PENENTUAN PREMI TAHUNAN KONSTAN DAN CADANGAN BENEFIT PADA ASURANSI JOINT LIFE BELLA YOSIA

Transkripsi

1 PENENTUAN PREMI TAHUNAN KONSTAN DAN CADANGAN BENEFIT PADA ASURANSI JOINT LIFE BELLA YOSIA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 206

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Premi Tahunan Konstan dan Cadangan Benefit pada Asuransi Joint Life adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Juni 206 Bella Yosia NIM G

4 ABSTRAK BELLA YOSIA. Penentuan Premi Tahunan Konstan dan Cadangan Benefit pada Asuransi Joint Life. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan WINDIANI ERLIANA. Asuransi joint life merupakan salah satu jenis asuransi jiwa untuk sekelompok orang. Pada karya ilmiah ini, sekelompok orang tersebut adalah pasangan suami istri. Klaim terjadi jika salah satu dari peserta asuransi meninggal dunia. Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk menentukan premi tahunan konstan dan cadangan benefit pada asuransi joint life dengan dan tanpa endowmen murni. Premi tahunan konstan merupakan premi yang besarnya tetap dari awal dimulainya asuransi hingga akhir kontrak asuransi. Premi tahunan ditentukan berdasarkan lamanya kontrak asuransi dan usia peserta saat mengikuti asuransi. Besarnya premi akan menurun seiring meningkatnya masa dari kontrak asuransi dan meningkat seiring pertambahan usia peserta. Cadangan benefit merupakan sejumlah dana yang harus disimpan oleh perusahaan asuransi untuk persiapan pembayaran klaim. Formula cadangan benefit ditentukan dengan metode retrospektif. Nilai cadangan benefit akan terus meningkat pada saat pembayaran premi masih dilakukan dan menurun setelah tidak ada lagi pembayaran premi. Kata kunci: asuransi joint life, cadangan benefit, endowmen murni, metode retrospektif. ABSTRACT BELLA YOSIA. Determination of Constant Annual Premiums and Benefit Reserves in Joint Life Insurance. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and WINDIANI ERLIANA. Joint life insurance is one type of life insurances for a group of people, where in this papers, such group of people are married couples. Claim occurs if one of the insurance participants has died. The aim of this papers is to determine a constant annual premiums and benefit reserves in joint life insurance with and without pure endowment. The constant annual premium is premium that the amount is fixed from the beginning until the end of the insurance contract. This premium is determined based on the term of insurance contract and the participants age at the beginning of insurance contract. The value of the premium will decrease over the increasing term of the insurance contract and increased over the increasing of the age of the insurance participants. Benefit reserves is a number of fund that needs to be kept by insurance company in preparing the future claim payment. Formula of benefit reserves is determined by using retrospective method. The value of benefit reserves is increases when the premium payment is still in the process and decreases when the premium payment is done. Keywords: benefit reserve, joint life insurance, pure endowment, retrospective method.

5 PENENTUAN PREMI TAHUNAN KONSTAN DAN CADANGAN BENEFIT PADA ASURANSI JOINT LIFE BELLA YOSIA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 206

6

7

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala berkat-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam karya ilmiah ini ialah asuransi, dengan judul Penentuan Premi Tahunan Konstan dan Cadangan Benefit pada Asuransi Joint Life. Penyusunan karya ilmiah ini tidak terlepas dari dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan kali ini, penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada: Keluarga tercinta: Papa, Mama, dan Lisa atas dukungan, motivasi, kasih sayang, dan doa yang senantiasa diberikan. 2 Bapak I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen pembimbing pertama dan Ibu Windiani Erliana, M.Si selaku dosen pembimbing kedua atas segala kesabaran, ilmu, saran, dan motivasi yang diberikan selama membimbing penulis. 3 Bapak Ruhiyat, M.Si selaku dosen penguji atas segala kesabaran, ilmu, saran, dan motivasi yang diberikan. 4 Dosen dan staf Departemen Matematika IPB atas ilmu dan bantuan yang diberikan selama perkuliahan. 5 Sahabat-sahabat BSW (Menik, Intan, Kokom, Andre, Valen, Dani) yang telah memberikan motivasi, saran, bantuan, keceriaan, dan waktu yang berkesan selama perkuliahan. 6 Rekan-rekan sepelayanan di GKJ atas doa dan dukungannya. 7 Teman-teman Mahasiswa Matematika IPB Angkatan Semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang turut mendukung dan membantu dalam penyelesaian karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Juni 206 Bella Yosia

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vii PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 HASIL DAN PEMBAHASAN 8 Premi 8 Premi Tahunan Konstan pada Asuransi Joint Life 8 Premi Tahunan Konstan Berdasarkan Lamanya Kontrak Asuransi Premi Tahunan Konstan Berdasarkan Usia Peserta saat Mengikuti Asuransi 6 Cadangan Benefit 2 SIMPULAN DAN SARAN 30 Simpulan 30 Saran 30 DAFTAR PUSTAKA 3 LAMPIRAN 32 RIWAYAT HIDUP 44

10 DAFTAR TABEL Premi tahunan konstan dengan endowmen murni berdasarkan lamanya kontrak asuransi 2 2 Premi tahunan konstan tanpa endowmen murni berdasarkan lamanya kontrak asuransi 4 3 Premi tahunan konstan dengan endowmen murni berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi 7 4 Premi tahunan konstan tanpa endowmen murni berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi 9 5 Cadangan benefit pada asuransi joint life dengan endowmen murni dengan metode retrospektif 26 6 Cadangan benefit pada asuransi joint life tanpa endowmen murni dengan metode retrospektif 29 DAFTAR GAMBAR Premi tahunan konstan dengan endowmen murni berdasarkan lamanya kontrak asuransi 3 2 Premi tahunan konstan tanpa endowmen murni berdasarkan lamanya kontrak asuransi 5 3 Premi tahunan konstan dengan dan tanpa endowmen murni untuk lamanya kontrak asuransi tahun hingga 0 tahun 5 4 Premi tahunan konstan dengan endowmen murni berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi 8 5 Premi tahunan konstan tanpa endowmen murni berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi 20 6 Premi tahunan konstan dengan dan tanpa endowmen murni berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi 20

11 DAFTAR LAMPIRAN Tabel Mortalita Indonesia tahun Penghitungan premi tahunan konstan pada asuransi joint life dengan endowmen murni berdasarkan lamanya kontrak asuransi dengan Microsoft Excel 33 3 Penghitungan premi tahunan konstan pada asuransi joint life tanpa endowmen murni berdasarkan lamanya kontrak asuransi dengan Microsoft Excel 35 4 Penghitungan premi tahunan konstan pada asuransi joint lifedengan endowmen murni berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi dengan Microsoft Excel 36 5 Penghitungan premi tahunan konstan pada asuransi joint life tanpa endowmen murni berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi dengan Microsoft Excel 37 6 Tabel mortalitas joint life 38 7 Penghitungan cadangan benefit pada asuransi joint life dengan endowmen murni 40 8 Penghitungan cadangan benefit pada asuransi joint life tanpa endowmen murni 42

12

13 PENDAHULUAN Latar Belakang Asuransi adalah sebuah perjanjian antara perusahaan asuransi (penanggung) dan peserta asuransi (tertanggung) di mana pihak penanggung berjanji akan membayarkan sejumlah uang kepada pihak tertanggung pada waktu tertentu sesuai perjanjian sebagai ganti premi yang dibayarkan pihak tertanggung. Terdapat beberapa jenis asuransi, salah satunya ialah asuransi jiwa. Asuransi jiwa merupakan program asuransi yang memberikan proteksi terhadap risiko pada jiwa seseorang yang menjadi tertanggung. Jika terjadi kematian, maka penanggung akan memberikan santunan dalam jumlah tertentu kepada ahli waris dari nasabah tersebut. Adapun jenis asuransi jiwa di mana penanggung akan memberikan sejumlah uang kepada tertanggung apabila tertanggung masih hidup hingga berakhirnya kontrak asuransi disebut endowmen murni. Berdasarkan jumlah orang yang terikat dalam kontrak asuransi, asuransi jiwa dapat dibedakan menjadi asuransi jiwa single life dan asuransi jiwa multi life. Asuransi jiwa multi life merupakan salah satu jenis asuransi jiwa di mana yang ditanggung adalah risiko kematian untuk sekelompok orang. Terdapat dua status pada jenis asuransi ini, yaitu status joint life dan last survivor. Pada karya ilmiah ini, dibahas asuransi multi life untuk status joint life yang ditujukan untuk pasangan suami istri. Asuransi joint life berguna sebagai pelindung keuangan sepasang suami istri ketika salah seorang di antara keduanya meninggal dunia. Jika salah seorang dari keduanya meninggal selama waktu perlindungan, maka pasangannya akan menerima santunan. Santunan tersebut dapat digunakan untuk mengganti kerugian akibat meninggalnya seorang yang menjadi sumber penghasilan dalam keluarga. Namun, hal yang perlu diingat ialah ketika salah seorang dari pasangan tersebut meninggal, maka seorang yang lain ditinggalkan tanpa perlindungan asuransi. Dengan santunan asuransi yang diperoleh, maka orang tersebut dapat mempertimbangkan untuk membeli polis asuransi yang baru. Perbedaan pada kedua jenis asuransi tersebut ialah pada asuransi joint life, klaim terjadi jika salah satu dari tertanggung mengalami kematian, sedangkan pada asuransi last survivor, klaim terjadi jika suami istri tersebut keduanya meninggal. Untuk mempermudah penghitungan, biasanya diasumsikan status kematian suami istri tersebut independen artinya kematian dari istri tidak dipengaruhi oleh kematian suaminya begitupun sebaliknya. Dalam asuransi jiwa, peserta diwajibkan membayar premi sesuai dengan kontrak asuransi dan perusahaan asuransi berkewajiban memberikan uang pertanggungan sebagai ganti dari premi yang dibayarkan oleh peserta asuransi. Pada awal kontrak asuransi, pendapatan perusahaan asuransi yang diperoleh dari pembayaran premi jumlahnya jauh lebih besar dibanding jumlah uang pertanggungan yang harus dibayarkan. Oleh karena itu, pendapatan perusahaan asuransi yang diperoleh dari pembayaran premi tersebut harus disimpan sebagai cadangan benefit yang digunakan untuk membayarkan uang pertanggungan apabila premi tidak mencukupi untuk membayar uang pertanggungan.

14 2 Pada karya ilmiah ini, penulis melakukan kajian penghitungan formula premi tahunan konstan untuk mendapatkan nilai premi tahunan konstan pada asuransi joint life serta mencari formula cadangan benefit pada asuransi joint life dengan menggunakan metode penghitungan cadangan benefit secara retrospektif. Tujuan Penelitian Karya ilmiah ini bertujuan menentukan nilai premi tahunan konstan pada asuransi joint life dengan dan tanpa endowmen murni dengan menggunakan Tabel Mortalitas Indonesia tahun 20, 2 membandingkan nilai premi tahunan konstan dengan dan tanpa endowmen murni berdasarkan lamanya kontrak asuransi dan berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi, 3 menentukan nilai cadangan benefit tahunan pada asuransi joint life dengan dan tanpa endowmen murni menggunakan metode penghitungan cadangan benefit secara retrospektif dengan Tabel Mortalitas Indonesia tahun 20. TINJAUAN PUSTAKA Definisi (Bunga Majemuk) Bunga majemuk didefinisikan sebagai suatu penghitungan bunga yang besar pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah dengan besar bunga yang diperoleh. Besarnya pendapatan bunga tergantung pada besar pokok, jangka waktu investasi, dan tingkat bunga. Dalam bunga majemuk didefinisikan fungsi sebagai faktor diskon (v) sebagai berikut: v = + i (McCutcheon 986). Definisi 2 (Sisa Waktu Hidup Individu Berumur x) Misalkan seseorang berumur x tahun, dinotasikan sebagai (x), maka sisa umur hidupnya, T x = X x X > x, yaitu variabel acak yang menyatakan (x) akan meninggal sesudah mencapai umur x tahun, jika diketahui ia masih hidup pada umur x tahun. Variabel acak dari sisa waktu hidup (x) dapat dituliskan sebagai T x = X x (Bowers et al. 997). Definisi 3 (Peluang Hidup dan Peluang Meninggal Individu Berumur x) Peluang bahwa (x) akan meninggal dalam t tahun dilambangkan dengan tq x dan peluang bahwa (x) akan mencapai umur x + t tahun dilambangkan dengan t p x, dapat ditulis sebagai berikut: tq x = P T x t, t 0 tp x = t q x = P T x > t, t 0.

15 3 Peluang bahwa (x) akan mencapai umur x + m tahun dan kemudian meninggal sebelum mencapai umur x + m + tahun dilambangkan dengan m q x, dapat ditulis sebagai berikut: m q x = P t < T x t + = t+ q x t q x = t p x t+ p x (Bowers et al. 997). Definisi 4 (Anuitas Hidup) Anuitas hidup (life annuity) adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan selama seseorang tertentu masih hidup. Besarnya pembayaran bisa tetap atau berubah-ubah (Bowers et al. 997). Definisi 5 (Anuitas Hidup Diskret) Nilai sekarang aktuaria dari pembayaran sebesar satuan pada anuitas hidup diskret yang dibayar di awal tahun selama (x) masih hidup dinotasikan a x dengan: (Bowers et al. 997). a x = k=0 Definisi 6 (Anuitas Hidup yang Ditunda n-tahun) Nilai sekarang aktuaria dari pembayaran sebesar satuan pada anuitas hidup diskret yang pembayarannya dilakukan di awal tahun dan ditunda selama ntahun dinotasikan n a x dengan: (Bowers et al. 997). n a x = k=n Definisi 7 (Asuransi Jiwa Berjangka n-tahun) Asuransi jiwa berjangka n-tahun adalah asuransi jiwa untuk orang berumur x tahun dengan benefit sebesar satuan yang diberikan jika peserta asuransi meninggal dalam kurun waktu n tahun. Benefit diberikan di akhir tahun kematian peserta asuransi. Nilai sekarang aktuaria dari benefit tersebut ialah: (Bowers et al. 997). A x: n n v k v k kp x kp x = v k+ kp x q x+k k=0 Definisi 8 (Status Joint Life) Sebuah status yang berlaku selama semua anggota kelompok bertahan dan gagal setelah kematian pertama disebut joint life status. Status ini didefinisikan dengan ( x, x 2, x m ), di mana x i merupakan umur dari anggota i dan m merupakan banyaknya anggota kelompok (Bowers et al. 997).

16 4 Definisi 9 (Sisa Waktu Hidup Terpendek pada Status Joint Life) Sisa waktu hidup terpendek dari anggota kelompok pada status joint life dengan banyaknya anggota kelompok m anggota dinotasikan T x, x 2,, x m dan dapat dituliskan sebagai berikut: T x, x 2,, x m = min[t x, T x 2,, T x m ] di mana T x i adalah sisa waktu hidup anggota i (Bowers et al. 997). Definisi 0 (Peluang Hidup pada Status Joint Life) Peluang (x) dan (y) berturut-turut mencapai umur x + t tahun dan y + t tahun di mana sisa waktu hidup (x) dan (y) saling bebas dapat dituliskan sebagai berikut: tp xy = P T x, y > t = P min T x), T(y > t = P T x > t, T y > t = P T x > t P T y > t = t p x t p y (Bowers et al. 997). Definisi (Peluang Gagal pada Status Joint Life) Peluang bahwa setidaknya salah satu dari (x) dan (y) meninggal dalam kurun waktu t tahun di mana sisa waktu hidup (x) dan (y) saling bebas dapat dituliskan sebagai berikut: tq xy = P T x, y t = P min T x), T(y t = P min T x), T(y > t = P T x > t, T y > t = P T x > t P T y > t = t p x t p y (Bowers et al. 997). Definisi 2 (Anuitas Hidup pada Status Joint Life) Nilai sekarang aktuaria dari pembayaran sebesar satuan pada anuitas hidup diskret untuk status joint life yang dibayar di awal tahun selama peserta asuransi (x, y) hidup dapat dituliskan sebagai berikut: (Bowers et al. 997). a xy = k=0 v k k p xy Definisi 3 (Anuitas Hidup Berjangka n-tahun pada Status Joint Life) Nilai sekarang aktuaria dari pembayaran sebesar satuan pada anuitas hidup diskret yang pembayarannya dilakukan di awal tahun dan ditunda selama ntahun untuk status joint life dinotasikan n a xy dengan rumus sebagai berikut: (Bowers et al. 997). n a xy = k=n v k kp xy

17 5 Definisi 4 (Asuransi Jiwa Seumur Hidup pada Status Joint Life) Asuransi jiwa seumur hidup pada status joint life adalah asuransi jiwa seumur hidup untuk peserta (x, y) dengan benefit sebesar satuan yang diberikan jika salah satu dari peserta asuransi meninggal. Benefit diberikan di akhir tahun kematian peserta asuransi. Nilai sekarang aktuaria dari benefit tersebut ialah: (Bowers et al. 997). A xy = k=0 v k+ k p xy q xy +k Definisi 5 (Asuransi Jiwa Berjangka n-tahun pada Status Joint Life) Asuransi jiwa berjangka n-tahun pada status joint life adalah asuransi jiwa untuk peserta (x, y) dengan benefit sebesar satuan yang diberikan jika salah satu peserta asuransi meninggal dalam kurun waktu n-tahun. Benefit diberikan di akhir tahun kematian peserta asuransi. Nilai sekarang aktuaria dari benefit tersebut ialah: (Bowers et al. 997). A xy : n n = v k+ kp xy q xy +k k=0 Definisi 6 (Endowmen Murni Berjangka n-tahun pada Status Joint Life) Nilai sekarang aktuaria dari benefit sebesar satuan pada endowmen murni berjangka n -tahun dengan status joint life yang dibayarkan apabila peserta asuransi (x, y) masih hidup sampai kontrak asuransi berakhir dapat dirumuskan sebagai berikut: A xy : n = v n n p xy (Bowers et al. 997). Definisi 7 (Asuransi Jiwa Berjangka n-tahun dengan Benefit Meningkat pada Status Joint Life) Asuransi jiwa berjangka n-tahun dengan benefit meningkat pada status joint life adalah asuransi jiwa dengan benefit sebesar satuan pada tahun pertama, benefit sebesar 2 satuan pada tahun kedua dan seterusnya benefit terus meningkat sebesar satuan setiap tahunnya. Benefit dibayarkan jika salah satu peserta (x, y) meningggal dalam kurun waktu n-tahun dan diberikan di akhir tahun kematian peserta asuransi. Nilai sekarang aktuaria dari benefit asuransi tersebut ialah: (Bowers et al. 997). (IA) xy : n n = k + v k+ k p xy q xy +k k=0

18 6 Definisi 8 (Tabel Mortalitas Tunggal) Tabel tingkat kematian atau sering disebut dengan tabel mortalitas merupakan tabel yang diperoleh dari hasil observasi mengenai tingkat kematian berdasarkan kelompok umur tertentu. Fungsi-fungsi utama dalam tabel mortalitas ialah l x, q x, p x, dan d x. l x merupakan banyaknya individu yang berhasil mencapai usia tepat x tahun, q x merupakan peluang individu berumur x meninggal dalam kurun waktu tahun, p x merupakan peluang individu berumur x mencapai umur x + tahun, dan d x merupakan banyaknya individu yang meninggal antara umur x tahun sampai x + tahun. Formula yang terkait dengan rumus di atas ialah: l x+ = l x d x d x = q x l x (Futami 993). q x = d x l x p x = q x Definisi 9 (Tabel Mortalitas Joint Life) Tabel mortalitas joint life merupakan tabel tingkat kematian gabungan dari orang yang berusia x tahun dengan orang yang berusia y tahun. Fungsi gabungan yang menyatakan banyaknya orang berusia x tahun yang masih hidup dikalikan dengan banyaknya orang berumur y tahun yang masih hidup dinotasikan dengan l xy dan dirumuskan sebagai berikut: l xy = l x l y. Peluang orang berusia x tahun dan y tahun akan tetap hidup selama tahun dinotasikan dengan p xy dan dirumuskan sebagai berikut: l y+ p xy = p x p y = l x+ = l xy +. l x l y l xy Peluang orang berusia x tahun dan y tahun akan tetap hidup selama t tahun dinotasikan dengan t p xy dan dirumuskan sebagai berikut: l y+t l y tp xy = t p x t p y = l x+t = l xy +t. l x l xy Peluang salah satu di antara (x) dan (y) meninggal dalam jangka waktu tahun dinotasikan dengan q xy dan dirumuskan sebagai berikut: q xy = p xy = l xy + = l xy l xy +. l xy l xy Peluang salah satu di antara (x) dan (y) meninggal dalam jangka waktu t tahun dinotasikan dengan t q xy dan dirumuskan sebagai berikut: (Futami 994). tq xy = t p xy = l xy +t l xy = l xy l xy +t l xy

19 7 Definisi 20 (Cadangan Benefit dengan Metode Retrospektif) Cadangan benefit adalah sejumlah dana yang dihimpun oleh perusahaan asuransi yang diperoleh dari selisih nilai tunai pembayaran premi dan nilai benefit pada suatu waktu pertanggungan sebagai persiapan pembayaran klaim. Salah satu penghitungan cadangan benefit yaitu secara retrospektif. Penghitungan secara retrospektif merupakan penghitungan cadangan benefit yang didasarkan pada jumlah total pendapatan dari premi di waktu yang lalu sampai saat dilakukan penghitungan cadangan benefit dikurangi dengan jumlah uang pertanggungan yang telah dikeluarkan di waktu yang lampau untuk tiap pemegang polis. Suatu asuransi dengan besar benefit satuan dan besar premi tahunan P, maka P + i merupakan besarnya premi tahunan yang telah dibayarkan pada permulaan tahun pertama lalu dibungakan selama setahun. l x merupakan banyaknya orang berumur x tahun, sehingga l x P + i merupakan banyaknya orang berumur x tahun dikalikan jumlah premi tahunan yang dibayarkan dan dibungakan selama setahun. Hasil perkalian tersebut kemudian dikurangi dengan d x yang merupakan banyaknya orang yang meninggal pada usia x tahun lalu dibagi dengan l x+ yang merupakan banyaknya orang yang berusia x + tahun, sehingga diperoleh cadangan benefit pada akhir tahun pertama. Formula cadangan benefit pada akhir tahun pertama ialah sebagai berikut: V = (l x P + i) d x. l x+ Cadangan benefit pada akhir tahun kedua dengan l x+ V merupakan banyaknya orang berumur x + tahun dikalikan cadangan benefit pada akhir tahun pertama. Hasil perkalian tersebut kemudian ditambah dengan banyaknya orang berumur x + tahun dikali besarnya premi tahunan yang dibayarkan yaitu l x+ P. Hasil penjumlahan tersebut kemudian dibungakan selama setahun menjadi l x+ V + l x+ P + i lalu dikurangi banyaknya orang yang meninggal pada usia x + tahun yaitu d x+ dan selisih tersebut dibagi dengan banyaknya orang yang berusia x + 2 tahun yaitu l x+2. Formula cadangan benefit pada akhir tahun kedua ialah sebagai berikut: 2 V = l x+ V + l x+ P + i d x+. l x+2 Selanjutnya untuk formula cadangan benefit pada akhir tahun ke-t secara umum dapat dituliskan sebagai berikut: (Sembiring 986). t V = l x+t t V + l x+t P + i d x+t l x+t

20 8 HASIL DAN PEMBAHASAN Premi Premi asuransi merupakan suatu pembayaran sejumlah uang kepada perusahaan asuransi setiap jangka waktu tertentu sesuai kontrak asuransi. Besarnya premi atas keikutsertaan dalam asuransi yang harus dibayarkan telah ditetapkan oleh perusahaan asuransi. Terdapat dua jenis premi yaitu premi kotor dan premi bersih. Premi kotor adalah premi yang penghitungannya menggunakan perkiraan tingkat mortalitas, perkiraan tingkat bunga, dan penghitungan tingkat biaya, sedangkan premi bersih adalah premi yang penghitungannya menggunakan perkiraan tingkat mortalitas dan perkiraan tingkat bunga. Perusahaan asuransi mengeluarkan kontrak (polis) yang mencakup pernyataan bahwa perusahaan asuransi akan membayarkan sejumlah uang yang disebut uang pertanggungan, sedangkan pemegang polis akan melakukan rangkaian pembayaran yang disebut premi. Sebuah premi disebut premi bersih jika memenuhi prinsip kesetaraan bahwa kerugian dari perusahaan asuransi sama dengan nol seperti pada persamaan berikut: E L = 0, dengan L menyatakan besarnya kerugian pihak penanggung. Premi Tahunan Konstan pada Asuransi Joint Life Premi tahunan konstan adalah premi dengan besar pembayaran tetap dari awal dimulainya asuransi sampai dengan akhir kontrak asuransi. Pada karya ilmiah ini, dibahas premi tahunan konstan untuk jenis asuransi joint life dengan dan tanpa endowmen murni. Asuransi joint life dengan endowmen murni memberikan uang pertanggungan kepada peserta asuransi apabila peserta asuransi keduanya masih hidup sampai kontrak asuransi berakhir, sebaliknya untuk asuransi joint life tanpa endowmen murni tidak memberikan uang pertanggungan kepada peserta asuransi apabila peserta asuransi keduanya masih hidup sampai kontrak asuransi berakhir. Premi Tahunan Konstan dengan Endowmen Murni Kontrak asuransi pada asuransi joint life dengan endowmen murni terdiri dari pasangan suami-istri dengan suami berumur x tahun dan istri berumur y tahun. Peserta asuransi diharuskan membayar premi tahunan sebesar P selama n tahun ketika keduanya masih hidup dengan rincian uang pertanggungan sebagai berikut: Apabila peserta asuransi masih hidup sampai kontrak asuransi berakhir atau dengan kata lain mencapai umur x + n tahun dan y + n tahun, maka peserta asuransi akan mendapatkan uang pertanggungan sebesar Q. 2 Apabila tepat satu dari peserta asuransi meninggal dunia sebelum masa kontrak berakhir, misalnya jika (y) meninggal dunia sebelum masa kontrak berakhir dan (x) mencapai umur x + n tahun, maka (x) akan mendapatkan uang pertanggungan sebesar R x setiap tahunnya dimulai dari tahun ke- n

21 9 sampai (x) meninggal dunia, demikian juga sebaliknya jika (x) meninggal dunia, maka (y) akan mendapat uang pertanggungan sebesar R y setiap tahunnya dimulai dari tahun ke-n sampai (y) meninggal dunia. 3 Apabila kematian dari pasangan juga terjadi (salah satu dari (x) dan (y) atau keduanya meninggal) sebelum kontrak asuransi berakhir, maka ahli waris akan mendapat uang pertanggungan sejumlah premi tanpa bunga yang telah dibayarkan pada akhir tahun kematiannya. Sehubungan dengan kontrak asuransi tersebut, maka nilai tunai dari pendapatan premi dan nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dirumuskan sebagai berikut: Nilai tunai dari pendapatan premi tahunan pada asuransi joint life dengan endowmen murni dapat dinyatakan sebagai berikut: P + v p xy + v 2 2 p xy + + v n n p xy = P a xy : n dengan P a xy : n berarti pembayaran premi tahunan P dilakukan di awal tahun selama n-tahun dengan tingkat bunga per tahun sebesar i. 2 Nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dinyatakan sebagai berikut: n n Q v n n p xy + R x + P(IA) xy : n m =0 k=n v k k p x = Q v n n p xy + R x v k k p x +R y m=n v m m p y k=n n k=0 k q x m q y + R y n m=0 m q y + P(IA) xy : n k=0 m =n v m m p y k q x = Q A xy : n + R x n a x n q y + R y n a y n q x + P(IA) xy : n. Dengan menggunakan prinsip ekuivalensi, besarnya premi ialah sebagai berikut: P a xy : n = Q A xy : n + R x n a x n q y + R y n a y n q x + P(IA) xy : n P a xy : n P(IA) xy : n = Q A xy : n + R x n a x n q y + R y n a y n q x P a xy : n (IA) xy : n = Q A xy : n + R x n a x n q y + R y n a y n q x. Dengan demikian dapat ditentukan besarnya premi tahunan dengan endowmen murni yang harus dibayarkan oleh peserta asuransi ialah sebagai berikut: Q A xy : n + R x n a x n q y + R y n a y n q x P =. () a xy : n (IA) xy : n

22 0 Premi Tahunan Konstan tanpa Endowmen Murni Kontrak asuransi pada asuransi joint life tanpa endowmen murni hampir sama dengan kontrak asuransi pada asuransi joint life dengan endowmen murni. Kontrak asuransi terdiri dari pasangan suami-istri dengan suami berumur x tahun dan istri berumur y tahun. Peserta asuransi diharuskan membayar premi tahunan sebesar P selama n tahun ketika keduanya masih hidup. Perbedaannya terdapat pada uang pertanggungan yang diberikan apabila peserta asuransi masih hidup sampai kontrak asuransi berakhir atau dengan kata lain mencapai umur x + n tahun dan y + n tahun. Pada asuransi joint life dengan endowmen murni, apabila kedua peserta masih hidup sampai kontrak asuransi berakhir, maka peserta asuransi akan mendapat uang pertanggungan sebesar Q, sedangkan pada asuransi joint life tanpa endowmen murni, apabila kedua peserta masih hidup sampai kontrak asuransi berakhir, maka peserta asuransi tidak mendapatkan uang pertanggungan. Selain itu, rincian uang pertanggungan pada asuransi joint life tanpa endowmen murni sama dengan rincian uang pertanggungan pada asuransi joint life dengan endowmen murni. Berdasarkan kontrak asuransi tersebut, maka nilai tunai dari pendapatan premi dan nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dirumuskan sebagai berikut: Nilai tunai dari pendapatan premi tahunan pada asuransi joint life tanpa endowmen murni dapat dinyatakan sebagai berikut: P + v. p xy + v 2. 2 p xy + + v n. n p xy = P a xy : n dengan P. a berarti pembayaran premi tahunan P dilakukan di awal tahun xy : n selama n-tahun dengan tingkat bunga per tahun sebesar i. 2 Nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dinyatakan sebagai berikut: n R x m =0 k=n v k k p x = R x v k k p x k=n m q y + R y n m =0 m q y n k=0 m=n v m m p y + R y v m m p y m=n k q x + P(IA) xy : n +P(IA) xy : n = R x n a x n q y + R y n a y n q x + P(IA) xy : n. Dengan menggunakan prinsip ekuivalensi, besarnya premi ialah sebagai berikut: P a xy : n = R x n a x n q y + R y n a y n q x + P(IA) xy : n P a xy : n P(IA) xy : n = R x n a x n q y + R y n a y n q x P a xy : n (IA) xy : n = R x n a x n q y + R y n a y n q x. Dengan demikian dapat ditentukan besarnya premi tahunan tanpa endowmen murni yang harus dibayarkan oleh peserta asuransi ialah sebagai berikut: n k=0 k q x P = R x n a x n q y + R y n a y n q x. (2) a xy : n (IA) xy : n

23 Selanjutnya, dihitung besarnya premi tahunan konstan berdasarkan lamanya kontrak asuransi dan berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi pada asuransi joint life dengan dan tanpa endowmen murni. Premi Tahunan Konstan Berdasarkan Lamanya Kontrak Asuransi Berdasarkan kontrak asuransi yang telah dijelaskan sebelumnya, maka dapat dihitung besarnya premi tahunan konstan pada asuransi joint life dengan dan tanpa endowmen murni berdasarkan lamanya kontrak asuransi, dimulai dari lamanya kontrak asuransi tahun hingga lamanya kontrak asuransi 0 tahun. Penghitungan premi tahunan konstan dengan usia yang ditetapkan sebagai mulainya peserta mengikuti asuransi ialah 50 tahun untuk suami dan 45 tahun untuk istri. Masa pertanggungan asuransi atau lamanya peserta melakukan kontrak asuransi yaitu n tahun dengan besarnya tingkat bunga yang digunakan ialah konstan yaitu i = 5% dan menggunakan data dari Tabel Mortalitas Indonesia tahun 20. Premi Tahunan Konstan dengan Endowmen Murni Berdasarkan Lamanya Kontrak Asuransi Penghitungan premi tahunan konstan dengan besarnya benefit setelah masa pertanggungan berakhir apabila kedua peserta masih hidup, maka mereka akan diberikan uang sebesar satuan (Q = satuan). Apabila (y) meninggal dan (x) tetap hidup di akhir kontrak asuransi, maka (x) akan memperoleh santunan sebesar satuan (R x = satuan) setiap tahunnya selama seumur hidup. Hal yang sama juga berlaku apabila (x) meninggal dan (y) tetap hidup di akhir kontrak asuransi, maka (y) akan menerima santunan sebesar satuan (R y = satuan). Apabila (x) dan (y) meninggal sebelum kontrak asuransi berakhir, maka semua premi yang telah dibayarkan akan dikembalikan kepada ahli waris. Selanjutnya, dihitung besarnya premi tahunan konstan dengan endowmen murni apabila lamanya peserta melakukan kontrak asuransi ialah tahun. Pertama, tentukan terlebih dahulu formula premi tahunan konstan untuk lama kontrak asuransi tahun. Berdasarkan formula pada persamaan (), didapatkan formula sebagai berikut: Q A 50,45: + R x a 50 q 45 + R y a 45 q 50 P = a 50,45: (IA). 50,45: Lalu tentukan nilai setiap elemen yang terdapat dalam formula sebagai berikut: = v p 50,45 dengan p 50,45 = p 50 p 45 A 50,45: 6 a 50 = v n n p 50,45 n= np 50,45 = n p 50 n p 45 q 45 = p 45

24 2 66 a 45 = v n n p 50,45 n= q 50 = p 50 a 50,45: = v0 0 p 50,45 (IA) 50,45: = v 0 p 50,45 q 50,45. Untuk penghitungan premi tahunan konstan lainnya dengan lamanya kontrak asuransi yang berbeda dapat diperoleh dengan cara yang serupa dengan mengganti nilai n pada formula persamaan (). Pada Tabel dapat dilihat besarnya premi tahunan konstan dengan endowmen murni dengan lamanya kontrak asuransi yang berbeda, dimulai dari lamanya kontrak asuransi tahun hingga lamanya kontrak asuransi 0 tahun dengan menggunakan Microsoft Excel (penghitungan terdapat pada Lampiran 2). Tabel Premi tahunan konstan dengan endowmen murni berdasarkan lamanya kontrak asuransi Lamanya kontrak asuransi Premi tahunan konstan (P) (n) Untuk melihat lebih jelas pengaruh lamanya kontrak asuransi terhadap besarnya premi tahunan konstan dengan endowmen murni, maka hasil yang didapat pada Tabel disajikan dalam bentuk grafik pada Gambar.

25 3,2 Besar premi per tahun 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Gambar Premi tahunan konstan dengan endowmen murni berdasarkan lamanya kontrak asuransi Gambar menunjukkan bahwa lamanya kontrak asuransi memengaruhi nilai dari premi tahunan konstan, besarnya premi tahunan akan berkurang apabila lamanya kontrak asuransi semakin lama. Penurunan besarnya premi ini dapat terjadi karena kewajiban peserta asuransi untuk membayar biaya asuransi dibagi menjadi n kali pembayaran yang sama besar berdasarkan lamanya pertanggungan. Oleh karena itu, semakin besar n, maka premi tahunan akan semakin kecil. Premi Tahunan Konstan tanpa Endowmen Murni Berdasarkan Lamanya Kontrak Asuransi Penghitungan premi tahunan konstan dengan besarnya benefit yang diberikan apabila (y) meninggal dan (x) tetap hidup di akhir kontrak asuransi, maka (x) akan memperoleh santunan sebesar satuan (R x = satuan ) setiap tahunnya selama seumur hidup. Hal yang sama juga berlaku apabila (x) meninggal dan (y) tetap hidup di akhir kontrak asuransi, maka (y) akan menerima santunan sebesar satuan ( R y = satuan ). Apabila (x) dan (y) meninggal sebelum kontrak asuransi berakhir, maka semua premi yang telah dibayarkan akan dikembalikan kepada ahli waris. Selanjutnya, dihitung besarnya premi tahunan konstan tanpa endowmen murni apabila lamanya peserta melakukan kontrak asuransi ialah tahun. Pertama, tentukan terlebih dahulu formula premi tahunan konstan untuk lama kontrak asuransi tahun. Berdasarkan formula pada persamaan (2), didapatkan formula sebagai berikut: P = R x a 50 q 45 + R y a 45 q 50 a 50,45: (IA). 50,45: Lalu tentukan nilai setiap elemen yang terdapat dalam formula sebagai berikut: 6 a 50 = v n n p 50,45 n= np 50,45 = n p 50 n p Lamanya kontrak asuransi (n)

26 4 q 45 = p a 45 = v n n p 50,45 n= q 50 = p 50 a 50,45: = v0 0 p 50,45 (IA) 50,45: = v 0 p 50,45 q 50,45. Untuk penghitungan premi tahunan konstan lainnya dengan lamanya kontrak asuransi yang berbeda dapat diperoleh dengan cara yang serupa dengan mengganti nilai n pada formula persamaan (2). Pada Tabel 2 dapat dilihat besarnya premi tahunan konstan tanpa endowmen murni dengan lamanya kontrak asuransi yang berbeda, dimulai dari lamanya kontrak asuransi tahun hingga lamanya kontrak asuransi 0 tahun dengan menggunakan Microsoft Excel (penghitungan terdapat pada Lampiran 3). Tabel 2 Premi tahunan konstan tanpa endowmen murni berdasarkan lamanya kontrak asuransi Lamanya kontrak Premi tahunan konstan (P) asuransi (n) Untuk melihat lebih jelas pengaruh lamanya kontrak asuransi terhadap besarnya premi tahunan konstan, maka hasil yang didapat pada Tabel 2 disajikan dalam bentuk grafik pada Gambar 2.

27 5 Besar premi per tahun 0,6 0,4 0,2 0, 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Gambar Lamanya kontrak asuransi (n) Premi tahunan konstan tanpa endowmen murni berdasarkan lamanya kontrak asuransi Gambar 2 menunjukkan bahwa lamanya kontrak asuransi memengaruhi nilai dari premi tahunan konstan, besarnya premi tahunan akan bertambah apabila lamanya kontrak asuransi ditambah. Peningkatan besarnya premi ini dapat terjadi karena semakin lama jangka waktu asuransi, maka semakin besar peluang meninggal dari peserta asuransi dalam jangka waktu tersebut. Oleh karena itu, semakin besar n, maka premi tahunan akan semakin besar. Selanjutnya, pada Gambar 3 ditunjukkan perbedaan premi tahunan konstan dengan dan tanpa endowmen murni berdasarkan lamanya kontrak asuransi.,2 0,8 0,6 0,4 0, Lamanya kontrak asuransi (n) Premi tahunan konstan dengan endowmen murni Premi tahunan konstan tanpa endowmen murni Gambar 3 Premi tahunan konstan dengan dan tanpa endowmen murni untuk lamanya kontrak asuransi tahun hingga 0 tahun

28 6 Gambar 3 menunjukkan bahwa endowmen murni yang diberikan kepada peserta asuransi jika keduanya bertahan hidup sampai kontrak asuransi berakhir (Q) membuat premi asuransi menjadi lebih mahal dibandingkan premi asuransi tanpa endowmen murni. Namun, endowmen murni membuat premi asuransi menjadi lebih menarik karena peserta asuransi akan mendapat uang pertanggungan jika dapat bertahan hidup sampai kontrak asuransi berakhir. Premi Tahunan Konstan Berdasarkan Usia Peserta saat Mengikuti Asuransi Berdasarkan kontrak asuransi yang telah dijelaskan sebelumnya, maka dapat dihitung besarnya premi tahunan konstan pada asuransi joint life dengan dan tanpa endowmen murni berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi. Perhitungan dilakukan untuk melihat perbedaan besarnya premi apabila usia peserta saat mengikuti asuransi ialah 50 tahun untuk suami dan 45 tahun untuk istri hingga usia peserta saat mengikuti asuransi ialah 59 tahun untuk suami dan 54 tahun untuk istri. Penghitungan premi tahunan konstan dengan usia yang ditetapkan sebagai mulainya peserta mengikuti asuransi ialah x tahun untuk suami dan y tahun untuk istri. Masa pertanggungan asuransi atau lamanya peserta melakukan kontrak asuransi yaitu 0 tahun dengan besarnya tingkat bunga yang digunakan ialah konstan yaitu i = 5% dan menggunakan data dari Tabel Mortalitas Indonesia tahun 20. Premi Tahunan Konstan dengan Endowmen Murni Berdasarkan Usia Peserta saat Mengikuti Asuransi Penghitungan premi tahunan konstan dengan besar benefit yang diberikan setelah masa pertanggungan berakhir ialah sesuai dengan kontrak asuransi joint life dengan endowmen murni yang telah dijelaskan sebelumnya dengan besar Q = satuan, R x = satuan, dan R y = satuan. Selanjutnya, dihitung besarnya premi tahunan konstan dengan endowmen murni apabila usia peserta saat mengikuti asuransi ialah 50 tahun untuk suami dan 45 tahun untuk istri. Pertama, tentukan terlebih dahulu formula premi tahunan konstan berdasarkan rumus pada persamaan (), sehingga diperoleh formula sebagai berikut: Q A 50,45: 0 + R x 0 a 50 0 q 45 + R y 0 a 45 0 q 50 P =. a 50,45: 0 (IA) 50,45: 0 Lalu tentukan nilai setiap elemen yang terdapat dalam formula sebagai berikut: A 50,45: 0 = v 0 0 p 50,45 dengan 0 p 50,45 = 0 p 50 0 p a 50 = v n n p 50,45 n=0 np 50,45 = n p 50 n p 45 0q 45 = 0 p 45

29 a 45 = v n n p 50,45 n=0 0q 50 = 0 p 50 a 50,45: 0 = v n n p 50,45 9 n=0 (IA) 50,45: 0 9 = k + v k+ k p 50,45 q 50,45+k. k=0 Untuk penghitungan premi tahunan konstan dengan endowmen murni lainnya dengan usia peserta saat mengikuti asuransi yang berbeda dapat diperoleh dengan cara yang serupa dengan mengganti nilai x dan y pada formula persamaan (). Pada Tabel 3 dapat dilihat besarnya premi tahunan konstan dengan endowmen murni dengan usia peserta saat mengikuti asuransi yang berbeda, dimulai dari usia peserta 50 tahun untuk suami dan 45 tahun untuk istri hingga usia peserta 59 tahun untuk suami dan 54 tahun untuk istri dengan menggunakan Microsoft Excel (penghitungan terdapat pada Lampiran 4). Tabel 3 Premi tahunan konstan dengan endowmen murni berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi Usia peserta saat Premi tahunan konstan (P) mengikuti asuransi (x, y) (50,45) (5,46) (52,47) (53,48) (54,49) (55,50) (56,5) (57,52) (58,53) (59,54) Untuk melihat lebih jelas pengaruh usia peserta saat mengikuti asuransi terhadap besarnya premi tahunan konstan, maka hasil yang didapat pada Tabel 3 disajikan dalam bentuk grafik pada Gambar 4.

30 8 Besar premi per tahun 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0,05 0 (50,45) (5,46) (52,47) (53,48) (54,49) (55,50) (56,5) (57,52) (58,53) (59,54) Usia peserta saat mengikuti asuransi (x,y) Gambar 4 Premi tahunan konstan dengan endowmen murni berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi Gambar 4 menunjukkan bahwa besarnya premi tahunan dipengaruhi oleh usia peserta saat mengikuti asuransi. Semakin tua usia peserta saat mengikuti asuransi, maka semakin besar nilai premi tahunan yang ditetapkan. Hal ini dikarenakan premi asuransi hanya dibayarkan ketika pasangan peserta asuransi keduanya masih hidup, sehingga semakin tua usia pasangan saat mengikuti asuransi, maka peluang bertahan hidup dan membayar premi akan semakin kecil. Premi Tahunan Konstan tanpa Endowmen Murni Berdasarkan Usia Peserta saat Mengikuti Asuransi Penghitungan premi tahunan konstan dengan besar benefit yang diberikan setelah masa pertanggungan berakhir ialah sesuai dengan kontrak asuransi joint life tanpa endowmen murni yang telah dijelaskan sebelumnya dengan besar R x = satuan dan R y = satuan. Selanjutnya, dihitung besarnya premi tahunan konstan tanpa endowmen murni apabila usia peserta saat mengikuti asuransi ialah 50 tahun untuk suami dan 45 tahun untuk istri. Pertama, tentukan terlebih dahulu formula premi tahunan konstan berdasarkan rumus pada persamaan (2), sehingga diperoleh formula sebagai berikut: P = R x 0 a 50 0 q 45 + R y 0 a 45 0 q 50. a 50,45: 0 (IA) 50,45: 0 Lalu tentukan nilai setiap elemen yang terdapat dalam formula sebagai berikut: 6 0 a 50 = v n n p 50,45 n=0 np 50,45 = n p 50 n p 45 0q 45 = 0 p 45

31 a 45 = v n n p 50,45 n=0 0q 50 = 0 p 50 a 50,45: 0 = v n n p 50,45 9 n=0 (IA) 50,45: 0 9 = k=0 k + v k+ k p 50,45 q 50,45+k. Untuk penghitungan premi tahunan konstan tanpa endowmen murni lainnya dengan usia peserta saat mengikuti asuransi yang berbeda dapat diperoleh dengan cara yang serupa dengan mengganti nilai x dan y pada formula persamaan (2). Pada Tabel 4 dapat dilihat besarnya premi tahunan konstan tanpa endowmen murni dengan usia peserta saat mengikuti asuransi yang berbeda, dimulai dari usia peserta 50 tahun untuk suami dan 45 tahun untuk istri hingga usia peserta 59 tahun untuk suami dan 54 tahun untuk istri dengan menggunakan Microsoft Excel (penghitungan terdapat pada Lampiran 5). Tabel 4 Premi tahunan konstan tanpa endowmen murni berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi Usia peserta saat Premi tahunan konstan (P) mengikuti asuransi (x, y) (50,45) (5,46) (52,47) (53,48) (54,49) (55,50) (56,5) (57,52) (58,53) (59,54) Untuk melihat lebih jelas pengaruh usia peserta saat mengikuti asuransi terhadap besarnya premi tahunan konstan, maka hasil yang didapat pada Tabel 3 disajikan dalam bentuk grafik pada Gambar 5.

32 20 0,3 Besar premi per tahun 0,25 0,2 0,5 0, 0,05 0 (50,45) (5,46) (52,47) (53,48) (54,49) (55,50) (56,5) (57,52) (58,53) (59,54) Usia peserta saat mengikuti asuransi (x,y) Gambar 5 Premi tahunan konstan tanpa endowmen murni berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi Gambar 5 menunjukkan bahwa besarnya premi tahunan dipengaruhi oleh usia peserta saat mengikuti asuransi. Semakin tua usia peserta saat mengikuti asuransi, maka semakin besar nilai premi tahunan yang ditetapkan. Hal ini dikarenakan premi asuransi hanya dibayarkan ketika pasangan peserta asuransi keduanya masih hidup, sehingga semakin tua usia pasangan saat mengikuti asuransi, maka peluang bertahan hidup dan membayar premi akan semakin kecil. Selanjutnya, pada Gambar 6 ditunjukkan perbedaan premi tahunan konstan dengan dan tanpa endowmen murni berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi. 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0,05 0 (50,45)(5,46)(52,47)(53,48)(54,49)(55,50)(56,5)(57,52)(58,53)(59,54) Usia peserta saat mengikuti asuransi (x,y) Premi tahunan konstan dengan endowmen murni Premi tahunan konstan tanpa endowmen murni Gambar 6 Premi tahunan konstan dengan dan tanpa endowmen murni berdasarkan usia peserta saat mengikuti asuransi

33 2 Gambar 6 menunjukkan bahwa endowmen murni yang diberikan kepada peserta asuransi jika keduanya bertahan hidup sampai kontrak asuransi berakhir (Q) membuat premi asuransi menjadi lebih mahal dibandingkan premi asuransi tanpa endowmen murni. Namun, endowmen murni membuat premi asuransi menjadi lebih menarik karena peserta asuransi akan mendapat uang pertanggungan jika dapat bertahan hidup sampai kontrak asuransi berakhir. Cadangan Benefit Berdasarkan kontrak asuransi joint life yang telah dijelaskan sebelumnya, maka dapat diperoleh formula cadangan benefit dengan metode penghitungan secara retrospektif. Selanjutnya, dihitung besarnya cadangan benefit pada asuransi joint life dengan dan tanpa endowmen murni. Penghitungan cadangan benefit dengan usia yang ditetapkan sebagai mulainya peserta mengikuti asuransi ialah 50 tahun untuk suami dan 45 tahun untuk istri. Masa pertanggungan asuransi atau lamanya peserta melakukan kontrak asuransi yaitu 0 tahun dengan besarnya tingkat bunga yang digunakan ialah konstan yaitu i = 5% dan menggunakan data dari Tabel Mortalitas Indonesia tahun 20. Cadangan Benefit pada Asuransi Joint Life dengan Endowmen Murni Penghitungan cadangan benefit pada asuransi joint life dengan endowmen murni dengan besar benefit yang diberikan setelah masa pertanggungan berakhir ialah sesuai dengan kontrak asuransi joint life dengan endowmen murni yang telah dijelaskan sebelumnya dengan besar Q = satuan, R x = satuan, dan R y = satuan. Selanjutnya, ditentukan formula cadangan benefit dengan metode retrospektif. Pada akhir tahun pertama, peserta asuransi sudah membayar premi satu kali, sehingga cadangan benefit pada akhir tahun pertama dapat dirumuskan sebagai berikut: P l xy + i P(l xy l x+,y+ ) V = (3) dengan P l xy + i P l xy l x+,y+ l x+,y+ + l x+ l y l y+ + l y+ (l x l x+ ) : besarnya premi tahunan yang dibayarkan dikalikan dengan banyaknya orang berusia x tahun dikali banyaknya orang berusia y tahun lalu dibungakan selama setahun. : besarnya uang pertanggungan yang dibayarkan pada akhir tahun pertama kepada ahli waris apabila salah satu atau kedua peserta asuransi meninggal sebelum kontrak asuransi berakhir. l x+,y+ : banyaknya kemungkinan pasangan di mana keduanya masih hidup pada akhir tahun pertama. l x+ l y l y+ : banyaknya kemungkinan pasangan di mana (x) masih hidup pada akhir tahun pertama dan (y) sudah meninggal sebelum mencapai akhir tahun pertama.

34 22 l y+ l x l x+ : banyaknya kemungkinan pasangan di mana (y) masih hidup pada akhir tahun pertama dan (x) sudah meninggal sebelum mencapai akhir tahun pertama. Selanjutnya, untuk memudahkan penulisan dimisalkan k s = l x+s,y+s + l x+s l y l y+s + l y+s (l x l x+s ) untuk s =,2, n dan n merupakan lamanya kontrak asuransi atau lamanya masa pembayaran premi, serta k s merupakan banyaknya pasangan yang keduanya masih hidup pada akhir tahun ke-s ditambah banyaknya pasangan di mana salah satu pasangan masih hidup dan pasangan lainnya sudah meninggal sebelum mencapai akhir tahun ke-s, sehingga cadangan benefit pada akhir tahun ke-2 dapat dirumuskan sebagai berikut: V = (k V + P l x+,y+ ) + i 2P(l x+,y+ l x+2,y+2 ) 2 (4) k 2 dengan k. V : seluruh dana yang berasal dari tahun pertama. P. l x+,y+ : besarnya premi tahunan yang dibayarkan pada tahun kedua dikalikan banyaknya kemungkinan pasangan yang mencapai umur x + tahun dan y + tahun. 2P l x+,y+ l x+2,y+2 : besarnya uang pertanggungan yang dibayarkan pada akhir tahun kedua kepada ahli waris apabila salah satu atau kedua peserta asuransi meninggal sebelum kontrak asuransi berakhir. k 2 : banyaknya kemungkinan pasangan yang keduanya masih hidup pada akhir tahun kedua ditambah banyaknya kemungkinan pasangan di mana salah satu pasangan masih hidup dan pasangan lainnya sudah meninggal sebelum mencapai akhir tahun kedua. Selanjutnya, untuk cadangan benefit pada akhir tahun ke-3 sampai akhir tahun ke-t menggunakan formula yang sama seperti formula cadangan benefit pada persamaan (4). Formula cadangan benefit untuk tahun kedua sampai tahun ke-n secara umum ialah sebagai berikut: V = (k m. m V + P. l x+m,y+m ) + i mp(l x+m,y+m l x+m,y+m ) m (5) untuk m = 2,3,, n, dengan (k m. m V) : seluruh dana yang berasal dari tahun ke- m. P. l x+m,y+m : besarnya premi tahunan yang dibayarkan pada tahun ke- m dikalikan banyaknya kemungkinan pasangan yang mencapai umur x + m tahun dan y + m tahun. k m

35 23 mp l x+m,y+m l x+m,y+m k m : uang pertanggungan yang dibayarkan pada akhir tahun ke-m kepada ahli waris apabila salah satu atau kedua peserta asuransi meninggal sebelum kontrak asuransi berakhir. : banyaknya kemungkinan pasangan yang keduanya masih hidup pada akhir tahun ke- m ditambah banyaknya kemungkinan pasangan di mana salah satu pasangan masih hidup dan pasangan lainnya sudah meninggal sebelum mencapai akhir tahun ke-m. Cadangan benefit untuk tahun ke-(n + ) berbeda dengan cadangan benefit pada akhir tahun ke-n karena pada tahun ke-(n + ) sudah tidak ada pembayaran premi lagi. Misalkan u j ialah banyaknya kemungkinan pasangan pada tahun ke-j di mana salah satu pasangannya sudah meninggal sebelum mencapai akhir tahun ke- n, u j = l x+j l y l y+n + l y+j (l x l x+n ) untuk j = n +, n + 2, n + 3,, sehingga cadangan benefit pada akhir tahun ke-n + ialah sebagai berikut: n+ V = (k n. nv) + i Q l x+n,y+n + i R x l x+n l y l y+n + i u n+ R y l y+n l x l x+n + i (6) u n+ dengan (k n. n V)( + i) : seluruh dana yang berasal dari tahun ke- n kemudian dibungakan selama setahun. Q l x+n,y+n + i : besarnya uang pertanggungan yang diberikan apabila x dan y masih tetap hidup sampai tahun ke-n yang dibungakan selama setahun. R x l x+n l y l y+n + i : besarnya uang pertanggungan yang diberikan apabila y meninggal sebelum akhir tahun ke-n dan x masih tetap hidup sampai akhir tahun ke- n lalu dibungakan selama setahun. R y l y+n l x l x+n + i : besarnya uang pertanggungan yang diberikan apabila x meninggal sebelum akhir tahun ke-n dan y masih tetap hidup sampai akhir tahun ke- n lalu dibungakan selama setahun. u n+ : banyaknya kemungkinan pasangan pada tahun ke- (n + ) di mana salah satu pasangannya sudah meninggal sebelum mencapai akhir tahun ke-n. Selanjutnya, cadangan benefit pada akhir tahun ke-(n + 2) ialah sebagai berikut: n+2 V = u n+. n+ V + i R x l x+n+ l y l y+n + i u n+2 R y l y+n+ l x l x+n + i (7) u n+2

36 24 dengan u n+ V n+ + i : seluruh dana yang berasal dari tahun ke- (n + ) yang dibungakan selama setahun. R x l x+n+ l y l y+n + i : besarnya uang pertanggungan yang diberikan apabila y meninggal sebelum akhir tahun ke- n dan x masih tetap hidup sampai akhir tahun ke-(n + ) lalu dibungakan selama setahun. R y l y+n+ l x l x+n + i : besarnya uang pertanggungan yang diberikan apabila x meninggal sebelum akhir tahun ke- n dan y masih tetap hidup sampai akhir tahun ke-(n + ) lalu dibungakan selama setahun. u n+2 : banyaknya kemungkinan pasangan pada tahun ke-( n + 2) di mana salah satu pasangannya sudah meninggal sebelum mencapai akhir tahun ke-n Cadangan benefit pada akhir tahun ke (n + 3) dan seterusnya sampai seumur hidup dapat dicari dengan menggunakan formula yang sama seperti cadangan benefit pada persamaan (7) atau secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut: n+t V = u n+t. n+t V + i R x l x+n+t l y l y+n + i u n+t R y l y+n+t l x l x+n + i (8) u n+t untuk t = 2,3,, dengan u n+t. V n+t + i : seluruh dana yang berasal dari tahun ke- (n + t ) yang dibungakan selama setahun R x l x+n+t l y l y+n + i : besarnya uang pertanggungan yang diberikan apabila y meninggal sebelum akhir tahun ke-n dan x masih tetap hidup sampai akhir tahun ke (n + t ) lalu dibungakan selama setahun. R y l y+n+t l x l x+n + i : besarnya uang pertanggungan yang diberikan apabila x meninggal sebelum akhir tahun ke-n dan y masih tetap hidup sampai akhir tahun ke- (n + t ) lalu dibungakan selama setahun. u n+t : banyaknya kemungkinan pasangan pada tahun ke- (n + t) di mana salah satu pasangannya sudah meninggal sebelum mencapai akhir tahun ke-n. Contoh Penghitungan Berdasarkan kontrak asuransi joint life dengan endowmen murni yang telah dijelaskan sebelumnya, maka dapat dihitung besarnya cadangan benefit untuk jenis asuransi joint life tersebut dengan menggunakan metode retrospektif. Penghitungan cadangan benefit dengan usia yang ditetapkan pada saat awal peserta mengikuti asuransi ialah 50 tahun untuk suami dan 45 tahun untuk istri.