Distribusi robabilitas Diskret Teoritis Distribusi robabilitas Teoritis Diskret Distribusi seragam diskret (discrete uniform distribution) Distribusi hipergeometris (hypergeometric distribution) Distribusi Bernoulli (Bernoulli distribution) Distribusi binomial (Binomial distribution) Distribusi binomial negatif atau ascal (negative binomial or ascal distribution) Distribusi geometris (geometric distribution) Distribusi oisson (oisson distribution)
Distribusi Seragam Diskret X seragam diskret (a, b) Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) ; b a + 0; lainnya a, a +, L, b, b arameter: a, b bulat; b a a : batas bawah b : batas atas Rataan: a + b μx Variansi: ( b a + ) σ X 3 Contoh Histogram Distribusi Seragam Diskret f() 0.800 0.600 0.400 0.00 0.0800 0.0600 0.0400 0.000 a, b 6 3 4 5 6 4
robabilitas Variabel Random Berdistribusi Seragam Diskret ( X ) b a + ( X r) r a b a + 5 Contoh erhitungan Jumlah pesanan yang datang per hari diketahui berdistribusi seragam diskret dengan jumlah pesanan yang datang minimum 0 dan maksimum 0. robabilitas jumlah pesanan yang datang per hari adalah 4 atau kurang? 4 ( X 4) + + + + 0, 4545 0 0 + 0 Rata rata jumlah pesanan per hari yang datang? μ X 0 + 5,5 6
Distribusi Hipergeometris X hipergeometris (n, N, S) Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) S N S CCn ; 0,, L,min N Cn 0; lainnya { n, S} arameter: n, S, N bulat > 0 n N; S N Rataan: μ X n Variansi: S N N n S σ X n N N S N 7 Rumus Kombinasi C n r n r n! r!( n r)! 8
ercobaan Hipergeometris Dalam suatu populasi berukuran N, terdapat S obyek yang dikategorikan sukses S, dan sisanya N S dikategorikan gagal Suatu sampel random berukuran n diambil dari populasi Variabel random yang menyatakan banyaknya obyek berkategori sukses yang terpilih merupakan variabel random hipergeometris 9 Contoh Histogram Distribusi Hipergeometris 0.6000 0.5000 N 0, S, n 4 f() f() 0.4000 0.3000 0.000 0.4500 0.4000 0.3500 0.3000 0.500 0.000 0.500 0.0500 0 3 4 N 0, S 6, n 4 0 3 4 f() 0.4500 0.4000 0.3500 0.3000 0.500 0.000 0.500 0.0500 N 0, S 4, n 4 0 3 4 0
robabilitas Variabel Random Berdistribusi Hipergeometris S C C C n ( X ) N ( X r) N S n C C r S N S n N 0 Cn Contoh erhitungan Suatu kotak mengandung 7 komponen yang terdiridari4 komponen merek A dan 3 bola komponen merek B. Jika 3 komponen diambil secara random dari kotak, probabilitas bahwa tepat terdapat komponen merek A yang terambil: 4 C C C 7 4 4 C C C 4!!! 3!!! 7! 3!4! 3 ( X ) 0, 543 7 7 3 3 3
Distribusi Bernoulli X Bernoulli (p) Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) p; sukses p; gagal 0; lainnya arameter: p (0 p ) Rataan: μ X p Variansi: σ X p ( p) 3 ercobaan Bernoulli ercobaan hanya menghasilkan dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal robabilitas sukses adalah p (probabilitas gagal, p) Variabel random yang menyatakan munculnya sukses atau gagal merupakan variabel random Bernoulli 4
Contoh Histogram Distribusi Bernoulli f() 0.9000 0.8000 0.7000 0.6000 0.5000 0.4000 0.3000 0.000 p 0, 0 0.6000 0.5000 0.4000 X sukses gagal 0 p 0,5 f() 0.3000 f() 0.9000 0.8000 0.7000 0.6000 0.5000 0.4000 0.3000 0.000 p 0,8 0 0.000 0 5 Hubungan Distribusi Bernoulli dan Seragam Diskret X seragam diskret (a, b); a 0; b X Bernoulli (p); p 0,5 6
Distribusi Binomial X binomial (n, p) Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) ( p) n n Cp ; 0,, L, n 0; lainnya arameter: n bulat > 0; p (0 p ) Rataan: μ X np Variansi: σ X np ( p) 7 ercobaan Binomial ercobaan terdiri atas n usaha yang saling independen Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal. robabilitas tiap sukses untuk tiap usaha adalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, p) Variabel random yang menyatakan banyaknya sukses dalamn usaha independen merupakan variabel random binomial ercobaan binomial merupakan percobaan Bernoulli yang independen yang dilakukan sebanyak n kali 8
Contoh Histogram Distribusi Binomial f() 0.4500 0.4000 0.3500 0.3000 0.500 0.000 0.500 0.0500 n 5; p 0, 0 3 4 5 f() 0.3500 0.3000 0.500 0.000 0.500 n 5; p 0,5 0.0500 f() 0.4500 0.4000 0.3500 0.3000 0.500 0.000 0.500 0.0500 n 5; p 0,8 0 3 4 5 0 3 4 5 9 robabilitas Variabel Random Berdistribusi Binomial n n ( X r) C p ( p) r n ( X r) C p ( p) 0 n 0
Contoh erhitungan robabilitas suatu komponen tidak mengalami kerusakan dalam suatu pengujian adalah 0,75. robabilitas tepat terdapat komponen yang tidak mengalami kerusakan jika dilakukan pengujian sebanyak 4 kali: 4 4 4! ( X ) C ( 0,75) ( 0,75) ( 0,75) ( 0,5) 0, 09!! robabilitas terdapat komponen atau lebih yang tidak rusak jika dilakukan pengujian sebanyak 4 kali: 4 ( X ) ( X ) C ( 0,75) ( 0,75) 0 4! 0!! 0,0508 0,949 4 4!!! 0 4 ( 0,75) ( 0,5) + ( 0,75) ( 0,5) 3 Hubungan Distribusi Binomial dan Bernoulli X i Bernoulli (p) X i independen dan identik Y n i X i Y binomial (n, p)
Hampiran Distribusi Binomial terhadap Hipergeometris X hipergeometris (n, S, N); n/n 0 X binomial (n, p); p S/N 3 Contoh erhitungan Suatu pabrik menerima pasokan material sebanyak 5000 unit dengan 000 unit diantaranya adalah material jenis A. Jika 0 unit dipilih secara random, probabilitas tepat terdapat 3 unit material jenis A yang terpilih: 0 000 3 000 ( X 3) C ( ) ( ) 3 5000 0! 3!7! 0,03 0 3 5000 3 ( 0,) ( 0,8) 7 4
Distribusi Binomial Negatif (ascal) X binomial negatif (k, p) Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) ( p) C k k k p ; k, k +, L 0; lainnya arameter: k bulat > 0; p (0 p ) Rataan: μ X k p Variansi: k σ X ( p) p 5 ercobaan Binomial Negatif ercobaan terdiri atas n usaha yang saling independen Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal. robabilitas tiap sukses untuk tiap usaha adalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, p) Variabel random yang menyatakan banyaknya usaha agar terjadi sukses ke k merupakan variabel random binomial negatif 6
Contoh Histogram Distribusi Binomial Negatif f() 0.0900 0.0800 0.0700 0.0600 0.0500 0.0400 0.0300 0.000 0.000 k ; p 0, 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 Variabel random X banyaknya usaha untuk memperoleh k sukses 0.3000 0.500 0.000 k ; p 0,5 f() 0.500 0.0500 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 7 robabilitas Variabel Random Berdistribusi Binomial Negatif ( X ) p k ( p) k C k r ( ) k X r C k p ( p) k k 8
Contoh erhitungan robabilitas produk cacat adalah 0,. Jika produk diambil satu per satu, probabilitas ditemukannya produk yang cacat yang ketiga pada pengambilan kelima? 4!!! 5 3 5 3 3 ( X 5) C ( 0,) ( 0,) ( 0,) ( 0,9) 0, 0049 3 9 Definisi Lain dari Variabel Random Binomial Negatif & Fungsi Dist. rob. Variabel random binomial negatif X dapat juga didefinisikan sebagai banyaknya gagal sebelum memperoleh k sukses Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) ( p) + k k C p ; 0,,, L 0; lainnya X C p p ( ) ( ) + k k r + k k ( X r) C p ( p) 0 arameter: k bulat > 0; p (0 p ) Rataan: k( p) μx p Variansi: σ k X ( p) p 30
Contoh Histogram Distribusi Binomial Negatif k ; p 0, Variabel random X banyaknya gagal sebelum memperoleh k sukses 3 Contoh erhitungan robabilitas produk cacat adalah 0,. Jika produk diambil satu per satu, probabilitas terambilnya produk baik (tidak cacat) sebanyak dua sebelummenghasilkan produk cacat ketiga? 4!!! + 3 3 3 ( X ) C ( 0,) ( 0,) ( 0,) ( 0,9) 0, 0049 3
Distribusi Geometris X geometris (p) Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) ( p) p ;,, L 0; lainnya arameter: p (0 p ) Rataan: μ X Variansi: σ p X p p 33 ercobaan Geometris ercobaan terdiri atas n usaha yang saling independen Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal. robabilitas tiap sukses untuk tiap usaha adalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, p) Variabel random yang menyatakan banyaknya usaha agar terjadi sukses pertama merupakan variabel random geometris 34
Contoh Histogram Distribusi Geometris f() 0.500 0.000 0.500 0.0500 p 0, Variabel random X banyaknya usaha untuk memperoleh sukses pertama 0.6000 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 f() 0.5000 0.4000 0.3000 p 0,5 0.000 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 35 robabilitas Variabel Random Berdistribusi Geometris ( X ) p( p) ( X r) p( p) r 36
Contoh erhitungan robabilitas produk cacat adalah 0,. Jika produk diambil satu per satu, probabilitas ditemukannya produk yang cacat pada pengambilan ketiga? 3 ( X 3) ( 0,)( 0,) ( 0,)( 0,9) 0, 08 Rata rata banyaknya pengambilan untuk menemukan produk cacat? μ X 0, 0 37 Definisi Lain dari Variabel Random Geometris dan Fungsi Distribusi robabilitas Variabel random geometris X dapat juga didefinisikan sebagai banyaknya gagal untuk memperoleh sukses pertama Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) ( p) p ; 0,,, L 0; lainnya X p p ( ) ( ) ( X r) p( p) r 0 arameter: p (0 p ) Rataan: p μx p Variansi: σ X p p 38
Contoh Histogram Distribusi Geometris p 0, Variabel random X banyaknya gagal sebelum memperoleh sukses pertama 39 Contoh erhitungan robabilitas produk cacat adalah 0,. Jika produk diambil satu per satu, probabilitas diperoleh dua produk baik (tidak cacat) sebelum diperoleh produk cacat? ( X ) ( 0,)( 0,) ( 0,)( 0,9) 0, 08 Rata rata banyaknya produk baik (tidak cacat) yang diperoleh sebelum menemukan produk cacat? μ X 0, 0, 0,9 0, 9 40
Hubungan Distribusi Binomial Negatif dan Geometris X binomial negatif (k, p); k X geometris (p) 4 Distribusi oisson X oisson (λ) Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) λ e λ ; 0,,, L! 0; lainnya arameter: λ > 0 λ rata rata kejadian per interval waktu atau daerah tertentu Rataan: Variansi: μ λ X σ X λ 4
Ciri Ciri roses oisson Jumlah kejadian yang terjadi dalam suatu interval waktu atau daerah tertentu adalah independen terhadap jumlah kejadian dalam interval waktuataudaerahyang lain. robabilitas suatu kejadian yang terjadi pada interval waktu atau daerah yang sangat kecil adalah proporsional terhadap panjang interval waktu atau luas daerah dan tidak tergantung pada jumlah kejadian yang terjadi di luar interval waktu atau daerah ini. robabilitas lebih dari satu kejadian dalam interval waktu atau daerah yang sangat kecil adalah diabaikan 43 Contoh Histogram Distribusi oisson 0.3000 0.500 0.000 λ f() 0.500 0.0500 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 f() 0.000 0.800 0.600 0.400 0.00 0.0800 0.0600 0.0400 0.000 λ 5 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 44
robabilitas Variabel Random Berdistribusi oisson ( X ) e λ λ! ( X r) e r λ λ 0! 45 Contoh erhitungan Banyaknya gangguan mesin yang terjadi per hari diketahui berdistribusi oisson dengan rata rata 0 gangguan per hari. robabilitas bahwa terdapat paling sedikit terdapat 5 gangguan per hari? X 5 X 4 ( ) ( ) 4 0 e ( 0) 0! 0,095 0 ( 0) e 0 0 ( 0) e ( 0) 0 e + + L+ 0!! 4! 0,00005+ 0,00045+ L+ 0,089 4 46
Hampiran Distribusi oisson terhadap Binomial X binomial (n, p); n ; p 0 X oisson (λ); λ np 47 Contoh erhitungan robabilitas suatu produk yang harus dibuang karena rusak adalah 0,0. Jika terdapat sebanyak 000 produk, probabilitas terdapat 0 produk yang dibuang karena rusak? λ ( 000)( 0,0) ( X 5) e ( 0 ) ( 0) 5! 0,0378 0 5 48
Ciri Reproduktif Variabel Random oisson X i oisson (λ i ) X i saling independen Y n i X i Y oisson (λ), λ λ + λ +... + λ n 49 Contoh erhitungan Banyaknya gangguan mesin A yang terjadi per hari diketahui berdistribusi oisson dengan rata rata 0 gangguan per hari. Banyaknya gangguan mesin B yang terjadi per hari diketahui berdistribusi oisson dengan rata rata 5 gangguan per hari. robabilitas banyaknya gangguan sebanyak 5 per hari adalah: λ λ + λ 0 + 5 5 ( X 5) ( 5) 5 5 e 5! 0,0094 50