MODUL MATEMATIKA SMA ektr ( MAT..4 ) Dissn Oleh : Drs. Pndjl Prijn Nip. 95807.980..00 PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sngkn N. 58 Telp. (04) 7506 Malang Mdl..4 VEKTOR Halaman
Standar Kmpetensi : Menggnakan knsep matriks, ektr, dan transfrmasi dalam pemecahan masalah. Kmpetensi Dasar : Menggnakan sifat-sifat dan perasi aljabar ektr dalam pemecahan masalah tentang panjang (besar) ektr, perasi pada ektr serta rms perbandingan ektr. Menggnakan sifat-sifat dan perasi perkalian skalar dan ektr dalam pemecahan masalah tentang hasil kali skalar da ektr, sdt antara da ektr, panjang pryeksi (pryeksi skalar) serta ektr pryeksi. BAB I. PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam mdl ini anda akan mempelajari ntasi ektr, panjang ektr, perasi aljabar pada ektr, ektr psisi, ektr satan, perbandingan ektr di bidang dan di rang, perkalian skalar da ektr, sdt antara da ektr, pryeksi skalar dan pryeksi ektr pada ektr lain. B. Prasyarat Agar dapat mempelajari mdl ini, anda hars mempelajari perasi bilangan real dan dasar trignmetri, dan matriks. C. Petnjk Penggnaan Mdl Untk mempelajari mdl ini, hal-hal yang perl Anda lakkan adalah sebagai berikt:. Untk mempelajari mdl ini harslah berrtan, karena materi yang mendahli merpakan prasyarat ntk mempelajari materi beriktnya.. Pahamilah cnth-cnth sal yang ada, dan kerjakanlah sema sal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan sal Anda menemi keslitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.. Kerjakanlah sal ealasi dengan cermat. Jika Anda menemi keslitan dalam mengerjakan sal ealasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 4. Jika Anda mempnyai keslitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah, Mdl..4 VEKTOR Halaman
kemdian tanyakan kepada gr pada saat kegiatan tatap mka ata bacalah referensi lain yang berhbngan dengan materi mdl ini. Dengan membaca referensi lain, Anda jga akan mendapatkan pengetahan tambahan. D. Tjan Akhir Setelah mempelajari mdl ini diharapkan Anda dapat:. Menjelaskan ektr sebagai besaran yang memilki besar dan arah. Mengenal ektr satan. Menentkan perasi aljabar ektr : jmlah, selisih, hasil kali ektr dengan skalar, dan lawan sat ektr 4. Menjelaskan sifat-sifat ektr secara aljabar dan gemetri 5. Menggnakan rms perbandingan ektr 6. Melakkan perasi aljabar atas da matriks 7. Menentkan hasilkali skalar da ektr di bidang dan rang 8. Menjelaskan sifat-sifat perkalian skalar da ektr BAB II. PEMBELAJARAN Penerapan Knsep Vektr ntk Menyelesaikan Masalah Vektr sangat dikenal dalam pelajaran Fisika karena merpakan salah sat besaran selain besaran skalar. Perbedaan kedanya adalah: Skalar merpakan besaran yang hanya mempnyai nilai saja, yang dapat dinyatakan dengan bilangan real tertent. Cnth besaran ini adalah sh, massa, dan lain-lain; Vektr merpakan besaran yang mempnyai nilai serta memiliki arah. Cnth besaran ektr adalah jarak, kecepatan, dan lain-lain. Banyak manfaat yang diperleh dari penerapan knsep ektr dalam kehidpan sehari-hari. Vektr dapat dignakan ntk menghitng jarak, kecepatan, medan listrik dan sebagainya. Uraian materi berikt akan memperjelas pemahaman Anda mengenai knsep ektr dan penerapannya. Mdl..4 VEKTOR Halaman
A. Ntasi Vektr Secara gemetris ektr dinyatakan sebagai ras garis berarah yang panjang dan arahnya tertent. Sat ektr dapat digambarkan sebagai sebah ras garis berarah. A B Ras garis AB mennjkkan sebah ektr dengan A sebagai titik pangkal, B sebagai titik jng, arah anak mennjkkan arah ektr, dan panjang anak panah sebagai panjang ata besar ektr. Vektr biasanya ditliskan dengan hrf kecil tebal ata miring, misalnya,, ata. Secara analitis ektr dinyatakan sebagai pasangan terrt bilangan real. Vektr di bidang (R ) dinyatakan sesai pasangan bilangan pada krdinat smb X dan Y, yait ektr (x, y) ata x y. Vektr di rang (R ) dinyatakan menrt krdinat smb X, Y, dan Z. Jadi (x,y,z ) ata x y. z Andaikan ektr dengan titik pangkal di (x,y ) dan titik (x,y ) y - y jngnya pada (x,y ) maka sesai dengan terema (x,y ) Pythagras panjang dari ektr ditentkan dengan rms: x - x ( x x ) ( y ) y B. Aljabar Vektr Sebelm membahas aljabar ektr perl dipahami ketentan berikt: Da ektr dikatakan sama jika besar dan arahnya. = Sat ektr dikatakan iners dari ektr jika berlak + = 0. (0 adalah ektr nl dimana arahnya tak tent). Da ektr dikatakan saling iners jika besarnya sama tetapi berlawanan arah. = - Penjmlahan Vektr Secara gemetris penjmlahan ektr dapat dilakkan dengan da cara, yait: a) Atran segitiga, langkah-langkahnya: Mdl..4 VEKTOR Halaman 4 +
Tempatkan titik pangkal ektr sehingga berimpit dengan titik jng ektr ; Vektr (+) diperleh dengan cara menghbngkan titik pangkal ektr dengan titik jng ektr. b) Atran jajargenjang, langkah-langkahnya: Tempatkan titik pangkal ektr sehingga berimpit dengan titik pangkal ektr ; Bentklah jajargenjang dengan sisi-sisi yang sejajar dengan dan ; + Vektr (+) adalah diagnal jajargenjang dengan titik pangkal ektr. Secara analitis penjmlahan ektr dilakkan dengan menjmlahkan kmpnen-kmpnen yang seletak. Jika a b c d a c a c. dan maka b d b d Besar ata panjang ektr hasil penjmlahan: ( a c ) ( b d ) Cnth : Diketahi Jawab:, tentkan panjang ektr. 6 ( 6) 5 Cnth : Jika p sebah gaya yang besarnya 40 N dan berarah ke Timr Dan q sebah gaya yang besarnya 0 N dan berarah ke Utara, maka besar ektr jmlah keda gaya tersebt, yait r adalah 50 N, karena : r p q r = p + q = 600 + 900 = 500 r = 500 = 50 N Penjmlahan beberapa ektr, misalnya a + b + c + d adalah hasil jmlah keselrhan ektr, a, b, c, d, merpakan sebah ektr yang menghbngkan pangkal ektr pertama dengan jng ektr terakhir dalam hal ini AE. Hasil ini diperleh langsng berdasarkan definisi kita tentang penjmlahan da ektr. Mdl..4 VEKTOR Halaman 5
a E d D c A C b B Serpa dengan it, PQ + QR + RS + ST = PT Misalkan dalam sat persalan kita hars mencari jmlah ektr a, b, c, d, e. Setelah kita gambarkan diagram ektrnya, kita dapatkan bahwa diagram yang diperleh membentk gambar terttp, maka jmlah ektr a + b + c + d + e = 0. E d D c e C b A B a Karena, jmlah ektr diberikan leh sebah ektr setara yang menghbngkan pangkal ektr pertama dengan jng ektr terakhir. Jika diagram ektr it membentk gambar terttp, jng ektr terakhir berimpit dengan pangkal ektr pertama, sehingga ektr resltannya merpakan sebah ektr yang tidak mempnyai besar. Cnth. AB + BC + CD + DE + EF = AF Tanpa menggambarkan diagramnyapn dapat kita lihat bahwa ektr ektr tersebt telah terssn berantai, masing-masing ektr berpangkal di jng ektr sebelmnya. Karena it jmlah ektrnya langsng diberikan leh ektr yang menghbngkan pangkal ektr yang pertama dengan jng ektr yang terakhir. Dengan penalaran serpa, maka : AK + KL + LP + PQ = AQ. Cnth. AB CB + CD ED = AE Ingat - CB = BC, yait besarnya sama, arahnya sejajar tetapi berlawanan. Demikian jga ED = DE. Jadi AB CB + CD ED = AB + BC + CD + DE = AE. Cnth. AB + BC DC AD = 0 Karena AB + BC DC AD = AB + BC + CD + DA = AA = 0 dan jng penlisan hrfnya mennjkkan bahwa jng ektr yang terakhir berimpit dengan pangkal Mdl..4 VEKTOR Halaman 6
ektr yang pertama. Jadi diagram ektrnya membentk gambar terttp, karena it jmlah ektrnya sama dengan 0. Seperti halnya AB + BC + CD + DE dapat digantikan leh AE, maka sembarang ektr PT dapat digantikan dengan sejmlah ektr kmpnen asalkan kmpnen-kmpnen tersebt membentk rantai diagram ektr yang berpangkal di P dan berakhir di T, yait b c PT = a + b + c + d a d P T Cnth. ABCD adalah sebah segi empat. Titik G terletak di tengah-tengah AD dan titik H di tengah-tengah BC. Tnjkkanlah bahwa AB + DC = GH. A B G H D C Vektr AB dapat diganti dengan rangkaian ektr apa saja asalkan dimlai di A dan berakhir di B. Jadi dapat kita katakan AB = AG + GH + HB. Serpa dengan it, dapat kita katakan jga DC = DG + GH + HC, sehingga kita perleh : AB = AG + GH + HB DC = DG + GH + HC Jadi AB + DC = AG + GH + HB + DG + GH + HC = GH + (AG + DG) + (HB + HC) G adalah titik tengah AD, karena it ektr AG dan DG sama panjang, tetapi berlawanan arah. Jadi DG = - AG. Serpa dengan it, HC = - HB Jadi AB + DC = GH + (AG - AG) + (HB - HB) = GH Pengrangan Vektr Secara gemetris pengrangan ektr dengan ektr adalah penjmlahan ektr dengan iners ektr, yang dapat dilakkan dengan salah sat atran penjmlahan ektr di atas. - - Mdl..4 VEKTOR Halaman 7
a b c d Pengrangan ektr secara analitis dilakkan dengan meng-perasikan kmpnenkmpnen yang letaknya sama. Jika dan maka a c a c ( ). b d b d Besar ata panjang ektr hasil pengrangan: ( a c ) ( b d ) Cnth : Diketahi Jawab: p dan q 4 8, tentkan p q dan q p. ( 4) p q 8 6 q p 4 5 ( 8) 0 Perkalian Vektr dengan Skalar Jika m adalah bilangan real (skalar), maka m adalah penggandaan ata perbanyakan ektr sebanyak m. Arah m sama dengan arah ektr dan besarnya m. m -m Sedangkan (-m) merpakan ektr yang panjangnya sama dengan m tetapi berlawanan arah dengan ektr. a b a b m a. mb Secara analitis perkalian skalar m dengan ektr adalah m Cnth: 6 Diketahi : a =, b Tentkan: a. a - b + c b. a + b - c Jawab: 4 dan c 6 4 6 a. = 6 6 6 4 6 4 8 8 b. = 4 9 Mdl..4 VEKTOR Halaman 8
Kerjakan sal-sal berikt spaya anda lebih memahami raian materi kegiatan belajar. Jangan membaca/melihat petnjk mengerjakan latihan ( knci jawaban ) sebelm anda cba mengerjakannya. Petnjk ntk mengerjakan latihan hanya sebagai pandan bila anda mengalami keslitan menjawab sal berikt ini. Kegiatan..4. : Carilah hasilnya :. PQ + QR + RS + ST =.. AC + CL ML =. GH + HJ + JK + KL + LG =. 4. AB + BC + CD + DB =. 5. Dalam sat segitiga ABC, titik L, M, N bertrt-trt adalah titik tengah sisi AB, BC, CA. Tnjkkanlah bahwa : a. AB + BC + CA = 0 b. AB + BC + CA = LC c. AM + BN + CL = 0 6. Perhatikan gambar. Diantara pernyataan berikt manakah yang tidak benar. D a) AB BE AC CE b) BE BC CD DE E c) AE AC CD DE d) AC CE BE C e) AB BC CE AE A 7. Dalam segi empat ABCD, P dan Q bertrt-trt adalah titik tengah diagnal AC dan BD. Tnjkkanlah bahwa AB + AD + CB + CD = 4 PQ. B B C P Q A D 8. Bktikanlah dengan cara ektr bahwa garis yang menghbngkan da titik tengah sisi sat segi tiga sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya hanya setengahnya. Mdl..4 VEKTOR Halaman 9
A D E B C 9. Jika titik A(-,5), B(,-7), C(x,) dan D(,y). Jika ektr yang diwakili leh AB berlawanan dengan DC, maka nilai x + y adalah. 0. Diketahi ektr p = i (x)j dan q = 6i = j, jika ektr p sejajar dengan ektr q maka panjang ektr P =.. Jika anda sdah menyelesaikan kegiatan cckkan jawaban anda pada knci jawaban yang berada dibelakang mdl ini. Setelah anda cckkan berilah nilai kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan..4. Jika nilai perlehan < 75, artinya anda belm paham tentang aljabar ektr, maka anda hars menglang kembali membaca dan memahami knsep tentang pengertian aljabar ektr. Jika nilai perlehan 75 maka anda bleh menerskan pada kegiatan mdl berikt ini. C. Vektr Basis Vektr basis adalah ektr yang panjangnya sama dengan satan panjang. Vektr basis dalam sistem krdinat bidang dinyatakan dengan ektr i dan j. Vektr i merpakan ektr basis searah smb X psitif dan ektr j adalah ektr basis searah smb Y psitif. Sedangkan ektr basis dalam rang dinyatakan dalam ektr i, j, dan k bertrttrt sejajar dengan smb X, Y, dan Z psitif. Y O j i X Vektr i dan j merpakan ektr basis dalam bidang (R ) i ektr satan searah smb X psitif j ektr satan searah smb Y psitif Vektr i, j, dan k merpakan ektr basis dalam rang (R ) i ektr satan searah smb X psitif j ektr satan searah smb Y psitif Mdl..4 VEKTOR Halaman 0
k ektr satan searah smb Z psitif Z Cnth : ektr (,, 4) bila dinyatakan dalam bentk ektr basis menjadi i j 4k k Y Cnth :Diketahi krdinat P(,, 5) dan Q(, 5, ) a) Nyatakan kmpnen dari PQ. i O j b) Nyatakan PQ sebagai kmbinasi linear ektr basis. c) Hitng panjang PQ. X Jawab: Z a) PQ PO OQ p q q p 5 5 b) PQ i j k O p P(,,5) q Q(,5,) Y c) PQ ( ) ( 5 ) ( 5) 4 X D. Vektr Psisi Vektr psisi adalah ektr yang berpangkal pada titik pangkal krdinat. Kmpnen sebah ektr dapat dinyatakan sebagai kmbinasi linear dari ektr basis. Y y j R(x,y) Pada R Vektr OR diwakili leh ektr r yait ektr psisi O r x i X dengan titik R(x,y) ata dinyatakan dalam kmbinasi linear maka r x i y j. Panjang dari r : r x y Dalam rang dimensi tiga (R ) titik R(x,y,z) adalah Z ektr psisi dari OR yang dinyatakan sebagai r x y z. i j k z k R(x,y,z) Berlak panjang dari r adalah: r x y z O r y j Y Vektr satannya: e r r X x i Mdl..4 VEKTOR Halaman
Mdl..4 VEKTOR Halaman OU dan OV adalah ektr-ektr psisi. OV UO UV OU OV UV UV UV Secara mm kmpnen ektr dari da titik dalam sistem krdinat dapat ditentkan dengan cara kmpnen titik jng dikrangi kmpnen titik pangkal. Cnth : Ditentkan ektr 6 p dan q. Nyatakan ektr-ektr q p dan q) p (. Jawab: 7 0 6 4 6 6 q p 6 6 ) q p ( 4 Cnth : Jika 5 P dan 9 Q tentkan kmpnen ektr PQ dan QP. Jawab: 8 9 5 ) ( PQ 8 9 5 ) ( QP E. Rms pembagian ras garis a. Titik P menjadi di dalam ras garis AB Perbandingannya = AP = PB = m : n A P B b. Titik P membagi di lar garis AB AP : PB = m : - n O X Y Z U(,, ) V(,, ) m n m
A B P -n c. Rms pembagian ras garis AB m n A P B p a b O - Jika diketahi ektr a dan b maka ektr p adalah: p ma nb m n - Jika diketahi krdinat titik A dan B maka krdinat titik P (x p,y p,z p ) adalah: x p mxb nx A myb ny A ; y p ; z m n m n p mzb nz m n A. Tiga titik yang segaris (klinier) a. Tiga titik A, B, dan C dikatakan segaris (klinier) jika dipenhi: AB = k AC ata AB = k BC ata AC = k BC dengan k bilangan real b. Da ektr a dan b dikatakan segaris ata sejajar jika dipenhi A = kb ata b = ka, elemen bilangan real. Tiga titik yang sebidang (kplanar) Tiga titik A(x, y, z ), B(x, y, z ), dan (x, y, z ), dikatakan sebidang ata cplanar jika dipenhi: Jika dipenhi: x y z x x y y z z = 0 (diterminan matrik rd tiga) 4. Titik berat dari sebah segitiga Jika diketahi segitiga ABC dengan A(x, y, z ), B(x, y, z ), dan C(x, y, z ) maka krdinat titik berat segitiga tersebt adalah Z(x z, y z, z z ) x z ( x x x ) Mdl..4 VEKTOR Halaman
y z z z ( ( y z y y z z ) ) Kerjakan sal-sal berikt spaya anda lebih memahami raian materi kegiatan belajar. Jangan membaca/melihat petnjk mengerjakan latihan ( knci jawaban ) sebelm anda cba mengerjakannya. Petnjk ntk mengerjakan latihan hanya sebagai pandan bila anda mengalami keslitan menjawab sal berikt ini. Kegiatan..4. :. Diketahi titik P (x+,,-), Q (,y-, ) dan R (5, -, -0) Jika P, Q dan R klinier tentkan nilai x + y!. Segitiga PQR, titik P(,,). Q(,8,) dan R (,-,) jika titik A pada QR sehingga QA : QR = : tentkan ektr PA.. Krdinat titik P (,-,), ektr psisi PQ = -i + 5j + 4k dan OR = I +4j + 4k maka panjang ektr QR adalah. 4. Diketahi ras garis AB dengan A(-,,-) dan B(,-,6) jika titik c diperpanjangan AB dan AB AC maka krdinat titik c adalah. 4 5. Segitiga ABC dengan A(-,,-), B(x, y, z) dan C(,, ) jika titik berat ABC adalah Z(, -, ) maka nilai x + y + z =.. 6. Diketahi P(, -, -), Q(6,, 4) dan R(a, b, ) jika R membagi PQ di dalam dengan perbandingan m : n, maka nilai a dan b adalah.. 7. Diketahi jajaran genjang ABCD, titik P dan DC sehingga DP = DC = : dan Q titik tengah BC. Jika a, b, c dan d bertrt-trt merpakan ektr psisi titik A, B, C dan D maka tentkan: a. Vektr AP b. Vektr D,Q dalam a, b, c dan d Mdl..4 VEKTOR Halaman 4
8. Segitiga PQR, krdinat titik P(-5,), ektr PQ = 7i 4j dan QR i 5 j tentkan: c. Krdinat titik Q dan R d. Vektr psisi PR 9. Krdinat titik P(5,-7), Q(-,) jika PR = PQ, tentkan a. PR. PQ b. QR. PQ 0. Segitiga ABC, AB P, AC q, jika titik D pada BC dimana BD : DC = : maka tentkan ektr AD dalam P dan q Jika anda sdah menyelesaikan kegiatan cckkan jawaban anda pada knci jawaban yang berada dibelakang mdl ini. Setelah anda cckkan berilah nilai kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan..4. Jika nilai perlehan < 75, artinya anda belm paham tentang ektr basis, ektr psisi dan pembagian ras garis, maka anda hars menglang kembali membaca dan memahami knsep tentang knsep ektr diatas. Jika nilai perlehan 75 maka anda bleh menerskan pada kegiatan mdl berikt ini. E. Perkalian Skalar Vektr ( Perkalian Titik / Dt ) U Hasil kali skalar da ektr dan didefinisikan sebagai: cs ; dengan adalah sdt yang diapit leh ektr dan V cs. Perkalian skalar antar ektr menghasilkan sebah skalar. Z i i i i cs 0 k (0,0,) Y j j k k j j cs 0 k k cs 0 karena sejajar O i (,0,0) j (0,,0) Mdl..4 VEKTOR Halaman 5 X
i j i j cs 90 0 j k j k cs 90 0 karena tegak lrs k i k i cs 90 0 Perkalian skalar da ektr dalam bentk kmpnen: Misalkan ektr i j k dan i j k, maka: (i j k) (i j k) Sifat-sifat perkalian skalar ektr: Sifat kmtatif: Sifat distribtif: ( w) w Da ektr yang saling sejajar, sdt antara kedanya sama dengan 0. Jadi: cs 0 Da ektr yang saling tegak lrs, sdt antara kedanya sama dengan 90. Jadi: cs 90 0 Da ektr yang berlawanan arah, sdt antara kedanya sama dengan 80. Jadi: cs 80 Tanda dari hasil kali skalar: Jika 0 90 maka 0 90 maka 0 90 80 maka 0 F. Perkalian Silang Vektr (Crss Prdct) x Jika diketahi ektr dan, sdt yang dibentk leh kedanya sama dengan, maka: x sin Perkalian silang ektr menghasilkan sebah ektr. Arah ektr hasil perkalian silang adalah tegak lrs pada keda ektr dan memenhi atran tangan kanan. Mdl..4 VEKTOR Halaman 6
Z i i i i sin 0 0 k (0,0,) j j k k j j sin 0 0 k k sin 0 0 karena sejajar Y O i (,0,0) j (0,,0) X i j i j sin 90 (karena i j) menrt atran tangan kanan maka: i j k j k i k i j j i k k j i i k j Hasil perkalian silang ini memiliki sifat rtan berptar dan dapat diingat dengan berpedman pada gambar lingkaran di samping. Perkalian skalar da ektr dalam bentk kmpnen: Salah sat cara ntk menentkan perkalian silang ektr dalam bentk k kmpnen adalah dengan berpedman pada penentan nilai determinan matriks rd dengan cara Sarrs. Misalkan ektr i j k dan i j k Maka: x ( i j k) x (i j k) Sifat-sifat perkalian silang ektr: x x i j k i j k i j x ( x ) x ( k) x k( x ) (k) x ( w) ( x ) ( x w) x ( i j k) ( k i j) x ( )i ( )j ( )k x - - - + + + ( x w) ( x ) w j i Cnth : Ditentkan ektr a i j k dan b i 4j k. Hitnglah a x b. Jawab: a x b i j 4 k i j 4 k i j 4 Mdl..4 VEKTOR Halaman 7
i a x b j k i j 4 4 - - - k i j 4 + + + a x b ( ( )i ( ) j ( )( 4)k ) ( ( )k ( )( 4)i ( ) j ) a x b (6-8) i ( 9)j ( )k a x b i 7j 0k G. Sdt antara Da Vektr di Rang (R ) X i k Z Z j Y Dari rms: cs cs Misalkan: sdt antara ektr satan i dengan ektr sdt antara ektr satan j dengan ektr sdt antara ektr satan k dengan ektr Sdt-sdt,, disebt sdt-sdt arah ektr dan csins dari sdt-sdt tersebt dinamakan csins arah. Jika diperleh: i j k i cs i j cs j k cs k O Y Vektr i j k dan i j k Sdt antara keda ektr: cs X Cnth : Tentkan besar sdt antara ektr i j k dengan smb-smb krdinat. Jawab: Misalkan: sdt antara ektr dengan smb X sdt antara ektr dengan smb Y sdt antara ektr dengan smb Z ( ) 4 cs 4 4 arc cs 6, 7 4 4 4 cs 4 4 arc cs, 4 4 4 cs 4 4 arc cs 74, 5 4 4 4 Cnth : Diketahi ektr a (, 0, ) dan b (, 0, ). Tentkan besar sdt antara ektr a dan b. Jawab: Misalkan adalah sdt antara ektr a dan b Mdl..4 VEKTOR Halaman 8
a b cs a b ( ) ( ) 0( 0) ( ) 0 ( ) 0 5 5 cs arc cs 45 5 0 5 Jadi besar sdt antara ektr a dan b adalah Kerjakan sal-sal berikt spaya anda lebih memahami raian materi kegiatan belajar. Jangan membaca/melihat petnjk mengerjakan latihan ( knci jawaban ) sebelm anda cba mengerjakannya. Petnjk ntk mengerjakan latihan hanya sebagai pandan bila anda mengalami keslitan menjawab sal berikt ini. Kegiatan..4. : 45. Diberikan ektr ektr a = 4i j + k dan b = i + j + k. Besar sdt yang dibentk ektr a dan b sama dengan. Diketahi ektr a 6 i j k, b i j k dan c 5 i j k. Besar sdt antara ektr a dan b c adalah.... Diketahi ektr a i j k dan b i j. Besar sdt antara ektr a dan b adalah... 4. Diketahi balk ABCD EFGH dengan AB = cm, BC = cm, dan AE = 4 cm. Jika AC wakil ektr dan wakil DH adalah ektr, maka sdt antara ektr dan adalah 5. Diketahi a, b 9, a b 5 adalah. 6. Diketahi a 6 dan b adalah.. Besar sdt antara ektr a dan ektr b, ( a b ).( a + b ) =0, dan a. ( a b ) =. Besar sdt antara ektr a 7. Diketahi segitiga ABC dengan A(,, ), B(6,, ), dan C(6, 5, ). Jika mewakili ABdan mewakili AC, maka sdt yang dibentk leh ektr dan adalah 8. Diketahi a = i j + k dan b =i j + 4k. Jika a dan b membentk sdt, maka nilai sin =... 9. Diketahi a = i + j k dan b = i + j k, jika a dan b membentk sdt, maka tan =.... Mdl..4 VEKTOR Halaman 9
0. Diberikan ektr a = p dengan p Real dan ektr b = membentk sdt 60º, maka ksins sdt antara ektr a dan a + b adalah. Jika a dan b. Diketahi titik A(5,, ), B(,, ), dan C(4,, 4). Tentkanlah nilai sin B.. Diketahi titik A(5,, ), B(6,, 6), dan C(, 5, 0), bila a wakil dari ektr AB dan b wakil dari BC, tentkanlah ksins sdt antara a dan b Jika anda sdah menyelesaikan kegiatan cckkan jawaban anda pada knci jawaban yang berada dibelakang mdl ini. Setelah anda cckkan berilah nilai kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan..4. Jika nilai perlehan < 75, artinya anda belm paham tentang perkalian ektr, maka anda hars menglang kembali membaca dan memahami knsep tentang perkalian ektr diatas. Jika nilai perlehan 75 maka anda bleh menerskan pada kegiatan mdl berikt ini. H. Vektr Pryeksi P Jika dan da ektr bkan nl, maka: O. panjang pryeksi (pryeksi skalar rtgnal) pada = c =. ektr pryeksi (pryeksi ektr rtgnal) pada = c = c R Q Cnth : Tentkan pryeksi ektr = 4 ke ektr = 6 Jawab : dan panjang ektr it panjang pryeksi (pryeksi skalar rtgnal) pada = c = Mdl..4 VEKTOR Halaman 0 = 6 4 = +8 = 0 6 + 40 0 = 0
Kegiatan..4.4 : Kerjakan sal-sal berikt spaya anda lebih memahami raian materi kegiatan belajar. Jangan membaca/melihat petnjk mengerjakan latihan ( knci jawaban ) sebelm anda cba mengerjakannya. Petnjk ntk mengerjakan latihan hanya sebagai pandan bila anda mengalami keslitan menjawab sal berikt ini.. Jika w adalah hasil pryeksi rthgnal dari ektr = maka w = 4 terhadap ektr =. Pryeksi ektr rtgnal = ( ) pada = (4 ) adalah. Diketahi ektr a = 4i j + k dan ektr b = i 6j + 4k. Pryeksi ektr rthgnal ektr a pada ektr b adalah 4. Diketahi ektr a = i 4j 6k dan ektr b = i j + 4k. Pryeksi ektr rthgnal ektr a pada ektr b adalah 5. Diketahi ektr a i j k dan ektr b i j k. Pryeksi rtgnal ektr a pada b adalah 6. Diketahi krdinat A( 4,, ), B(7, 8, ), dan C(, 0, 7). Jika AB wakil ektr, AC wakil ektr, maka pryeksi pada adalah 7. Diketahi titik A(,7,8), B(,, ) dan C(0,,). Jika AB wakil ektr dan BC wakil ektr, maka pryeksi rthgnal ektr pada adalah 8. Diketahi segitiga ABC dengan titik A(,, ), B(,, ), dan C(4,, ). Pryeksi ektr AB pada AC adalah 9. Diketahi segitiga ABC dengan titik A(,, ), B(,, 0), dan C(,, 0). Pryeksi ektr AB terhadap AC adalah 0. Diketahi segitiga ABC dengan A(,, ), B(, 4, ), dan C(5, 0, ). Pryeksi ektr AB pada AC adalah. Panjang pryeksi ektr a i 8 j 4k pada ektr b pj 4k adalah 8. Maka nilai p adalah.... Jika ektr a = i j + xk dan ektr b = i j + 6k. Jika panjang pryeksi ektr a pada b adalah 5, maka nilai x =. Diketahi p = 6i + 7j 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang pryeksi q pada p adalah, maka x adalah, Mdl..4 VEKTOR Halaman
Jika anda sdah menyelesaikan kegiatan cckkan jawaban anda pada knci jawaban yang berada dibelakang mdl ini. Setelah anda cckkan berilah nilai kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan..4.4 Jika nilai perlehan < 75, artinya anda belm paham tentang pryeksi sat ektr, maka anda hars menglang kembali membaca dan memahami knsep tentang pryeksi sat ektr diatas. Jika nilai perlehan 75 maka anda bleh menerskan pada kegiatan mdl berikt ini Berpa tes akhir mdl. Persiapkan diri anda Daftar Pstaka Antn, Hward., Elementary Linear Algebra (Frth Editin). Jhn Wiley & Sns, Inc., Canada, 984. Depdiknas., Kriklm 004(Standar Kmpetensi Mata Pelajaran Matematika SMA dan MA). Departeman Pendidikan Nasinal, Jakarta, 00. (----------)., Brad Based Edcatin(Bk II). Departemen Pendidikan Nasinal, Jakarta, 00. Hlland, D-Treeby, T., Vektr (Pre and Applied). Edward Arnld Limited, Lndn, 98. Mharti HW., Ilm Ukr Analit Rang, FPMIPA IKIP Ygyakarta, 975. Raharj, Marsdi., Vektr R dan R (Standar Bahan Ajar Penataran Matematika Gr SMA), PPPG Matematika, Ygyakarta, 000. Thmas, Gerge B Finley, Rss L., Calcls and Analytic Gemetry. Addissn Wesley Pblishing C, Bstn, 986 Mdl..4 VEKTOR Halaman