PENYELESAIAN PERMASALAHAN LINEAR PROGRAMMING

Transkripsi

1 MODUL II

2 PENYELESAIAN PERMASALAHAN LINEAR PROGRAMMING

3 (A) Graphical Solution Method

4 Programa Linier/ OR I/ Reni A 4 Graphical Solution Method (Metode Pemecahan Grafik) Keuntungan Mudah Keterbatasan Hanya cocok untuk masalah LP dengan dua variabel keputusan Sensitif terhadap tingkat ketelitian

5 Programa Linier/ OR I/ Reni A 5 Graphical Solution Method 1. Plot model constraint on a set of coordinates in a plane 2. Identify the feasible solution space on the graph where all constraints are satisfied simultaneously 3. Plot objective function to find the point on boundary of this space that maximizes (or minimizes) value of objective function

6 Programa Linier/ OR I/ Reni A 6 Pemecahan Grafik Teknik pemecahan grafis dapat dipergunakan apabila persoalan programa linier yang akan diselesaikan hanya mempunyai dua buah variabel. Cara ini memberi petunjuk bahwa untuk pemecahan programa linier hanya perlu memperbaiki titik ekstrim pada ruang solusi atau daerah fisibel.

7 Programa Linier/ OR I/ Reni A 7 Contoh Soal (1) Maksimasi Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 2x2 6 2x1 + x2 8 x1 + x2 1 x2 2 x1 0 x2 0

8 Programa Linier/ OR I/ Reni A 8

9 Programa Linier/ OR I/ Reni A 9 Contoh Soal (2) Maksimasi Memaksimumkan dengan kendala Z X 5X X X 1 1 1, 10X1 20X 1 X X 2X 3X

10 Programa Linier/ OR I/ Reni A 10 X A Titik terluar 5 B C 0 E D X

11 Contoh Soal (3) Maksimasi Maximize Z = $40 x x 2 Subject to x 1 + 2x 2 40 hr (labor constraint) 4x 1 + 3x lb (clay constraint) x 1, x 2 0 Solution is x 1 = 24 bowls x 2 = 8 mugs Revenue = $1,360

12 x 1 + 2x 2 = 40 4x 1 + 3x 2 = 120 4x 1 + 8x 2 = 160-4x 1-3x 2 = x 2 = 40 x 2 = 8 x 1 + 2(8) = 40 x 1 = 24 Z = $50(24) + $50(8) = $1,360

13

14 Programa Linier/ OR I/ Reni A 14 Contoh Soal (4) Minimasi CHEMICAL CONTRIBUTION Brand Nitrogen (lb/bag) Phosphate (lb/bag) Gro-plus 2 4 Crop-fast 4 3 Minimize Z = $6x 1 + $3x 2 subject to 2x 1 + 4x 2 16 lb of nitrogen 4x 1 + 3x 2 24 lb of phosphate x 1, x 2 0

15 Programa Linier/ OR I/ Reni A 15 x x 1 = 0 bags of Gro-plus x 2 = 8 bags of Crop-fast Z = $24 Z = 6x 1 + 3x x 1

16 Programa Linier/ OR I/ Reni A 16 Kasus Khusus Persoalan programa linier mempunyai solusi optimal yang tidak terbatas (mempunyai solusi alternatif atau solusi optimal banyak) Persoalan programa linier tidak mempunyai solusi fisibel atau persoalan programa linier yang infisibel Persoalan programa linier mempunyai ruang solusi yang tidak terbatas, yaitu titik-titik pada daerah fisibel dengan harga z yang sangat besar (pada persoalan maksimasi)

17 Solusi Optimal Banyak atau Solusi Alternatif Programa Linier/ OR I/ Reni A 17

18 Ruang solusi tidak terbatas Programa Linier/ OR I/ Reni A 18

19 Tidak ada solusi fisibel Programa Linier/ OR I/ Reni A 19

20 Programa Linier/ OR I/ Reni A 20 Contoh lain : 1. The Burroughs garment company manufactures men's shirts and women s blouses for Walmark Discount stores. Walmark will accept all the production supplied by Burroughs. The production process includes cutting, sewing and packaging. Burroughs employs 25 workers in the cutting department, 35 in the sewing department and 5 in the packaging department. The factory works one 8-hour shift, 5 days a week. The following table gives the time requirements and the profits per unit for the two garments:

21 Programa Linier/ OR I/ Reni A 21 Minutes per unit Garment Cutting Sewing Packaging Unit profit($) Shirts Blouses Determine the optimal weekly production schedule for Burroughs!

22 Programa Linier/ OR I/ Reni A 22 Contoh : Feed Mix problem: The manager of a milk diary decides that each cow should get at least 15, 20 and 24 units of nutrients A, B and C respectively. Two varieties of feed are available. In feed of variety 1(variety 2) the contents of the nutrients A, B and C are respectively 1(3), 2(2), 3(2) units per kg. The costs of varieties 1 and 2 are respectively Rs. 2 and Rs. 3 per kg. How much of feed of each variety should be purchased to feed a cow daily so that the expenditure is least?

23 Programa Linier/ OR I/ Reni A 23

24 (B) Simplex Method

25 Bahasan Rumusan Pemrograman linier dalam bentuk baku Pemecahan sistem persamaan linier Prinsip-prinsip metode simpleks

26 Rumusan Pemrograman Linier dalam Bentuk Baku Memaksimumkan (Meminimumkan) Dengan pembatas Z = c1x1 + c2x2 + + cnxn a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2... am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm x1 0, x2 0,, xn 0 b1 0, b2 0,, bm 0

27 Notasi Matriks-Vektor Maks (Min) Z = cx dg pembatas Ax = b x 0 b 0 A : matriks (m x n) x : vektor kolom (n x 1) b : vektor kolom (m x 1) c : vektor baris (1 x n)

28 Karakteristik Rumusan Bentuk Baku Fungsi tujuan adalah memaksimumkan atau meminimumkan Semua pembatas dinyatakan dalam persamaan Semua variabel keputusan dibatasi sebagai tak negatif Konstanta ruas kanan untuk tiap pembatas adalah tak negatif

29 PENGERTIAN Metode Simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah dimulai dari satu titik ekstrim pada daerah fisibel (ruang solusi) menuju ke tititk ekstrim yang optimum Pada intinya, apa yang dilakukan metode simpleks adalah menerjemahkan definisi geometris dari titik ekstrim menjadi definisi aljabar

30 Apa yang dilakukan Metode simpleks? Mengidentifikasi satu pemecahan dasar awal dan kemudian bergerak secara sistematis ke pemecahan dasar lainnya yang memiliki potensi untuk memperbaiki nilai fungsi tujuan yang akhirnya nilai optimum akan diidentifikasi dan perhitungan berakhir.

31 Model Programa Linier

32 Model Programa Linier..(2) Jika kita definisikan : A a 11 a.. a 21. m1 a 12 a a m a 1n a. 2n.. a mn X X X X n b b b b n Pembatas dari model tersebut ditulis dalam bentuk Ax = b

33 Reduksi ke Bentuk Baku Metode simpleks untuk memecahkan masalah PL memerlukan bahwa masalah dinyatakan dalam bentuk baku. Tidak semua masalah PL dalam bentuk baku Pembatas pertidaksamaan (inequality constraint). Variabel yang tak dibatasi tanda (unrestricted in sign of variables)

34 Pembatas Pertidaksamaan Karena bentuk baku memerlukan semua pembatas harus dinyatakan dengan dalam persamaan, pembatas pertidaksamaan harus diubah ke persamaan. Ini dilakukan dengan penambahan variabel baru untuk menunjukkan slack antara ruas kiri dan kanan pada tiap pertidaksamaan. Variabel baru tersebut disebut slack variable

35 Pembatas Pertidaksamaan x1 + 4x2 10 x1 + 4x2 + x3 = 10 x3 0 2x1 + 5x2 18 2x1 + 5x2 x4 = 18 x4 0

36 Variabel yang Tak Dibatasi Tanda Dalam PL, adakalanya terdapat nilai variabel yang tak dibatasi tanda (positif atau negatif) Karena bentuk baku PL memerlukan semua variabel adalah tak negatif, maka variabel yang tak dibatasi tanda diganti dengan selisih dua variabel tak negatif

37 Variabel yang Tak Dibatasi Tanda x1 + x5 = 50 x1 0 x5 tak dibatasi tanda x5 = x6 x7 x1 + x6 x7 = 50 x1 0, x6 0, x7 0

38 Definisi Dasar Suatu solusi layak (feasible solution) adalah suatu vektor tak negatif x yang memenuhi persamaan Ax = b. Daerah layak (feasible region), dinyatakan dengan S, adalah himpunan dari semua solusi layak yang mungkin. Secara matematis, S = {x Ax = b, x 0} Jika himpunan layak S adalah kosong maka masalah PL dikatakan tak layak (infeasible)

39 Definisi Dasar Suatu solusi optimal (optimal solution) adalah suatu vektor x* yang layak dan nilai fungsi tujuannya (cx*) lebih besar dari semua solusi layak yang lain. Secara matematis, x* adalah optimal x* Є S dan cx* cx, x Є S Nilai optimal (optimal value) dari masalah PL adalah nilai fungsi tujuan yang berkaitan dengan solusi optimal. Jika Z* adalah nilai optimal maka Z* = cx*

40 Definisi Solusi Basis Solusi dimana terdapat sebanyak-banyaknya m variabel berharga bukan nol. Untuk mendapatkan solusi basis dari AX = b maka sebanyak (n-m) variabel harus dinolkan. Variabel yang dinolkan : variabel non basis Variabel lain yang memenuhi AX=b : n (n m) = m variabel disebut variabel basis Solusi Basis Fisibel Jika seluruh variabel pada suatu solusi basis berharga non negatif, maka solusi itu disebut solusi basis fisibel (BFS)

41 Definisi Dasar Jika suatu PL mempunyai lebih dari satu solusi optimal maka PL disebut mempunyai solusi optimal alternatif (alternate optimal solution). Solusi optimal dari masalah PL dikatakan unik (unique optimum) jika hanya terdapat tepat satu solusi optimal. Jika suatu masalah PL tidak mempunyai optimum tertentu (finite optimum), yaitu maks. Z +, maka PL dikatakan mempunyai solusi yang tak terbatas (unbounded solution)

42 Pemecahan Sistem Persamaan Linier Permasalahan matematis utama dalam pemrograman linier adalah mendapatkan solusi dari suatu sistem persamaaan linier yang memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi tujuan linier. Sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan menggunakan prosedur klasik Gauss- Jordan elimination.

43 Pemecahan Sistem Persamaan Linier Sistem dengan dua persamaan dengan lima variabel yang tak diketahui x1 2x2 + x3 4x4 + 2x5 = 2 x1 x2 x3 3x4 x5 = 4 Karena terdapat lebih banyak jumlah variabel yang tak diketahui daripada persamaan, maka sistem mempunyai lebih dari satu solusi. Himpunan dari semua solusi yang mungkin dari sistem disebut himpunan solusi (solution set)

44 Pemecahan Sistem Persamaan Linier Sistem ekivalen (equivalent system) Dua sistem persamaan dikatakan ekivalen jika kedua sistem mempunyai himpunan solusi yang sama. Metode untuk memecahkan suatu sistem persamaan adalah mendapatkan suatu sistem ekivalen yang mudah untuk dipecahkan.

45 Pemecahan Sistem Persamaan Linier Terdapat dua tipe operasi baris elementer untuk mendapatkan sistem ekivalen Mengalikan sebarang persamaan dalam sistem dengan suatu bilangan positif atau negatif. Menambahkan ke sebarang persamaan dengan suatu konstanta pengali (positif, negatif atau nol) ke sebarang persamaan yang lain.

46 Pemecahan Sistem Persamaan Linier (S1) (S2) (S3) x1 2x2 + x3 4x4 + 2x5 = 2 x2 2x3 + x4 3x5 = 2 x1 x3 2x4 4x5 = 6 x2 2x3 + x4 3x5 = 2 x1 2x2 + x3 4x4 + 2x5 = 2 x1 x2 x3 3x4 x5 = 4

47 Pemecahan Sistem Persamaan Linier Sistem S1, S2 dan S3 adalah ekivalen, yaitu solusi bagi satu sistem secara otomatis memberikan solusi bagi sistem yang lain. Untuk sistem S3, x4 = x5 = x6 = 0 akan memberikan x1 = 6, x2 = 2. Sistem S3 disebut sistem kanonik (canonical system). Variabel x1 dan x2 dari sistem kanonik disebut variabel basis (basic variable).

48 Pemecahan Sistem Persamaan Linier Variabel basis (basic variable) Variabel xi dikatakan sebagai variabel basis jika dalam suatu persamaan ia muncul dengan koefisien satu pada persamaan tersebut, dan nol pada persamaan yang lain. Variabel non basis (nonbasic variable) Variabel yang bukan variabel basis. Operasi pivot (pivot operation) Suatu urutan operasi elementer yang mereduksi suatu sistem persamaan ke suatu sistem ekivalen untuk menghasilkan variabel basis.

49 Pemecahan Sistem Persamaan Linier Solusi basis (basic solution) Solusi yang diperoleh dari suatu sistem kanonik dengan menetapkan nilai variabel non basis sama dengan nol dan memecahkan variabel basis. Solusi basis layak (basic feasible solution) Solusi basis dimana nilai variabel basisnya adalah tak negatif.

50 Algoritma Simpleks Untuk Persoalan Maksimasi 1. Formulasikan/konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar - Rubah fungsi tujuan ke dalam bentuk implisit Contoh : - Rubah batasan ke dalam bentuk standar Konversikan batasan-batasan pertidaksamaan ( ) fungsional ke dalam persamaan yang ekivalen Konversi dilakukan dengan memakai variabel slack

51 Algoritma Simpleks - Rubah batasan ke dalam bentuk standar Konversikan batasan-batasan pertidaksamaan ( ) fungsional ke dalam persamaan yang ekivalen Konversi dilakukan dengan memakai variabel slack

52 Algoritma Simpleks 2. Cari solusi Basis Fisibel Jika seluruh variabel non basis mempunyai koefisien non negatif (artinya berharga + atau nol) pada baris fungsi tujuan (pers. Z yang biasa disebut baris nol) maka BFS sudah 0ptimal Jika pada baris nol masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilih salah satu variabel yang mempunyai koefisien paling negatif

53 Algoritma Simpleks 3. Langkah Iterasi Tentukan variabel basis masuk Pilihlah variabel non basis yang jika dinaikkan nilainya akan meningkatkan nilai Z dengan laju yang tinggi. Jika seluruh variabel non basis mempunyai koefisien non negatif (artinya berharga + atau nol) pada baris fungsi tujuan (pers. Z yang biasa disebut baris nol) maka BFS sudah optimal Jika pada baris nol masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilih salah satu variabel yang mempunyai koefisien paling negatif. Variabel ini akan menjadi variabel basis variabel yang masuk basis ( entering variabel / EV)

54 Algoritma Simpleks Tentukan variabel basis keluar Hitung rasio dari ( Ruas kanan / koefisien EV) Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio positif terkecil akan berubah menjadi variabel non basis. Variabel ini disebut variabel basis keluar ( Leaving Variable / LV) Lakukan operasi baris elementer untuk membuat koefisien EV pada baris dengan rasio positif terkecil menjadi satu dan yang lainnya nol. Jika ditemukan lebih dari satu baris memiliki rasio positif, pilih salah satu

55 Prinsip-prinsip Metode Simpleks Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 2x2 6 2x1 + x2 8 x1 + x2 1 x2 2 x1 0, x2 0

56 Prinsip-prinsip Metode Simpleks Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 dengan pembatas-pembatas: x1 + 2x2 + x3 = 6 2x1 + x2 + x4 = 8 x1 + x2 + x5 = 1 x2 + x6 = 2 x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0,

57 Prinsip-prinsip Metode Simpleks Variabel basis : x3, x4, x5, x6 Dengan menetapkan x1 = x2 = 0, maka diperoleh solusi basis : x3 = 6, x4 = 8, x5 = 1, x6 = 2 Nilai fungsi tujuan Z = 3(0)+2(0)+0(6)+0(8)+0(1)+0(2)= 0

58 Prinsip-prinsip Metode Simpleks Memperbaiki solusi basis layak Dengan diberikan solusi basis layak, yaitu x1 = x2 = 0, x3 = 6, x4 = 8, x5 = 1, x6 = 2 dengan Z= 0, metode simpleks mengecek apakah mungkin untuk mendapatkan solusi basis layak yang lebih baik dengan nilai Z yang lebih besar. Ini dilakukan dengan pertama-tama memeriksa apakah solusi saat ini adalah optimal. Jika solusi solusi belum optimal, metode simpleks mencari suatu solusi basis layak tetangga (adjacent basic feasible solution) dengan nilai Z yang lebih besar.

59 Prinsip-prinsip Metode Simpleks Suatu solusi basis layak tetangga (adjacent basic feasible solution) berbeda dengan solusi basis layak (basic feasible solution) saat ini hanya tepat satu variabel basis.

60 Prinsip-prinsip Metode Simpleks Untuk mendapatkan solusi basis layak tetangga, metoda simpleks Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis Permasalahannya adalah memilih solusi basis dan solusi non basis yang pertukarannya memberikan perbaikan maksimum pada nilai fungsi tujuan.

61 Prinsip-prinsip Metode Simpleks Dalam solusi basis layak Variabel basis dapat mempunyai nilai yang positif Varibel non basis selalu mempunyai nilai nol Membuat variabel non basis menjadi variabel basis adalah ekivalen dengan menaikkan nilainya dari nol ke positif. Tentu saja, pilihan yang harus dibuat adalah menentukan variabel non basis mana yang dapat memberikan perbaikan pada nilai Z Ini dilakukan dengan menaikkan nilai variabel non basis menjadi satu unit dan memeriksa perubahannya pada nilai fungsi tujuan Z.

62 Prinsip-prinsip Metode Simpleks Misalkan variabel non basis x1 dinaikkan 1 unit x1 + x3 = 6 2x1 + x4 = 8 x1 + x5 = 1 0x1 + x6 = 2 x1 = 1, x2 = 0, x3 = 5, x4 = 6, x5 = 2, x6 = 2 Nilai fungsi tujuan Z = 3(1)+2(0)+0(5)+0(6)+0(2)+0(2)= 3 Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x1 Z = 3 0 = 3

63 Prinsip-prinsip Metode Simpleks Misalkan variabel non basis x2 dinaikkan 1 unit 2x2 + x3 = 6 x2 + x4 = 8 x2 + x5 = 1 x2 + x6 = 2 x1 = 0, x2 = 1, x3 = 4, x4 = 7, x5 = 0, x6 = 1 Nilai fungsi tujuan Z = 3(0)+2(1)+0(4)+0(7)+0(0)+0(1)= 2 Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x2 Z = 2 0 = 2

64 Prinsip-prinsip Metode Simpleks Karena Z positif untuk x1 dan x2 nilai fungsi tujuan dapat dinaikkan. Karena Z untuk x1 > Z untuk x2 maka menaikkan x1 lebih baik. Sampai seberapa jauh x1 dapat dinaikkan? Jika x1 dinaikkan maka nilai variabel basis : x3, x4, x5, x6 akan turun dan nilainya harus tak negatif agar tetap layak.

65 Algoritma Simpleks untuk Persoalan Minimasi Mengubah fungsi tujuan dan persamaannya, kemudian menyelesaikannya dengan persoalan maksimasi Memodifikasi algoritma untuk maksimasi menjadi : Jika seluruh variabel non basis pada baris nol mempunyai koefisien yang berharga non positif (artinya berharga negatif atau nol), maka BFS telah optimal Jika pada baris nol masih ada variabel dengan koefisien positif, pilih salah satu variabel yang berharga paling positif untuk menjadi entering variable

66 Kasus khusus dalam Aplikasi Metode Simpleks Beberapa kasus khusus yang dapat terjadi dalam aplikasi metode simpleks : 1. Degenerasi Kasus ini terjadi jika salah satu atau lebih variabel basis berharga nol (b = 0) sehingga iterasi yang dilakukan selanjutnya dapat menjadi sebuah loop yang akan kembali pada bentuk sebelumnya (cycling / circling) 2. Optimum alternatif Kasus ini terjadi apabila fungsi tujuan paralel dengan fungsi pembatas, dimana paling sedikit salah satu dari variabel non basis (pada persamaan z pada iterasi terakhir) mempunyai koefisien berharga nol.

67 Kasus khusus dalam Aplikasi Metode Simpleks (2) 3. Pemecahan yang tidak dibatasi Untuk mendeteksi kasus tsb dapat dilakukan : Perhatikan koefisien pembatas dari variabel non basis pada suatu iterasi, jika berharga negatif atau nol berarti solusinya tidak terbatas Jika koefisien fungsi tujuan variabel tersebut berharga negatif (untuk maksimasi) atau positif (untuk minimasi) maka nilai fungsi tujuan tidak terbatas

68 Starting Simplex Tableau The Reddy Mikks Model Maximize z=5x 1 +4x 2 +0s1+0s 2 +0s 3 +0s 4 subject to 6x 1 + 4x 2 + s 1 =24 x 1 + 2x 2 + s 2 =6 -x 1 + x 2 + s 3 = 1 x 2 + s 4 = 2 x 1,x 2,s 1,s 2,s 3,s 4 0 Slack variables: s 1, s 2, s 3, s 4 Express the objective function: z-5x 1-4x 2 =0 Basic z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 Solution z z-row s s 1 -row s s 2 -row s s 3- row s s 4 -row Nonbasic (zero) variables: (x 1, x 2 ) Basic variables: (s 1, s 2, s 3, s 4 ) The solution: z = 0 s 1 = 24 s 2 = 6 s 3 = 1 s 4 = 2

69 Entering & leaving variable Entering variable x 1 Leaving variable s 1 Entering Ratio Basic x 1 Solution (or intercept) s x 1 =24/6 = 4 minimum s x 1 = 6/1= 6 s x 1 = 1/-1 = -1 (Ignore) s x 1 = 2/0 = (Ignore)

70 The graph x Maximize z = 5x 1 + 4x 2 subject to: 6x 1 + 4x 2 + s 1 = 24 x 1 + 2x 2 + s 2 = 6 -x 1 + x 2 + s 3 = 1 x 2 + s 4 = 2 x 1, x C 4 s 2 = /-1 = -1 A /6 = 4 6/1 = 6 B x 1

71 Next tableau Increase in the value of the objective z is ($5 x 4 tons) = $20 The result of swapping the entering and the leaving variables: the nonbasic and basic variables become Nonbasic (zero) variables: (s 1, x 2 ) Basic variables: (x 1, s 2, s 3, s 4 ) Basic z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 Solution z s Pivot row s s s Pivot column

72 The new tableau Apply Gauss-Jordan to produce the new basic solution The new tableau corresponding to the new basic solution (x 1, s 1, s 2, s 3, s 4 ) Basic z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 Solution z 1 0-2/3 5/ x /3 1/ s /3-1/ s /3 1/ s Set the nonbasic variables x 2 and s 1 to zero x 1 = 4, s 2 = 2, s 3 = 5, s 4 =2 New objective value is z = 20

73