BAB I PENGANTAR PROGRAM LINIER

Transkripsi

1 BAB I PENGANTAR PROGRAM LINIER Pengertian Program linier merupakan kata benda dari pemogramman linier (linear programming), muncul dalam penelitian operasional (operational research) Menurut George B Dantzing yang sering disebut Bapak Linear Programming, di dalam bukunya Linear Programming and Extension, menyebutkan bahwa ide dari linear programming ini berasal dari ahli matematik Rusia bernama LV Kantorivich yang pada tahun 99 menerbitkan sebuah karangan dengan judul Mathematical Methods in The Organization and Planning of Production, yang didalamnya telah dirumuskan persoalan linear programming untuk pertama kalinya Ide ini, di Rusia tidak berkembang dan justru berkembang di dunia barat, kemudian tahun 947 seorang ahli matematik dari Amerika Serikat yaitu George B Dantzing menemukan suatu cara untuk memecahkan persoalan linear programming tersebut dengan suatu metode yang disebut Simplex Methods Setelah itu, linear programming berkembang pesat sekali, semula di bidang militer (untuk penyusunan strategi perang) maupun di bidang bussines (persoalan untuk mencapai maksimum profit, minimum loss, dll) Sekarang berkembang luas di dalam perencanaan pembangunan ekonomi nasional, misalnya di dalam penentuan allocation of investments ke dalam sektor-sektor perekonomian, rotation corp policy, peningkatan penerimaan devisa, dll Program linier (linear programming) merupakan meodel matematik dalam mengalokasikan sumberdaya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya Program linier sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dan sistem kendala linier Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

2 Persoalan Optimasi & Persoalan Programming Pada dasarnya persoalan optimasi (optimazion problems) merupakan suatu persoalan membuat nilai fungsi z = c x + c x + + c n x n, dengan variabel yaitu x, x,, x n menjadi maksimum atau minimum dengan memperhatikan kendala-kendala atau pembatas-pembatas yang ada Biasanya pembatas-pembatas tersebut meliputi tenaga kerja, uang, material yang merupakan input, serta waktu dan ruang Persoalan programming pada dasarnya berkenaan dengan penentuan alokasi yang optimal dari sumber-sumber yang langka (limited resources) untuk memnuhi suatu tujuan (objective) Misalnya, bagaimana mengkombinasikan beberapa sumber yang terbatas seperti tenaga kerja, material, mesin, tanah, pupuk, air sehingga diperoleh output yang maksimum Persoalan linear programming adalah persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variable sedemikian rupa sehingga nilai fungsi tujuan atau obyektif (objective function) yang linier menjadi optimum (maksimum atau minimum) dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan yang ada yaitu pembatasan mengenai inputnya Pembatasan-pembatasan inipun harus dinyatakan dalam ketidaksamaan yang linier (linear inequality) Suatu persoalan disebut persoalan program linier apabila memenuhi hal-hal berikut: a Tujuan (objective) yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linier Fungsi ini disebut fungsi tujuan (objective function) b Harus ada alternative pemecahan Pemecahan yang membuat nilai fungsi tujuan optimum (laba yang maksimum, biaya yang minimum, dll) yang hartus dipilih c Sumber-sumber tersedia dalam jumlah terbatas (bahan mentah terbatas, ruangan untuk menyimpan barang terbatas, dll) Pembatasan-pembatasan harus dinyatakan di dalam ketidaksamaan yang linier (linear inequality) Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

3 Secara teknis, ada syarat tambahan dari permasalahan program linier yang harus diperhatikan sebgai asumsi dasar yaitu: a Kepastian (certainty), yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah diketahui dan tidak berubah selama periode analisa b Proporsionalitas (proportionality), yaitu adanya proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan fungsi kendala c Penambahan (additivity), yaitu aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas individu d Bisa dibagi-bagi (divisibility), yaitu solusi tidak harus merupakan bilangan integer (bilangan bulat) tetapi bisa juga bilangan pecahan e Variable tidak negatif (non-negative variable), yaitu bahwa semua nilai jawaban atau variabel tidak negative Formulasi Model Matematika Masalah keputusan yang sering dihadapi analis yaitu alokasi optimum sumber daya Sumber daya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan atau teknologi Tugas analisis adalah mencapai hasil terbaik dengan keterbatasan sumber daya tersebut Setelah masalah diidentifikasikan dan tujuan ditetapkan, maka langkah selanjutnya yaitu formulasi model matematik Formulasi model matematik ada tahap yaitu: a Menentukan variable yang tidak diketahui dan dinyatakan dengan simbol b Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linear dari variable keputusan (memaksimumkan atau meminimumkan) c Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikannya dalam persamaan, pertidaksamaan atau fungsi Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

4 Contoh: Suatu perusahaan menghasilkan dua barang, boneka dan mobil-mobilan Soal soal: Harga masing-masing barang dan kebutuhan sumber daya terlihat pada tabel berikut Disamping itu menurut bagian penjualan, permintaan boneka tidak akan melebihi 4 unit Sumber daya Boneka Mobil-mobilan Kapasitas Bahan Mentah Buruh Harga per unit 4 Tentukan: a Variable b Fungsi tujuan c Sistem kendala d Formasi model matematik e Solusi optimum Sebuah Firma memproduksi sendiri rak buku dalam dua model yaitu model A dan model B Produksi rak buku dibatasi oleh persediaan material (papan kualitas tinggi) dan waktu yang terbatas mesin pemroses Tiap unit A memerlukan m papan dan tiap unit B memerlukan 4 m papan Firma memperoleh 7 m papan tiap minggu dari pemasok sendiri Tiap unit A membutuhkan menit dari mesin pemroses dan tiap unit B membutuhkan menit Setiap minggu memungkinkan total waktu mesin 6 jam Jika keuntungan (profit) tiap unit A sebesar $ dan tiap unit B sebesar $4 Bagaimana formasi model matematik program linier dari kasus di atas? Pabrik ban sepeda memproduksi ban luar dan ban dalam Ban luar diproses melalui unit mesin, sedangkan ban dalam hanya diproses di dua mesin Setiap ban luar diproses secara berurutan selama menit di mesin I, 8 menit di mesin II dan menit di mesin III Sedangkan setiap ban dalam diproses selama menit di mesin I, kemudian 4 menit di mesin II Sumbangan keuntungan dari setiap unit ban luar dan ban dalam masing-masing Rp 4, dan Rp, Kapasitas pengoperasian masing-masing mesin setiap harinya 8 menit Jika setiap ban yang diproduksi senantiasa laku terjual Tentukan model program liniernya, agar keuntungan maksimum! Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 4

5 PT bank kita yang bergerak dalam usaha pembuatan makanan ternak merencanakan produksi sebesar kg per bulan Untuk mendapatkan makanan ternak nyang berkualitas tinggi, sesuai dengan persyaratan yang diminta konsumen, telah ditemukan komposisi campuran yaitu: (a) paling sedikit 8% kalsium tetapi tidak boleh melebihi %, (b) paling sedikit % protein, (c) paling banyak 8% lemak Untuk memperoleh ketiga jenis bahan tersebut akan diolah dari jagung dan kacang kedelai Kandungan gizi yang terdapat dalam kedua jenis bahan tersebut sebagai berikut: Uraian Per kg bahan Jagung Kedelai Kalsium,, Protein,,4 Lemak,, Harga setiap kg jagung Rp, dan kacang kedelai Rp 8, Bagaimana rumusan model matematik program linier dari kasus di atas Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

6 BAB II METODE GRAFIK Pengertian Pada prinsipnya setiap persoalan program linier dapat dipecahkan atau menghasilkan penyelesaian Penyelesaian dengan metode grafik sebagai berikut: Masalah program linier diilustrasikan dan dipecahkan dengan metode grafik, apabila hanya memiliki dua variabel keputusan Langkah-langkah penyelesaian: a Gambarkan fungsi kendala dalam bentuk persamaan pada sumbu cartesius b Tentukan daerah solusi layak (feasible solution) atau area layak (feasible region) dengan memperhatikan tanda ketidaksamaan fungsi kendala c Gambarkan fungsi tujuan, geser garis tersebut ke lokasi titik solusi optimal d Selesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk menentukan solusi optimal Solusi optimal dapat menggunakan dua pendekatan yaitu pendekatan garis profit (isoprofit line) atau titik sudut (corner point) Dalam program linier dengan metode grafik sering dijumpai permasalahan secara teknis, sebagai berikut: a Infeasibility, yaitu suatu kondisi dimana tidak area layak yang memenuhi semua kendala b Unboundedness, yaitu suatu kondisi dimana area layak tidak terbatas c Redundancy, misalnya apabila bagian marketing tidak bisa menjual lebih dari 4 unit maka disebut redundant d Alternative Optima, yaitu situasi dimana terdapat lebih dari satu solusi optimal Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 6

7 Beberapa contoh kasus khusus pada program linier: Solusi tidak layak, jika tidak ada satu titikpun yang memenuhi fungsi kendala Contoh: Max z = x + x Terhadap 4x + x 8, x, x, x, x Solusi optimum lebih dari satu (multiple optimum solution), jika fungsi tujuan sejajar dengan fungsi kendala yang menghubungkan titik ekstrem Contoh: Max z = 4x + 4x Terhadap x + 6x, 6x + 6x, x 4, x, x Tidak memiliki solusi optimum, jika solusi layak tidak terbentuk dan fungsi kendala tidak dapat membatasi peningkatan nilai fungsi tujuan baik kearah positif maupun negatif Masalah Maksimisasi Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil Contoh: Maksimum z = 4x + y Dengan batasan x + y, x + 4y 8, x, y a Gambarlah grafik sistem pertidaksamaan! b Tentukan nilai maksimum dan koordinat titik yang menunjukkan nilai maksimum PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja Maksimum penyediaan benang sutera adalah 6 kg per hari, benang wol kg per hari dan tenaga kerja 4 jam per hari Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut: Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 7

8 Jenis bahan baku Kg bahan baku & Jam tenaga kerja Maksimum dan tenaga kerja Kain sutera Kain wol penyediaan Benang sutera 6 kg Benang wol - kg Tenaga kerja 4 jam Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 4 juta untuk kain sutera dan Rp juta untuk kain wol Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal? Langkah langkah: a) Menentukan variablel x kain sutera dan y kain wol b) Fungsi tujuan z max = 4x + y c) Fungsi kendala/batasan x + y 6 (benang sutera) d) Menggambar grafik y x + y 4 x, y (benang wol) (tenaga kerja) e) Untuk mendapatkan solusi optimal yaitu mencari nilai z pada setiap titik ekstrim dengan memaksimumkan keuntungan Masalah Minimisasi Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi Solusi optimal tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengan titik origin Contoh: Minimum z = x + y Dengan batasan x + y, x + y, x, y a Gambarlah grafik sistem pertidaksamaan! b Tentukan nilai minimum dan koordinat titik yang menunjukkan nilai minimum! Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 8

9 Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein Royal Bee paling sedikit diproduksi unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi unit Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan: Jenis makanan Vitamin (unit) Protein (unit) Biaya per unit (ribu rupiah) Royal Bee Royal Jelly 8 minimum kebutuhan 8 Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi? Langkah langkah: a) Menentukan variable x royal bee dan y royal jelly b) Fungsi tujuan z min = x + 8y c) Fungsi kendala/batasan x + y 8 (vitamin) d) Menggambar grafik x + y x, y (protein) e) Untuk mendapatkan solusi optimal yaitu mencari nilai z pada setiap titik ekstrim dengan meminimumkan biaya produksi Soal soal: Maksimum z = 4x + y Dengan batasan x + y 6, y, x + y 4, x, y a Gambarlah grafik sistem pertidaksamaan! b Tentukan nilai maksimum dan koordinat titik yang menunjukkan nilai maksimum Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 9

10 Minimum z = x + y Dengan batasan x + 4y 8, x + y 4, x + y 6, x, y a Gambarlah grafik sistem pertidaksamaan! b Tentukan nilai minimum dan koordinat titik yang menunjukkan nilai minimum! Maksimum z = x + y Dengan kendala x + y, x + 8y 4, x, x, y a Gambarlah grafik sistem pertidaksamaan! b Tentukan nilai maksimum dan koordinat titik yang menunjukkan nilai maksimum 4 Suatu persoalan program linier dirumuskan sebagai berikut: Maksimumkan z = x + 4y Dengan kendala x + y 8, x + 4y, x, y a Gambarlah daerah yang memenuhi system pertidaksamaan/pembatas! b Carilah koordinat titik yang menunjukkan nilai maksimum fungsi tujuan! c Tentukan nilai maksimumnya Perhatikan persoalan program linier Fungsi tujuan T = 4x + y (minimumkan) Pembatas x 4, y, x + y a Gambarlah daerah yang memenuhi system pertidaksamaan! b Tentukan nilai optimal fungsi tujuan! Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

11 BAB III METODE ALJABAR Pengertian Program linier dengan dengan metode aljabar yaitu menyelesaikan permasalahan dalam perhitungan matematika agar mendapatkan nilai yang optimum (maksimum atau minimum) Secara umum model matematika yang diselesaikan merupakan pertidaksamaan dan metode yang digunakan umtuk mengubah ketaksamaan menjadi kesamaan yaitu metode aljabar Adapun langkah-langkah dalam metode aljabar dengan melakukan standarisasi ketidaksamaan menjadi kesamaan, yaitu: Memasukkan unsur variable semua ke ruas kiri fungsi kendala Unsur fungsi kendala bertanda dilakukan dengan penambahan slack variables Slack variables yaitu suatu variable yang ditambahkan disebelah kiri tanda ketidaksamaan agar ketidaksamaan menjadi persamaan Unsur fungsi kendala bertanda dilakukan dengan pengurangan atau surplus variables Surplus variables yaitu variable yang dikurangkan di dalam suatu ketidaksamaan agar supaya menjadi persamaan Menentukan Banyak Persamaan Pada umumnya, kalau ada n variable yaitu x, x,, x j,, x n, akan tetapi hanya ada m persamaan, maka dapat diperoleh sebanyak K persamaan, dengan rumus: K = n! (n m)!m! dimana n banyaknya variabel dan m banyaknya persamaan Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

12 Ada beberapa istilah dalam penyelesaian program linier dengan metode aljabar, yaitu: Variable yang diperoleh dari m persamaan disebut variable dasar (basic variables), sedangkan pemecahannya disebut pemecahan dasar (basic solution) Pemecahan yang memenuhi semua syarat pembatasan disebut pemecahan fisibel (feasible solution) Pemecahan yang menghasilkan paling sedikit satu variable yang negatif disebut tidak fisibel (not feasible) 4 Pemecahan dasar fisibel yang memenuhi optimum disebut pemecahan optimal Contoh: Menentukan x dan x Fungsi z = 8x + 6x (maksimum) Pembatas 4x + x 6, x + 4x 48, x, x Cara: Persamaan dirubah dulu menjadi standar yaitu slack variables dengan memasukkan variable yang harus ditambahkan di dalam ketidaksamaan agar menjadi persamaan, sehingga persamaan akan berubah menjadi: a Menentukan x, x, x, x 4 b Fungsi z = 8x + 6x + x + x 4 (maksimum) c Pembatas 4x + x + x = 6, x + 4x + x 4 = 48 x, x, x, x 4 d Menentukan banyaknya solusi dengan menggunakan rumus: K = n! (n m)!m! K = 4! (4 )!! = 4!!! = 6 solusi e Mengenolkan dua variable, dengan 6 solusi yaitu: x = x = 4x + x + x = 6 x = 6 x + 4x + x 4 = 48 x 4 = 48 Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

13 Diperoleh: z = 8x + 6x + x + x 4 z = 8() + 6() + (6) + (48) z = (tidak ada penjualan) x = x = 4x + x + x = 6 x = x + 4x + x 4 = 48 x 4 = 78 (tidak fisibel) Diperoleh: z tidak dihitung, karena x 4 negatif maka pemecahan tidak fisibel x = x 4 = 4x + x + x = 6 x = 6 x + 4x + x 4 = 48 x = Diperoleh: z = 8x + 6x + x + x 4 z = 8() + 6() + (6) + () z = 7 x = x = 4x + x + x = 6 x = x + 4x + x 4 = 48 x 4 = 8 Diperoleh: z 4 = 8x + 6x + x + x 4 z 4 = 8() + 6() + () + (8) z 4 = x = x 4 = 4x + x + x = 6 x = 6 (tidak fisibel) x + 4x + x 4 = 48 x 4 = 4 Diperoleh: z tidak dihitung, karena x negatif maka pemecahan tidak fisibel x = x 4 = 4x + x + x = 6 x = x + 4x + x 4 = 48 x = 6 Diperoleh: z 6 = 8x + 6x + x + x 4 z 6 = 8() + 6(6) + () + () z 6 = (terbesar = maksimum) Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

14 Oleh karena z 6 yang memberikan nilai tujuan terbesar maka z 6 = z maksimum = z maks Jadi pemecahan dasar ke 6 meruapakn pemecahan yang optimal Jumlah hasil penjualan maksimum sebesar Keputusan yang harus dibuat oleh pemilik perusahaan yaitu bahwa barang A dan B masing-masing harus diproduksi sebesar satuan dan 6 satuan Menentukan x dan x Fungsi z = x + x (minimum) Pembatas x + x, x + x, x, x Cara: Persamaan dirubah dulu menjadi standar yaitu surplus variables dengan memasukkan variable yang harus dikurangkan di dalam ketidaksamaan agar menjadi persamaan, sehingga persamaan akan berubah menjadi: a Menentukan x, x, x, x 4 b Fungsi z = x + x x x 4 (minimum) c Pembatas x + x x =, x + x x 4 = x, x, x, x 4 d Menentukan banyaknya solusi dengan menggunakan rumus: K = n! (n m)!m! K = 4! (4 )!! = 4!!! = 6 solusi e Mengenolkan dua variable, dengan 6 solusi yaitu: x = x = x + x x = x = (tidak fisibel) x + x x 4 = x 4 = (tidak fisibel) Diperoleh: z tidak dihitung, karena x dan x 4 negatif maka pemecahan tidak fisibel x = x = x + x x = x = x + x x 4 = x 4 = Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 4

15 Diperoleh: z = x + x x x 4 z = () + () () () z = 9 x = x 4 = x + x x = x = (tidak fisibel) x + x x 4 = x = Diperoleh: z tidak dihitung, karena x negatif maka pemecahan tidak fisibel x = x = x + x x = x = x + x x 4 = x 4 = (tidak fisibel) Diperoleh: z 4 tidak dihitung, karena x 4 negatif maka pemecahan tidak fisibel x = x 4 = x + x x = x = x + x x 4 = x = Diperoleh: z = x + x x x 4 z = () + () () () z = x = x 4 = x + x x = x = Diperoleh: x + x x 4 = x = z 6 = x + x x x 4 z 6 = () + () () () z 6 = 8 (terkecil = minimum) z 6 = z minimum = z min karena merupakan nilai tujuan yang terkecil apabila dibandingkan dengan nilai tujuan yang lain Pemecahan optimal memberikan nilai z = 8 dengan x = x = Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

16 Soal-soal: Maksimum z = 4x + x Dengan kendala x + x, x + 4x 8, untuk x, x Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar! Minimumkan z =,x +,x Dengan pembatas x + x, x + x, x, x Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar! Maksimum z = x + x Dengan pembatas x + 4x 8, x + x 4, x, x Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar! 4 Maksimum z = 6x + y Dengan kendala 4x + y, x + y 6, x, x Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar! Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 6

17 BAB IV METODE SIMPLEKS 4 Pengertian Metode simpleks merupakan suatu prosedur aljabar yang bukan secara grafik untuk mencari nilai optimum dari fungsi tujuan dalam persoalan optimasi yang terkendala Penyelesaian program linier dalam menentukan nilai optimum yang memiliki dua variable atau lebih dengan menggunakan metode simpleks Untuk mencari nilai optimum dengan menggunakan metode simpleks dilakukan proses pengulangan (iterasi) dimulai dari penyelesaian dasar awal yang layak (feasible) hingga penyelesaian dasar akhir yang layak dimana nilai dari fungsi tujuan telah optimum, sehingga proses pengulangan (iterasi) tidak dapat dilakukan lagi Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya : Iterasi yaitu tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya Variable non basis yaitu variable yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi Dalam terminologi umum, jumlah variable non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan Variable basis merupakan variable yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi Pada solusi awal, variable basis merupakan slack variable (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ) atau variable buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan atau =) Secara umum, jumlah variable basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif) 4 Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 7

18 Slack Variable adalah variable yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan menjadi persamaan (=) Penambahan variable ini terjadi pada tahap inisialisasi Pada solusi awal, slack variable akan berfungsi sebagai variabel basis 6 Surplus Variable adalah variable yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan menjadi persamaan (=) Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi Pada solusi awal, surplus variable tidak dapat berfungsi sebagai variable basis 7 Variable buatan adalah variable yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal Penambahan variable ini terjadi pada tahap inisialisasi Variable ini harus bernilai pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada Variable hanya ada di atas kertas 8 Kolom Kerja/Kolom Kunci/Kolom Pivot adalah kolom yang memuat variable masuk Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris kerja 9 Baris Kerja/Baris Kunci/Kolom Pivot adalah salah satu baris dari antara variable basis yang memuat variable keluar Elemen Kerja/Elemen Kunci/Elemen Pivot adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya Variable masuk adalah variable yang terpilih untuk menjadi variable basis pada iterasi berikutnya Variable masuk dipilih satu dari antara variable non basis pada setiap iterasi Variable ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif Variable keluar adalah variable yang keluar dari variable basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variable masuk Variable keluar dipilih satu dari antara variable basis pada setiap iterasi Variable ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 8

19 4 BENTUK BAKU Pertama sekali sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan solusi optimum, bentuk umum program linier dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu Bentuk baku dalam metode simpleks yaitu mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan dan setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variable basis awal Variable basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan Dengan kata lain, variable keputusan semuanya masih bernilai nol dan meskipun fungsi kendala pada bentuk umum pemrograman linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah Dalam metode simpleks, ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu : Fungsi kendala dengan pertidaksamaan dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu slack variable Fungsi kendala dengan pertidaksamaan dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu surplus variable Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum, ditambahkan satu artificial variable (variabel buatan) Contoh: Perhatikan kasus A berikut : Minimumkan z = x +,x Kendala : x + x = 9 x + x 9 9x + 6x 7 x + 6x 4 x, x Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 9

20 Bentuk di atas adalah bentuk umum pemrograman liniernya Kedalam bentuk baku, model matematik tersebut akan berubah menjadi: Minimumkan z = x +,x + s + s s + s 4 + s Kendala : x + x + s = 9 x + x + s = 9 9x + 6x s + s 4 = 7 x + 6x + s = 4 x, x, s, s, s, s 4, s Fungsi kendala pertama mendapatkan variable buatan (s ), karena bentuk umumnya sudah menggunakan bentuk persamaan Fungsi kendala kedua dan kelima mendapatkan slack variables (s dan s ) karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan, sedangkan fungsi kendala ketiga mendapatkan surplus variables (s ) dan variabel buatan (s 4 ) karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan Perhatikan kasus B berikut ini : Maksimumkan z = 4x + 6x Kendala : x + x x + x 4x + 8x x, x Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum Perubahan ke dalam bentuk baku hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan dalam bentuk umumnya Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

21 Bentuk bakunya adalah sebagai berikut: Maksimumkan z = 4x + 6x + s + s + s Kendala : x + x + s = x + x + s = 4 + 8x + s = x, x, s, s, s s, s, s merupakan slack variables 4 TABEL SIMPLEKS Bentuk baku yang sudah diperoleh, harus dibuat dalam bentuk tabel Semua variable yang bukan variable basis mempunyai solusi (nilai kanan) sama dengan nol dan koefisien variable basis pada baris tujuan harus sama dengan nol Oleh karena itu harus membedakan pembentukan tabel awal berdasarkan variable basis awal dan hanya akan memperhatikan fungsi kendala yang menggunakan slack variable dalam bentuk bakunya Tabel simpleks sebagai berikut: c j c c c j c n CB VDB b i a j a a a j a n Rasio CB s b a a a j a n CB s b a a a j a n CB j s j b i a j a j a jj a jn z j c j z j c j z j c j z j c j z j c j Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

22 Keterangan tabel: CB yaitu menggambarkan koefisien ongkos relatif untuk variable dalam basis, pada mulanya koefisien itu bernilai nol VDB yaitu berisikan variable bayangan (slack variables), variable tersebut akan digantikan dengan variabel keputusan Kolom b i yaitu berisikan nilai variable konstanta di ruas kanan setiap batasan 4 Kolom a j yaitu berisikan variable keputusan dan variable bayangan Kolom c j yaitu berisikan koefisien relatif dari fungsi tujuan dan kolom variable bayangan bernilai nol 6 Baris z yaitu berisikan hasil pengurangan z j c j dan baris ini akan memberikan informasi tentang tujuan apakah sudah optimum atau belum 7 Kolom rasio yaitu berisikan hasil bagi untuk menyatakan variabel yang akan menjadi baris kunci atau tidak Langkah langkah penyelesaian tabel simpleks sebagai berikut: Merubah persoalan program linier ke dalam bentuk baku standar Masukkan semua nilai pada fungsi kendala ke dalam tabel simpleks Masukkan semua nilai pada fungsi tujuan ke dalam tabel simpleks pada baris z j c j dengan menggunakan rumus z j c j = CB aj c j (rumus yang digunakan saat awal memasukkan semua nilai fungsi tujuan) 4 Menentukan kolom kerja/kolom kunci/kolom pivot: Untuk persoalan maksimum keuntungan maka penentuan kolom kerja dalam baris z j c j diambil nilai yang paling kecil atau paling negatif Untuk persoalan minimum biaya yang dirubah menjadi maksimum maka penentuan kolom kerja dalam baris z j c j diambil nilai yang paling besar atau paling positif Menentukan baris kerja/baris kunci/baris pivot: Menggunakan rumus atau perbandingan minimum dan bukan negatif minimum = nilai pada kolom b i : nilai pada kolom kerja (dapat dilihat pada kolom rasio, diambil nilai yang paling kecil) Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

23 6 Mencari angka baru yang terdapat pada baris kunci Caranya yaitu membagi semua angka yang terdapat pada baris kerja dengan angka kerja Elemen kerja/elemen kunci/elemen pivot yaitu angka yang terdapat pada perpotongan baris kunci dengan kolom kunci 7 Mencari angka baru pada baris yang lain (angka baris baru) Caranya yaitu: angka baris baru = nilai baris lama perkalian koefisien pada kolom kunci dengan angka baru baris kunci 8 Apabila kondisi optimum belum tercapai maka ulangi kembali langkah ke 4 sampai langkah ke 7 sehingga pada baris z j c j tidak ada lagi yang bernilai negatif Penggunaan tabel simpleks, misalnya gunakan kasus B di atas dengan bentuk baku yaitu: Maksimumkan z = 4x + 6x + s + s + s atau z 4x 6x + s + s + s = Kendala : x + x + s = x + x + s + + = x + x + s = x + x + + s + = 4x + 8x + s = 4x + 8x s = x, x, s, s, s s, s, s merupakan slack variables maka tabel awal simpleks sebagai berikut: variabel bayangan konstanta sebelah kanan fungsi tujuan variabel fungsi tujuan CB VDB b i c j 4 6 a j x x s s s s s s 4 8 z j c j -4-6 Rasio Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

24 44 Kesimpulan Tabel Simpleks Tabel simpleks merupakan bagian yang terpenting dalam mengambil keputusan, sehingga harus memperhatikan solusi optimal dalam variabel keputusan, yaitu melihat nilai pada kolom b i dengan variabel produk pada tabel optimal Contoh: Selesaikan kasus berikut dengan metode simpleks: Maksimum z = 8x + 9x + 4x Kendala: x + x + x x + x + 4x 7x + 6x + x 8 x, x, x Penyelesaian: Langkah merubah menjadi bentuk baku Maksimum z = 8x + 9x + 4x + s + s + s atau z 8x 9x 4x + s + s + s = Kendala: x + x + x + s = x + x + 4x + s = 7x + 6x + x + s = 8 x, x, x, s, s, s Langkah menggunakan tabel simpleks CB VDB b i c j a j x x x s s s s s 4 s z j c j Rasio Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 4

25 Langkah CB menentukan kolom kunci, baris kunci dan rasio Nilai negatif terbesar ada pada kolom x, maka kolom x adalah kolom kunci (KK) Rasio pembagi kanan dengan kolom kunci adalah bersesuaian dengan baris s maka baris s adalah baris kunci (BK) dan s merupakan variabel keluar Elemen kunci adalah VDB b i c j a j x x x s s s s s 4 s z j c j Langkah 4 iterasi I Rasio = = 8 6 = 4 Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kerja baru yaitu baris x (tabel di bawah ini) Semua nilai pada s di tabel solusi awal dibagi dengan (elemen kunci) CB VDB c j a j b i x x x s s s Rasio s 9 x 4 s z j c j Perhitungan nilai baris, sebagai berikut: Baris Kunci Baru: 4 dibagi 4 Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

26 Baris z, yaitu: baris lama koefisien KK pada -9 ( ) baris baru baris z Baris s, yaitu: baris lama koefisien KK pada ( baris baru baris s - Baris s, yaitu: baris lama koefisien KK pada 6 ( baris baru baris s - maka tabel iterasi sebagai berikut: ) ) CB VDB b i c j a j x x x s s s s 4 9 x s -6 - z j c j 9-8 Rasio Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 6

27 Langkah CB pemeriksaan tabel sudah optimal atau belum Nilai baris z di bawah variabel x masih negatif, maka tabel belum optimal Variabel masuk yaitu x dan variabel keluar yaitu s, sehingga diperoleh tabel berikut: VDB b i s 9 x c j a j x x x s s s s -6 - z j c j 9-8 Langkah 6 iterasi 4 Rasio Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kerja baru yaitu baris x (tabel berikut ini) Semua nilai pada s di tabel solusi awal dibagi dengan (elemen kunci) = = CB VDB c j a j b i x x x s s s Rasio s 9 x 8 x - z j c j Perhitungan nilai baris, sebagai berikut: Baris Kunci Baru: -6 - dibagi - Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 7

28 Baris z, yaitu: baris iterasi ( - baris baru - 4 Baris x, yaitu: baris iterasi ( - baris baru Baris s, yaitu: baris iterasi ( - baris baru - ) 9 ) ) maka tabel iterasi sebagai berikut: CB VDB s 9 x 8 x z j c j b i c j a j x x x s s s Rasio Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 8

29 Langkah 7 membaca tabel optimal Dengan tabel optimal dapat disimpulkan dengan solusi optimal, yaitu: x =, x = 9, x = dan z = artinya: agar keuntungan yang diperoleh maksimum sebesar $, maka sebaiknya perusahaan menghasilkan produk pertama sebesar unit dan produk kedua sebesar 9 unit Selesaikan kasus berikut dengan metode simpleks: Minimumkan z = x + x Kendala x + x 4 Penyelesaian: Langkah x + x x + x x, x merubah menjadi bentuk baku Minimum z = x + x + s + s + s Kendala x + x + s = 4, x + x +s =, x + x + s = x, x, s, s, s Bentuk baku diatas masih minimum, sehingga harus dirubah ke bentuk maksimum Maksimumkan z = x x s s s atau z + x + x + s + s + s = Kendala: x + x s = 4 x + x s = x + x s = x, x, s, s, s Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 9

30 Langkah menggunakan tabel simpleks C B VD B b i c j - - a j x x s s s s 4 - s - s - z j c j Rasio Langkah menentukan kolom kunci, baris kunci dan rasio Nilai positif terbesar ada pada kolom x, maka kolom x adalah kolom kunci (KK) Rasio pembagi kanan dengan kolom kunci adalah bersesuaian dengan baris s maka baris s adalah baris kunci (BK) dan s merupakan variabel keluar Elemen kunci adalah CB VDB c j - - a j b i x x s s s s 4 - s - s - z j c j Rasio 4 = 4 = = Langkah 4 iterasi I Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kerja baru yaitu baris x (pada tabel di bawah) Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

31 Semua nilai pada s di tabel solusi awal dibagi dengan (elemen kunci) CB VDB c j - - a j b i x x s s s Rasio s - x s z j c j Perhitungan nilai baris, sebagai berikut: Baris Kunci Baru: - dibagi Baris z, yaitu: baris lama koefisien KK pada ( ) baris baru baris z - - Baris s, yaitu: baris lama 4 - koefisien KK pada ( ) baris baru baris s - - Baris s, yaitu: baris lama koefisien KK pada ( baris baru baris s - 8 ) - - Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

32 maka tabel iterasi sebagai berikut: CB VDB b i c j - - a j x x s s s s - - x 8 s - z j c j - Rasio Langkah pemeriksaan tabel sudah optimal atau belum Nilai baris z di bawah variable x masih positif maka tabel belum optimal Variable masuk yaitu x variable keluar yaitu x, sehingga diperoleh tabel berikut: CB VDB b i s - x s c j - - a j x x s s s 8 - z j c j - - Rasio = 4 = = 7, 8 Langkah 6 iterasi Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kerja baru yaitu baris s (tabel berikut ini) Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

33 Semua nilai pada s di tabel solusi awal dibagi dengan 8 (elemen kunci) CB VDB c j - - a j b i x x s s s Rasio s - x - s 7, z j c j 8 8 Perhitungan nilai baris, sebagai berikut: Baris Kunci Baru: 8 - dibagi 8 7, 8 8 Baris z, yaitu: baris lama - koefisien KK pada (7, 8 8 ) baris baru baris z - -87, koefisien KK pada Baris s, yaitu: baris lama - (7, ) baris baru baris s - - Baris s, yaitu: baris lama - koefisien KK pada (7, ) 8 baris baru baris x - 7, Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

34 maka tabel iterasi sebagai berikut: CB VDB b i c j - - a j x x s s s s x 7, x 7, z j c j -87, Rasio Soal soal: Langkah 7 membaca tabel optimal Dengan tabel optimal dapat disimpulkan dengan Solusi optimal, yaitu: artinya: x = 7,, x = 7,, x = dan z = 87, agar memperoleh minimum biaya sebesar $ 87, maka perusahaan sebaiknya menghasilkan produk yang pertama sebesar 7, unit dan produk yang kedua sebesar 7, unit Maksimumkan z = 4x + x Kendala x + x 6 4x + x 4 dengan x, x Maksimumkan z = x + x Kendala x 8 x 6x + x dengan x, x Maksimumkan z = x + x + 4x Kendala x + 6x + x x + x + x 8 4x + x + 4x 7 dengan x, x, x Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 4

35 4 Perusahaan genteng modern di Jakarta memproduksi jenis genteng yaitu molek, jelita dan anggun Ketiga jenis genteng tersebut menggunakan bahan mentah yang diimpor dari Swiss Proses produksinya diulakukan dengan teknik dan peralatan yang serba modern Pabrik ini mempunyai bagian yaitu bagian cetak (bagian mentah dicapur lalu dicetak), bagian press (genteng merah dipress agar padat dan terpisah dari air) dan bagian pengeringan (genteng sudh dipress dikeringkan) Berbeda dengan genteng tradisional yang terbuat dari tanah liat Genteng yang diproduksi perusahaan modern ini tidak memerlukan waktu yang lama untuk dikeringkan Waktu pengeringan hanya beberapa menit saja karena memang sudah cukup dan lamanya proses masingmasing jenis genteng pada masing-masing bagian yaitu: Bagian Jenis Genteng Molek Jelita Anggun Cetak,7 menit menit menit Press,4 menit menit 4 menit Pengeringan,7 menit menit menit Jumlah Waktu 6,8 menit 6 menit 8 menit Dalam seminggu mesin-mesin pada setiap bagian dapat bekerja selama: bagian cetak = 7, bagian press = dan bagian pengeringa = 44, sedangkan tingkat kontribusi laba masing-masing jenis genteng yaitu: molek = Rp, dan jelita = Rp, serta anggun = Rp, Berapa banyaknya masingmasing genteng harus diproduksi agar diperoleh keuntungan yang maksimum? Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

36 BAB V METODE BIG M (METODE M CHARNES) Metode Big M (metode M Charnes) merupakan pemecahan persoalan program linier dalam menentukan solusi optimal yaitu untuk mengatasi saat fungsi kendala dengan menggunakan pertidaksamaan dan atau maka variable basis awal adalah slack variable dan/atau variable buatan dan saat fungsi kendala dengan menggunakan persamaan sehingga ditemukan pada variable basis awal Charnes mencoba mencari jawaban atas persoalan program linier dan menggunakan simpleks untuk memaksa variable buatan (variable semu atau variable artifisial) menjadi nol, dengan menentukan konsatan (-M) jika masalah yang dihadapi yaitu memaksimumkan fungsi tujuan dan menentukan nilai konstanta (M) pada variable buatan (variable semu atau variable artifisial) jika masalah yang dihadapi yaitu meminimimkan Perbedaan metode Big M dengan metode simpleks yang telah dipelajari yaitu terletak pada pembentukan table awal Apabila fungsi kendala dengan bentuk pertidaksamaan maka perubahan dari bentuk umum ke bentuk baku memerlukan satu surplus variable yang berfungsi sebagai variable basis awal karena bertanda negatif Sebagai variable basis pada solusi awal maka harus ditambahkan satu variable buatan dan variable buatan pada solusi optimal hartus bernilai nol () jarena variable tersebut memang tidak ada Adapun teknik yang digunakan untuk memaksa variable buatan bernilai nol () pada solusi optimal yaitu dengan cara berikut: a Penambahan variable buatan pada fungsi kendala yang tidak memiliki slack variable maka penambahan variable buatan pada fungsi tujuan b Apabila fungsi tujuan adalah maksimasi maka variable buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien +M dan apabila fungsi tujuan adalah minimisasi maka variable buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien M c Koefisien variable basis pada table simpleks harus bernilai nol () maka variable buatan pada fungsi tujuan harus digantikan nilai dari fungsi kendala yang memuat variable buatan tersebut Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 6

37 Catatan: PL Kendala = atau variable buatan Variable buatan solusi basis awa layak disingkirkan Minimum z = Maksimum z z min = z maks Contoh: Minimumkan z = 4x + x Kendala x + x = 4x + x 6 x + x 4 x, x Bentuk Baku: Minimumkan z = 4x + x s + s Kendala x + x = 4x + x s = 6 x + x + s = 4 x, x, s, s Pada kendala yang I dan II tidak mempunyai slack variable sehingga tidak ada variable basis awal dan agar berfungsi sebagai basis awal maka pada kendala I dan II dilakukan penambahan pada masing-masing kendala dengan satu variable buatan (artificial variable), sehingga bentuk Big M nya yaitu: Bentuk Big M: Minimum z = 4x + x s + s + MQ + MQ Kendala x + x + Q = kendala I 4x + x s + Q = 6 kendala II x + x + s = 4 kendala III x, x, s, s, Q, Q Langkah-langkahnya yaitu: Nilai Q digantikan dari fungsi kendala I Q = x x MQ = M ( x x ) MQ = M Mx Mx Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 7

38 Nilai Q digantikan dari fungsi kendala II Q = 6 4x x + s Q = M(6 4x x + s ) Fungsi tujuan berubah menjadi: MQ = 6M 4Mx Mx + Ms Min z = 4x + x s + s + MQ + MQ z = 4x + x + (M Mx Mx ) + (6M 4Mx Mx + Ms ) z = 4x + x + M Mx Mx + 6M 4Mx Mx + Ms z = 4x + x + 9M 7Mx 4Mx + Ms z = (4 7M)x + ( 4M)x + Ms + 9M Minimum Maksimum atau z = (4 7M)x + ( 4M)x + Ms + 9M ( z) = (4 7M)x ( 4M)x Ms 9M z (4 7M)x ( 4M)x Ms = 9M Minimum z = 4x + x s + s + MQ + MQ Maksimum ( z) = 4x x + s s MQ MQ Kendala Q = x x x + x + Q = Q = 6 4x x + s 4x + x s + Q = 6 x + x + s = 4 4 Tabel awal simpleks CB VDB c j m -m a j b i x x s s Q Q -m Q -m Q S 4 z j c j 9M -(4-7M)=-4+7M -(-4M)=-+4M -M Rasio Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 8

39 Menentukan kolom kunci, baris kunci dan rasio Nilai positif terbesar ada pada kolom x, maka kolom x adalah kolom kunci (KK) Rasio pembagi kanan dengan kolom kunci adalah bersesuaian dengan baris s maka baris Q adalah baris kunci (BK) dan Q merupakan variabel keluar Elemen kunci adalah CB VDB c j m -m a j b i x x s s Q Q -m Q -m Q S 4 z j c j 9M -4+7M -+4M -M Rasio = 6 4 = 4 = 4 6 Menentukan Tabel Iterasi I Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kunci baru yaitu baris x (tabel berikut) Semua nilai pada Q di tabel solusi awal di bagi dengan (elemen kunci) CB VDB b i c j m -m a j -4 x -m Q S z j c j x x s s Q Q Perhitungan nilai baris, sebagai berikut: Baris Kunci Baru: Rasio dibagi Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 9

40 Baris Q, yaitu: Baris s, yaitu: Baris z, yaitu: 9M -4+7M -+4M -M -4+7M - 4+M +M -M 4 7M Diperoleh Tabel Iterasi I, yaitu: CB VDB b i c j m -m a j -4 x -m Q S z j c j 4+M x x s s Q Q + M - 4 -M 4 7M Rasio Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 4

41 7 Pemerikasaan Tabel Iterasi I Nilai baris z di bawah variable x positif terbesar maka table belum optimal Variabel masuk yaitu x dan variable keluar Q sehingga diperoleh table berikut: CB VDB b i c j m -m a j -4 x -m Q S z j c j 4+M x x s s Q Q + M - 4 -M 4 7M Rasio = = 6 = 8 Menentukan Tabel Iterasi II Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kunci baru yaitu baris x (tabel berikut) Semua nilai pada s di tabel solusi awal di bagi dengan (elemen kunci) c j m -m CB VDB b i a j x x s s Q Q Rasio -4 x - x 6 4 S z j c j Perhatikan nilai baris, sebagai berikut: Baris Kunci Baru: - 4 dibagi 6 4 Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 4

42 Baris x, yaitu: 6 4 Baris s, yaitu: Baris z, yaitu: Disederhanakan: +M M 8 8 Diperoleh Tabel Iterasi II, yaitu: 6 +M -M 4 7M 4 8 M M - 8 M M CB VDB b i c j m -m a j x x s s Q Q -4 x 6 - x 4 S - z j c j 8 8 M M Rasio 9 Pemeriksaan Tabel Iterasi II Nilai baris z di bawah variable s masih positif maka tabel belum optimal Variabel masuk yaitu s dan variable keluar s sehingga diperoleh tabel berikut: Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 4

43 CB VDB -4 x b i c j m -m 6 a j x x s s Q Q Rasio - x 4 = S z j c j M M 6 = Menentukan Tabel Iterasi III CB Nilai baris kunci baru: baris s & semua nilai pada s di tabel solusi awal: (kunci) VDB b i c j m -m a j x x s s Q Q -4 x - x S - z j c j Perhatikan nilai baris, sebagai berikut: Rasio Baris Kunci Baru: - dibagi Baris x, yaitu: Baris x, yaitu: Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 4

44 Baris z, yaitu: 8 8 M M M M Diperoleh Tabel Iterasi III, yaitu: CB VDB b i c j m -m a j x x s s Q Q -4 x 9 - x S - z j c j 7 7 M M Rasio Dengan demikian tabel telah optimal, z min = z maks = 7 tercapai bila x = dan x = 9 Soal soal: Minimumkan z = 4x + x Kendala x + x = 4x + x 6 x + x x, x Minimumkan z = x + x Kendala x + x x + x x, x Minimumkan z = x + 9x + x Kendala x + x + x 9 x + x + x = x + x + x x, x, x Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 44

45 BAB VI METODE DUAL SIMPLEKS (METODE SIMPLEKS DUA FASE) Metode simpleks dua fase merupakan suatu modifikasi dari metode M Charnes Penyelesaian program linier pada metode M Charnes koefisien, yaitu variable tiruan (buatan atau semu) mendapatkan harga (-M) untuk permasalahan memaksimumkan atau (+M) untuk permasalahan meminimumkan Sedangkan penyelesaian program linier dengan metode simpleks dua fase, yaitu harga (konstanta) variable tiruan pada fungsi tujuan diberi tanda (-) pada permasalahan memaksimumkan atau (+) pada permasalahan meminimumkan Metode simpleks dua fase digunakan bila tabel optimal tidak layak Pada bentuk umum program linier, fungsi kendala dengan menggunakan tanda ( ) dan tidak ada tanda (=) maka bentuk dapat menggunakan metode simpleks dua fase Metode simpleks dua fase digunakan pada variable basis awal terdiri dari variable buatan dan proses optimasi dilakukan dengan dua tahap (dua fase), yaitu: Fase I (tahap I) merupakan proses optimasi variable buatan yaitu mengusahakan agar semua nilai variable buatan menjadi nol () Pada akhir fase I yaitu setelah z maks = dengan kemungkinan hasil sebagai berikut: a z maks < satu atau lebih variabel buatan berada dalam basis pada tingkat nilai yang positif Hal ini berarti permasalahan program linier yang asli tidak mempunyai penyelesaian yang layak (pemecahan fisibel) b z maks = tidak ada variable buatan yang terletak (ada) dalam basis Hal ini berarti permasalahan program linier yang asli telah diperoleh penyelesaian dasar yang fisibel Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 4

46 c z maks > satu atau lebih variable buatan terletak (ada) pada basis, pada tingkat nilai nol (degenerasi) Hal ini berarti permasalahan program linier yang asli telah diperoleh penyelesaian yang layak (pemecahan fisibel) Fase II (tahap II) merupakan proses optimasi variable keputusan yaitu dari suatu pemecahan dasar yang fisibel baik yang memuat vriable buatan dengan nilai variable pada tingkat nol dan tidak memuat vektor buatan sama sekali Ringkasan perubahan untuk penyelesaian simpleks No Tanda Fungsi Kendala Perubahan Fungsi Kendala (diubah menjadi tanda = ) Perubahan Fungsi Tujuan Maksimasi Minimisasi = Tambahan Variable Artificial (Q i ) M atau +M atau + Kurangi Slack Variabel (s i ) Kurangi Surplus Variable (s i ) Tambahkan Variable Artificial (Q i ) M atau +M atau + Bentuk khusus dalam Simpleks, sebagai berikut: Degeneracy Kasus ini terjadi apabila salah satu variable basis berharga nol () pada iterasi selanjutnya sehingga iterasi yang dilakukan menjadi suatu loops yang akan kembali ke bentuk sebelumnya Degeneracy dapat bersifat temporer (sementara) sehingga apabila iterasi dilanjutkan maka degeneracy itu menghilang Solusi Optimum Banyak Kasus ini terjadi apabila masalah program linier memiliki lebih dari satu solusi optimum Hal ini ditandai apabila fungsi tujuan sejajar dengan fungsi kendala Pada table simpleks hal ini ditandai dengan paling sedikit satu variable basis pada baris z bernilai nol () Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 46

47 Solusi optimum yang lain dapat dicari dengan cara melanjutkan iterasi dengan memilih variable non basis bernilai nol menjadi entering variable dan memberikan nilai z yang sama Solusi Tidak terbatas Kasus ini terjadi apabila ruang solusi tidak terhingga (nilai fungsi tujuan meningkat untuk maksimasi atau menurun untuk minimasi secara tidak terbatas) Contoh: Minimumkan z = x + 4x Kendala x + x 4 x + x 6 x, x Penyelesaian: Fase I dengan Bentuk Baku: Minimumkan z = x + 4x s s + Q + Q Maksimumkan ( z) = x 4x + s + s Q Q Kendala x + x s + Q = 4 x + x s + Q = 6 x, x, s, s, Q, Q s dan s : variable pengurang Q dan Q : variable buatan Tabel Awal CB VDB b i c j - - a j x x s s Q Q - Q Q 6 * - z j c j ( 4) + ( 6) = = = = + = Rasio 4 = 4 6 = Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 47

48 CB VDB Tabel I b i - Q Q CB c j - - a j x x s s Q Q z j c j - VDB Tabel II b i - Q x CB - c j - - a j z j c j - VDB Table III b i x x s s Q Q * - c j - - a j x x s s Q Q x - - x - - z j c j Rasio Rasio 6 Rasio Ternyata dalam table menunjukkan fase I berakhir sehingga melangkah ke fase II Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 48

49 Fase II Tabel IV pada fase II CB c j - -4 VDB a j x x s s b i - x - -4 x - z j c j -4 Rasio Karena semua kolom sudah positif maka nilai z min = z maks = ( 4) = 4 Jadi nilai maksimum di z = 4 dengan x = x = Minimumkan z = x + 8x Kendala x 4 x x + x = x, x Penyelesaian: Fase I dengan Bentuk Baku: Minimumkan z = x + 8x + s s + Q + Q Maksimumkan ( z) = x 8x s + s Q Q Kendala x + s = 4 x s + Q = x + x + Q = x, x, s, s, s, s 4 s : variabel penambah s : variabel pengurang Q dan Q : variabel buatan CB Tabel Awal VDB b i c j - - a j x x s s Q Q s 4 - Q - - Q z j c j -7 - Rasio Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 49

50 CB VDB Tabel I b i c j - - a j x x s s Q Q Rasio s 4 - Q * - - Q z j c j -7 - CB VDB Tabel II b i c j - - a j x x s s Q Q s 4 x - - Q - z j c j Rasio CB VDB Tabel III b i c j - - a j x x s s Q Q Rasio s 4 4 x - - Q * - z j c j CB VDB Tabel IV b i c j - - a j x x s s Q Q s - - x - x - z j c j Rasio Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

51 Fase II CB VDB Tabel V pada fase II b i c j - -8 a j x x s s s - -8 x - - x z j c j - Rasio Karena semua kolom sudah positif maka nilai z min = z maks = ( ) = Jadi nilai maksimum di z = dengan x = dan x = Soal soal : Minimumkan z = 4x + 8x Kendala x + x x + 6x 4 x, x Minimumkan z = x + x Kendala x + x x + x x, x Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

52 BAB VII METODE SIMPLEKS YANG DIREVISI Metode simpleks yang direvisi merupakan salah satu cara dalam pemecahan persoalan program linier Penyelesaian dengan metode simpleks yang direvisi dengan menggunakan dua bentuk penyelesaian yaitu: a Bentuk Standard I (Standrad From I), yaitu memasukkan variable slack dan surplus dan tidak memerlukan variable variable buatan (artificial variable) sehingga memperoleh matriks identitas (identity matrix) b Bentuk Standard II (Standrad From II), yaitu memasukkan variabel variable buatan (artificial variable) sehingga memperoleh matrix identitas (identity matrix) Pada metode simpleks yang direvisi, menganggap bahwa fungsi tujuan merupakan suatu pembatasan, dengan langkah-langkah sebagai berikut: a Bentuk Standard I (Standrad From I) Dirubah dalam bentuk baku/standar program linier Ditulis dalam bentuk matrix, sebagai berikut: AX = H, X, Max Z = CX Z CX = Z c x c n x n = setelah itu dimasukkan di dalam AX = H, maka diperoleh: Z c x c n x n = a x + + a n x n = h a x + + a n x n = h a m x + + a mn x n = h m Dari uraian di atas diperoleh persamaan sebanyak (m + ) dengan variable yang tidak diketahui sebanyak (n + ) yaitu Z, x, x,, x n Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

53 Pada kolom Z = x, c j = a j maka didapat sebagai berikut: x + a x + + a n x n = a x + + a n x n = h a x + + a n x n = h a m x + + a mn x n = h m Di dalam bentuk matrix partisi atau partition matrix diperoleh sebagai berikut: x A c Z [ ] [ ] = [ ] [ ] [ ] = [ ] A x H A X H 4 Bentuk table untuk revised simpleks VDB P () P () x P P x B x B x Bi x Bm P P P P P i P m P i P m P m () x B () Y k () P m Z = x Z k c k P m P m P im x B x B x Bi Y k Y k Y ik P mm x Bm Y mk Perhitungan selanjutnya dengan menggunakan cara simpleks Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

54 b Bentuk Standard II (Standrad From II) Membuat fungsi tujuan menjadi maksimum (memaksimumkan) Dirubah dalam bentuk baku/standar program linier Ditulis dalam bentuk matrix, sebagai berikut: AX = H, X, Max Z = CX Z CX = Z c x c n x n = setelah itu dimasukkan di dalam AX = H, maka diperoleh: Z c x c n x n = x n+ + + x n+m+ = a x + + a n x n + x n+ = h (**) a m x + + a mn x n + + x n+m+ = h m Pembatasan di dalam persamaan yang kedua merupakan persamaan yang ditamdahkan sehinggga mendapatkan bahwa vector buatan tetap nol, tetapi ternyata lebih baik dengan menambah indeks baris dengan (satu) yaitu m +, sehingga diperoleh matrix yaitu: a a n A =, H = [h,, h m+ ] [ a m+, a m+,n ] Persamaan persamaan (**) dapat ditulis sebagai berikut: x c x c n x n = x n+ + + x n+m+ = (***) a x + + a n x n + x n+ = h a m x + + a mn x n + + x n+m+ = h m+ Pada persamaan di atas, penambahan variable x n+ dalam persamaan (***) di baris kedua sebelum x n+ Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 4

55 4 Matrix basis untuk fase II, sebagi berikut: B oo = [ ] kolom & masing-masing e dan e dan bukan merupakan identity matrix Invers dari B oo dengan mempergunakan matrix partisi yaitu: B oo = [ ] Bentuk table untuk revised simpleks m [ m ] VDB P () P () P m () x P P P m Z = x Z k c k x B () Y k () x B P P P m x B Y k x B P P P m x B Y k x Bi P i P i P im x Bi Y ik x Bm P m P m P mm x Bm Y mk Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page

56 6 Perhitungan selanjutnya dengan menggunakan cara simpleks Contoh: Maksimumkan z = x + x Kendala x + x x + x, x, x Penyelesaian: z = x + x x x + x = x + x x + x + x = x + x x + x + x 4 = x x x P () P () x x x = [ ] [ ] [ x 4 ] x x [ ] [ x ] = [ ] x 4 A A A A A 4 A I X H e e e H Matrix basis B = (e, e, e ), B = I B = B = I c B B = [ ] = I [ ] e e () () e Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 6

57 Tabel Awal VDB P () P () x B () Y k () x x x 4 e P () P () menentukan nilai Y k () Y k () = = [ ] [ ] [ ] Masukan nilai Y () k pada table: KK EK BK= terkecil VDB P () () () () P x B Y k x - x * x 4 Rasio = = = Nilai Y () k masih bernilai negative maka langkah selanjutnya seperti pada simpleks dengan menentukan kolom kunci, baris kunci dan elemen kunci, yaitu: Baris Kunci : Untuk x 4 : - dibagi Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 7

58 Untuk x : - - Tabel Iterasi I VDB P () x x x 4 P () x B () Y k () e P () P () menentukan nilai Y k () Y k () = = [ ] [ ] [ ] Masukan nilai Y k () pada table: VDB P () x x x 4 P () x B () Y k () Rasio = = = Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 8

59 Langkah selanjutnya seperti pada simpleks dengan menentukan kolom kunci, baris kunci dan elemen kunci, yaitu: Baris Kunci : - dibagi Untuk x : Untuk x : Tabel Iterasi II VDB P () P () x B () Y k () x 8 x - x - Karena semua nilai z j c j maka sudah tercapai pemecahan optimal, yaitu z maks = 8 dengan x = dan x = Minimumkan z = x + x Kendala x + x x + x, x, x Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 9

60 Penyelesaian: z min = z maks z maks = x x z = x + x x + x + x = x + x 6 + x 7 = x + x x + x x + x 6 = x + x x + x x 4 + x 7 = n = 4 dan m = x n+ = x harus maksimum Dalam bentuk matrix, yaitu: x x x x x 4 x x 6 x 7 [ ] x x x x x 4 x x 6 [ x 7 ] = [ ] = [ ] [ ] [ ] [ ] P () P () P () Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 6

61 Tabel Awal VDB P () P () P () x B () Y k () x x x 6 x 7 e P () P () P () menentukan nilai Y k () Y k () = = [ ] [ ] [ ] Masukan nilai Y k () pada table: EK KK BK = terkecil VDB P () () () () () P P x B Y k x x x 6 * x 7 Rasio = = = Nilai Y () k masih bernilai negative maka langkah selanjutnya seperti pada simpleks dengan menentukan kolom kunci, baris kunci dan elemen kunci, yaitu: Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 6

62 Baris Kunci : dibagi Untuk x : - Untuk x : Untuk x 7 : - Tabel Iterasi I VDB P () P () P () x B () Y k () Rasio x x x x 7 - Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 6

63 e P () P () P () () menentukan nilai Y k Y () k = [ Masukan nilai Y () k pada table: [ ] ] = [ ] VDB P () P () x P () x B () Y k () Rasio = x x x 7 - = = = Nilai Y () k masih bernilai negative maka langkah selanjutnya seperti pada simpleks dengan menentukan kolom kunci, baris kunci dan elemen kunci, yaitu: Baris Kunci : dibagi - Untuk x : Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 6

64 Untuk x : Untuk x : Tabel Iterasi II VDB P () P () P () x B () Y k () Rasio x x x - x - Pada table diatas terlihat bahwa x n+ = x = dan semua variable buatan = maka fase I sudah berakhir dan z j c j maka pemecahan telah optimal yaitu: z maks = 8 z min = z maks = ( 8) = 8 pada x = dan x = Soal soal : Maksimumkan z = x + x Kendala x + x 6 x + x 8 x + x x, x, x Minimumkan z = x + x Kendala x + x 6 x + x, x, x Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 64

65 BAB VIII TRANSPORTASI 8 Perumusan Permasalahan Transportasi Penyelesaian program linier pada metode transportasi dengan memperhatikan perumusan program linier Contoh : Sebuah perusahaan bergerak pada bidang pengolahan makanan yang berasal dari biji-bijian dan salah satu produk yang dihasilkan adalah biji mete yang dikalengkan Biji mete diolah di tiga pabrik pengalengan dan kemudian diangkut dengan truk ke empat gudang distribusi Pengiriman produk membutuhkan biaya yang besar, sehingga pimpinan perusahaan merencanakan pengurangan biaya ini sebanyak mungkin Pengurangan biaya dilakukan dengan menentukan jumlah produk yang dikirim dari masing-masing pabrik ke masing-masing gudang Untuk musim yang akan datang, dibuat estimasi mengenai kapasitas/suplai dari masing-masing pabrik pengalengan, dan permintaan di setiap gudang distribusi Informasi ini (dalam satuan angkutan truk), bersama dengan biaya pengiriman perangkutan truk (dalam satuan puluhan ribu rupiah) untuk setiap kombinasi gudang-pabrik pengalengan dalam tabel berikut: Pabrik Pengalengan Gudang Distribusi 4 Kapasitas (Suplai) Permintaan Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 6

66 Penyelesaian : Secara keseluruhan ada 77 angkutan truk yang harus dikirimkan Permasalahannya yaitu menentukan pengiriman ke berbagai kombinasi pabrikgudang yang akan meminimumkan biaya pengiriman total Bila f = biaya pengiriman total dan xij = jumlah angkutan truk yang harus dikirimkan dari pabrik i ke gudang j, maka f ditentukan oleh nilai-nilai dari variabel Biaya pengiriman total dapat ditulis sebagai berikut : f = x + 4x + x + 7x4 + 4x + 8x + 7x + 47x4 + 6x +47x + x + 7x4 Sedangkan kendala pada pabrik dan gudangnya sebagai berikut : x + x + x + x4 (suplai dari Pabrik ) x + x + x + x4 (suplai dari Pabrik ) x + x + x + x4 (suplai dari Pabrik ) x+ x+ x (permintaan ke Gudang ) x + x+ x 8 (permintaan ke Gudang ) x + x + x (permintaan ke Gudang ) x4 + x4 + x4 7 (permintaan ke Gudang 4) xij, (i =,, ; j =,,, 4) model program linier tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode simplex Penyelesaian optimal dari model tersebut adalah sebagai berikut f = 476 dengan x =, x =, x =, x = 8, x = 7 dan x4 = 7 Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 66

67 Ilustrasi secara grafik persoalan perusahaan dan penyelesaian optimalnya berikut dengan variabel xij dinyatakan sebagai garis, menghubungkan titik suplai ke i (Pabrik i) dengan permintaan ke j (Gudang j), terlihat pada gambar berikut: Pabrik Gudang s = P x = x = G d = x4 = x = s = s = P P x = x4 = x = 7 x4 = 7 x = 8 x = x = x = G G G d = 8 d = d4 = 7 Gambar Ilustrasi masalah perusahaan dan penyelesaian optimalnya secara grafik Koefisien-koefisien kendala dari masalah transportasi yang memiliki pola tertentu merupakan bentuk sederhana dari matriks koefisien dari program linier biasa pada tabel berikut: A Kendala-kendala pengalengan Kendala-kendala gudang Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 67

68 Secara umum permasalahan transportasi dispesifikasi sebagai berikut : a Adanya suatu komoditi b Adanya kelompok pusat pemasok ( + batas (atas ) suplai ) sumber c Adanya kelompok pusat penerima ( + batas (bawah ) permintaan ) tujuan d Adanya jalur penghubung : sumber-tujuan ( + ongkos satuannya ) e Adanya fungsi yang diminimalkan : ongkos angkut total Hubungan antara contoh dengan masalah umum, disajikan dalam tabel berikut CONTOH Angkutan truk biji mete kalengan Tiga pabrik pengalengan Empat gudang Kapasitas pabrik i Permintaan ke gudang j Biaya kirim perangkutan dari pabrik i ke gudang j MASALAH UMUM Unit suatu komoditi m sumber n tujuan si suplai dari sumber i dj permintaan pada tujuan j cij biaya perunit yang didistribusikan dari sumber i ke tujuan j Secara umum sumber i ( i =,,, m ) mempunyai suplai si unit, dan tujuan j ( j =,,, n ) mempunyai permintaan dj unit Biaya pendistribusian unit-unit dari sumber i ke tujuan j, per unitnya adalah cij, data di atas terlihat dalam tabel berikut: Tujuan n Suplai c c cn s Sumber c c cn s m cm cm cmn sm Permintaan d d dn dj si Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 68

69 Misalkan xij = jumlah satuan barang yang dikirim dari sumber i ke tujuan j, maka rumusan masalah transportasi secara umum yaitu: Meminimalkan dengan syarat f n c ij x ij i j x ij s i j m x ij d j i xij (fungsi tujuan) ( i =,,, m ) (kendala suplai) ( j =,,, n ) (kendala permintaan) ( i =,,, m; j =,,, n ) (kendala tak negatif) Berdasarkan si = penawaran total & dj = permintaan total, kita memiliki beberapa keadaan untuk masalah transportasi : a si = dj, maka kita memiliki transportasi setimbang b si > dj, maka kita memiliki masalah transportasi yang tidak seimbang tetapi fisibel c si < dj, maka kita memiliki masalah transportasi yang tidak setimbang dan tidak fisibel Permasalahan transportasi yang tidak setimbang perlu disetimbangkan terlebih dahulu, yaitu: keadaan (b), masalah transportasinya dapat disetimbangkan dengan menambahkan dengan tujuan dummy (buatan) dan permintaan semu keadaan (c), kadangkala perlu juga tidak memenuhi beberapa permintaan, namun ada sangsi yang berkaitan dengannya, masalah transportasinya disetimbangkan dengan menambahkan dengan sumber dummy (buatan) dan suplai semu Permaasalah transportasi yang setimbang dapat dirumuskan yaitu: Meminimalkan f c ij x ij i j (fungsi tujuan) Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 69

70 dengan syarat n x ij s i j m x ij d j i xij ( i =,,, m ) (kendala suplai) ( j =,,, n ) (kendala permintaan) ( i =,,, m; j =,,, n ) (kendala tak negatif) Contoh : Sebuah perusahaan pengalengan buah-buahan akan mengirimkan beberapa trailer dari beberapa pabrik pengolahan ke beberapa gudang penyimpanan, dengan rincian biaya (dalam jutaan rupiah) transportasi setiap trilernya disajikan pada tabel berikut Gudang Gudang Gudang Pabrik Pabrik Pabrik Tentukan banyaknya trailer yang akan dikirim dari pabrik ke gudang yang akan mengoptimalkan biaya transportasi totalnya Penyelesaian Masalah transportasi di atas memiliki jumlah total suplai melebihi jumlah total permintaan, masalah transportasi tersebut dapat disetimbangkan dengan menambahkan variabel tujuan dummy dalam hal ini Gudang Dummy, dan permintaan semu sehingga tabel masalah transportasi di atas menjadi seperti berikut Pabrik Pabrik Pabrik Gudang Gudang Gudang Gudang Dummy Langkah berikutnya untuk menyelesaikan masalah transportasi di atas dapat dilihat pada pembahasan selanjutnya Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 7

71 Contoh : Sebuah perusahaan pengalengan ikan akan mengirimkan beberapa truk dari beberapa pabrik ke beberapa gudang penyimpanan, dengan rincian biaya ( dalam ratusan ribu rupiah ) transportasi setiap truknya disajikan pada tabel berikut Pabrik Pabrik Pabrik Gudang Gudang Gudang Gudang Tentukan banyaknya truk yang akan dikirim dari pabrik ke gudang yang akan mengoptimalkan biaya transportasi totalnya Penyelesaian Masalah transportasi di atas memiliki jumlah total permintaan melebihi jumlah total suplai, masalah transportasi tersebut dapat disetimbangkan dengan menambahkan variabel sumber dummy dalam hal ini Pabrik Dummy, dan suplai semu sehingga tabel masalah transportasi di atas menjadi seperti berikut Gudang Gudang Gudang Gudang 4 4 Pabrik Pabrik Pabrik Pabrik Dummy Langkah berikutnya untuk menyelesaikan masalah transportasi di atas dapat dilihat pada pembahasan selanjutnya 8 Penyelesaian Permasalahan Transportasi Penyelesaian masalah transportasi, ada beberapa metode untuk menentukan penyelesaian awal basis yang fisibel dan metode untuk menentukan suatu nilai bagi pengujian optimalitasnya Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 7

72 Adapun langkah penting dalam menyelesaikan masalah transportasi, yaitu: Menyusun tabel awal Sudut Barat Laut (Northwest Corner Method) Vogel (Vogel s Approximation Method) Uji optimalitas, dengan menghitung c ' ij Distribution Method) Menyusun tabel baru cij terkecil (Minimum Cost Method) MODI (Modified Menyusun Tabel awal Menyusun tabel awal di sini adalah menentukan Penyelesaian Basis Awal yang Fisibel (PBAF) Masalah transportasi dengan m sumber dan n tujuan yang setimbang mempunyai mn variabel dan m+n persamaan kendala utama, namun ada satu persamaan yang dependen (artinya apabila sekumpulan dari nilai-nilai xij memenuhi m + n persamaan maka otomatis sekumpulan xij itu memenuhi satu persamaan sisanya) sehingga masalah transportasi tersebut hanya memiliki m + n persamaan yang independen Jadi, seperti pada metode simpleks, penyelesaian basis fisibelnya memiliki m + n variabel basis Bentuk penyelesaian basis fisibel (PBF) N suplai variabel bebas yang dinolkan (kotak kosong) M variabel basis sebanyak m + n (kotak isi) permintaan Kesepakatannya yaitu: Alokasi nol tak ditulis (kotak kosong) kotak = cell = jalur dari suatu sumber ke suatu tujuan Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 7

73 Degenerate (merosot) yaitu adanya variabel basis yang bernilai nol Dalam simplex degenerate bukan menjadi masalah, tetapi dalam transportasi PBF tidak boleh merosot (harus ada m+n kotak isi) Apabila terjadi degenerate maka penentuan ongkos kesempatan (c'ij) untuk uji optimalitas tidak dapat dilakukan (berhubungan dengan jalur tertutup) a Metode Sudut Barat Laut Untuk mendapatkan suatu PBF (metode apa saja) setiap kali mengisi alokasi, isikan dengan nilai yang maksimal Pada Metode sudut barat laut atau sudut kiri atas biaya transportasi perunit angkutannya tidak diperhatikan, hanya memperhatikan suplai yang telah habis atau permintaan yang sudah dipenuhi Aturan sudut barat laut prosedurnya dapat dinyatakan sebagai berikut : Alokasikan sebesar α pada kotak di posisi sudut kiri atas yakni kotak k (variabel x), besarnya α = min {s, d} Pada baris dan kolom kurangkan nilai s dan d dengan α Pada baris (kolom) yang sisa suplai (permintaan) nya sama dengan nol (= ), beri tanda silang, x (sudah jenuh) Jika pada baris (kolom) sisa suplai (permintaan) keduanya sama dengan nol maka beri tanda silang pada salah satu saja kolom atau baris Jika kolom yang disilang, alokasikan sebesar α pada kotak k, α = min {s- α, d} Jika baris yang disilang, alokasikan sebesar α pada kotak k, α = min {s, d α} Ulangi proses di atas pada baris (kolom) yang ada, sampai kotak di posisi sudut kanan bawah terisi Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 7

74 Contoh 4 : Perhatikan masalah transportasi yang biaya transportasi perunit angkutannya (dalam ratusan ribu rupiah) disajikan pada tabel berikut : D D D suplai O 4 4, O 4, 4, 4 permintaan 9 Penyelesaian α = min {, } = diisikan pada kotak k, variabel x = Sisa suplai pada baris = =, sedang sisa permintaan pada kolom = =, maka kolom diberi tanda silang (jenuh) Hasilnya yaitu: D D D suplai O O 4 permintaan 9 x Karena kolomnya disilang maka α = min {-, } = diisikan pada kotak k Sisa suplai pada baris = =, sedang sisa permintaan pada kolom = =, maka baris diberi tanda silang Hasilnya yaitu: D D D suplai O x O 4 permintaan 9 x Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 74

75 Barisnya disilang maka α = min {-, 4} = diisikan pada kotak k Sisa suplai pada baris = 4 =, sedang pada kolom = =, kolom diberi tanda silang Hasilnya yaitu: D D D suplai O x O permintaan 9 x x Kolomnya disilang maka α = min {4-, } = diisikan pada kotak k Karena kotak k merupakan kotak di posisi sudut kanan bawah maka proses selesai Hasilnya yaitu: D D D suplai O x O permintaan 9 x x Dari proses di atas diperoleh PBAF yang fisibel serta arah pengisiannya sebagai berikut D D D suplai O O 4 permintaan 9 Kotak isi = 4 = m + n, sehingga diperoleh PBF dengan nilai fungsi tujuannya adalah f = () + 4() + 4() +,() = 4 ratusan ribu rupiah Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 7

76 b Biaya terkecil Metode ini dengan memperhatikan/memeriksa seluruh biaya Pemilihan kotak yang akan diisi berdasarkan biaya terkecil Langkah metode biaya terkecil yaitu : Pilih kotak yang memiliki biaya terkecil (apabila ada lebih dari satu maka pilih yang dapat diberi alokasi paling besar), misal kotak yang terpilih adalah kij, selanjutnya alokasikan sebesar αij dengan αij = min {si, dj} Pada baris i dan kolom j kurangkan nilai si dan dj dengan αij Pada baris maupun kolom yang sisa suplai maupun permintaannya sama dengan nol beri tanda silang Ulangi proses di atas sampai semua baris dan kolomnya jenuh Contoh : Perhatikan masalah transportasi yang biaya transportasi perunit angkutannya (ratusan ribu rupiah) disajikan pada tabel berikut : suplai permintaan 6 6 Penyelesaian Kotak k memiliki nilai cij yang terkecil, maka kotak k diberi alokasi sebesar α = min {4, } Pada baris sisa suplainya 4 4 =, sedangkan pada kolom sisa permintaannya 4 = sehingga baris diberi tanda silang Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 76

77 Hasilnya yaitu : x Ternyata ada tiga kotak yang memiliki nilai cij terkecil, yaitu kotak k, k dan k Terbesar untuk ketiga kotak adalah 4 (= maks{min {s = 4, d = 6}, min {s = 4, d = }, min {s = 4, d = }}= maks {4,, 4}) yaitu pada kotak k dan k, karena itu pilih salah satu kotak untuk diberi alokasi sebesar 4 (misalkan dipilih kotak k, artinya α = 4) Pada baris sisa suplainya 4 4 =, sedangkan pada kolom sisa permintaannya 6 4 = sehingga baris diberi tanda silang Hasilnya yaitu : 4 4 x 4 6 x Apabila proses di atas dilakukan terus akan diperoleh hasil yaitu: 4 4 x 4 6 x 4 4 x x x Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 77

78 Sehingga diperoleh PBAF seperti berikan pada tabel berikut : Kotak isi = 6 = m+n-, sehingga diperoleh PBAF dengan nilai fungsi tujuannya adalah f = Rp juta c Metode Pendekatan Vogel Pada metode vogel dengan memperhatikan selisih antar dua biaya terendah, pada setiap baris dan kolomnya Pemilihan kotak yang akan diisi berdasarkan kolom atau baris yang nilai selisihnya terbesar dan biaya terkecil pada kotaknya Langkahnya yaitu: Pada setiap baris dan kolom, tentukan nilai selisih dari dua biaya terkecil dan letakkan nilai itu di samping (di bawah) masing-masing baris (kolom) Pilih salah satu dari baris dan kolom yang memiliki nilai selisih yang paling besar Pada baris/kolom yang terpilih, pilih kotak kosong dengan biaya terendah Misalkan kotak yang terpilih adalah kotak kij, lalu alokasikan sebesar αij yaitu αij = min {si, dj} Pada baris i dan kolom j kurangkan nilai si dan dj dengan αij Pada baris maupun kolom yang sisa suplai maupun permintaannya sama dengan nol, beri tanda silang Ulangi proses di atas sampai semua baris dan kolomnya jenuh Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 78

79 Contoh 6 : Perhatikan masalah transportasi yang biaya transportasi perunit angkutannya (ratusan ribu rupiah) disajikan pada tabel berikut : suplai permintaan 6 6 Penyelesaian Pada baris,, dan 4 selisih biaya terkecilnya masing-masing,, dan, sementara untuk kolom, dan masing-masing, dan Nilai selisih terbesarnya adalah, ada tiga pilihan, dipilih yang memiliki biaya terkecil, yakni kolom Pada kolom dipilih kotak dengan biaya terendah yakni kotak k dan mendapat alokasi sebesar α = min {4, } = 4, α = 4 Sisa suplai pada baris adalah 4 4 =, sehingga baris diberi tanda silang Sementara sisa pada kolom adalah 4 = Dengan pengulangan proses di atas akan didapatkan hasil sebagai berikut : x x x x 4 Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 79

80 Pada bagian ini pengisiannya memilih kotak dengan biaya terkecil, sehingga diperoleh hasil 7 4 x 4 4 x 4 7 x x x x Sehingga diperoleh PBAF seperti berikan pada tabel berikut : Kotak isi = 6 = m + n, diperoleh PBAF,dengan nilai f = 4 rupiah Vogel menentukan penempatan kotak kolom / baris semu tak diperhitungkan dalam memberi nilai selisih nilai terkecil Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 8

81 Uji Optimalitas dan Menyusun Tabel Baru (PBF berikutnya) Setelah mendapatkan PBF, untuk menentukan apakah penyelesaian yang didapatkan optimal maka dilakukan uji optimalitas Uji optimalitas dilakukan dengan menentukan nilai Oportunity cost (ongkos kesempatan) yang dinotasikan dengan c'ij Apabila c'ij bernilai negatif atau nol untuk setiap variabel nonbasis maka penyelesaian basis fisibelnya sudah optimal Penyelesaian optimal variabel nonbasis xij nilai c'ij Contoh 7 : Perhatikan PBF masalah transportasi berikut, apakah sudah optimal? D D 4 O 4 O Penyelesaian Variabel basis : x =, x =, x = 4, dan variabel nonbasis : x = Nilai fungsi tujuannya adalah f = =9, apakah penyelesaiannya optimal? (minimal?) Kita coba mengujinya dengan menambah nilai variabel nonbasis dengan unit, yakni x = + =, sehingga penyelesaiannya akan berubah menjadi seperti berikut D D 4 O + 4 O Nilai fungsi tujuannya adalah f ' = ( ) + ( + ) + (4 ) + ( + ) = 9, ternyata lebih besar dari nilai fungsi tujuan sebelumnya Jadi selisih antara kedua nilai fungsi tujuan adalah sebagai berikut f = f ' f = = Jelas bahwa apabila x menjadi variabel basis maka nilai fungsi tujuannya akan naik, jadi penyelesaian yang telah kita peroleh sebelumnya adalah sudah optimal Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 8

82 Contoh 8 : Perhatikan PBF masalah transportasi berikut, apakah sudah optimal? D D O 4 6 O Penyelesaian Variabel basis : x =, x =, x = 4, dan variabel nonbasis : x = Nilai fungsi tujuannya adalah f = = 8 Sedangkan apabila variabel nonbasis x nilainya ditambah, maka nilai fungsi tujuannya berubah menjadi f ' = ( )4 + ( + ) + (4 )4 + ( + ) = 7 Sehingga selisih kedua fungsi tujuannya adalah f = f ' f = Jadi f ' < f, hal ini berarti bahwa unit satuan komoditas yang dialokasikan pada variabel nonbasis x atau kotak K akan menurunkan nilai f sebanyak unit satuan biaya Dengan kata lain penyelesaian yang kita peroleh sebelumnya belum optimal Satu unit variabel nonbasis x bisa menurunkan nilai f sebesar unit, dapat dikatakan bahwa ongkos kesempatan dari variabel nonbasis x (kotak kosong K) adalah, c'ij = cara menentukan nilai ongkos kesempatan, c'ij, dan penyusunan tabel baru yaitu MODI (Modified Distribution) c'ij = fij MODI a Menghitung c ' ij Metode MODI nilai cij dihitung untuk semua variabel nonbasis, bila PBF belum optimal maka perubahan PBF dilakukan dengan terlebih dahulu membuat loop untuk variabel nonbasis yang akan menjadi variabel basis Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 8

83 Untuk menentukan nilai cij ada beberapa istilah dan rumusan yang akan dipakai untuk memudahkan dalam perhitungannya Istilah tersebut adalah ui = bilangan baris yang diletakkan pada kolom paling kanan, sedangkan vj = bilangan kolom diletakkan pada baris spaling bawah Sedangkan rumusan yang akan dipakai adalah sebagai berikut : pada kotak isi (variabel basis) berlaku hubungan ui + vj = cij atau ui + vj cij = pada kotak kosong (variabel nonbasis) berlaku hubungan ui + vj cij = c'ij (ongkos kesempatan) Untuk menentukan nilai-nilai ui, vj dan c'ij, pertama diberikan nilai u = (bisa juga ui atau vj yang lain) kemudian dicari nilai-nilai ui dan vj yang lain dengan menggunakan rumusan di atas, lantas akan dapat ditentukan nilai c'ij dari rumus di atas Contoh : Perhatikan PBF masalah transportasi berikut, apakah sudah optimal? (Biaya dalam jutaan rupiah) Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 8

84 Penyelesaian Dari PBF di atas kita tambah baris dan kolom untuk ui, vj dan kita beri nilai u =, akan diperoleh tabel berikut ui u = u =? 4 4 u =? u4 =? 6 6 vj v =? v =? v =? Dengan menggunakan ketentuan ui + vj = cij pada kotak isi akan mendapatkan berbagai nilai ui dan vj berikut u + v = c + v = v = u4 + v = c4 u4 + = 7 u4 = u4 + v = c4 + v = 9 v = 4 u + v = c u + 4 = u = u + v = c + v = v = 4 u + v = c u + 4 = u = Tabel PBF di atas dapat ditulis sebagai berikut: ui u = u = 4 4 u = u4 = 6 6 vj v = 4 v = 4 v = Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 84

85 Dengan menggunakan ketentuan ui + vj cij = c'ij akan diperoleh nilai c'ij untuk setiap kotak kosong Hasilnya adalah sebagai berikut c' = u + v c =, c' = u + v c = 4, c' = u + v c = 4, c' = u + v c =, c' = u + v c = 7, c'4 = u4 + v c4 = Apabila kita letakkan pada tabel di atas kita peroleh tabel berikut ui u = u = u = u4 = 6 6 vj v = 4 v = 4 v = Dari di atas terlihat bahwa masih ada variabel nonbasis dengan nilai c'ij positif, yakni x4 Jadi PBF tersebut belum optimal dan variabel nonbasis x4 akan menjadi variabel basis baru Karena belum optimal, PBF akan diubah pada langkah berikut ini b Menyusun Tabel baru Variabel x4 menjadi variabel basis baru, untuk mengalokasikan komoditasnya, kita buat loop dari kotak K4 terlebih dahulu Kita dapatkan loop untuk kotak K4 adalah K4 K K K4 Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 8

86 Kotak K dan K4 adalah donor, masing-masing memiliki alokasi komoditas dan, maka alokasi maksimum untuk kotak K4 adalah α4 = min {, } = Dengan mengalokasikan komoditas sebesar unit, maka jumlah komoditas pada resipien bertambah dan pada donor berkurang Hasilnya dapat dilihat pada tabel berikut, variabel x menjadi variabel non basis Kotak isi ada 6, sedangkan m + n = 6, sehingga diperoleh PBF baru berikut Dilakukan proses uji optimalitas kembali, hasil penghitungan ui, vj dan cij untuk variabel nonbasisnya diperoleh tabel berikut 4 ui 4 4 u = u = 6 4 u = u4 = 6 6 vj v = 7 v = 9 v = 7 Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 86

87 Dari nilai tabel di atas terlihat bahwa nilai c'ij negatif semua, jadi PBF nya sudah optimal, berhenti Tabel optimalnya adalah sebagai berikut : Nilai fungsi tujuannya adalah f = = Rp juta SOAL-SOAL: Seseorang memiliki pabrik mobil yang terbesar di tiga lokasi dengan kapasitas produksi masing-masing pabrik yaitu pabrik ke-i = 6 unit, pabrik ke-ii = 8 unit dan pabrik ke-iii = 77 unit Hasil produksi dari pabrik tersebut akan dialokasikan ke tiga daerah pemasaran Masing-masingdaerah pemasaran membutuhkan produk yaitu daerah I = 7 unit, daerah = unit dan daerah = 4 unit Biaya transportasi (dalam ribuan rupiah) dari pabrik ke daerah pemasaran dapat dilihat pada tabel berikut: Daerah Daerah Daerah Pabrik I Pabrik II Pabrik III Bagaimana mengalokasikan produk dari pabrik ke daerah pemasaran agar biaya transportasi (pendistribusian) minimum? Tiga pabrik dalam satu group (W, H, P) dengan kapasitas produk maisngmasing adalah 9, 6 dan Hasil produksi aka didistribusikan ke tiga gudang (A, B, C) yang kapasitas penyimpanannya masing-masing adalah, dan 4 Tabel biaya pengiriman produk dari pabrik ke gudang ditampilkan pada tabel di bawah ini Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 87

88 Tentukan solusi optimal biaya pengiriman, apabila perusahaan ingin mendistribusikan produk ke masing-masing gudang dengan biaya pengiriman (dalam ribuan rupiah) yang minimal yaitu: Dari Ke Gudang A Gudang B Gudang C Kapasitas Pabrik Pabrik W 8 9 Pabrik H 6 Pabrik P 9 Kebutuhan Gudang 4 Dari pelabuhan A, A dan A terdapat semen sebanyak masing-masing ton, 7 ton dan 6 ton Semen tersebut akan diangkut ke kota T, T dan T yang masing-masing mempunyai daya tamping ton, ton, 9 ton Biaya pengiriman dari pelabuhan A ke T, T dan T masing-masing adalah, dan (dalam ribuan rupiah per ton) Biaya pengiriman dari pelabuhan A ke kota T, T dan T adalah, dan, sedangkan biaya pengiriman dari pelabuhan A ke kota T, T dan T adalah, dan Tentukan solusi optimal biaya pengiriman! Dra Retno Marsitin, MPd - Program Linier Page 88