Analisa Terapan: Metode Numerik Pertemuan ke- Persamaan Non-Linier: Metode Secant Oktober Department o Civil Engineering Metode Secant Dasar ( Dalam Metode Newton (i i i - ( + ( i [ ( i i, ( i ] Turunan ( i didekati dengan ( i - i- α Gambar Ilustrasi geomentri metode Newton-Raphson. i ( i+ i ( i i ( ( i ( i Substitusi Persamaan ( ke dalam Persamaan ( menghasilkan metode Secant: ( i i i i ( i ( i Department o Civil Engineering
Metode Secant Dasar ( ( i ( i - Metode secant juga dapat diturunkan secara geometrik: [ i, ( i ] E i+ Gambar Ilustrasi geometri metode Secant C D i- i B A Segitiga sebangun pada Gambar AB AE DC DE Dapat dituliskan menjadi: ( ( i i i i+ i i+ Atau dapat dituliskan kembali menjadi : ( i ( i i i+ i ( ( i i Department o Civil Engineering Persamaan Non-Linier: Metode Secant ALGORITMA METODE SECANT Department o Civil Engineering
Langkah Pilih dua nilai perkiraan awal untuk menghitung nilai perkiraan i+ : i+ i ( i ( i i ( i ( i Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relati: - i+ i a i+ Department o Civil Engineering 5 Langkah Cek jika nilai ε a lebih besar dari nilai toleransi ε s. Jika benar, maka kembali ke Langkah Jika tidak, maka hentikan hitungan. Cek pula jika jumlah iterasi melebihi batas maksimum iterasi yang ditetapkan. Department o Civil Engineering 6
Buku Contoh Papan Gambar Papan yang dibebani buku. Suatu papan kayu sepanjang 9 in menerima beban berupa susunan buku-buku yang memiliki tinggi bervariasi dari 8 ½ hingga in. Ukuran papan adalah /8 in tebal dan lebar in. Modulus Elastisitas papan kayu terebut adalah.667 Msi (mega square inch. Tentukan deleksi vertikal maksimum papan kayu tersebut, bila deleksi vertikal mengikuti persamaan berikut: ν( -.5-8 5.667-6 +.9 -.857 adalah jarak dimana terjadi deleksi maksimum. Deleksi maksimum diperoleh dari dv ( d Department o Civil Engineering 7 Contoh (Cont. Letak yang memberikan deleksi maksimum diberikan dengan persamaan ( -.67665-8.6689-5 +.78 -.859 Catatan: Akar-akar persamaan dicari dengan kali iterasi. Diperlukan turunan kedua dari v( untuk menghitung akar persamaan menggunakan metode Newton - Raphson Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relati dihitung pada setiap akhir iterasi. Jumlah digit penting ditentukan pada iterasi terakhir. Department o Civil Engineering 8
Contoh (Cont...5. Fungsi (.5 -.5 5 5 5 -. -.5 -. (m Gambar Graik ungsi (. -8-5 - (.67665.6689 +.78 (.857 Department o Civil Engineering 9 ( ( Contoh (Cont. - Solusi Diambil nilai perkiraan awal untuk ungsi (, - dan 5. Iterasi : ( ( ( ( 8 5.67665.6689 +.78.67665 8.59 8 8.857 5 ( 5.6689 ( 5 +.78 ( 5 8 5.67665.6689 +.78.67665 8.956 5 (.6689 ( +.78 (.857.857.857 Department o Civil Engineering
Contoh (Cont. - Solusi Fung gsi (..5..5 5 5 5 -.5 -. -.5 -. (m ( X- Slope.557 ( 8.59 ( 5 5 ( 8.59 ( 8.956 Gambar Graik hasil iterasi Department o Civil Engineering Contoh (Cont. - Solusi Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relati ε a dari hasil Iterasi adalah : a.%.557 5.557 Jumlah digit penring adalah, karena ε a < 5% Department o Civil Engineering
( Contoh (Cont. - Solusi Iterasi : Perkiraan akar persamaan berikutnya menggunakan nilai 5 dan.557 ( ( ( ( 8 5.67665.6689 +.78.67665.987 8 5.57.857 5 (.557.6689 (.557 +.78 (.557 5 (.987 (.557 5 5 5 (.987 ( 8.59.857 Department o Civil Engineering Contoh (Cont. - Solusi..5. Fung gsi (.5 -.5 5 5 5 -. -.5 -. (m ( X Slope Gambar 5 Graik hasil iterasi Department o Civil Engineering
Contoh (Cont. - Solusi Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relati ε a dari hasil Iterasi adalah : a.57.557.57.6% Jumlah digit penring adalah, karena ε a <.5% Department o Civil Engineering 5 ( Contoh (Cont. - Solusi Iterasi : Perkiraan akar persamaan berikutnya menggunakan nilai.557 dan.57 ( ( ( ( 8 5.67665.6689 +.78.67665 6.676 8 9 5 (.57.6689 (.57 +.78 (.57 9 ( 6.676 (.57.557.57 ( 6.676 (.987 9 5.57.857 Department o Civil Engineering 6.857
Eample Cont...5. Fungsi (.5 -.5 5 5 5 -. -.5 -. (m ( X Slope Gambar 6 Graik hasil iterasi Department o Civil Engineering 7 Eample Cont. The absolute relative approimate error at the end o Iteration is a a.57.57.57 5.559 % The number o signiicant digits at least correct is 6, because the absolute relative approimate error is less than.5%. Department o Civil Engineering 8
Resume Iterasi Contoh Iterasi i- i i+ ( i- ( i ( i+ ε a % 5.557-8.956-8.59 - -.987-5. 5.557.57 8.59 - -.987-5 -6.676-9.6.557.57.57 -.987-5 -6.676-9 -6.676-9.559-5 Department o Civil Engineering 9 Kelebihan Konvergensi yang diraih lebih cepat, jika diperoleh nilai yang konvergen Memakai dua nilai perkiraan yang tidak memerlukan akar yang disimpan Department o Civil Engineering
Kekurangan: Pembagian nol ( ( ( 5 5 ( prev. guess new guess, guess, guess ( Sin( Department o Civil Engineering Kekurangan: Lompatan Akar Root Jumping ( ( ( secant( ( 5 5,, ',, ( ', (irst guess, (previous guess Secant line, (new guess ( Sin Department o Civil Engineering
Contoh Suatu bola terapung seperti Gambar 6 memiliki berat jenis.6 dan jari-jari 5.5 cm. Tentukan kedalaman bola yang terendam dalam air! Gambar 7 Diagram bola terapung Department o Civil Engineering Contoh (Cont. Kedalaman bola yang terendam air dinyatakan dengan persamaan berikut.65 +.99 a Gunakan metode Secant untuk menentukan akar-akar persamaan kedalaman bola yang terendam air. Lakukan tiga kali iterasi untuk memperkirakan akar-akar persamaan terebut. b Tentukan nilai absolut dari kesalahan perkiraan relati pada masing-masing iterasi, dan jumlah digit pentingnya. Department o Civil Engineering
Contoh (Cont. Secara isik, bagian bola yang terendam air memiliki kedalaman antara dan R, dengan R jari-jari bola, yaitu R. (.55 Gambar 7 Diagram bola terapung Department o Civil Engineering 5 Contoh (Cont. Solusi Penyelesaian: Untuk membantu pemahaman tentang bagaimana metode ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan, ditampilkan graik ungsi (, dimana Fungs si (.5.... -....6.8.. -. -. -. (m - ( 65. +. 99 Gambar 8 Graik dari ungsi ( ( Department o Civil Engineering 6
.5.66 Contoh (Cont. Solusi Asumsikan nilai perkiraan awal dari ( pada -. dan.5 Iterasi : Akar persamaan dihitung dengan ( ( ( ( (.5.65 (.5 +.99 (.5. ( (.5.65.5 +.99 (..65 (. +.99 http://numericalmethods.eng.us.edu 7 Contoh (Cont. Solusi The absolute relative approimate error Iteration is a.66.5.66.6% a at the end o The number o signiicant digits at least correct is, as you need an absolute relative approimate error o 5% or less or one signiicant digits to be correct in your result. http://numericalmethods.eng.us.edu 8
Contoh (Cont. Solusi Gambar 9 Graph o results o Iteration. http://numericalmethods.eng.us.edu 9 Eample Cont. Iteration The estimate o the root is.6 ( ( ( ( (.66.65(.66 +.99 (.66.5.65(.66 +.99.5.65.5 + (.66 ( (.99.66 http://numericalmethods.eng.us.edu
Eample Cont. The absolute relative approimate error Iteration is a.55%.6.66.6 a at the end o The number o signiicant digits at least correct is, as you need an absolute relative approimate error o 5% or less. http://numericalmethods.eng.us.edu Eample Cont. Figure 6 Graph o results o Iteration. http://numericalmethods.eng.us.edu
Eample Cont. Iteration The estimate o the root is.68 ( ( ( ( (.6.65(.6 +.99 (.6.66.65(.6 +.99.5.65.66 + (.6 ( (.99.6 http://numericalmethods.eng.us.edu Eample Cont. The absolute relative approimate error Iteration is a.68.6.68.595% a at the end o The number o signiicant digits at least correct is 5, as you need an absolute relative approimate error o.5% or less. http://numericalmethods.eng.us.edu
Iteration # Figure 7 Graph o results o Iteration. http://numericalmethods.eng.us.edu 5