Asuransi Jiwa

Transkripsi

1 Bab 4: Anuitas Hidup Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Pendahuluan Pendahuluan Anuitas tentu yang sudah dibahas sebelumnya tidak dikaitkan dengan hidup matinya seseorang Pembayaran pensiun, pembayaran premi asuransi, harga berlangsung selama orang yang pensiun atau pemegang polis asuransi tersebut masih hidup Pembayaran akan dihentikan jika orang yang bersangkutan telah meninggal Anuitas yang pembayarannya dikaitkan dengan hidup matinya seseorang disebut anuitas hidup (life annuity)

3 Macam-macam Anuitas Macam-macam Anuitas Hidup Ada bermacam-macam anuitas hidup, tergantung atas lamanya pembayaran berlangsung, apakah pembayaran dilakukan di permulaan atau akhir tahun, ataupun apakah pembayaran ditunda selama jangka waktu tertentu. 1. Anuitas akhir seumur hidup, yaitu serangkaian pembayaran sebesar 1 yang dilakukan tiap akhir tahun, pembayaran hanya berlangsung selama seseorang masih hidup waktu jatuhnya pembayaran tersebut. Nilai tunai anuitas ini ditulis dengan simbol a x, huruf x menyatakan usia sekarang orang yang bersangkutan. 2. Anuitas awal seumur hidup, yaitu serangkaian pembayaran sebesar 1 yang dilakukan tiap awal tahun, pembayaran berlangsung seumur hidup seseorang tertentu. Nilai tunai anuitas ini ditulis dengan simbol ä x. Jelas bahwa anuitas awal dan anuitas akhir seumur hidup hanya berselisih 1, yaitu pembayaran pertama pada awal tahun pertama.

4 Macam-macam Anuitas (x) menyatakan orang yang berusia x. Pembayaran terakhir terjadi ketika (x) berumur x + n 1. Karena nilai tunai pembayaran pertama pada permulaan tahun pertama adalah 1, maka ä x = 1 + a x (1)

5 Macam-macam Anuitas 3. Anuitas sementara, yaitu bila pembayaran tidak dilakukan sepanjang umur (x), tapi misalnya hanya berlangsung selama paling lama n tahun asal dia masih hidup. Nilai tunai suatu anuitas akhir selama n tahun ditulis dengan simbol a x:n sedangkan untuk anuitas awal ditulis dengan simbol ä x:n. Jika (x) meninggal sebelum mencapai n kali pembayaran, maka pembayaran tidak diteruskan. Dari gambar terlihat jelas bahwa ä x:n = 1 + a x:n 1 (2)

6 Macam-macam Anuitas 4. Anuitas Ditunda, yaitu serangkaian pembayaran yang pembayarannya ditunda selama beberapa tahun, misalnya m tahun, dan pembayaran dapat berlangsung seumur hidup atau selama jangka waktu tertentu (sementara). Nilai tunai suatu anuitas akhir bagi seseorang berusia x, ditunda selama m tahun, pembayaran paling banyak selama jangka waktu n tahun ditulis dengan simbol m n a x. Anuitas awalnya ditulis dengan simbol m n ä x. Bila anuitas tersebut seumur hidup, maka simbolnya menjadi m a x untuk anuitas akhir dan m ä x untuk anuitas awal. Mudah terlihat bahwa m+1 ä x = m a x m+1 nä x = m n a x (3)

7 Macam-macam Anuitas a x:n + n a x = a x (4) Hubungan tersebut dapat dilihat dari gambar berikut:

8 Anuitas Hidup Pandang sekelompok orang yang tepat berusia x yaitu l x. Misalkan tiap orang dari sebanyak l x tersebut menyetor sekarang sejumlah A rupiah ke dalam suatu dana sedemikian rupa besarnya sehingga tiap orang yang mencapai usia x + 1 menerima 1 dari dana tersebut, tiap orang yang mencapai usia x + 2 menerima 1 dari dana tersebut, dan seterusnya. Pembayaran dilakukan sampai semua orang dari sebanyak l x tadi meninggal semuanya. Masalahnya ialah, berapakah besarnya A?

9 Jadi, Maka A l x = l x+1 v + l x+2 v l w 1 v w 1 x + l w v w x = l x+1 v + l x+2 v l w v w x A = l x+1 v + l x+2 v l w v w x l x Pada pembahasan sebelumnya, simbol untuk A adalah a x dan disebut premi tunggal bersih atau nilai tunai anuitas akhir (hidup). Cara penurunan rumus ini disebut cara dana bersama, mirip gotong royong.

10 Contoh 1: Bila tingkat bunga 2.5% setahun, hitunglah a 50 dengan menggunakan tabel mortalitas 1941 bila tiap tahunnya, setiap orang yang bertahan hidup mendapatkan uang sebesar Rp 1 juta.

11 Contoh 1: Bila tingkat bunga 2.5% setahun, hitunglah a 50 dengan menggunakan tabel mortalitas 1941 bila tiap tahunnya, setiap orang yang bertahan hidup mendapatkan uang sebesar Rp 1 juta. Penyelesaian: Diketahui i = 2.5%, maka diperoleh v = = Jadi, a 50 = l 51 v + l 52 v l w v w x l 50 =

12 Perhitungannya tidak sulit, tapi membosankan. Untuk menyederhanakan perhitungan, maka dibuatlah simbol kumutasi atau simbol perantara, sebagai berikut = v x l x N x = i=0 +i = D w S x = i=0 N x+i = N x + N x N w = i=0(i + 1)+i = D w C x = v x+1 d x M x = i=0 C x+i = C x + C x C w R x = i=0 M x+i = M x + M x M w = i=0(i + 1)C x+i = C x + 2C x+1 + 3C x C w

13 Dengan menggunakan simbol kumutasi, maka rumus a x dapat disederhanakan menjadi (kalikan pembanding dan penyebutnya dengan v x ) a x = l x+1 v x+1 + l x+2 v x l w v w l x v x = D w = N x+1 (5)

14 Contoh 2: Hitunglah a 50 dengan menggunakan simbol kumutasi (untuk seterusnya akan digunakan tabel CSO dengan tingkat bunga 2.5%).

15 Contoh 2: Hitunglah a 50 dengan menggunakan simbol kumutasi (untuk seterusnya akan digunakan tabel CSO dengan tingkat bunga 2.5%). Penyelesaian: a 50 = N 51 D 50 = =

16 Dari rumus sebelumnya, kita peroleh ä x = 1 + a x = 1 + N x+1 = + N x+1 = N x (6)

17 Contoh 3: Buktikan bahwa ä x+1 = (1 + i)a x p x

18 Contoh 3: Buktikan bahwa ä x+1 = (1 + i)a x p x Penyelesaian: Kita tahu bahwa (1 + i) = 1 v dan p x = l x+1 l x, maka (1 + i)a x p x = a x v p x = l x ax l x+1 v = v x l x v x l x+1 ax v = +1 a x = +1 Nx+1 = N x+1 +1 = ä x+1

19 Contoh 4: Hitunglah nilai tunai atau premi tunggal bersih suatu anuitas awal (hidup) dengan pembayaran Rp 1500 setahun untuk seseorang berusia 20 tahun dan 60 tahun.

20 Contoh 4: Hitunglah nilai tunai atau premi tunggal bersih suatu anuitas awal (hidup) dengan pembayaran Rp 1500 setahun untuk seseorang berusia 20 tahun dan 60 tahun. Penyelesaian: a. Premi tunggal bersih: ä 20 b. Premi tunggal bersih: ä 60 ä 20 = P N20 = D = rupiah ä 60 = P N60 = D = rupiah

21 Perhatikan bahwa premi tunggal bersih untuk orang yang lebih muda lebih tinggi daripada untuk orang yang lebih tua karena orang yang lebih muda lebih lama, jadi lebih banyak, menerima anuitas sebab dia masih akan lebih lama hidup.

22 Endowment Murni Anuitas Hidup Endowment murni ialah suatu pembayaran yang dilakukan pada akhir suatu jangka waktu tertentu bagi seseorang tertentu bila dia hidup mencapai akhir jangka waktu tersebut. Bila orang tersebut meninggal sebelum akhir jangka waktu tersebut maka tidak ada pembayaran sama sekali. Simbol n E x menyatakan tunai suatu endowment murni yang dikeluarkan bagi seseorang berusia x selama jangka waktu n tahun. Bila (x) meninggal sebelum berusia x + n maka tidak ada pembayaran, tapi bila dia mencapai usia x + n maka kepadanya akan dibayarkan sebesar 1 pada akhir tahun ke x + n.

23 Nilai tunai dari 1 adalah 1 v n, peluang dibayarkan adalah n p x yaitu peluang (x) mencapai usia x + n, jadi ne x = 1 v n np x ( ) = v n lx+n l x = v x+n ( lx+n v x l x ) = +n (7)

24 Anuitas Sementara Anuitas Hidup a x:n dapat dipandang sebagai gabungan dari serangkaian endowment murni a x:n = 1 E x + 2 E x n Ex

25 atau a x:n = n = n = N x+1 N x+n+1 (8)

26 Dari rumus (2) dan (8) diperoleh: ä x:n = 1 + a x:n 1 = 1 + N x+1 N x+n = + N x+1 N x+n = N x N x+n (9)

27 Anuitas Ditunda Dari rumus (4), (5), dan (8) diperoleh: Dengan cara yang sama n a x = a x a x:n = N x+1 N x+1 N x+n+1 = N x+n+1 (10) n ä x = ä x ä x:n = N x N x N x+n = N x+n (11)

28 Untuk menurunkan rumus m n a x dan m n ä x kita akan menggunakan endowment murni. Pembayaran untuk m n a x dapat digambarkan sebagai Nilai tunai pembayaran tersebut adalah m na x = m+1 E x + m+2 E x m+n E x = +m+1 + +m m+n = N x+m+1 N x+m+n+1 (12)

29 Dari rumus (3) dan (12) diperoleh m nä x = m 1 n a x = N x+m N x+m+n (13)

30 Contoh 5: Hitunglah nilai tunai endowment murni sebesar Rp yang dikeluarkan bagi seseorang berusia 25 tahun selama 40 tahun.

31 Contoh 5: Hitunglah nilai tunai endowment murni sebesar Rp yang dikeluarkan bagi seseorang berusia 25 tahun selama 40 tahun. Penyelesaian: atau dengan cara lain E 25 = D 65 D 25 = ( )/ = E 25 = (1 + i) 40 l 65 l = (1.025) =

32 Latihan 1. Pada hari ulang tahunnya yang ke-30 si Ali membeli endowment murni sebesar Rp 5000 untuk selama 35 tahun (yaitu sampai usia 65 tahun). Bila dia mencapai usia 65 tahun, berapa besarkah yang akan ia terima? 2. Si Ali, yang sekarang berusia 25 tahun, ingin membeli suatu rencana pensiun mulai usia 55 tahun dengan penerimaan 3 juta rupiah setahun, pembayaran pertama pada hari ulang tahunnya yang ke 55. Untuk itu dia akan melakukan pembayaran tahunan, pada permulaan tiap tahun, mulai sekarang dan berakhir pada hari ulang tahunnya yang ke 54. Berapa besarkah pembayaran tahunan tersebut?

33 3. Pada usia 65 si Ali mempunyai dua pilihan (a) menerima 25 juta rupiah dari suatu perusahaan asuransi yang akan membungakannya dengan tingkat bunga 2.5 % setahun, dan dia akan menerima dengan cara tentu tiap permulaan tahun selama 20 tahun (anuitas tentu selama 20 tahun) sejumlah uang yang sama besarnya dan sesudah 20 kali pembayaran dana tadi habis, atau (b) membiarkan uangnya pada perusahaan tadi dan menerima sejumlah uang yang sama besarnya tiap permulaan tahun selama 20 tahun bila dia hidup (anuitas hidup). Hitunglah besarnya penerimaan si Ali tiap tahun dalam kedua hal tersebut. Bila si Ali meninggal tepat sebelum mencapai usia 80 tahun, berapa besarkah yang akan diterima oleh ahli warisnya?