MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun atas m baris dan n kolom, maka matriks berukuran (berordo) m x n. Ordo Matriks adalah banyaknya baris dan banyaknya kolom suatu matriks yang merupakan ukuran dari matriks. Bentuk umum dari A mxn : a 11 a 12 a 1n a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j. 2. Jenis Jenis Matriks Berdasarkan ordonya, matriks dapat dibedakan menjadi: a) Matriks bujursangkar / matriks persegi Matriks yang memiliki banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom atau matriks berordo n x n. A 2x2 = 8 7 9 dengan elemen diagonal a 11 = dan a 22 = 9 b) Matriks baris Matriks yang hanya memiliki 1 baris. B 1x3 = 6 8 1 c) Matriks kolom Matriks yang hanya memiliki 1 kolom. C 3x1 = d) Matriks tegak 8 9 Matriks berordo m x n dengan m > n D 3x2 = 1 6 9 8 Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 1
e) Matriks datar Matriks berordo m x n dengan m < n E 2x3 = 6 9 2 4 6 Berdasarkan elemen elemen penyusunnya, matriks dapat dibedakan menjadi: a) Matriks nol Matriks yang semua elemen penyusunnya adalah nol dan dinotasikan dengan O. O = 0 0 0 0, O = 0 0 0 b) Matriks diagonal Matriks persegi yang semua elemen di atas dan di bawah diagonalnya adalah nol. D = c) Matriks skalar 3 0 0 0 2 0 0 0 4 Matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama. A = d) Matriks simetri 3 0 0 0 3 0 0 0 3 Matriks persegi, yang setiap elemennya, selain elemen diagonal adalah simetri terhadap diagonal utama. C = 9 9 7 e) Matriks simetri miring Matriks simetri yang elemen elemennya, selain elemen diagonal, saling berlawanan. F = 7 3 2 3 7 8 2 8 7 f) Matriks identitas / satuan Matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah 1 dan dinotasikan dengan I. I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 2
g) Matriks segitiga atas Matriks persegi yang elemen elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol. A = 7 3 2 0 8 0 0 4 h) Matriks segitiga bawah Matriks persegi yang elemen elemen di atas diagonal utamanya adalah nol. B = i) Matriks transpose 0 0 9 4 0 6 7 3 Adalah matriks yang diperoleh dari memindahkan elemen elemen baris menjadi elemen elemen kolom atau sebaliknya. Transpose matriks A dilambangkan dengan A T. A = 6 4 8 8 3 maka A T = 6 8 4 8 3 B. Operasi Matriks dan Sifat Sifatnya 1. Penjumlahan dan Pengurangan Dua Matriks Jika A + B = C, maka elemen elemen C diperoleh dari penjumlahan elemen elemen A dan B yang seletak, yaitu a ij + b ij = c ij untuk elemen C pada baris ke-i dan kolom ke-j. Akibatnya, matriks A dan B dapat dijumlahkan jika memiliki ordo yang sama. 6 4 8 8 3 + 4 0 2 8 1 4 = a b c d + t u v w = a + t b + u c + v d + w 2 4 10 0 6 7 Sifat sifat penjumlahan matriks: a) A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan) b) A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif untuk penjumlahan) c) A + O = O + A = A d) (A + B) T = A T + B T e) Jika terdapat matriks B sedemikian sehingga A + B = B + A = O, maka B = -A Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 3
Jika A B = C, maka elemen elemen C diperoleh dari pengurangan elemen elemen A dan B yang seletak, yaitu a ij b ij = c ij atau pengurangan dua matriks ini dipandang sebagai penjumlahan A + (-B) 0 0 9 4 0 6 7 3 1 2 4 2 4 3 1 a b c d t u v w = a t b u c v d w = 6 2 4 11 1 2 4 4 2. Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar (Real) Matriks A dikalikan dengan suatu bilangan skalar k, maka ka diperoleh dari hasil kali setiap elemen A dengan k. S = 2 1 3 2 maka 3S = 3 1 3 = 6 10 3 9 Sifat sifat perkalian matriks dengan skalar: a) a(b + C) = ab + ac b) a(b - C) = ab - ac c) (a + b)c = ac + bc d) (a - b)c = ac - bc e) (ab)c = a(bc) f) (ab) T = ab T 3. Perkalian Dua Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan jika dan hanya jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B. A mxn B nxp = C mxp Hasil kali dari perkalian matriks A dan B menghasilkan matriks C dengan ordo m x p. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 4
a) Perkalian matriks 1 x p dengan matriks p x 1 A = 2 1 dan F = 4 2 Maka, AF = [(2x)+(x4)+(1x2)] = [32] b) Perkalian matriks p x 1 dengan matriks 1 x p F = 4 2 Maka FA = dan A = 2 1 x2 x x1 4x2 4x 4x1 2x2 2x 2x1 = 10 2 8 20 4 4 10 2 c) Perkalian matriks 2 x p dengan matriks p x 2 B = 1 3 1 2 0 2 dan E = 1 0 3 1 Maka, BE = 11 3 11 2 d) Perkalian matriks p x 2 dengan matriks 2 x p E = 2 1 0 3 1 Maka EB = dan B = 1 3 1 0 2 2 9 1 3 1 3 14 Perhatikan hal hal berikut ini: a) Pada umumnya AB BA (tidak berlaku hokum komutatif) b) Apabila A matriks persegi, maka A 2 = AA; A 3 = A 2 A dan seterusnya c) Apabila AB = BC, maka tidak dapat disimpulkan A = C (tidak berlaku sifat penghapusan) d) Apabila AB = O, maka tidak dapat disimpulkan bahwa A = O atau B = O Sifat sifat perkalian matriks dengan matriks: a) A(BC) = (AB)C b) A(B+C) = AB +AC c) (B + C)A = BA + CA d) A(B-C) = AB -AC e) (B - C)A = BA - CA f) A(BC) = (ab)c = B(aC) g) AI = IA = A Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page
C. Kesamaan Matriks Dua buah matriks disebut sama jika: Memiliki ordo yang sama Memiliki elemen elemen yang bersesuaian (seletak) sama 1. 4 2 1 3 = 12 3 1 4 2 6 2. 4 2 1 3 2 1 4 3 2 karena walaupun elemen elemen kedua matriks itu sama, namun letak elemen elemen itu berbeda sehingga elemen elemen yang bersesuaian tidak sama. D. Determinan Matriks Matriks bujur sangkar selalu mempunyai suatu besaran skalar yang disebut determinan. Sebaliknya, matriks yang tidak bujur sangkar tidak mempunyai determinan. Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan nilai elemen elemennya menurut rumus tertentu, dilambangkan dengan det (A) atau A. 1. Determinan Matriks Ordo 2 x 2 Jika matriks A = a b c d S = 3 4 2 a b maka det A = A = c d maka det S = S = 3 4 2 = ad bc = 3 2 4 = 14 2. Determinan Matriks Ordo 3 x 3 Untuk mencari determinan dari matriks ordo 3 x 3 dapat dilakukan dengan menggunakan 2 metode: a. Metode Sarrus Jika matriks A = det A = A = p q r s t u v w x p q r s t u v w x p s v maka q t w = ptx + quv + rsw (rtv + puw + qsx) Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 6
2 3 1 R = 0 2 1 maka 3 0 2 2 3 1 det R = R = 0 2 1 3 0 2 Matriks dan transformasi linier 2 3 0 2 3 0 = (-8 + 9 + 0) (6 + 0 + 0) = - b. Minor dan Kofaktor Minor suatu matriks adalah matriks bagian yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen elemennya pada baris ke-i dan elemen elemen pada kolom ke-j. Minor suatu matriks dilambangkan dengan M ij. Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari suatu matriks dilambangkan dengan K ij = 1 i+j M ij = 1 i+j det (M ij ) Untuk menghitung determinan cukup mengambil satu ekspansi saja, misal ekspansi baris ke-1. R = 2 3 1 0 2 1 3 0 2 M 11 = 2 1 0 2 K 11 = 1 2 2 1 0 2 = 4 K 12 = 1 3 0 1 3 2 = 3 K 13 = 1 4 0 2 3 0 = 6 R = q 11 K 11 + q 12 K 12 + q 13 K 13 M 12 = 0 1 3 2 M 13 = 0 2 3 0 R = 2 4 + 3 3 + 1 6 = 3. Adjoint Matriks Adjoint matriks adalah transpose dari kofaktor kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A = K ij T Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 7
E. Invers Matriks Misal A adalah sebuah matriks bujur sangkar. Jika ada matriks B sedemikian sehingga AB = I, maka B disebut dengan invers A, dinotasikan dengan A -1. Dan jika AB = I, maka BA = I. Jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut matriks nonsingular. Jika sebaliknya maka A disebut matriks singular. Teorema: Jika sebuah matriks mempunyai invers, maka invers tersebut tunggal. Teorema: Jika A mempunyai invers, maka A -1 mempunyai invers dan (A -1 ) -1 = A. Teorema: Jika A dan B matriks nonsingular, maka AB mempunyai invers dan (AB) -1 = B -1 A -1. Hal ini berlaku umum untuk berhingga perkalian matriks. 1. Invers Matriks Ordo 2 x 2 Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menghitung invers matriks ordo 2 x 2 adalah: a. Cara perkalian Jika A adalah matriks ordo 2x2, maka AA -1 =I V = 2 1 0 3 Maka VV 1 = I 2 1 0 3 a b c d = 1 0 0 1 2a + c =1 (1) 3c = 0 maka c = 0 (2) 2b + d = 0 (3) 3d = 1 maka d = 1 3 (4) Persamaan (1): 2a + c =1 2a = 1 maka a = 1 2 Persamaan (2): 2b + d = 0 Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 8
2b = 1 3 maka b = 1 6 V 1 = a b c d = b. Adjoint matriks 1 2 1 6 1 0 3 Jika A = a b c d maka A 1 = 1 V = 2 1 0 3 V = 2 1 0 3 = 6 V 1 = 1 6 3 1 0 2 = 1 2 1 6 1 0 3 det A = 1 det A adj A dengan syarat det(a) 0 d c b a 2. Invers Matriks Ordo 3 x 3 Jika A 3x3 maka A 1 = 1 det A R = 2 3 1 0 2 1 3 0 2 Menghitung R M 11 = 2 1 0 2 adj A dengan syarat det(a) 0. Tentukan invers dari matriks R. K 11 = 1 2 2 1 0 2 = 4 K 12 = 1 3 0 1 3 2 = 3 K 13 = 1 4 0 2 3 0 = 6 R = q 11 K 11 + q 12 K 12 + q 13 K 13 M 12 = 0 1 3 2 M 13 = 0 2 3 0 R = 2 4 + 3 3 + 1 6 = Menghitung adj A Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 9
adj A = K 11 K 12 K 13 K 21 K 22 K 23 K 31 K 32 K 33 T = K 11 K 21 K 31 K 12 K 22 K 32 K 13 K 23 K 33 M 21 = 3 1 M 0 2 22 = 2 1 3 2 M 31 = 3 1 M 2 1 32 = 2 1 0 1 K 21 = 1 3 3 1 0 2 = 6 K 22 = 1 4 2 1 3 2 = 7 K 23 = 1 2 3 3 0 = 9 K 31 = 1 4 3 1 2 1 = 1 K 32 = 1 2 1 0 1 = 2 K 33 = 1 6 2 3 0 2 = 4 4 6 1 adj A = 3 7 2 6 9 4 R 1 = 1 det R adj R R 1 = 1 4 6 1 3 7 2 6 9 4 4 3 = 6 7 6 9 M 23 = 2 3 3 0 M 33 = 2 3 0 2 1 2 4 Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 10
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. Page 11