Q d = 15 - P Penawaran (berubah): Q s = 2P - 6 Q s = 2 (P - 3) - 6 Q s = 2P Q s = 2P - 12 Keseimbangan : Q d = Q s 15 - P = 2P P = -27 P = 9 Q = 15-9 Q = 6 titik keseimbangan baru (6,9) Catatan : Dalam kenyataan konsumen tidak menanggung seluruh beban pajak. Ini berarti ada sebagian pajak yang masih harus ditanggung oleh produsen. Beban Pajak yang ditangung oleh konsumen adalah selisih antara harga keseimbangan setelah ada pajak dengan harga keseimbangan sebelum ada pajak. Jayadi, STIE IPWIJA Page 23

24 Beban pajak yang ditanggung oleh produsen adalah selisih antara besar pajak yang dikenakan dengan beban pajak yang ditanggung oleh konsumen. Besarnya pajak yang diterima pemerintah dapat dihitung dengan mengalikan jumlah unit barang yang dijual dengan besarnya pajak yang dikenakan untuk setiap unitnya. Sebagai Ilustrasi (Lihat Contoh 2) : Harga keseimbangan sebelum pajak : P 1 = 7 Jumlah keseimbangan sebelum pajak : Q 1 = 8 Dikenakan pajak sebesar t = 3, maka : Harga keseimbangan setelah pajak : P 2 = 9 Jumlah keseimbangan setelah pajak : Q 2 = 6 Beban pajak yang ditanggung oleh konsumen : P 2 - P 1 = 9-7 = 2 (67%) Beban pajak yang ditanggung oleh produsen : t - (P 2 - P 1 ) = 3-2 = 1 (33%) Pajak yang diterima oleh pemerintah adalah : t x Q 2 = 3 x 6 = 18 Pengaruh Pajak Proporsional Terhadap Keseimbangan Pasar Pajak proporsional adalah pajak yang besarnya ditetapkan berdasarkan persentase tertentu dari harga jual, bukan ditetapkan secara spesifik (misalnya Rp. 10,- per unit barang). Meskipun pengaruhnya serupa dengan pengaruh pajak spesifik, namun analisisnya sedikit berbeda. Jika persamaan penawaran semula adalah P = a + bq, maka dengan dikenakannya pajak proporsional sebesar t% dari harga jual, persamaan penawaran yang baru akan berbah menjadi P = [a / (1 t)] + [b / (1 t)]q. Andaikan kita memiliki data yang sama pada contoh 1, yakni permintaan P = 15 Q dan penawaran P = 3 + 0,5Q. Kemudian pemerintah mengenakan pajak sebesar 25% dari harga jual. Hitunglah harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah dikenakan pajak proporsional. Lihat kembali penyelesaian pada contoh 1, dimana harga keseimbangan sebelum pajak P = 7 dan jumlah keseimbangan sebelum pajak Q = 8. Setelah dikenakan pajak, persamaan penawarannya akan berubah, sementara permintaanya tetap. Penawaran sesudah pajak, dengan t = 25% atau 0,25, maka : P = 3 + 0,5Q = 0,25P 0,75P = 3 + 0,5Q 0,5Q = ,75Q ----> Q = ,5P Jayadi, STIE IPWIJA Page 24

25 Keseimbangan : Q d = Q s 15 - P = ,5P -2,5P = -21 P = 8,4 Q = 15 P Q = 15 8,4 Q = 6,6 Harga keseimbangan sebelum pajak : P 1 = 7 Jumlah keseimbangan sebelum pajak : Q 1 = 8 Dikenakan pajak proporsional sebesar t = 0,25, maka : Harga keseimbangan setelah pajak : P 2 = 8,4 Jumlah keseimbangan setelah pajak : Q 2 = 6,6 Jadi besar pajak yang dikenakan pemerintah setiap unit barang : t x P 2 = 0,25 x 8,4 = 2,1 Beban pajak yang ditanggung oleh konsumen : P 2 - P 1 = 8,4-6 = 1,4 (67%) Beban pajak yang ditanggung oleh produsen : t - (P 2 - P 1 ) = 2,1 1,4 = 0,7 (33%) Pajak yang diterima oleh pemerintah adalah : t x Q 2 = 2,1 x 6,6 = 13,86 Latihan Soal : 1. Penawaran sebuah barang dicerminkan oleh Q s = P, sedangkan permintaannya Q d = 11 - P. Pemerintah menetapkan pajak sebesar 3 setiap unit. a. Bagaimana harga dan keseimbangan sebelum dan sesudah pajak b. Gambarkan grafiknya. 2. Bila diketahui fungsi permintaan Q = 20-2P dan penawarannya adalah Q = P. a. Berapa harga dan jumlah keseimbangannya b. Bila besarnya pajak sebesar Rp. 2,- berapa harga dan jumlah keseimbangannya c. Berapa beban pajak yang ditanggung oleh konsumen dan produsen. d. Berapa penerimaan pemerintah dari pajak. Pengaruh Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar Subsidi merupakan kebalikan atau lawan dari pajak oleh karena itu subsidi sering juga disebut pajak negatif. Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah. Dengan adanya subsidi, produsen merasa ongkos produksinya menjadi lebih kecil sehingga ia bersedia menjual barang lebih murah. Akibatnya harga keseimbangan yang tercipta dipasar lebih rendah daripada harga Jayadi, STIE IPWIJA Page 25

26 keseimbangan sebelum atau tanpa subsidi, dan jumlah keseimbangannya menjadi lebih banyak. Misalnya sebelum ada subsidi persamaan penawarannya P = a + bq Setelah diberikan subsidi sebesar s, maka persamaan penawarannya menjadi P = a + bq - s Misalnya : P = 6 + 0,5Q s = 4 P = 6 + 0,5Q - 4 P = 2 + 0,5Q Apabila persamaannya dalam bentuk Q = f(p) maka dapat langsung digunakan rumus Q = 1/b(P + s) - a/b Misalnya : Q = 2P - 12 s = 4 Q = 2(P + 4) - 12 Q = 2P Q = 2P - 4 Contoh : Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 15 - Q sedangkan penawarannya P = 3 + 0,5Q. Pemerintah memberikan subsidi sebesar 1,5 setiap barang yang diproduksi. a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan stetelah subsidi? b. Gambarkan grafiknya! c. Berapa besar subsidi yang dinikmati konsumen dan produsen? d. Berapa besar subsidi yang ditanggung pemerintah? Penyelesaian : a. Sebelum Subsidi : Permintaan : P = 15 - Q -----> Q = 15 - P Penawaran : P = 3 + 0,5Q -----> Q = P Keseimbangan : Q d = Q s 15 - P = P 21 = 3P P = 7 Q = 15-7 Q = 8 titik keseimbangan (8,7) Jayadi, STIE IPWIJA Page 26

27 Sesudah Subsidi : Permintaan (tetap) : P = 15 - Q -----> Q = 15 - P Penawaran (berubah): P = 3 + 0,5 Q - s P = 3 + 0,5Q - 1,5 P = 1,5 + 0,5 Q -----> Q = P Keseimbangan : Q d = Q s 15 - P = P -3P = -18 P = 6 Q = 15-6 Q = 9 titik keseimbangan baru (9,6) b. Grafiknya : P 15 E 7 6 E Q s = tanpa subsidi Q s = dengan subsidi 3 1,5 Q d Q Harga keseimbangan sebelum subsudi : P 1 = 7 Jumlah keseimbangan sebelum subsidi : Q 1 = 8 Harga keseimbangan setelah subsidi : P 2 = 6 Jumlah keseimbangan setelah subsidi : Q 2 = 9 Besarnya subsidi yang dinikmati oleh konsumen : P 1 P 2 = 7-6 = 1 (67%) Besarnya subsidi yang dinikmati oleh produsen : s - (P 1 P 2 ) = 1,5-1 = 0,5 (33%) Besarnya subsidi yang harus ditanggung pemerintah : s x Q 2 = 1,5 x 9 = 13,5 Jayadi, STIE IPWIJA Page 27

28 Latihan Soal : 1. Permintaan akan suatu komoditas dicerminkan oleh Q = 20-2P, sedangkan penawarannya Q = P. Pemerintah memberikan subsidi sebesar 2 atas setiap unit barang yang dijual. a. Bagaimana keseimbangan sebelum dan sesuah subsidi? b. Berapa bagian dari subsidi yang dinikmati konsumen dan berapa pula yang dinikmati produsen? 2. Bila ditentukan fungsi permintaan Q = 20-2P dan fungsi penawarannya Q = P. a. Berapa harga dan jumlah keseimbangannya? b. Bila pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp.2,- berapa harga dan jumlah keseimbangannya? c. Berapa bagian subsidi yang dinikmati konsumen dan berapa yang dinikmati produsen? d. Gambarkan grafiknya? Jayadi, STIE IPWIJA Page 28

29 FUNGSI BIAYA Konsep-konsep yang berhubungan dengan fungsi biaya : a. Biaya Tetap (FC=Fixed Cost) = k Adalah biaya yang besarnya tidak tergantung pada jumlah barang yang diproduksi/dihasilkan. Artinya berapapun unit barang yang dihasilkan biaya tetap senantiasa tidak berubah. Secara matematik biaya tetap merupakan sebuah konstanta, dan kurvanya berupa garis lurus sejajar dengan sumbu jumlah. b. Biaya Variabel (VC=Variable Cost) Adalah biaya yang besarnya tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan. Artinya semakin banyak jumlah barang yang dihasilkan semakin besar pula biaya variabelnya. Secara matematik biaya variabel merupakan fungsi dari jumlah barang yang dihasilkan, kurvanya berupa sebuah garis lurus berlereng positif bermula dari titik pangkal c. Biaya Total (C=TC=Total Cost) Adalah biaya yang besarnya dengan menjumlahkan biaya tetap dengan biaya variabel C = FC + VC d. Biaya Marjinal (MC=Marginal Cost) Adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. MC = C/ Q e. Biaya Rata-Rata (AC=Average Cost) Adalah biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk atau keluaran, merupakan hasilbagi biaya total terhadap jumlah keluaran yang dihasilkan. AC = C/Q = AFC + AVC Biaya tetap rata-rata : AFC = FC/Q Biaya variabel rata-rata : AVC = VC/Q f. Penerimaan Total ( R=Revenue) Merupakan hasilkali jumlah barang yang terjual dengn harga jual per unit. R = Q x P Jayadi, STIE IPWIJA Page 29

30 Grafik fungsi biaya : C C = FC + VC VC k FC 0 Q Contoh 1 : Biaya tetap yang dikeluarkan oleh perusahaan sebesar Rp , sedangkan biaya variabelnya ditunjukkan oleh persamaan VC = 80 Q. a. Tunjukkan persamaan dan kurva biaya totalnya! b. Berapa biaya totalnya jika perusahaan memproduksi 600 unit barang? c. Bagaimana grafik fungsi biayanya? Penyelesaian : a. FC = VC = 80 Q C = FC + VC C = Q b. Jika Q = 600 C = C = c. Grafik fungsi biayanya : Jayadi, STIE IPWIJA Page 30

31 C C = Q VC = 80Q FC Q Contoh 2 : Harga jual produk yang dihasilkan sebuah perusahaan Rp. 450 per unit. a. Tunjukkan persamaan penerimaan total. b. Berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 500 unit. Jawab : a. R = Q x P R = Q x 450 = 450Q b. Jika Q = 500 R = 450(500) = Jayadi, STIE IPWIJA Page 31

32 TITIK IMPAS (BREAK EVEN POINT, BEP) Konsep break event yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian (impas). Penerimaan dan biaya merupakan variabel-variabel penting untuk mengetahui bisnis suatu perusahaan. Dengan diketahui penerimaan total ( R ) dan biaya total (C) dapat dianalisis apakah perusahaan mendapat keuntungan atau mengalami kerugian. Perusahaan untung jika Perusahaan rugi jika Perusahaan impas jika : 0 akan didapat R C atau R C = Positif : 0 akan didapat R C atau R C = Negatif : = 0 akan didapat R = C atau R C = Nol Secara grafik dapat ditunjukkan sebagai berikut : C,R R > 0 C Q = jumlah produk R = penerimaan total C = biaya total = 0 (BEP) = profit (= R - C) BEP = titik break even FC FC= biaya tetap < 0 0 Q Q Contoh 1 : Biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukkan persamaan C = Q dan penerimaan totalnya R = 200Q. a. Pada tingkat produksi berapa perusahaan pada posisi break event? b. Apa yang terjadi jika berproduksi sebanyak 300 unit? Jayadi, STIE IPWIJA Page 32

33 Jawab : a. = R - C b. Jika Q = 300, maka BEP : = 0 atau R = C R = 200(300) = Q = Q C = (300) = Q = = R - C Q = 200 = = Contoh 2 : 1. Biaya variabel rata-rata yang dikeluarkan produsen adalah 60% dari harga jual produknya, sedangkan biaya tetapnya Rp ,- Harga jual produk per unit Rp. 20,- a. Berapa jumlah produk yang dihasilkan agar produsen break event? b. Berap profitnya jika memproduksi 400 unit? Jawab : AVC = 60% x P = 60% x 20 = 12 FC = P = > VC = AVC x Q = 12 Q a.) R = P x Q = 20Q b). Jika Q = 400 C = FC + VC = Q = R C Syarat BEP -----> R = C = 20Q ( Q) Soal Latihan : 20Q = Q = 20(400) [ (400)] 8Q = = Q = 375 = Seorang pedagang memperoleh keuntungan sebesar Rp ,- dari menjual barang sebanyak 400 unit. Penerimaan totalnya sebesar Rp ,-, sedang biaya tetap total yang dibayarkan adalah Rp ,- b. Berapa rupiah harga per unit barang dagangannya? c. Tentukan fungsi Biaya Total dan Biaya Variabel Totalnya! d. Pada produksi berapa unit pedagang pada posisi break event? e. Berapa keuntungan/kerugiannya bila ia hanya menjual 200 unit? 2. Seorang produsen menjual produknya seharga Rp. 50,- per unit. Biaya variabel rata-rata setiap produk 40% dari harga jual. Biaya tetapnya Rp ,- a. Berapa unit produksi agar produsen break event? b. Berapa labanya jika produk yang terjual unit? c. Berapa unit produksi break event yang baru, jika harga julanya naik Rp. 75,-? d. Berapa labanya jika produk yang terjual unit? Jayadi, STIE IPWIJA Page 33

34 D E R E T Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaedah-kaedah tertentu. Pembagian Deret : A. Berdasarkan jumlah suku yang membentuknya : 1. Deret terbatas (berhingga) 2. Deret tak terbatas (tak Terhingga) B. Berdasarkan pola perubahan bilangan pada suku-sukunya : 1. Deret hitung 2. Deret ukur Deret Hitung Adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda Contoh : 1. 7, 12, 17, 22, 27, 32, (pembeda = 5) 2. 75, 70, 65, 60, 55, 50, (pembeda = -5) Suku ke-n dari Deret Hitung : Besarnya nilai suku tertentu (suku ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung dengan rumus S n = a + (n - 1)b Keterangan : a = suku pertama atau (S 1 ) b = pembeda n = indeks suku Berdasarkan contoh di atas hitunglah nilai suku ke-10 : 1). 7, 12, 17, 22, 27, 32 Diketahui : a = 7; b = 5; n = 10 S n = a + (n - 1)b S 10 = 7 + (10-1)5 = 52 Jayadi, STIE IPWIJA Page 34

35 2). 75, 70, 65, 60, 55, 50 Diketahui : a = 75; b = -5; n = 10 S n = a + (n - 1)b S 10 = 75 + (10-1)(-5) S 10 = 30 Jumlah n suku dari Deret Hitung : Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu dapat dihitung dengan rumus n a. J n = S i i = 1 b. J n = n/2 2a + (n-1)b c. J n = n/2 (a + S n ) d. J n = na + n/2(n - 1)b Hitunglah jumlah deret hitung sampai dengan suku ke-10 : 1. 7, 12, 17, 22, 27, 32 J 10 = 10/2 2x7+(10-1)5 = 5 (14+45) = 295 J 10 = 10/2(7+52) = 5 (59) = 295 J 10 = 10x7 + 10/2(10-1)5 = = 295 Deret Ukur Adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret ukur dinamakan pengganda Contoh : 1). 5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda = 2) 2). 512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda = 0,5) Jayadi, STIE IPWIJA Page 35

36 Suku ke-n dari Deret Ukur : Besarnya nilai suku tertentu (suku ke-n) dari sebuah deret ukur dapat dihitung dengan rumus : S n = ap n-1 Keterangan : a = suku pertama p = pengganda n = indeks suku Hitunglah nilai suku ke 10 dan suku ke 15 dari deret ukur dalam contoh 1: 1). 5, 10, 20, 40, 80, 160 S 10 = 5( ) S 10 = 5 (2 9 ) = 5 (512) = 2560 S 15 = 5 (2 14 ) = 5 (16.384) = Jumlah n suku dari Deret Ukur : Jumlah sebuah deret ukur sampai dengan suku tertentu dapat dihitung dengan rumus : J n = a(p n - 1) jika : p > 1 p - 1 J n = a(1 - p n ) jika : p < p Hitunglah jumlah suku pertama sampai dengan suku ke 10 deret ukur dibawah ini : 1). 5, 10, 20, 40, 80, 160 2). 512, 256, 128, 64, 32, 16 a = 5 dan p = 2 a = 512 dan p = 0,5 J 10 = 5(2 10-1) J 10 = 512 (1-0,5 10 ) ,5 J 10 = 5 (1023) = J 10 = 512 (1023/1024) = ,5 Latihan Soal : 1. Dari sebuah deret hitung suku pertamanya 200 dan pembeda antar suku-sukunya 25, hitunglah : a. S 5 c. J 5 b. S 10 d. J 10 Jayadi, STIE IPWIJA Page 36

37 2. Hitunglah S 4, S 15 dan J 10 dari suatu deret hitung yang suku pertamanya 1000 dan pembeda antar sukunya Deret hitung X mempunyai nilai a = 180 dan b = -10, sedangkan deret hitung Y mempunyai nilai a = 45 dan b = 5. Pada suku keberapa kedua deret ini mempunyai nilai yang sama? 4. Dari sebuah deret ukur yang suku-sukunya 10, 30, 90, 270,..., hitunglah : a. S 6 d. J 6 b. S 10 e. J 10 c. S 15 f. J Apabila suku ke-3 dan suku ke-7 dari sebuah deret ukur masing-masing adalah 800 dan , berapa : a. Suku pertamanya (a) c. S 5 b. Penggandanya (p) d. J 5 6. Deret ukur X mempunyai nilai a = 512 dan p = 0,5, sedangkan deret ukur Y mempunyai nilai S 3 = 16 dan p = 4. Pada suku keberapa nilai suku-suku dari kedua deret ini sama? Jayadi, STIE IPWIJA Page 37

38 APLIKASI DERET DALAM BISNIS DAN BIDANG EKONOMI Prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus di bidang Ekonomi dan Bisnis, misalnya : 1. Untuk penghitungan Perkembangan Usaha 2. Untuk penghitungan, Bunga Majemuk ----> Nilai Sekarang, Nilai Yang akan datang 3. Untuk Memperkirakan Pertumbuhan Penduduk Penerapan Deret Hitung Pada Perkembangan Usaha Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha, misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prisip deret dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variabel tersebut. Kasus 1. Suatu perusahaan genteng menghasilkan 5000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. a. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkan pada bulan keenam? b. Berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut? Penyelesaian : a = 5000 b = 500 n = 6 a. S n = a + (n - 1)b S 6 = (6-1)500 S 6 = = 7500 b. J n = n/2 (a + S n ) J 6 = 6/2 ( ) J 6 = 3 (12.500) = Jayadi, STIE IPWIJA Page 38

39 Kasus 2. Penerimaan PT. XYZ dari hasil penjualan barangnya Rp. 720 juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, a. Berapa perkembangan penerimaannya per tahun? b. Berapa besar penerimaan pada tahun pertama? c. Pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 juta? Penyelesaian : S 5 = 720 S 7 = 980 a. S 5 = a + (5-1)b 720 = a + 4b...1) S 7 = a + (7-1)b 980 = a + 6b...2) Dengan cara eliminasi persamaan 1 dan persamaan 2 : a + 4b = 720 a + 6b = b = -260 b = 130 Perkembangan penerimaan per tahun sebesar Rp. 130 juta b. a + 4b = 720 a + 4(130) = 720 a = = 200 Penerimaan pada tahun pertama sebesar Rp. 200 juta c. S n = a + (n - 1)b 460 = (n - 1) = n = 130n n = 3 Penerimaan sebesar Rp 460 juta diterima pada tahun ketiga. Jayadi, STIE IPWIJA Page 39

40 Penerapan Deret Ukur Pada Bunga Majemuk Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung besarnya pengembalian kredit di masa datang (future value), maupun untuk mengukur nilai sekarang (present value) dari suatu investasi yang akan diterima di masa datang. Besarnya nilai (jumlah) di masa datang dapat dihitung dengan rumus : F n = P(1 + i) n F n = jumlah dimasa datang (jumlah ke-n) P = jumlah sekarang i = tingkat bunga per tahun (bunga dibayarkan sekali dalam setahun) n = jumlah tahun Apabila bunga dibayarkan lebih dari satu kali dalam setahun (misalnya m kali), maka jumlah di masa mendatang menjadi : F n = P(1 + i/m) mn m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun Catatan : Dalam dunia bisnis faktor 1 + i dan 1 + i/m dinamakan faktor bunga majemuk, yaitu suatu bilangan lebih besar dari satu yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah di masa mendatang. Besarnya nilai sekarang dapat dihitung dengan menggunakan rumus : P = F / (1 + i) n P = F / (1 + i/m) mn Catatan : faktor 1/(1+i) n dan 1/(1+i/m) mn dinamakan faktor diskonto, atau discount factor, yaitu suatu bilangan lebih kecil dari satu yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang. Kasus 3. Seorang nasabah meminjam uang di bank sebesar Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. a. Berapa jumlah uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan? b. Seandainya bunga diperhitungkan tiap semester berapa jumlah yang harus dikembalikan? Jayadi, STIE IPWIJA Page 40

41 Penyelesaian : P = n = 3 i = 2% = 0,02 a. F n = P(1 + i) n F 3 = (1 + 0,02) 3 F 3 = (1,061208) = b. Jika bunga dibayarkan tiap semester, m = 2 F n = P(1 +i/m) mn F 3 = (1 + 0,01) 6 = (1,06152) = Kasus 4. Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar Rp ,- tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% per tahun, berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang? Penyelesaian : F = n = 3 i = 10% = 0,1 P = F / (1 + i) n P = / (1 +0,1) 3 P = / 1,33 P = Penerapan Deret Ukur Pada Pertumbuhan Penduduk Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah penaksiran jumlah penduduk. Seperti yang dikatakan Malthus bahwa pertumbuhan penduduk dunia mengikuti pola deret ukur. Secara matematik untuk memperkirakan pertumbuhan penduduk dapat digunakan rumus : P t = P 1 R t-1 dimana R = 1 + r P t : jumlah pada tahun ke-t P 1 : jumlah pada tahun pertama r : persentase pertumbuhan per tahun t : indeks waktu (tahun) Jayadi, STIE IPWIJA Page 41

42 Kasus 5. Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1990, tingkat pertumbuhan 4% per tahun. a. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2005! b. Jika mulai tahun 2005 tingkat pertumbuhan menurun menjadi 2,5%, berapa jumlahnya 15 tahun kemudian? Penyelesaian : a. P 1 = r = 0,04 R = 1 + 0,04 = 1,04 Jumlah penduduk tahun 2005 : P 16 = (1,04) 15 P 16 = (1,800943) P 16 = b. P 1 = r = 0,025 R = 1 + 0,025 = 1,025 Jumlah penduduk 15 tahun kemudian : P 15 = (1,025) 14 P 15 = (1,412974) P 15 = Jayadi, STIE IPWIJA Page 42

43 DIFERENSIAL (TURUNAN) Notasi (Lambang) Diferensial Jika fungsi y = f(x), maka turunannya dapat dituliskan sebagai berikut : limit y = y = f (x) = y x = f x (x) = dy/dx = df(x)/dx x ---> 0 x Kaedah Diferensial 1. Diferensiasi Konstan Jika y = k ;dimana k adalah konstan, maka : dy/dx = 0 Contoh : y = 5 maka dy/dx = 0 y = -25 maka dy/dx = 0 y = 65 maka dy/dx = 0 2. Diferensiasi Fungsi Pangkat Jika y = x n ;dimana n adalah konstan, maka : dy/dx = nx n-1 Contoh : y = x 3 maka dy/dx = 3x 2 3. Diferensiasi Perkalian y = x 1/2 maka dy/dx = 1/2x -1/2 y = x -5 maka dy/dx = -5x -6 a. Diferensiasi Perkalian Konstan dengan Fungsi Jika y = kv ; dimana v = h(x), maka : dy/dx = k.dv/dx Contoh : y = 5x 3 maka dy/dx = 5(3x 2 ) = 15x 2 y = 5x maka dy/dx = 5 y = -2x -1 maka dy/dx = -2(-x -2 ) = 2x -2 b. Diferensiasi Perkalian Dua Fungsi Jika y = uv ; dimana u=g(x) dan v=h(x), maka : dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx Contoh : y = (4x 2 )(x 3 ) maka dy/dx = (4x 2 )(3x 2 )+(x 3 )(8x) = 12x 4 +8x 4 =20x 4 y = x 2 (2x-1) maka dy/dx = x 2 (2) + (2x-1)(2x) = 2x 2 + 4x 2-2x = 6x 2-2x Jayadi, STIE IPWIJA Page 43

44 4. Diferensiasi Pembagian y = (x 2 +2)(x-3) maka dy/dx = (x 2 +2)(1) + (x-3)(2x) = x x 2-6x = 3x 2-6x +2 a. Diferensiasi Pembagian Konstan dengan Fungsi Jika y = k/v ;dimana v = h(x) maka : dy/dx = -k.dv/dx v 2 Contoh : y = 5/x 3 maka : dy/dx = -5(3x 2 ) = -15x 2 (x 3 ) 2 x 6 b. Diferensiasi Pembagian Fungsi dengan Fungsi Jika y =u/v ;dimana u = g(x) dan v = h(x), maka : dy/dx = v.du/dx - u.dv/dx v 2 Contoh : y = 4x 2 maka dy/dx = x 3 (8x) - 4x 2 (3x 2 ) = 8x 4-12x 4 = -4x 4 x 3 (x 3 ) 2 x 6 x 6 y = 2x - 1 maka dy/dx = x 2 (2) - (2x -1)(2x) = 2x 2-4x 2 + 2x x 2 (x 2 ) 2 x 4 5. Diferensiasi Penjumlahan (Pengurangan) Fungsi = 2x - 2x 2 Jika y = u + v atau y = u - v ; dimana u = g(x) dan v = h(x), maka : dy/dx = du/dx + dv/dx atau du/dx - dv/dx Contoh : y = 4x 2 + x 3 maka dy/dx = 8x + 3x 2 y = 2x + 3x 2 maka dy/dx = 2 + 6x y = x 3-3x 2 + 9x maka dy/dx = 3x 2-6x Diferensiasi Fungsi Berpangkat Jika y = u n ; dimana u = g(x) dan n adalah konstan, maka : dy/dx = nu n-1.du/dx atau y = nu n-1.u Contoh : y = (4x 3 + 5) 2 Misal : u = 4x maka : du/dx = 12x 2 dy/dx = 2(4x 3 + 5)( 12x 2 ) = 96x x 2 Jayadi, STIE IPWIJA Page 44 x 4

45 Latihan Soal : Tentukan turunan dari fungsi-fungsi di bawah ini : 1. y = 2x 3-4x 2 + 7x 5 2. y = 9-3x x y = (x 2-4)(2x - 6) 4. y = (3x 2 - x)(2 + x -1 ) 5. y = x 2-4 2x y = 4x -1/4-2x -1/2 + 10x 7. y = x 5-2x 4 +5x y = 3x(2x 3-5) 9. y = 2/x y = 5x 4 /x 3 Jayadi, STIE IPWIJA Page 45

46 TITIK EKSTRIM SUATU FUNGSI Titik ekstrim suatu fungsi ditentukan oleh turunan pertama dari fungsi tersebut, sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan. Suatu fungsi mencapai titik ekstrim apabila : y = f (x) = dy/dx = 0 Jika y 0 maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum (grafiknya terbuka ke bawah) Jika y > 0 maka titik ekstrimnya adalah titik minimum (grafiknya terbuka ke atas) Contoh : 1. y = -x 2 + 6x - 2 y = dy/dx = -2x + 6 y = -2 < 0 Karena y < 0 maka titik ekstrimya adalah titik maksimum Koordinat titik maksimum : Syarat titik maksimum : y = > -2x + 6 = 0-2x = -6 x = 3 untuk x = > y = -x 2 + 6x - 2 = -(3) 2 + 6(3) - 2 = = 7 Jadi koordinat titik maksimum (3,7) 2. y = x 2-4x + 8 y = dy/dx = 2x - 4 y = 2 > 0 Karena y > 0 maka titik ekstrimya adalah titik minimum Koordinat titik minimum: Syarat titik minimum : y = > 2x -4 = 0 2x = 4 x = 2 untuk x = > y = x 2-4x + 8 = (2) 2-4(2) + 8 = 12-8 = 4 Jadi koordinat titik minimum (2,4) Jayadi, STIE IPWIJA Page 46

47 Latihan Soal : Tentukan jenis titik ekstrim dan koordinat titik ekstrim fungsi berikut ini : 1. y = 0,5x 2-4x y = 3x 2-30x y = -4x x y = -5x x y = 1/3x 3-1/2x 2-6x Jayadi, STIE IPWIJA Page 47

48 APLIKASI DIFERENSIAL DALAM BIDANG EKONOMI 1. Elastisitas Suatu fungsi y = f(x) maka elastisitas y terhadap x merupakan rasio antara persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x. E = % y = dy. x = y. x % x dx y y a. Elastisitas Permintaan Elastisitas permintaan adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Atau merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Q d = f(p), maka elastisitas permintaannya : E d = % Q d = dq d. P = Q d. P % P dp Q d Q d Permintaan suatu barang dikatakan bersifat : elastik apabila E d > 1 inelastik apabila E d < 1 elastik uniter apabila E d = 1 Contoh 1: Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q d = 25-3P 2. Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5. Jawab : Q d = 25-3P > Q d = dq d / dp = -6P E d = dq d. P = -6P. P = -6(5). 5 dp Q d 25-3P = -150 = 3 (elastik) -50 E d = 3 dapat diartikan bahwa dari kedudukan P = 5, jika harga barang naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (naik) sebanyak 3%. Jayadi, STIE IPWIJA Page 48

49 Contoh 2 : Permintaan akan suatu barang dicerminkan oleh Q d = 4 - P. Hitunglah elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 3 dan pada tingkat permintaan Q d = 3. Jawab : Q d = 4 - P -----> Q d = dq d / dp = -1 Pada P = 3, Q d = > E d = dq d. P = -1. 3/1 = -3 (elastik) dp Q d Pada Q d = 3, P = > E d = dq d. P = -1. 1/3 = -1/3 (inelastik) dp Q d Catatan : Dalam konsep elastisitas permintaan yang dipentingkan adalah besarnya hasil perhitungan, sedangkan tanda negatif dapat diabaikan, karena hal itu sekedar mencerminkan berlakunya hukum permintaan bahwa jumlah yang diminta bergerak berlawanan arah dengan harga. b. Elastisitas Penawaran Elastisitas penawaran adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan akibat adanya perubahan harga. Atau merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Q s = f(p), maka elastisitas penawarannya Es = % Q s = dq s. P = Q s. P % P dp Q s Q s Penawaran suatu barang dikatakan bersifat : elastik apabila E s > 1 inelastik apabila E s < 1 elastik uniter apabila E s = 1 Contoh : Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh Q s = P 2 Berapa elastisitas penawarannya pada tingkat P = 10 dan P = 15? Jayadi, STIE IPWIJA Page 49

50 Jawab : Q s = P > Q s= dq s / dp = 14P Pada P =10, -----> E s = dq s. P = 14P. P = = 2,8 (elastik) dp Q s P Pada P =15, -----> E s = dq s. P = 14P. P = = 2,3 (elastik) dp Q s P c. Elastisitas Produksi Elastisitas produksi adalah suatu koefisien yang menjelaskan bersarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan masukan (input) yang digunakan. Atau merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P d = f(x)), maka elastisitas produksinya : E p = % P d = dp d. X dimana dp d /dx tak lain adalah turunan % X dx P d dari P d atau P d Contoh : Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P d = 6X 2 - X 3. Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan faktor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit. Jawab : P d = 6X 2 - X > P d = dp d /dx = 12X - 3X 2 E p = dp d /dx. X/P d = (12X - 3X 2 ). X (6X 2 - X 3 ) Pada X = > E p = (36-27). 3/(54-27) = 1 Pada X = > E p = (84-147). 7/( ) = 9 Latihan Soal : a. Permintaan suatu barang dicerminkan oleh fungsi Q d = 800-4P 2. Jelaskan bagaimana sifat permintaan akan barang tersebut pada tingkat harga P = 10 dan pada tingkat permintaan Q d = 224 unit b. Hitunglah elastisitas penawaran suatu barang pada tingkat harga P = 10 dan pada tingkat penawaran Q s = 193, jika fungsi penawarannya Q s = P 2. c. Fungsi produksi suatu barang dinyatakan dengan P d = 3X 2-2X 3. Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan faktor produksi sebanyak 4 unit dan 10 unit. Jayadi, STIE IPWIJA Page 50

51 2. Biaya Marjinal ( Marginal Cost, MC) Biaya marjinal adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Fungsi biaya marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f(q), maka biaya marjinalanya : MC = C = dc / dq Biaya marjinal selalu mencapai titik ekstrim dalam keadaan titik minimum, jika : MC = 0 Contoh : Fungsi biaya total C = Q 3-3Q 2 + 4Q + 4 Berapa besar biaya total dan biaya marjinalnya? C = Q 3-3Q 2 + 4Q + 4 MC = C = 3Q 2-6Q + 4 MC = C = 6Q - 6 MC mimimum jika MC = 0 6Q - 6 = > Q = 1 Pada Q = > MC = 3(1) 2 + 6(1) + 4 = 1 C = 1 3-3(1) 2 + 4(1) + 4 = 6 3. Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue, MR) Penerimaan marjinal ialah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau terjual. Fungsi penerimaan marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan toatal dinyatakan dengan R = f(q), maka penerimaan marjinalnya : MR = R = dr / dq Penerimaan marjinal selalu mencapai titik ekstrim, jika : MR = 0 Contoh : Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh P = 16-2Q Hitung besar penerimaan totalnya. Jayadi, STIE IPWIJA Page 51

52 Jawab : R = P.Q = (16-2Q)Q = 16Q - 2Q 2 MR = R = 16-4Q Pada MR = > 16-4Q = 0 Q = 4 Jika Q = > P = 16-2(4) = 8 R = 16(4) - 2(4) 2 = = Keuntungan Maksimum Keuntungan maksimum atau nilai optimum dapat ditentukan dengan cara menetapkan turunan pertamanya sama dengan nol. Jika penerimaan total dinyatakan dengan R = r(q), sedangkan biaya total dinyatakan dengan C = r(q), maka : = R - C = r(q) - c(q) = f(q) maksimum jika = f (Q) = 0 Karena = R - C maka = R - C = MR - MC maksimum jika = > MR - MC = > MR = MC Selanjutnya untuk mengetahui keuntungan maksimum atau kerugian maksimum, perlu diuji melalui turunan kedua dari fungsi. Jika < > keuntungan maksimum Jika > > kerugian maksimum Contoh : Jika R = -2Q Q dan C = Q 3-59Q Q Hitung keuntungan maksimumnya. Jawab : = R - C = -2Q Q (Q 3-59Q Q ) = -2Q Q Q Q Q = -Q Q 2-315Q = -3Q Q -315 = -6Q Jayadi, STIE IPWIJA Page 52

53 Agar keuntungan maksimum : = 0-3Q Q -315 = 0 -Q Q = 0 (-Q + 3)(Q - 35) = 0, diperoleh Q 1 = 3 dan Q 2 = 35 Jika Q = > = -6(3) = 96 > 0 (rugi) Jika Q = > = -6(35) = -96 < 0 (untung) Jadi besarnya keuntungan maksimum ( ) = -(35) (35) 2-315(35) = = = Jayadi, STIE IPWIJA Page 53

54 KUMPULAN SOAL MATEMATIKA EKONOMI 1. Pabrik rokok Jarum menghasilkan sejuta bungkus rokok pada tahun pertama, dan 1,6 juta bungkus pada tahun ketujuh. Andaikata perkembangan produksinya konstan, a. Berapa tambahan produksinya setiap tahun? b. Berapa produksinya pada tahun kesebelas? c. Pada tahun keberapa produksinya 2,5 juta bungkus rokok? d. Berapa bungkus rokok yang telah dihasilkan sampai dengan tahun ke-enambelas? 2. Pabrik kecap National memproduksi botol kecap pada tahun keenam (ke-6) operasinya. Karena persaingan keras pabrik kecap merek lain, produksinya terus menurun secara konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi botol. a. Berapa botol penurunan produksinya per tahun? b. Pada tahun keberapa pabrik kecap National ini tidak berproduksi lagi (tutup)? c. Berapa botol kecap yang dihasilkan selama operasinya? 3. A meminjam uang lima juta rupiah pada B untuk jangka waktu dua tahun dengan bunga 15% per tahun. Berapa jumlah uang yang harus dibayarkan oleh A pada saat jatuh tempo, jika pembayaran bunganya dilakukan : a. Pada setiap akhir tahun b. Pada setiap akhir semester c. Mana yang lebih menguntungkan, bunga dibayarkan pada setiap akhir tahun ataukah pada setiap akhir semester? 4. Uang sebanyak Rp akan menjadi Rp apabila ditabung untuk jangka waktu 5 tahun. a. Berapa tingkat bunganya? b. Berapa jumlah uang tersebut seandainya ditabung selama sepuluh tahun? 5. Penduduk suatu negara tercatat 25 juta jiwa pada tahun Berapa penduknya pada tahun 2000 dan tahun 2010, jika tingkat pertumbuhannya 3% per tahun? 6. Fungsi permintaan sebuah barang ditunjukkan persamaan Q = 75-3P a. Gambarkan kurva permintaannya! b. Berapa jumlah yang diminta jika harganya 10? c. Berapa jumlah yang diminta jika harganya gratis? Jayadi, STIE IPWIJA Page 54

55 d. Berapa harga barang itu jika jumlah yang diminta 15? e. Berapa harga barang itu jika tidak ada permintaan? 7. Fungsi penawaran sebuah barang ditunjukkan persamaan Q = P a. Gambarkan kurva penawarannya! b. Berapa jumlah yang ditawarkan jika harganya 3? c. Berapa harga minimum agar produsen masih bersedia menjual barangnya? 8. Sebuah bola lampu Philips bila dijual seharga Rp. 300,- akan terjual sejumlah 1000 buah. Pada setiap kenaikan harga sebesar Rp.100,- jumlah penjualannya bertambah sebanyak 400 buah. a. Gambarkan fungsi penawaran bola lampu tersebut! b. Gambarkan kurva penawarannya! 9. Fungsi penawaran suatu barang diketahui Q = P a. Bagaimana fungsi penawarannya jika terdapat pajak sebesar 2? b. Bagaimana fungsi penawarannya jika terdapat subsidi sebesar 3? c. Gambarkan grafiknya! 10. Permintaan akan suatu komoditas diketahui berfungsi P = 17 - Q, sedangkan penawarannya P = 1/4Q + 3/4 a. Berapa harga dan jumlah keseimbanganya? b. Berapa subsidi harus diberikan agar komoditas tersebut menjadi gratis? 11. Biaya variabel rata-rata yang dikeluarkan oleh seorang produsen adalah 75% dari harga jual produknya, sedangkan biaya tetapnya keseluruhan Rp ,-. Harga jual produk per unit Rp. 40,- a. Berapa jumlah produk yang harus dihasilkan agar produsen break even? b. Berapa profitnya jika memproduksi 5000 unit? 12. Penerimaan total perusahaan dari memproduksi barang yang harga jual-nya Rp. 300,- per unit adalah Rp ,-. Biaya tetap totalnya Rp ,- sedangkan biaya variabelnya Rp. 200,- per unit Berapa unit barang harus diproduksi agar ia memperoleh keuntungan? 13. Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah pabrik ditunjukkan oleh persamaan C = Q 3-90Q Q a. Pada tingkat produksi berapa unit biaya marjinalnya minimum? b. Berapa besarnya biaya marjinal minimum tersebut? c. Berapa pula besarnya biaya total pada tingkat produksi tersebut? Jayadi, STIE IPWIJA Page 55

56 14. Biaya rata-rata yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh AC = 0,5Q 2-15Q /Q. a. Hitunglah tingkat produksi yang memberikan biaya marjinal minimum dan besarnya biaya marjinal minimum tersebut. b. Hitung juga besarnya biaya total dan biaya rata-rata 15. Seorang produsen di pasar persaingan sempurna menjual barangnya seharga Rp. 90,- per unit. Biaya tetap total yang dikeluarkan sebesar Rp. 400,- sedangkan biaya variabel totalnya VC = 1,5Q 2-30Q. a. Berapa unit barang harus dihasilkan agar keuntungannya maksimum? b. Hitunglah keuntungan maksimum tersebut! 16. Bila fungsi permintaan adalah linier ditunjukkan oleh persamaan 2P + Q = 200 (P = harga dan Q = jumlah yang diminta), berapakah tingkat harga dan jumlah yang diminta bila pada tingkat harga tersebut elastisitasnya adalah 0,25. oooo000oooo Jayadi, STIE IPWIJA Page 56

57 DAFTAR PUSTAKA Alpha C. Chiang Dasar-Dasar Matematika Jilid 2. Jakarta : Penerbit Erlangga Dumairy Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi, Yogyakarta : BPFE Kalangi, J.B Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Penerbit : Saelmba Empat Sudarso Matematika Ekonomi, Jakarta : Penerbit Rineke Cipta Wahyu Hidayat Buku Materi Pokok Matematika Ekonomi I, Jakarta : Penerbit Karunika Universitas Terbuka Jayadi, STIE IPWIJA Page 57