Bab 1: Tabel Mortalitas dan Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Pendahuluan Asuransi Jiwa Asuransi Jiwa
Asuransi Jiwa Asuransi Jiwa
Asuransi Jiwa Asuransi Jiwa
Asuransi Jiwa Asuransi Jiwa
Asuransi Jiwa Asuransi Jiwa
Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas Tabel mortalitas merupakan tabel yang berisi peluang seseorang meninggal menurut umurnya dari kelompok orang yang diasuransikan (pemegang polis asuransi). Di bawah adalah potongan tabel mortalitas (CSO 1960) yang berasal dari Amerika Serikat.
Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas.
Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas x menyatakan usia yang dicapai. l x menyatakan jumlah orang yang tepat berusia x. Kelompok orang seperti ini mempunyai ciri yang sama (di sini sama saat lahirnya) disebut kohort. l 0 pada tabel dipilih agak sembarang dan disebut radix. d x menyatakan jumlah orang yang meninggal antara usia x dan x + 1. Banyaknya d x diperoleh dari d x = l x l x+1 Contoh: d 0 = l 0 l 1 = 10, 000, 000 9, 916, 800 = 83, 200
Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas q x menyatakan peluang seseorang berusia x akan meninggal antara usia x dan x + 1 tahun lagi. Nilai q x diperoleh dari q x = l x l x+1 l x = d x l x Contoh: q 4 = d 4 l 4 = 16,272 9,861,567 = 0.00165 e x menyatakan harapan hidup pada usia x (rata-rata usia yang akan ditempuh oleh anggota kohort yang berusia x). e 0 = 66.86 tahun berarti bahwa menurut tabel CSO 1960, seseorang yang baru lahir, pada rata-ratanya dapat mengharapkan akan mencapai usia 66.86 tahun.
Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas Contoh: Misalkan diketahui l 6 = 9, 829, 641 orang dan q 5 = 0.00159. Hitunglah l 5 dan d 5! Jawab: q 5 = d 5 l 5 = l 5 l 6 l 5 q 5 l 5 = l 5 l 6 0.00159 l 5 = l 5 9, 829, 641 0.99841 l 5 = 9, 829, 641 l 5 = 9, 845, 295 Sehingga diperoleh d 5 yaitu d 5 = l 5 l 6 = 9, 845, 295 9, 829, 641 = 15, 654
Tabel Mortalitas Cara Membuat Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas Misalkan suatu perusahaan asuransi memiliki data yang mencakup usia antara 43 tahun sampai 47 tahun sebagai berikut: Usia Banyaknya yang Diamati Banyaknya yang Meninggal 43 3602 27 44 4233 34 45 5817 50 46 1849 17 47 4651 46
Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas Hitung peluang meninggal selama setahun Usia Peluang Meninggal Setahun 43 0.00750 44 0.00803 45 0.00860 46 0.00919 47 0.00989
Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas Pilih radix (sembarang), misalkan dipilih l 43 = 100000, maka x l x d x q x 43 100000 750 0.00750 44 99250 797 0.00803 45 98453 847 0.00860 46 97606 897 0.00919 47 96709 956 0.00989 48 95753 Perhitungan: d 43 = l 43 q 43 = (100000)(0.00750) = 750 l 44 = l 43 d 43 = 100000 750 = 99250 d 44 = l 44 q 44 = (99250)(0.00803) = 796.98 797 l 45 = l 44 d 44 = 99250 797 = 98453 dst.
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup Seseorang Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang Misalkan terdapat seseorang yang berusia x, maka t p x menyatakan peluang seseorang yang berusia x tersebut akan hidup selama t tahun lagi. tp x = l x+t l x
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang Contoh: Berdasarkan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa peluang orang yang berumur 43 tahun akan hidup sampai umur 44 tahun?
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang Contoh: Berdasarkan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa peluang orang yang berumur 43 tahun akan hidup sampai umur 44 tahun? Penyelesaian: p 43 = l 44 l 43 = 99250 100000 = 0.9925 atau p 43 = 1 q 43 = 1 0.0075 = 0.9925
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang Peluang Meninggal Seseorang Sedangkan t q x menyatakan peluang seseorang yang berusia x akan meninggal dalam t tahun, atau dengan kata lain peluang seseorang berusia x akan meninggal antara waktu x dan x + t. tq x = 1 t p x = 1 l x+t l x = l x l x+t l x = t d x l x
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang s/tq x menyatakan peluang seseorang yang berusia x akan hidup s tahun dan meninggal dalam t tahun kemudian, yaitu meninggal antara usia x + s dan x + s + t tahun. Maka s/tq x = l x+s l x+s+t l x = t d x+s l x
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang Contoh: Dengan menggunakan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa peluang seseorang yang berusia 43 tahun akan meninggal antara usia 45 dan 47 tahun?
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang Contoh: Dengan menggunakan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa peluang seseorang yang berusia 43 tahun akan meninggal antara usia 45 dan 47 tahun? Penyelesaian: 2/2q 43 = l 45 l 47 l 43 98453 96709 = 100000 = 0.01744
Contoh Soal Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang 1. Misalkan keluarga mempunyai dua orang anak, masing-masing berusia 6 dan 10 tahun. Hitunglah peluang tepat seorang anak akan meninggal sebelum usia 40 tahun!
Contoh Soal Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang 1. Misalkan keluarga mempunyai dua orang anak, masing-masing berusia 6 dan 10 tahun. Hitunglah peluang tepat seorang anak akan meninggal sebelum usia 40 tahun! Penyelesaian: Terdapat dua kemungkinan pada kasus tersebut: a. Anak pertama meninggal, maka anak kedua hidup b. Anak pertama hidup, maka anak kedua meninggal Sehingga solusinya adalah = 30 q 10 34 p 6 + 34 q 6 30 p 10 = l 10 l 40 l 10 = l 40(l 10 + l 6 2 l 40 ) l 6 l 10 l40 + l 6 l 40 l40 l 6 l 6 l 10
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang 2. Buktikan bahwa: a. s/t q x = s p x. t q x+s
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang 2. Buktikan bahwa: a. s/t q x = s p x. t q x+s Solusi: sp x. t q x+s = l x+s l x = l x+s l x+s+t l x = s/t q x ( ) lx+s l x+s+t l x+s
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang b. s+t p x = s p x s/t q x
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang b. s+t p x = s p x s/t q x Solusi: sp x s/t q x = l x+s l x = l x+s+t l x = s+t p x ( ) lx+s l x+s+t l x
Latihan Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Latihan 1 Selesaikan tabel berikut x q x l x d x 95 0.3 2500 96 0.4 97 0.5 98 0.6 99 0.8 100 1 101 0