7 III HASIL DAN PEMBAHASAN 3. Analisis Metode Dala penelitian ini akan digunakan etode hootopi untuk enyelesaikan persaaan Whitha-Broer-Koup (WBK), yaitu persaaan gerak bagi perabatan gelobang pada perairan gkal yang bentuknya berupa siste persaaan diferensial taklinear. Perluasan konsep dasar etode hootopi yang telah diuraikan pada landasan teori dilakukan sebagai berikut. Tinjau siste persaaan berikut: [ u(, t), (, t)] [ u(, t), (, t)] (3.) dengan operator turunan yang bentuknya taklinear, segkan fungsi u erupakan fungsi yang eenuhi persaaan (3.) yang akan ditentukan. Selanjutnya didefinisikan fungsi real (, t, q) (, t, q) suatu fungsi H H sebagai berikut: H [, ; q] ( q) [ (, t, q) u (, t)] q [ (, t, q), (, t, q)] H [, ; q] ( q) [ (, t, q) (, t)] q [ (, t, q), (, t, q)], (3.) dengan suatu operator linear u asing-asing fungsi pendekatan awal dari penyelesaian persaaan (3.). Berdasarkan persaaan (3.) untuk q ebentuk persaaan berikut: H [, ;] [ (, t,) u (, t)] H [, ;] [ (, t,) (, t)], untuk q eberikan H [, ;] [ (, t,), (, t,)] H [, ;] [ (, t,), (, t,) ]. Berdasarkan persaaan (3.3) diperoleh bahwa fungsi (, t,) u (, t) (3.3) (3.4) (, t,) (, t),
8 asing-asing erupakan penyelesaian dari persaaan H [, ;], H [, ;]. Selain itu, berdasarkan persaaan (3.) (3.4) diperoleh fungsi (, t,) u(, t) (, t,) (, t ), yang asing-asing erupakan penyelesaian dari persaaan H [, ;], H [, ;]. Selanjutnya, karena paraeter q bernilai dari sapai, aka (, t; q) (, t; q) asing-asing akan eetakan pendekatan awal u (, t ) ke penyelesaian eksak u(, t ) eetakan pendekatan awal ( t, ) ke penyelesaian eksak ( t, ). Dengan enggunakan deret Taylor dari (, t; q) (, t; q) terhadap q, diperoleh dengan (, t; q) u (, t) u (, t) q, (, t; q) (, t) (, t) q, u (, t; q) (, t),! q q (, t; q) ( t, ).! q q (3.) (3.6) Jadi untuk q diperoleh (, t,) u (, t) u (, t). (3.7) Karena (, t,) u (, t ), aka u(, t) u (, t) u (, t). (3.8) Hal yang saa diperoleh
9 (, t,) (, t) (, t). (3.9) Karena (, t,) (, t ), aka (, t) (, t) (, t). (3.) Selanjutnya akan ditentukan Berdasarkan deforasi orde nol diperoleh u,,,... berikut ini. ( q) [ (, t; q) u (, t)] q [ (, t; q), (, t; q)] ( q) [ (, t; q) (, t)] q [ (, t; q), (, t; q)]. (3.) Jika kedua ruas dari persaaan (3.) diturunkan terhadap q hingga kali, keudian engevaluasi di q dibagi!, aka diperoleh bentuk persaaan berikut: dengan R R [ u (, t) u (, t)] R [ u (, t), (, t)], [ (, t) (, t)] R [ u (, t), (, t)],, ( u, ), ( u, ),,., ( )! (, t; q), (, t; q) ( )! q (, t; q), (, t; q) Berdasarkan persaaan (3.) dapat ditentukan u,,,... q Penurunan persaaan (3.) diberikan pada Lapiran a. q, q, (3.) Secara ringkas penggunaan etode hootopi untuk enyelesaikan siste persaaan diferensial (3.) dilakukan sebagai berikut:. Misalkan diberikan pendekatan awal dari penyelesaian siste persaaan diferensial (3.) asing-asing u (, t ) ( t, ).. Tentukan u(, t ) ( t, ),,,... berdasarkan persaaan (3.) dengan dipilih sebarang. Peilihan dapat epengaruhi perluasan selang kekonvergenan dari deret (3.8) (3.).
3. Penyelesaian pendekatan dengan etode hootopi ditentukan berdasarkan deret (3.8) (3.). Untuk lebih jelasnya, aka bagian selanjutnya akan dibahas aplikasi dari etode hootopi untuk enyelesaikan persaaan WBK. 3. Aplikasi Metode Tinjau persaaan WBK (.4) berikut: u u u u t 3 u u u, 3 t Operator turunan taklinear yang dipilih adalah (3.3) (, t; q) (, t; q) (, t; q) (, t; q) t (, t; q) [ (, t; q) (, t; q)] (, t; q) (, t; q) t (3.4) [ (, t; q), (, t; q)] (, t; q) 3 [ (, t; q), (, t; q)] 3 operator linear (, t; q) t [ (, t; q)], (, t; q) t [ (, t; q)]. (3.) Selanjutnya dipilih pendekatan penyelesaian awal berdasarkan pada penyelesaian gelobang berjalan dari persaaan WBK dala dua kasus, yaitu kasus pertaa dipilih pendekatan awal berdasarkan pada penyelesaian pada persaaan (.6) aka diperoleh persaaan berikut u (, t) u(,) k( ) coth[ k( )],. (, t) (,) k ( ( ) )csch [ k( )],. (3.6) segkan untuk kasus kedua akan dipilih pendekatan awal berdasarkan penyelesaian pada persaaan (.7) berikut... u (, t) k coth[ k( )] k csch[ k( )], t k coth[ k( )]csch[ k( )]. k csch [ k( )]. (3.7)
Berdasarkan definisi operator pada persaaan (3.4) diperoleh bentuk R, ( u, ) sebagai berikut: R ( u, ) yang diberikan pada persaaan (3.), u (, t) u (, t) (, t) R u u t t n, (, ) n(, ) n u (, t), 3 (, t) u (, t) R, ( u, ) un(, t) n (, t) 3 t n ( t, ), Penurunan persaaan (3.8) dapat dilihat pada Lapiran b. Berdasarkan persaaan (3.) definisi operator, diperoleh atau u (, t) u t ( t, ) t R, R u u,,,,,,, u (, t) u R u, dt, (, t) R u, dt, dengan u ( u, u,..., u) (,,..., ). Karena u(,) (,), aka diperoleh (3.8) (3.9) (3.) u (, t) u (, t) R u, ds, (, t) (, t) R u, ds., t t (3.) Untuk penyederhanaan, aka dipilih, sehingga dari persaaan (3.6), (3.8) (3.) diperoleh:. csc u (,) t k t h k,
. csch. ch cosh k( ) sinh k( ), (, t) 4 k t coth k k, u 3 (, ) cs 3 ( ) t k t k kt t ( ) k( ) 3. 4 (, t) k ( ) csch k( ) kt cosh k h sinh, u3 (, t) csch ( ) 3 4 3 k t k k t 3 6 3 k t cosh k( ) 6 kt sinh k( ),. 4 ( ) ( ) 3(, t) csch 3 3. k t k 3 h k t coshk( ) 3 6 3 k t cosh3 k( ) kt 3sinhk k 6 ( ) sinh 3 ( ), segkan dari persaaan (3.7), (3.8) (3.) diperoleh:. (, ) hk t u t cosh[ k( ) ]) 3. 4 (, ) sec t hk t h k( ) 4 sin h [ k( ) ] (3.). u(, t) hk t ( ) sech [ k( )] 4 ( h) hkt tanh k( )
3 sech h (, t) hk t ( k( ) 4hkt 6 3... 8 ( 8... kt(4 4 (4 hkt sech k( ) 3... k 6 6 ( 6 Penurunan persaaan (3.) (3.3) dapat dilihat dala Lapiran c. tabahan.. (3.3) Barisan penyelesaian pada persaaan (3.) asih euat paraeter. Validitas dari etode hootopi didasarkan pada peilihan sehingga deret (3.8) (3.) konvergen [6]. Selanjutnya dengan enggunakan persaaan (3.8) (3.) diperoleh pendekatan penyelesaian eksak dari persaaan WBK sebagai berikut: u(, t) u (, t) u (, t) u (, t) u (, t)... 3 (, t) (, t) (, t) (, t) (, t)... 3 (3.4) dengan u (, t ) ( t, ) pada persaaan (3.6), u (, t), (, t), ( i,,3) diberikan pada persaaan (3.). Berikut ini akan digunakan bantuan software Matheatica untuk enggabarkan hapiran penyelesaian persaaan WBK (3.3) dengan enggunakan etode hootopi pada persaaan (3.) hingga orde ke-, dibandingkan dengan penyelesaian pada persaaan (.6). Jika diberikan paraeter, k.., aka untuk peilihan yang berbeda-beda eberikan galat yang sangat kecil antara penyelesaian dengan enggunakan etode hootopi dibandingkan dengan penyelesaian pada persaaan (.4), seperti ditunjukkan pada Tabel 3. dengan. i i
4 Tabel 3. Galat antara penyelesaian dengan etode hootopi penyelesaian gelobang berjalan dari nilai. -.3 -. -. - -.9 -.8 -.7.6 -. -. -.9 -. -. -. - 3.98-3.98-3.98-3.97-3.98-3.98-3.99-3 6.8-4 6.87-4 6.87-3 6.87-4 6.87-4 6.88-6.86-4 7.683-4.684-4.684-3.684-4.684-4.684-4.686-4 9.34-4.34-4.34-4.34 -.34-4.3-4.3-4 4.97-4.96-4.96-4.96-4.96-4.96-4.963-3. -. -. -. -. -. -.3-9.83-6 9.837-6 9.838-6 9.837-6 9.838-6 9.838-6 9.844-6 7 4.47-6 4.49-6 4.49-6 4.49-6 4.49-6 4.4-6 4.4-6 9.978-6.979-6.979-6.979-6.979-6.979-6.98-6 Tabel 3. Galat antara penyelesaian dengan etode hootopi penyelesaian gelobang berjalan dari nilai u. -.3 -. -. - -.9 -.8 -.7 6.3339-3 6.884-3.836-3.644 -.473-3.34-3.38-3 3.984-3.869-3.74-3.63-3.747-3.8-3.47-3 8.937-4 7. -4 6.8496-4 6.8-4.89-4.468-4.6-4 7 3.96-4 3.4497-4 3.8-4.636-4.34-4.867-4.988-4 9. -4.76-4.4-4.46-4 9.3768-7.79-6.6 -.4-4 8.879-6.87 -.793-3.67 -.498 -.763-3 6.476-4.88-3.4 -.683 -.979 -.4366-6 6.38-8 3.8734 -.7747 -.8 -.64-3.736-6.496-6.7-6 7.3893 -.648 -.4-4.64-6.4-7 3.3663-6.843-6 9.93 -.76 -.777-6.48-6 9.636-7 3.38-6 4.97-6 Selanjutnya akan digabarkan hapiran penyelesaian persaaan WBK (3.3) dengan enggunakan etode hootopi pada persaaan (3.3) hingga orde ke-, dibandingkan dengan penyelesaian pada persaaan (.6). Jika diberikan paraeter, k..4, aka untuk peilihan akan eberikan galat yang sangat kecil antara penyelesaian dengan enggunakan etode hootopi dibandingkan dengan penyelesaian pada persaaan (.6), seperti ditunjukkan pada Tabel 3.3 dengan.
Tabel 3.3 Galat antara penyelesaian dengan etode hootopi penyelesaian gelobang berjalan pada persaaan (.7) U t= t= t=3 t= t= t=3.8-3.47-3.7-9.7-9.47-7 7.7-7 3 3.666-4.473-3.83-3.937-9 6.7-8.966-7.46-3.67 -.88 -.7-9 3.7983-8.4-7 7.38-3.488 -.78 -.3-9 8.66-8 4.96-7 9 8.349-4.449-6.337-4.89-9 7.67-8 3.643-7.6-4 9.837-3.7 -.746-9 4.3344-8.638-7 3 4.379-4.794-3.773 -.648-9.84-8 9.34-8 3.74-4.3 -.63 -.997 -.966-9.387-8 7.83-4.348 -.47 -.4479-4.9-9.698-8 9 9.6344-6.47-3 7.6-3.7788-6.97-9 3.748-8 Berdasarkan Tabel 3., 3. 3.3 dapat disipulkan bahwa etode hootopi yang digunakan dala penelitian ini sangat cocok untuk enyelesaikan persaaan WBK. Hal ini disebabkan oleh galat yang ditibulkan antara penyelesaian dengan etode hootopi penyelesaian gelobang berjalan yang diberikan pada persaaan (.6) (.7) sangat kecil dengan galat terbesear adalah.644 - untuk. Selanjutnya berdasarkan Tabel 3. 3. terlihat pula bahwa peilihan nilai akan epengaruhi daerah kekonvergenan deret (3.8) (3.), sehingga dala hal ini dipilih eberikan nilai galat yang terkecil daerah kekonvergenan yang lebih luas. Berikut ini akan digabarkan gelobang yang engikuti persaaan Boussinesq, dala hal ini. Misalkan gelobang yang ditinjau eilki bilangan gelobang k., atau berdasarkan (.) diperoleh.4. Grafik penyelesaian dari diberikan dala Gabar 3. untuk t, t 4, t 6, t 9, t t 3.
6., 4.99.98.98.97.97.98, 6.98, 9.978.976.97.974.97.97.97.968.96 3 3,, 3.98.98.97.97.97.97 3 3 3 3 Gabar 3. Bentuk gelobang Boussinesq Berdasarkan Gabar 3. terlihat bahwa gelobang yang ditinjau pada awalnya erupakan gelobang tunggal, keudian terpisah enjadi dua gelobang, diana asing-asing gelobang bergerak dala dua arah yang
7 berlawanan, yaitu ke kanan ke kiri, yang asing-asing eiliki kecepatan c. satuan kecepatan. Selanjutnya akan digabarkan bentuk kecepatan arus dari persaaan Boussinesq, seperti pada Gabar 3. berikut: u, u, u, u, 7 u, u, Gabar 3. Kecepatan arus dari persaaan Boussinesq Berdasarkan Gabar 3. diperoleh bahwa pada persaaan Boussinesq arus bergerak dala dua arah, yaitu ke kiri ke kanan asing-asing dengan kecepatan yang saa.