Metode Simpleks Dengan Tabel Tabel metode simpleks Tabel metode simpleks bentuk standar
Pendahuluan Pada pembahasan ini akan dibahas mekanisme metode simpleks yang diformulasikan dengan sebuah tabel. Tabel tersebut akan merepresentasikan setiap corner point dan nilai fungsi tujuan yang bersangkutan Dengan menggunakan tabel: Dapat diselesaikan program linier skala kecil tanpa menggunakan alat bantu komputer
Algoritma metode simpleks Fase pertama () : tentukan titik intial yang merupakan sebuah basic feasible solution. Jika ada, iterasi dilanjutkan. Jika tidak ada, maka model program linier dikatakan infeasibel. Iterasi dihentikan. Fase kedua (2): iterasi sampai keadaan untuk menghentikan iterasi ditemui (keadaan optimum tercapai) 2.: apakah sudah optimum? Jika masih terdapat entering basic variable, maka keadaan belum optimum dan iterasi dilanjutkan. Jika tidak ada entering basic variable, iterasi dihentikan dengan penyelesaian di titik basic feasible solution tersebut sebagai titik optimum dengan nilai fungsi tujuan di titik tersebut sebagai nilai optimumnya. 2.2: Tentukan entering basic variable Tentukan nonbasic variable yang memberikan pengaruh terbesar pada perubahan fungis tujuan 2.3: Tentukan leaving basic variable menggunakan minimum ratio test (MRT) 2.4: Update persamaan-persamaan, untuk berpindah ke basic feasibel solution yang baru. 2.5: Kembali ke langkah 2..
Table Simpleks () 4 3 2 4 x Basic Var Z s s 2 s 3 Eqn. no. 2 3 Z X X 2 s s 2 s 3 RHS MRT -5 - never 2 3 4
Table Simpleks (2) Table di atas merupakan tabel untuk basic feasible solution di titik origin, yaitu (,,2,3,4). Kolom basic variable, berisi basic variable yang terjadi bersesuaian dengan masing-masing persamaan fungsi kendala. Kolom kedua, No. Eq., merupakan label untuk masingmasing fungsi kendala Label untuk fungsi tujuan, dan sampai 3 untuk fungsi-fungsi kendala. Kolom RHS, berisi nilai-nilai RHS untuk masing-masing fungsi kendala. Kolom MRT, diisi dengan hasil perhitungan MRT dan akan dilakukan pada saat memulia metode simpleks.
Proper form table Sebelum iterasi metode simpleks dijalankan, tabel yang dihasilkan harus dalam bentuk proper table. Proper table memiliki karakteristik: Memiliki sebuah basic variable untuk setiap persamaan Koefisien basic variable adalah, dan koefisien di atas dan di bawah basic variable dalam kolom yang sama adalah. Fungsi tujuan, Z, selalu dianggap sebagai basic variable (persamaan no. ).
Fungsi Proper form table Jika tabel dalam bentuk proper table, nilai untuk semua variable dan nilai fungsi tujuan dapat langsung dibaca dari tabel tersebut, Hal ini disebabkan karena hanya ada satu basic variable di setiap baris dan memiliki koefisien. Variable-variable yang lain dalam satu baris merupakan nonbasic variable, Dengan demikian, nilai-nilai suatu variable dapat dibaca pada kolom RHS.
2.. Apakah sudah optimal? Keadaan optimum tercapai jika tidak ada lagi entering basic variable, Hal ini dapat diketahui dengan memperhatikan baris fungsi tujuan. Jika pada baris fungsi tujuan tidak terdapat nilai yang negatif, maka keadaan sudah optimum. Jika pada baris fungsi tujuan masih terdapat nilai yang negatif, maka keadaan belum optimum dan metode simpleks dilanjutkan.
2.2. Menentukan entering basic variable () Entering basic variable merupakan nonbasic variable di baris fungsi tujuan (pers. No. ) yang bernilai paling negatif. Pilihlah variable di baris fungsi tujuan yang paling negatif sebagai entering basic variable Dalam contoh model linier tersebut, x memiliki koefisien -5 sedangkan x 2 memiliki koefisen -. Dengan demikian, x merupakan entering basic variable. Kolom untuk entering basic variable disebut sebagai pivot column.
2.2. Menentukan entering basic variable (2) Basic Var Eqn. no. Z X X 2 s s 2 s 3 RHS MRT Z s s 2 s 3 2 3-5 - 2 3 4 never
2.3. Menentukan leaving basic variable () Minimum ratio test digunakan untuk menentukan leaving basic variable. Nilai MRT ditentukan dengan cara: (RHS)/(koefisien entering basic variable) Terdapat dua keadaan khusus untuk nilai MRT: Jika koefisien entering basic variable NOL, MRT diberi nilai dengan no limit, Jika koefisien entering basic variable NEGATIF, MRT diberi nilai dengan no limit. Catatan: MRT tidak diterapkan pada fungsi tujuan.
2.3. Menentukan leaving basic variable (2) Leaving basic variable adalah pada baris yang memiliki MRT paling kecil Baris leaving basic variable disebut dengan pivot row. Basic Var Eqn. no. Z X X 2 s s 2 s 3 RHS MRT Z -5 - Never s 2 2 s 2 2 3 No limit s 3 3 4 4
2.4. Meng-udpate table () Setelah entering dan leaving basic variable ditentukan, langkah selanjutnya adalah meng-update nilai-nilai yang ada di dalam tabel, dengan cara: 2.4.: pada kolom basic variable, ganti leaving basic variable dengan sebagai pivot row dengan entering basic variable. 2.4.2: element table di mana pivot column dan pivot row berpotongan disebut dengan pivot element, Nilai pivot element harus sama dengan. 2.4.3: semua elemen pivot column dieleminasi kecuali pivot element. Hal ini dilakukan dengan operasi eleminiasi gauss, (new row k)=(row k)-(pivot column coefficient in row k) x (pivot row)
2.4. Meng-udpate table (2) Hasil proses meng-update table adalah sebagai berikut: Basic Var Z x s 2 s 3 Eqn. no. 2 3 Z X X 2 s s 2 s 3 RHS MRT - Table di atas menghasilkan basic feasible solution kedua (atau sebagai corner point jika dari sudut pandang secara grafik), yaitu: Basic feasible solution yang baru: (2,,,3,2) Dengan nilai Z sebesar: 3 5-3 2 3 2 never
Penyelesaian program linier () Dari tabel terakhir di atas, masih terdapat koefisien yang negatif di baris fungsi tujuan (pers. No. ), dengan demikian keadaan belum optimum. Jadi, proses penyelesaian masih terus dilakukan untuk iterasi selanjutnya, sebagai berikut: Langkah 2.2: x 2 sebagai entering basic variable Langkah 2.3: hasil dari MRT diperoleh s 3 sebagai leaving basic variable Langkah 2.4: meng-update table dalam bentuk proper form
Penyelesaian program linier (2) Entering basic variable: x 2 Leaving basic variable: s 3 Basic Var Eqn. no. Z X X 2 s s 2 s 3 RHS MRT Z - 5 3 never x 2 No limit s 2 2 3 3 s 3 3-2 2
Tabel dalam keadaan optimum Basic Var Eqn. no. Z X X 2 s s 2 s 3 RHS MRT Z 5 5 never x 2 s 2 2 - x 2 3-2 Tidak terdapat koefisien negatif di baris fungsi tujuan Penyelesaiaanya adalah: Di titik (2,2,,,) Dengan nilai Z = 5
Keadaan khusus dalam manipulasi table () Entering basic variable memiliki nilai yang sama, Contoh: Z maks = 5x +5x 2 Untuk menyelesaikan masalah ini, entering basic variable dipilih secara acak.
Keadaan khusus dalam manipulasi table (2) Leaving basic variable memiliki nilai MRT yang sama, Pilihlah leaving basic variable secara acak Untuk MRT semua bernilai no limit, berarti bahwa pergerakana entering basic variable tidak terbatas, Dengan demikian, model program linier tersebut merupakan model unbounded Pada keadaan optimum, jika terdapat nonbasic variabel bernilai NOL di baris fungsi tujuan, maka: Pemilihan nonbasic variable sebagai entering basic variable akan menghasilkan kenaikan nilai Z dengan rate NOL. Tidak ada efek ke pada perubahan nilai Z, dan menghasilkan nilai Z yang sama pada basic feasible solution yang berbeda.