Asuransi Jiwa

Transkripsi

1 Bab 7: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Pada pembahasan sebelumnya, semua asuransi dikeluarkan dengan premi tunggal. Pada kenyataannya premi tunggal jarang sekali digunakan, biasanya premi dibayar secara berkala, misalnya tiap tahun, enam bulan sekali, ataupun sebulan sekali dan dilakukan pada permulaan selang tiap tahun. Umumnya premi berkala tersebut sama besarnya, walaupun kadang-kadang ada juga yang berubah dari waktu ke waktu.

3 Misalnya pembayaran premi asuransi jiwa seumur hidup dapat dilakukan tiap permulaan tahun seumur hidup. Asuransi seperti ini sering disebut asuransi biasa (ordinary life insurance). Pembayaran premi mungkin pula terbatas, misalnya selama maksimum 20 tahun; asuransi seperti ini disebut asuransi dengan pembayaran terbatas (limited-payment life). Bila si tertanggung meninggal sebelum jangka waktu 20 tahun maka dia dianggap telah menyelesaikan pembayaran preminya.

4 Makin sering premi dibayar, untuk besar santunan yang sama, maka makin kecil premi berkalanya. Berikut ini diberikan perubahan besar premi bersih untuk asuransi seumur hidup bagi seseorang berusia 20 tahun (CSO 2,5 %) dengan santunan Rp 1000.

5 Asuransi berjangka biasanya pembayaran preminya dilakukan selama jangka waktu asuransi. Sedangkan untuk endowmen pembayaran preminya dapat dilakukan dengan tiga cara: selama jangka waktu, terbatas (lebih pendek dari jangka waktu), atau sekaligus (premi tunggal). Simbol untuk cara pembayaran premi mirip dengan simbol asuransinya, yaitu 1 P x adalah premi bersih tahunan untuk A x, jadi besar santunannya Rp 1. 2 np x adalah premi bersih tahunan untuk A x dengan pembayaran premi maksimum n kali. 3 P 1 x:n adalah premi bersih tahunan untuk A 1 x:n. 4 P x:n adalah premi bersih tahunan untuk A x:n. 5 mp x:n adalah premi bersih tahunan untuk A x:n dengan pembayaran premi maksimum m kali (m n).

6 Dalam pengerjaan, untuk memudahkan, gunakan saja simbol P sebagai premi tahunan. Dalam menghitung premi, gunakan prinsip dasar berikut Prinsip Perhitungan Premi Nilai tunai premi yang akan datang = nilai tunai santunan yang akan datang.

7 P x : Premi Bersih Tahunan untuk A x Nilai Tunai Premi P l x + v P l x+1 + v 2 P l x v w x P l w = P (l x + v l x+1 + v 2 l x v w x v x l w ) (kalikan v x ) l ( x vx l x + v x+1 l x+1 + v x+2 l x v w ) l w = P ( ) Dx D w = P ( ) Nx = P = P ä x

8 Nilai Tunai Santunan v d x + v 2 d x v w x+1 d w = v d x + v 2 d x v w x+1 d w (kalikan v x ) = vx+1 d x + v x+2 d x+1 + v x+3 l x v w+1 d w = C x + C x+1 + C x C w = M x = A x Jadi, P x ä x = A x

9 Pemahaman Lain Nilai Tunai Premi P l x + v P l x+1 + v 2 P l x v w x P l w = P (l x + v l x+1 + v 2 l x v w x v x l w ) (kalikan v x ) l ( x vx l x + v x+1 l x+1 + v x+2 l x v w ) l w = P = P (1 + v p x + v 2 2p x v w x w xp x ) Jadi, untuk perhitungan nilai tunai premi, besarnya premi dikalikan dengan peluang bertahan hidup di setiap tahunnya.

10 Nilai Tunai Santunan v d x + v 2 d x v w x+1 d w = v d x + v 2 d x v w x+1 d w (kalikan v x ) = vx+1 d x + v x+2 d x+1 + v x+3 l x v w+1 d w = v q x + v 2 2q x v w x+1 w x+1 q x Untuk perhitungan nilai tunai santunan, besarnya santunan dikalikan dengan peluang meninggalnya seseorang di setiap tahunnya.

11 Contoh 1 Hitunglah premi bersih tahunan untuk asuransi biasa dengan santunan 2 juta rupiah bagi orang berusia 30 tahun.

12 Penyelesaian P l 30 + v P l 31 + v 2 P l v w 30 P l w = v 2 d 30 + v 2 2 d v w 29 2 d w P (l 30 + v l 31 + v 2 l v w 30 l w ) = 2(v d 30 + v 2 d v w 29 d w ) Masing-masing ruas kalikan dengan 1 v 30 l 30

13 Diperoleh, ( ) D30 + D D w P D 30 ( ) N30 P D 30 = 2 C30 + C C w D 30 = 2 M30 D 30 P ä 30 = 2 A 30 Jadi, P = 2 A30 ä 30 = 2 M30 N 30

14 np x : Premi Bersih Tahunan untuk A x Pembayaran Maks n Kali Nilai Tunai Premi P l x + v P l x+1 + v 2 P l x v n P l x+n = P (l x + v l x+1 + v 2 l x v n v x l x+n ) (kalikan v x ) l ( x vx l x + v x+1 l x+1 + v x+2 l x v x+n ) l x+n = P ( ) Dx n = P ( ) Nx N x+n = P = P ä x:n

15 Nilai Tunai Santunan v d x + v 2 d x v w x+1 d w = v d x + v 2 d x v w x+1 d w (kalikan v x ) = vx+1 d x + v x+2 d x+1 + v x+3 l x v w+1 d w = C x + C x+1 + C x C w = M x = A x Jadi, np x ä x:n = A x

16 P 1 x:n : Premi Bersih Tahunan untuk A 1 x:n Nilai Tunai Premi P l x + v P l x+1 + v 2 P l x v n P l x+n = P (l x + v l x+1 + v 2 l x v n v x l x+n ) (kalikan v x ) l ( x vx l x + v x+1 l x+1 + v x+2 l x v x+n ) l x+n = P ( ) Dx n = P ( ) Nx N x+n = P = P ä x:n

17 Nilai Tunai Santunan v d x + v 2 d x v n d x+n 1 = v d x + v 2 d x v n d x+n 1 (kalikan v x ) = vx+1 d x + v x+2 d x+1 + v x+3 l x v x+n d x+n 1 = C x + C x+1 + C x C x+n 1 = M x M x+n = A 1 x:n Jadi, P 1 x:n ä x:n = A 1 x:n

18 P x:n : Premi Bersih Tahunan untuk A x:n Nilai Tunai Premi P l x + v P l x+1 + v 2 P l x v n P l x+n = P (l x + v l x+1 + v 2 l x v n v x l x+n ) (kalikan v x ) l ( x vx l x + v x+1 l x+1 + v x+2 l x v x+n ) l x+n = P ( ) ( ) Dx n Nx N x+n = P = P = P ä x:n

19 Nilai Tunai Santunan v d x + v 2 d x v n d x+n 1 + v n l x+n = v d x + v 2 d x v n d x+n 1 + v n l x+n ( vx ) = vx+1 d x + v x+2 d x v x+n d x+n 1 + v x+n l x+n = vx+1 d x + v x+2 d x v x+n d x+n 1 = C x + C x C x+n 1 = M x M x+n + +n = A x:n + +n + vx+n l x+n Jadi, P x:n ä x:n = A x:n

20 = P ä x:m mp x:n : Premi Bersih Tahunan untuk A x:n Maks Pembayaran m Kali (m n) Nilai Tunai Premi P l x + v P l x+1 + v 2 P l x v m P l x+m = P (l x + v l x+1 + v 2 l x v m v x l x+m ) (kalikan v x ) l ( x vx l x + v x+1 l x+1 + v x+2 l x v x+m ) l x+m = P ( ) ( ) Dx m Nx N x+m = P = P

21 Nilai Tunai Santunan v d x + v 2 d x v n d x+n 1 + v n l x+n = v d x + v 2 d x v n d x+n 1 + v n l x+n ( vx ) = vx+1 d x + v x+2 d x v x+n d x+n 1 + v x+n l x+n = vx+1 d x + v x+2 d x v x+n d x+n 1 = C x + C x C x+n 1 = M x M x+n + +n = A x:n + +n + vx+n l x+n Jadi, mp x:n ä x:m = A x:n

22 Contoh 2 Hitunglah premi bersih tahunan untuk asuransi endowmen sampai usia 65 tahun bagi orang berusia 30 tahun dengan pembayaran premi 20 kali, besar santunan sejuta rupiah.

23 Penyelesaian P ä 30:20 = A 30:35 P = M 30 M 65 + D 65 N 30 N 50

24 Contoh 3 Bila q x = 0.01 x dan v = 0.9, hitunglah P 98 bila santunan yang akan diberikan perusahaan asuransi adalah 1 juta rupiah.

25 Penyelesaian q 98 = 0.98 p 98 = 1 q 98 = 0.02 q 99 = 0.99 p 99 = 1 q 99 = 0.01 q 100 = 1 p 99 = 1 q 99 = 0 Jadi, P 98 adalah premi bersih tahunan asuransi seumur hidup bagi orang berusia 98 tahun dengan santunan asuransi Rp 1 juta; asuransi tersebut sesungguhnya hanya sampai usia 100 tahun dan premi dibayar paling banyak 3 kali.

26 Nilai tunai premi = Nilai tunai santunan P + v P p 98 + v 2 P 2p 98 = 1 v q v 2 2q v 3 3q 98 Catatan: 2p 98 adalah peluang orang berusia 98 tahun akan bertahan hidup 2 tahun lagi, ini sama artinya orang berusia 98 tahun dapat bertahan hidup sampai usia 99 tahun kemudian ketika dia berusia 99 tahun mampu bertahan hidup lagi sampai usia 100 tahun, sehingga 2p 98 = p 98 p 99 2q 98 adalah peluang orang berusia 98 tahun akan meninggal 2 tahun lagi, ini sama artinya orang berusia 98 tahun akan bertahan hidup sampai usia 99 tahun kemudian setelah dia berusia 99 tahun, dia akan meninggal setahun kemudian yaitu pada usia 100 tahun, sehingga 2q 98 = p 98 q 99

27 Jadi, 3q 98 adalah peluang orang berusia 98 tahun akan meninggal 3 tahun lagi, ini sama artinya orang berusia 98 tahun akan bertahan hidup sampai usia 99 tahun kemudian setelah dia berusia 99 tahun dia akan bertahan hidup 1 tahun lagi sampai usia 100 tahun, setelah berusia 100 tahun dia akan meninggal setahun kemudian yaitu pada usia 101 tahun, sehingga 3q 98 = p 98 p 99 q 100 2p 98 = p 98 p 99 = (0.02)(0.01) = q 98 = p 98 q 99 = (0.02)(0.99) = q 98 = p 98 p 99 q 100 = (0.02)(0.01)(1) =

28 Sehingga Nilai tunai premi = Nilai tunai santunan P + v P p 98 + v 2 P 2p 98 = 1 v q v 2 2q v 3 3q 98 P ( ) = P = P = Jadi, besarnya premi bersih tahunan yang harus dibayarkan orang yang berusia 98 tahun dengan santunan 1 juta rupiah adalah Rp , 9742.

29 Contoh 4 Buktikan bahwa a. C x = v +1 b. M x = v N x N x+1 c. R x = v S x S x+1 d. A x = v ä x a x

30 Penyelesaian a. Menurut definisi C x = v x+1 d x, maka C x = v x+1 d x b. Dari poin a, bila dijumlahkan = v x+1 (l x l x+1 ) = v v x+1 l x+1 = v +1 C x+i = v +i i=0 i=0 i=0 M x = v N x N x+1 +1+i

31 c. Dari poin b, bila dijumlahkan M x+i = v N x+i i=0 i=0 i=0 R x = v S x S x+1 N x+1+i d. Dari poin b, bila kedua ruas dibagi dengan maka M x = v N x N x+1 (kedua ruas dibagi dengan ) M x = v N x N x+1 A x = v ä x a x

32 Sampai sekarang kita selalu menganggap bahwa premi tunggal dibayar pada waktu polis asuransi dikeluarkan. Dari segi praktek memang cara ini yang wajar dikerjakan. Akan tetapi dari segi teknik perhitungan sering menguntungkan, dalam arti kata memudahkan perhitungan, bila premi tunggal dapat pula dibayar pada akhir jangka waktu.

33 Misalkan n k x menyatakan premi tunggal bersih yang dibayarkan pada akhir jangka waktu untuk asuransi berjangka n tahun dengan besar santunan Rp 1, n k x disebut biaya asuransi dalam arti teknis. Sudah kita ketahui bahwa premi tunggal bersih yang dibayarkan pada permulaan jangka waktu untuk asuransi berjangka n tahun adalah A 1 x:n. Jadi, jika n k x dikenakan faktor diskonto terhadap bunga dan peluang meninggal maka diperoleh A 1 x:n, atau sehingga nk x ne x = A 1 x:n nk x = A1 x:n ne x = M x M x+n +n Bila n = 1, simbol n tidak ditulis, jadi k x = M x M x+1 +1 = C x +1