II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih operasi pada himpunan bersama dengan hukum tertentu yang dipenuhi oleh operasi Salah satu alasan yang paling penting untuk mempelajari sistem tersebut adalah untuk menyatukan sifat-sifat pada topik-topik yang berbeda dalam matematika Setiawan 20 2 Grup Subgrup Suatu himpunan tak kosong G bersama-sama dengan hukum komposisi atau operasi biner * merupakan Grup G* : yang memenuhi aksioma-aksioma berikut 2 untuk semua 3 Untuk setiap Jika Ada sedemikian sehingga ada yang memenuhi untuk semua komutatif Judson 204 untuk semua maka grup G disebut grup Abelian atau
5 Sifat-sifat grup : Unsur identitas grup G tunggal sehingga hanya terdapat satu unsur sedemikian sehingga ukti isalkan untuk semua unsur identitas G aka untuk semua Akan ditunjukkan bahwa persamaan tersebut didapatkan Jika isalkan Dari kedua adalah sembarang elemen grup untuk semua adalah unsur identitas tapi jika adalah unsur identitas maka maka 2 maka invers yaitu adalah tunggal ukti Jika " keduanya adalah invers Akan ditunjukkan bahwa " 3 " maka " " " G adalah suatu grup Jika maka
6 ukti isalkan dengan yaitu invers adalah tunggal maka 4 Karena egitu juga erdasarkan sifat sebelumnya G adalah suatu grup Untuk sembarang ukti 5 maka maka : G adalah suatu grup berakibat ukti Dengan cara yang sama berakibat Hal ini disebut dengan hukum pencoretan maka
7 Contoh 2 Himpunan bilangan rasional merupakan grup terhadap operasi + Sistem ini dilambangkan dengan + dengan + penjumlahan didefinisikan dengan aturan 0 Operasi akan dibuktikan bahwa Q grup berdasarkan sifat-sifat bilangan bulat Sifat tertutup isalkan erdasarkan definisi operasi penjumlahan pada bilangan rasional didapat Karena operasi perkalian penjumlahan dalam bilangan bulat bersifat tertutup maka pembilang penyebutnya merupakan bilangan bulat Karena b d tidak nol maka bd juga tidak nol erarti penjumlahan bilangan rasional bersifat tertutup Sifat assosiatif isalkan berlaku + + + [ + + Akan ditunjukkan bahwa sifat assosiatif [ + + + + + ] + [ + + + ] erarti sifat assosiatif berlaku Sifat identitas Elemen merupakan identitas karena Pada sisi lain + +
8 Sifat invers Untuk sembarang anggota merupakan inversnya Jelas bahwa + karena akan ditunjukkan bahwa Anggota merupakan invers Terbukti Q grup 2 Himpunan bilangan bulat positif dengan operasi penjumlahan bukan merupakan grup karena pada himpunan bilangan bulat positif tidak terdapat elemen identitas 0 tidak memiliki invers di sehingga untuk setiap Subgrup isalkan adalah suatu grup aka H himpunan bagian tak kosong G adalah subgrup G jika H itu sendiri membentuk suatu grup dengan operasi biner Lal 202 Contoh 22 isalkan G suatu grup dengan elemen identitas e aka G { } adalah grup karenanya G { } adalah subgrup G Kedua subgrup ini disebut subgrup trivial Teorema 2 Tes Subgrup Lal 202 isalkan G suatu grup misalkan H himpunan bagian tak kosong G aka H adalah suatu subgrup G jika untuk setiap
9 ukti Karena H tak kosong maka dapat dicari suatu kondisi berakibat identitas G Karenanya untuk setiap ℎ Sehingga untuk ℎℎℎ ℎ maka Sehingga H memiliki elemen Kemudian akan ditunjukkan bahwa untuk setiap ℎ menunjukkannya misalkan ℎ ℎ untuk setiap elemen H memiliki invers di H Untuk ℎ Langkah berikutnya yaitu akan ditunjukkan bahwa H juga tertutup pada operasi biner G Jadi misalkan Sehingga untuk aka berdasarkan langkah sebelumnya terdapat kondisi Karenanya H juga tertutup seperti juga pada operasi biner G Kemudian karena H himpunan bagian G maka sifat asosiatif G juga berlaku di H Contoh 23 isalkan { } { } dengan maka adalah grup terhadap perkalian bilangan kompleks adalah subgrup G 22 Jenis-Jenis Grup a Grup Siklik Grup G disebut siklik jika ada sehingga { } Elemen g disebut generator dari grup siklik Grup siklik dengan generator g dinotasikan dengan tergantung dari operasi pada grup G tersebut Gozali 200
0 Contoh 24 Pada Contoh 23 grup G dapat dinyatakan dengan { } sehingga G merupakan grup siklik yang dibangun oleh i Grup G dapat ditulis dengan b Grup Simetris Teorema 22 Lal 202 isalkan X suatu himpunan beranggotakan sebanyak n maka banyaknya permutasi dari himpunan X adalah n! ukti Dengan induksi matematika isal k menyatakan banyaknya anggota himpunan X untuk banyaknya permutasi pada X adalah benar isal teorema tersebut benar untuk adalah! maka banyaknya permutasi pada X Akan ditunjukkan teorema tersebut juga benar untuk anyaknya permutasi untuk maka adalah! Jika ditambahkan elemen lagi maka elemen baru tersebut dapat menempati sebanyak n posisi sehingga banyaknya permutasi padax dengan!! isalkan misalkan memenuhi ℓ ℓ adalah { } {2 } berbeda Jika untuk semua ℓ 2
untuk aka disebut k-cycle dinotasikan seterusnya atau Contoh 25 isal 3 maka {234} : Contoh 26 2 2 3 4 4 3 dengan 2 2 3 4 4 Pada Contoh 25 dapat dilihat bahwa 2 2 atau 2 yang dapat ditulis 2 3 4 dapat ditulis 3 4 sehingga permutasi 23 4 Dua cycle 4 3 atau 3 4 3 yang dapat ditulis dengan notasi disebut saling lepas jika { } { } Judson 204 Teorema 23 Judson 204 Setiap permutasi pada dapat ditulis sebagai produk disjoint cycle ukti Asumsikan bahwa {2 } isalkan definisikan { } Himpunan { } aka X2 juga himpunan terhingga Dengan meneruskan pola ini terhingga karena X terhingga Sekarang misalkan i adalah bilangan bulat pertama pada X tidak pada X definisikan X2 dengan dapat didefinisikan himpunan disjoint terhingga X3 X4 Karena X suatu himpunan terhingga dapat dijamin bahwa proses ini akan berhenti hanya akan ada suatu bilangan terhingga dari himpunan-himpunan ini disebut dengan r
2 Jika adalah cycle yang didefinisikan oleh { aka cycle-cycle Karena himpunan-himpunan X X2 Xr disjoint maka juga pasti disjoint Permutasi paling sederhana adalah suatu cycle dengan panjang 2 Cycle seperti ini disebut dengan transposisi Karena sembarang cycle dapat ditulis sebagai produk transposisi atau komposisi transposisi Judson 204 Proposisi Judson 204 Sembarang permutasi suatu himpunan berhingga yang terdiri dari setidaknya dua elemen dapat ditulis sebagai produk transposisi atau komposisi transposisi Contoh 27 Jika cycle ℎ 5 3 2 4 ℎ 4 2 3 5 Jika cycle 4 6 3 maka maka cycle cycle h dapat dinyatakan dengan k dapat dinyatakan dengan 3 6 4 Dari Contoh 27 dapat dilihat bahwa suatu cycle dengan panjang r dapat dinyatakan dengan komposisi dari transposisi Jadi jika r bilangan genap maka cycle tersebut dapat dinyatakan sebagai komposisi sejumlah transposisi yang banyaknya ganjil segkan jika r ganjil maka cycle tersebut dapat dinyatakan sebagai komposisi sejumlah transposisi yang banyaknya genap
3 Grup simetris pada n huruf isalkan permutasi { : pada n elemen jika f {2 } Fungsi : adalah fungsi } dengan kata lain \ bijektif disebut isalkan merupakan himpunan semua permutasi himpunan {2 } aka hal-hal berikut ini berlaku : isalkan aka : : adalah dua fungsi bijektif oleh karena itu salah satu fungsi digunakan sebagai komposisi fungsi untuk : mendefinisikan fungsi komposisi aka juga bijektif Karenanya dengan Dengan kata lain fungsi komposisi dinotasikan dengan mendefinisikan operasi biner pada 2 3 Fungsi komposisi merupakan operasi yang asosiatif sehingga ℎ ℎ : Fungsi didefinisikan oleh adalah fungsi identitas yaitu 4 isalkan Sebagaimana : didefinisikan oleh ketika untuk semua untuk semua 2 adalah fungsi bijektif untuk semua : 2 adalah fungsi yang terdefinisi dengan baik juga bijektif yaitu untuk setiap Dengan demikian simetri Jika adalah suatu grup Grup ini disebut grup permutasi atau grup maka penulisannya adalah Penulisan seperti ini disebut notasi dua baris Dapat dilihat bahwa bijektif dari N ke N ke 2 ke 2 2 adalah fungsi adalah pemetaan identitas yang memetakan ke 2 Sehingga { 2 } Oleh karena itu
4 terdapat n pilihan untuk pilihan untuk 2 semua elemen N kecuali seterusnya Dengan demikian jumlah elemen adalah 2 Lal 202! Contoh 28 {23} maka 3! 6 isal Grup simetri X adalah 2 2 3 atau 2 3 2 3 atau 23 3 2 3 { } dengan 2 3 atau 2 3 3 2 3 2 3 atau 32 2 2 3 atau 3 2 2 2 3 atau 2 3 3 eberapa konsep dasar mengenai Teorema Langrange berikut diambil dari ahmudah 2006 isalkan G grup H subgrup G untuk sembarang a tetap di G {ℎ \ℎ } disebut koset kanan dari H yang ditentukan oleh a untuk sembarang a tetap di G ditentukan oleh a { ℎ\ℎ } disebut koset kiri dari H yang Jika H subgrup G maka banyaknya semua koset kanan H di G disebut dengan indeks H di G dinotasikan dengan : Contoh 29 isal { } seperti yang telah diuraikan pada Contoh 28 jika { }< { } maka ; { }
5 { } { } ; { } { } ; Karena ada dua koset kiri H di G yaitu : 2 Dapat dilihat bahwa adalah koset-koset dari H jika maka { } maka { } maka isal Jika Lemma 2 Wilkins 2007 isalkan H subgrup G aka koset kiri H di G memiliki sifat-sifat berikut : 2 3 untuk semua ; Jika a b elemen G jika ; Jika a b elemen G jika ukti 2 aka isalkan aka maka ℎ 3 ℎ maka untuk beberapa untuk semua ℎ untuk beberapa Sehingga maka ℎ untuk semua ℎ oleh karena itu isalkan untuk beberapa dimana e adalah elemen identitas G Tapi isalkan a b elemen G dimana ℎ ℎ ℎ maka maka Karena H subgrup G Sehingga untuk beberapa erdasarkan sifat 2 yaitu
6 Lemma 22 Wilkins 2007 isalkan H subgrup terhingga G aka setiap koset kiri H di G memiliki jumlah elemen yang sama dengan H ukti isalkan {ℎ ℎ ℎ } dimana ℎ ℎ ℎ berbeda misalkan aka koset kiri ah terdiri dari elemen-elemen xhj untuk 2 Anggap bahwa j k bilangan bulat antara m dimana ℎ ℎ aka ℎ ℎ maka ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ sehingga karena ℎ ℎ ℎ berbeda berbeda Dapat disimpulkan bahwa subgrup H koset kiri ah keduanya memiliki m elemen seperti yang dipersyaratkan eberapa definisi teorema proposisi berikut diambil dari Lal 202 Order G adalah jumlah elemen di G dinotasikan dengan Jika < maka g disebut suatu grup order terhingga isalkan G suatu grup aka order suatu elemen adalah bilangan bulat positif terkecil m sedemikian sehingga dengan Order suatu elemen dinotasikan Contoh 20 Dari Contoh 23 dapat dilihat bahwa 4 2 order setiap elemen G adalah 2 4 4
7 Teorema 24 Teorema Langrange Lal 202 Jika G berhingga H subgrup G maka membagi Selanjutnya jumlah koset H yang berbeda di G sama dengan ukti Karena G grup terhingga jumlah koset kiri H di G terhingga isalkan kumpulan semua koset kiri H di G aka berdasarkan Lemma dua koset itu adalah sama atau disjoint yaitu G adalah suatu gabungan disjoint koset-koset Juga dapat diverifikasi bahwa itu dengan untuk semua untuk setiap 2 Oleh karena Sehingga Sehingga membagi jumlah koset kiri sama Catatan Lal 202 Nilai m pada teorema 4 disebut index H di G dinotasikan dengan [ : ] atau Proposisi 2 Lal 202 isalkan G suatu grup berhingga membagi maka Catatan 2 Lal 202 Proposisi berakibat bahwa jika G suatu grup berhingga order n maka order yang mungkin dari elemen-elemennya adalah pembagi n Contoh 2 Jika 30 maka untuk setiap {23560530}
8 isalkan G grup berhingga maka berdasarkan proposisi 3 akan ditunjukkan bahwa untuk sembarang membagi aka beberapa bilangan bulat positif m Sehingga untuk erikut ini akan diberikan definisi tentang grup aksi yang diberikan oleh Lal 202 c Grup aksi isalkan adalah grup dengan identitas e aka G disebut aksi pada suatu himpunan X jika terdapat operator : untuk semua ℎ ℎ 2 untuk semua memenuhi kondisi berikut : ℎ Contoh 22 Pada grup dihedral { } dengan f menyatakan perputaran vertikal r rotasi searah jarum jam dengan sudut putar aka beraksi pada sisi atau titik berlabel dari suatu segi enam beraturan dengan mempermutasi label pada sisi atau titik lihat pada Gambar Gambar 4 3 2 5 6 2 r 2 6 3 4 5 Aksi f pada sisi berlabel aksi r2 pada titik berlabel pada suatu segi enam beraturan
9 Contoh 23 isalkan X menyatakan himpunan cara mewarnai titik-titik suatu persegi dengan dua warna misalkan merah biru aka X sama dengan himpunan semua fungsi ℎ: {234} { } dimana titik-titik kanan bawah kiri bawah ℎ kiri atas kanan atas diberi label 23 4 aka 2 6 anyaknya pewarnaan yang berbeda dapat dilihat pada Gambar 2 dimana menyatakan warna merah menyatakan warna biru Sebagai contoh gambar berlabel x9 pada Gambar 2 berhubungan dengan ℎ ℎ3 ℎ4 ℎ2 Kemudian nyatakan permutasi 234 dengan r permutasi { 234 dengan f aka grup dihedral pada himpunan X } beraksi a x x6 dipetakan ke dirinya sendiri dibawah aksi setiap elemen D4 Yaitu b untuk semua Gambar 2 Pewarnaan titik pada persegi Catatan 3
20 Asumsikan bahwa X terdiri dari himpunan titik-titik anggap bahwa grup G beraksi pada X dengan memindahkan titik-titiknya aka berdasarkan definisi grup aksi dapat diinterprestasikan sebagai berikut : a Kondisi pertama berakibat bahwa elemen identitas grup tidak memindahkan elemen X manapun Sehingga titik-titik di X akan tetap ketika diberi aksi oleh elemen identitas G b Kondisi kedua berakibat bahwa jika suatu titik misal pertama atas elemen ℎ kemudian posisi terakhir jika 2 Tentukan Sebaliknya terdapat definisi grup aksi adalah sama dengan posisi yang akan dicapai ℎ Kemudian himpunan sehingga { : } aka berdasarkan kemudian oleh suatu elemen diaksikan tepat sekali oleh elemen sebuah adalah aksi Dengan kata lain g hanya mempermutasikan elemen X Atau secara ekuivalen setiap sendiri menyebabkan fungsi bijektif dari X ke dirinya
2 3 ℎ dengan ungkin terdapat semua ℎ sehingga ℎ untuk isalkan G aksi pada himpunan X maka : Untuk 2 Untuk 3 Untuk tetap { : tetap tetap { { : } disebut orbit x } disebut penstabil x di G } disebut Fix g Contoh 24 Perhatikan himpunan X yang diberikan pada Contoh 23 Dengan menggunakan penggambaran himpunan X pada Gambar 2 didapat { } { } { } Proposisi 3 isalkan G aksi pada himpunan X aka untuk setiap 2 Definisi sebuah relasi dinyatakan dengan ~ pada himpunan X dengan x~y sehingga jika ada tetap himpunan Gx adalah subgrup G aka buktikan bahwa ~ mendefinisikan relasi ekuivalen pada himpunan X Lebih jauh kelas ekuivalen mengandung 3 sama dengan { : maka Tentukan misalkan } aka Selain itu jika Teorema 25 Teorema 26 Lemma 3 Lemma 4 berikut diambil dari Lal 202 Teorema 25 isalkan suatu grup G beraksi pada himpunan X aka untuk setiap tetap terdapat korespondensi satu-satu antara elemen-elemen
22 himpunan semua koset kiri Gx di G Secara khusus [ : ] jumlah koset kiri Gx di G Selain itu jika G adalah grup terhingga maka untuk semua ukti isalkan S himpunan koset kiri Gx yang berbeda di G aka [ : { : ] Pertimbangkan pemetaan : oleh } Akan diperiksa apakah pemetaannya terdefinisi dengan baik Jadi anggap koset ℎ kiri ℎ adalah sama yaitu aka dengan menggunakan Lemma definisi grup aksi diperoleh barisan penegasan berikut : ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ pada ingat bahwa untuk setiap ℎ sedemikian sehingga ℎ Karenanya terdapat suatu Juga untuk ℎ Oleh karena itu untuk ℎ pada yang dipilih koset yang dipilih berlaku ℎ Oleh karena itu telah ditunjukkan bahwa setiap subgrup di G ketika terhingga maka karena isalkan { } sedemikian sehingga aka untuk setiap i ℎ memberikan korespondensi satu-satu antara himpunan S Kemudian berdasarkan definisi [ : Oleh karena itu tidak hanya terdefinisi dengan baik tapi juga satu-satu Untuk menunjukkan ℎ ℎ Sehingga berdasarkan definisi pemetaan diperoleh ℎ Anggap bahwa ] untuk subgrup di G terdapat suatu aka
23 Sehingga karenanya akibatnya disjoint Selanjutnya jika g maka Sehingga Karenanya Langrange Oleh karena itu koset : Oleh adalah pasangan untuk beberapa i juga karena itu Akibatnya berdasarkan Teorema Lemma 3 isalkan G grup aksi terhingga pada himpunan X aka untuk setiap ukti Ingat bahwa untuk setiap Karenanya dengan menggunakan Teorema 25 diperoleh Oleh karena itu untuk semua
24 Teorema 26 isalkan G grup aksi terhingga pada himpunan X isalkan N menyatakan jumlah orbit X yang berbeda dibawah aksi G aka ukti erdasarkan Lemma 3 ingat bahwa isalkan aka untuk semua menyatakan orbit-orbit X yang berbeda dibawah aksi G Contoh 25 Lihat kembali Contoh 23 aka banyaknya pewarnaan yang berbeda adalah 8 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 4 + 2 + 2 + 4 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 8 + 8 6 Lemma 4 Cauchy-Frobenius-urnside s Lemma isalkan G suatu grup aksi terhingga pada himpunan X isalkan N menyatakan jumlah orbit X yang berbeda dibawah aksi G aka ukti Pertimbangkan himpunan { : } menggunakan dua metode etode pertama misalkan ditetapkan Hitung aka
25 untuk setiap memenuhi tetap Gx menghasilkan koleksi elemen-elemen G yang Jadi etode kedua misalkan ditetapkan aka untuk setiap menghasilkan koleksi elemen-elemen X yang memenuhi 4 8 4 konfigurasi yang berbeda adalah 8 6 Jadi Karenanya dengan menggunakan Teorema 24 Contoh 26 enggunakan Contoh 23 6 2 2 tetap Fg Sehingga dengan menggunakan dua metode tersebut diperoleh diperoleh 8 Sehingga 4 banyaknya 6 + 2 + 4 + 2 + 4 + 8 + 4 +