Bab 2 Distribusi Survival dan Tabel Mortalitas

Transkripsi

1 Bab 2 Distribusi Survival dan Tabel Mortalitas 2.1 Distribusi Survival Meninggalnya seseorang merupakan sesuatu yang pasti terjadi namun kapan terjadinya tidak dapat diprediksi. Karena itu, ketahanan hidup (survival) seseorang sampai ia meninggal dapat dianggap sebagai variabel acak. Distribusi dari variabel acak ini disebut distribusi survival. Distribusi survival dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi distribusi F(x) atau fungsi survival Fungsi distribusi dan fungsi survival Misalkan X menyatakan usia meninggal (berarti X 0). Fungsi distribusi atau CDF dari X adalah fungsi F(x) = P(X x), (2.1) dan fungsi survival atau SDF (survival distribution function) dari X adalah fungsi = 1 F(x) = P(X > x) (2.2) Nilai F(x) dapat dibaca peluang seseorang meninggal paling tua pada usia x dan dibaca peluang seseorang masih hidup di usia x. Sifat di ketakhinggaan dari SDF adalah lim = 0. x Sifat ini diperoleh dari definisi SDF dan sifat di ketakhinggaan CDF, lim = 1 lim F(x) = 1 1 = 0. x x Pada persamaan (2.1) dan (2.2) diasumsikan bahwa F(0) = 0 dan s(0) = 1. Dengan demikian persamaan (2.1) dapat dipandang sebagai peluang meninggal untuk bayi 8

2 yang baru lahir sebab P(X x X > 0) = P(X x,x > 0) P(X > 0) = F(x) F(0) s(0) = = F(x) 0 1 P(0 < X x) P(X > 0) = F(x) = P(X x). Latihan. Apa artinya a. s(20) b. P(X 70) c. s(100) d. F(25) e. P(X > 35) Peluang meninggal 1) Peluang meninggal seseorang berusia x Nilai CDF F(t) menyatakan peluang bayi yang baru lahir akan meninggal dalam waktu t tahun. Bagaimana jika yang menjadi perhatian kita bukan bayi yang baru lahir tetap sesorang yang berusia x. Jika seseorang yang berusia x disimbolkan dengan (x), maka peluang bahwa (x) akan meninggal paling tua pada usia z adalah P(x < X z) X > x) = 1 s(z) (2.3) Bukti. Perhatikan bahwa P(x < X z) X > x) dapat dibaca peluang seseorang berusia x akan meninggal paling tua pada usia z. Berdasarkan definisi peluang bersyarat, P(x < X z,x > x) P(x < X z) X > x) = P(X > x) P(x < X z) = P(X > x) = F(z) F(x) 1 F(x) 9

3 Tetapi F(x) = 1 sehingga P(x < X z) X > x) = (1 s(z)) (1 ) = s(z) = 1 s(z). 2) Peluang meninggal dan peluang hidup bagi seseorang berusia x Misal didefinisikan variabel acak T(x) = X x yang menyatakan sisa hidup (x) atau seseorang berusia x. Selanjutnya, peluang P(T(x) t) dapat dibaca peluang (x) akan meninggal dalam t tahun. Untuk bayi yang baru lahir atau (0), sisa hidupnya adalah T(0) = X, sehingga P(T(0) t) = P(X t) = F(t). Pada aktuaria, peluang hidup dan peluang meninggal untuk (x) masing-masing dinotasikan dengan tp x tq x : peluang (x) akan hidup sampai t tahun lagi : peluang (x) akan meninggal dalam t tahun Berdasarkan definisinya t p x dan t q x dapat ditulis sebagai tq x = P(T(x) t) = P(x < X x+t X > x), dan tp x = 1 t q x = P(T(x) > t). Untuk t = 1, notasi 1 q x dan 1 p x cukup ditulis: q x p x : peluang (x) akan meninggal dalam setahun : peluang (x) hidup setahun lagi 10

4 3) Hubungan antara peluang hidup dan fungsi survival tp x = s(x+t). (2.4) Bukti. Berdasarkan definisi t q x dan persamaan (2.3) diperoleh tq x = P(T(x) t) = P(x < X x+t X > x) Akibatnya, t p x = 1 t q x = s(x+t). = 1 s(x+t). Khususnya, untuk kasus bayi yang baru lahir atau (0), xp 0 =. (2.5) 4) Peluang (x) akan meninggal antara usia x+t dan x+t+u t uq x = t p x t+u p x. (2.6) Bukti. Berdasarkan definisinya, t uq x = P(t < T(x) t+u) = F(t+u) F(t) = P(T(x) t+u) P(T(x) t) = t+u q x t q x = t p x t+u p x Untuk u = 1 cukup ditulis t q x. Rumus t u q x juga dapat dinyatakan sebagai t uq x = t p x u q x+t. (2.7) Bukti. Karena tq x = 1 s(x+t) dan t p x = s(x+t) 11

5 maka t uq x = s(x+t) s(x+t+u) = s(x+t) s(x+t+u) = s(x+t) ( ) s(x+t) s(x+t+u) s(x+t) ( = t p x 1 s(x+t+u) ) s(x+t) = t p x u q x+t. Daftar lambang (x) : seseorang berusia x X : variabel acak yang menyatakan usia meninggal T(x) : variabel acak yang menyatakan sisa hidup untuk (x) : peluang hidup sampai usia x tp x : peluang (x) akan hidup sampai t tahun lagi (masih hidup di usia x+t) tq x : peluang (x) akan meninggal dalam t tahun : peluang (x) akan meninggal antara usia x+t dan x+t+u t uq x Latihan Apa arti dari simbol-simbol berikut: a. P(X 30) b. P(X > 30) c. s(40) d. F(50) e. 5 p 20 f. 5 q 20 g. 2 5 q 20 12

6 2.1.3 Curtate-Future-Lifetime (CFL) CFL untuk (x) adalah variabel acak yang menyatakan bilangan bulat terbesar pada variabel acak T(x). Dengan kata lain jika K(x) CFL untuk (x) maka K(x) = T(x) (2.8) dengan K(x) = 0,1,2,... Contoh Misal T(x)= 25 tahun 4 bulan 2 hari. Maka K(x) = 25 tahun. Misal T(x)= 20 tahun 11 bulan 26 hari. Maka K(x) = 20 tahun Distribusi dari CFL PMF dari K(x) adalah P(K(x) = k) = P(k T(x) < k +1) = P(k < T(x) k +1) = k p x k+1 p x = k q x dan CDF-nya F K(x) (y) = y k q x = y+1 q x. k= Laju Kematian Laju kematian (laju mortalitas) untuk (x) didefinisikan sebagai P(x < X x+ x X > x) µ(x) = lim x 0 x (2.9) Laju kematian µ(x) juga dapat diartikan peluang (x) akan meninggal sesaat lagi (dalam waktu yang sangat singkat). Pada analisis survival laju kematian disebut juga fungsi laju kegagalan atau hazard rate function (HRF). 13

7 Berikut akan ditunjukkan bahwa hubungan antara laju kematian, PDF, CDF, dan fungsi survival adalah µ(x) = f X(x) 1 F X (x) = f X(x) = s (x) (2.10) Bukti. Dari definisi peluang bersyarat Dari definisi turunan P(x < X x+ x) P(x < X x+ x X > x) = P(X > x) = F X(x+ x) F X (x) 1 F X (x) = F X(x+ x) F X (x) F X (x+ x) F X (x) lim x 0 x = F X(x) Tetapi, dari definisi fungsi densitas, F X (x) = f X(x). Akibatnya, laju kematian µ(x) = lim x 0 = lim x 0 = f X(x) Karena = 1 F X (x) dan P(x < X x+ x X > x) 1 x F X (x+ x) F X (x) 1 x s (x) = F X(x) = f X (x) maka f X (x) = s (x), sehingga µ(x) = f X(x) 1 F X (x) = f X(x) = s (x). Hubungan antara peluang hidup dengan laju kematian np x = e n 0 µ(x+s)ds (2.11) 14

8 Bukti. Dari definisi laju kematian µ(y) = s (y) s(y) = d ln s(y) dy atau µ(y)dy = dln s(y) Dengan mengintegralkan kedua ruas dari x sampai x + n diperoleh x+n x µ(y)dy = ln s(y) x+n x = ln s(x+n) = ln n p x Misal s = y x maka ds = dy. Jika y = x maka s = 0 dan jika y = x + n maka s = n. Akibatnya np x = e n 0 µ(x+s)ds. Untuk kasus bayi yang baru lahir, hubungan antara peluang hidup, fungsi survival, dan laju kematian adalah xp 0 = = e x 0 µ(s)ds, x 0 (2.12) PDF dari variabel acak sisa hidup T(x) f T(x) (t) = t p x µ(x+t) (2.13) Bukti. Karena T(x) variabel acak kontinu maka PDF-nya f T(x) (t) = d dt F T(x)(t) = d dt P(T(x) t) = d dt t q x = d [ 1 s(x+t) ] dt 15

9 = s (x+t) = s(x+t) s (x+t) s(x+t) = t p x µ(x+t), t 0 (dari persamaan (2.4) dan (2.10). Selain itu, karena f T(x) (t) = d dt t q x dan t q x = 1 t p x maka d dt t q x = d dt (1 tp x ) = d dt t p x = t p x µ(x+t) 2.2 Tabel Mortalitas (TM) Tabel mortalitas adalah tabulasi nilai fungsi-fungsi dasar q x,l x,d x dan fungsi tambahan lainnya yang didaftar berdasarkan usia x atau rentang usia (x,x + 1) dengan x = 0,1,2,...,ω dan ω batas usia yang mungkin (contoh lihat Bowers, et al., 1997, hal ). Saat ini Indonesia sudah mempunyai tabel mortalitas sendiri yaitu TMI 2011 yang merupakan perbaikan dari TMI TMI 2011 disusun berdasarkan data mortalita dari 40 perusahaan di industri asuransi jiwa di Indonesia yang meliputi satuan polis Hubungan TM dengan fungsi survival Misalkan terdapat l 0 bayi yang baru lahir dan setiap bayi diindeks dengan j = 1,2,...,l 0. Definisikan variabel indikator { 1, jika bayi ke-j masih hidup di usia x I j (x) = 0, jika bayi ke-j meninggal sebelum usia x. Ketika I j (x) = 1, peluang bahwa bayi tersebut masih hidup di usia x, sama saja dengan nilai fungsi survival, sehingga P(I j (x) = 1) = dan P(I j (x) = 0) = 1. Akibatnya, E[I j (x)] = 0P(I j (x) = 0)+1P(I j (x) = 1) =. 16

10 Jika L x menyatakan jumlah bayi yang bertahan hidup sampai usia x, maka L x = l 0 j=1 I j (x) Karena E[I j (x)] = maka E[L x ] = l 0 j=1 E[I j (x)] = l 0. Selanjutnya, E[L x ] disimbolkan dengan l x. Dengan kata lain l x menyatakan banyaknya bayi yang diharapkan masih hidup sampai usia x dan l x = l 0. (2.14) Misalkan n D x menyatakan banyaknya bayi yang meninggal antara usia x dan x+n, dan n d x menyatakan ekspektasinya. Maka nd x = E[ n D x ] = l 0 l 0 s(x+n) = l 0 [ s(x+n)] = l x l x+n. Ketika n = 1, 1 d x cukup ditulis d x. Penulisan t p x, t q x dan µ(x) sebagai fungsi dari l x : tp x = l x+t, tq x = l x l x+t, µ(x) = l x l x l x l x Bukti Akibatnya tp x = s(x+t) = l 0s(x+t) l 0 tq x = 1 l x+t = l x l x+t l x l x µ x = s (x) = l 0s (x) l 0 = l x l x = l x+t l x 17

11 p x = l x+1 l x q x = l x l x+1 l x = d x l x Daftar lambang K(x) : bilangan bulat terbesar dari sisa hidup T(x) p x q x : peluang (x) hidup setahun lagi : peluang (x) meninggal dalam setahun k q x : peluang (x) meninggal antara usia x dan x+1 µ(x) atau µ x : peluang (x) akan meninggal dalam waktu yang sangat singkat L x l x nd x nd x d x ω : jumlah bayi baru lahir yang masih hidup di usia x : jumlah bayi baru lahir yang diharapkan masih hidup di usia x : banyaknya (x) yang meninggal dalam n tahun : banyaknya (x) yang diharapkan meninggal dalam n tahun : banyaknya (x) yang diharapkan meninggal dalam setahun : usia tertua pada tabel mortalitas Beberapa Hukum Mortalitas 1. Hukum De Moivre (1729) µ x = 1 ω x, dengan 0 x ω dengan ω menyatakan usia tertua dimana seseorang masih hidup. 2. Gompertz (1825) 3. Makeham (1860) dengan B > 0,A B,c > 1,x 0 4. Weibull (1939) dengan k > 0,n > 0,x 0 µ x = Bc x, B > 0,c > 1,x 0 µ x = A+Bc x µ x = kx n 18

12 Latihan 1. Untuk soal berikut, gunakan rumus-rumus yang menyatakan hubungan laju kematian dengan F X (x), f X (x), dan. (a) Tentukan F X (x) dan f X (x) jika = e x, x 0. (b) Tentukan dan f X (x) jika F(x) = x, x Diberikan = 1 x/100, untuk 0 x 100. Tentukan µ(x), F X (x), f X (x), dan P(10 < X < 40). 3. Diberikan = ( x x 2 )/9000, untuk 0 < x 90. Tentukan q 50 µ Diberikan = 1 (x/100), untuk 0 x 100. Tentukan: (a). 17 p 19, (b). 13 q 36, (c) q 36, (d). µ(36), (e). E[T(36)]. 5. Misal µ(x) = kx, untuk x > 0 dan 10 p 35 = 0,81. Tentukan nilai 20 p Misal µ(x) = 0,0001, untuk 20 < x < 25. Tentukan 2 2 q Misal variabel acak T mempunyai PDF f T (t) = ce ct, t 0, c > 0. Tentukan E[T],Var(T), median(t), modus(t). 8. Misal variabel acak T(x) mempunyai PDF f T(x) (t) = { t 100 x, 0 t < 100 x 1, t 100 x Tentukan e x = E[T(x)],Var[T(x)], median(t(x)). 9. Diberikan tabel mortalitas berikut: x p x l x d x 0 0, ,8 2 0,6 3 0,3 4 0 (a) Tentukan nilai untuk x = 0,1,2,3,4 (b) Isi kolom l x dan d x. 10. Berdasarkan tabel pada soal sebelumnya, tentukan (a). 3 d 0, (b). 2 q 1, (c). 3 p 1, (d). 3 q 2. 19

13 11. Diberikan µ x = 2 x x, 0 x < 100 Tentukan banyaknya yang meninggal untuk usia antara 1 dan 4 tahun, jika l 0 = Misal µ x = k +e 2x untuk x 0 dan 40 p 0 = 0,5. Tentukan nilai k. 13. Diberikan l x = 2500(64 0,8x) 1/3, 0 x 80. Tentukan PDF, mean, dan variansi dari X. 14. Misal 1 q x+1 = 0,95, 2 q x+1 = 0,171, dan q x+3 = 0,2. Tentukan q x+1 +q x+2. Tugas Buat tabel mortalitas dengan kolom-kolom x,l x,d x,1000q x, yang didasarkan pada hukum Makeham 1000µ(x) = 0,7+0,05(10 0,04 ) x. Gunakan radix l 0 = dan usia tertua ω = 100. Software yang digunakan bebas, tetapi akan mendapatkan nilai tambah jika dikerjakan menggunakan pemrograman macro pada MS Excel. 20