PENGARUH JENIS TUMPUAN TERHADAP FREKUENSI PRIBADI PADA GETARAN BALOK LENTUR Naharuddi 1 1 Staf Pegajar Jurusa Tekik Mesi, Utad Abstrak. Tujua peelitia ii adalah utuk meetuka ilai frekuesi pribadi getara balok letur ag megguaka tumpua sederhaa, jepit-jepit, da katilever. Metode peelitia ii megguaka balok letur dega ukura pajag aitu 850 mm da lebar 5 mm, sedagka ketebalaa bervarisi aitu 10 mm, 1,5 mm, da 15 mm. Hasil peelitia meujukka bahwa utuk tumpua ag sama, maki tebal spesime maki tiggi frekuesi pribadia. Utuk jeis tumpua ag berbeda, frekuesi pribadi terbesar terjadi pada tumpua jepit-jepit (3,809 rad/s, kemdia tumpua sederhaa (98,736 rad/s), da ag terkecil tumpua katilever (35,1738 rad/s) pada ketebala 15 mm. Kata kuci : Jeis tumpua, frekuesi pribadi, balok letur. I. Pedahulua Setiap beda atau sistem ag memiliki massa da sifat elastisitas jika diberi gaggua (rasaga), maka aka bergetar. Berdasarka gaggua (rasaga) ag diberika pada sistem, getara ag timbul dapat diklasifikasika sebagai getara bebas da paksa. Bila ditijau kodisi getara bebas, maka struktur tidak diegaruhi oleh gaa luar da gerakaa haa dipegaruhi oleh kodis awal. Gaa luar haa diperluka utuk meetuka frekuesi pribadi sistem. Frekuesi pribadi ( ) adalah merupaka dasar (karakteristik) ag dimiliki oleh sistem ag bergetar. Peetua frekuesi pribadi sistem ag megalami getara adalah sagat petig utuk mecegah terjadia resoasi. Kekuata suatu material ag megalami beba diamis sagat dipegaruhi massa da sifat elastisitas serta gaggua ag bekerja padaa Balok ag ditumpu kemudia medapatka beba diamis aka mempegaruhi ilai frekuesi pribadi suatu sistem. Utuk itu dilakuka peelitia utuk medapatka hubuga atara pegaruh jeis tumpua dega ilai frekeuesi pribadi pada getara balok letur. Hasil peelitia ii dapat dimafaatka sebagai baha iformasi megeai balok ag megalami getara letur dega berbagai jeis tumpua. II. Tijaua Pustaka II.1 Getara Letur Dari Balok-Balok Seragam Perlakua balok ag megalami getara flexural didasarka pada teori Letura Sederhaa ag biasa diguaka dalam keperlua tekik. Metode aalisis ii dikeal dega teori Euler Berouli ag megaggap bahwa sebuah peampag melitag ag datar dari sebuah balok aka tetap datar selama letura.
JIMT, Vol. 6, No. 1, Mei 009 : 68 7 Pada gambar 1 berikut ditujukka DBB dari sebuah segme pedek dari balok ag mempuai pajag da dibatasi oleh peampag-peampag datar ag tegak lurus pada sumbua. m, E, I V M p m t M M x V V x L Gambar 1. Balok sederhaa dega massa serta beba ag terbagi rata V Gaa da mome ag bekerja pada eleme aitu, gaa geser V da V, mome x M letur M da M, beba lateral p da gaa iersia m / dt. Dimaa m adalah x massa persatua pajag da p p( x, adalah beba persatua pajag. Persamaa diferesial parsial diguaka utuk meataka variasi gaa geser da mome letur karea besara merupaka fugsi dari variabel aitu posisi x sepajag balok da waktu t. Dega Hukum II Newto, diperoleh : dega peederhaaa mejadi: V V V p( x, m 0 x t V m px, t x t Dega megguaka teori letura sederhaa, diperoleh: da M EI ) x M V 3) x dimaa E adalah modulus elastisitas Youg da I adalah mome iersia peampag. Utuk sebuah balok seragam, kombiasi dari persamaa (1), () da (3) meghasilka V EI ) x da EI m px, t x t Persamaa (5) di atas merupaka persamaa diferesial o homoge orde merupaka persamaa pedekata karea beberapa faktor pegaruh ag dapat meebabka terjadia defleksi diabaika. 69 1) 5)
Pegaruh Jeis Tumpua Terhadap Frekuesi Pribadi Pada Getara Balok Letur II.. Persamaa gerak dalam getara bebas Utuk getara bebas p ( x, 0, persamaa (5) tereduksi mejadi persamaa diferesial homoge EI m 0 6) x t Solusi dari persamaa (6) dapat diperoleh dega metode pemisaha variabel aitu diaggap bahwa solusi tersebut dapat diataka sebagai hasil perkalia dari sebuah fugsi ( da sebuah fugsi waktu f(, aitu : x txf t, 7) Persamaa (7) diferesialka da dimasukka pada persamaa (6), diperoleh: d ( d f ( EIf ( m( 0 8) dt Persamaa terakhir ii dapat ditulis sebagai : iv EI ( f ( m ( f ( Dega otasi ideks agka romawi, diataka peurua terhadap x da ideks titik meataka peurua terhadap waktu. Bagia kiri dari persamaa (9) adalah fugsi x da bagia kaa fugsi f( maka setiap sisi dari persamaa tersebut harus mempuai kostata ag sama. Pada kostata tersebut dipilih, dari persamaa (9) meghasilka dua persamaa diferesial berikut; IV ( a ( 0 da f ( f ( 0 11) dimaa: m a 1) EI Peelesaia persamaa (1) utuk medapatka harga dimaa: 9) 10) dega megguaka otasi : EI C 13) C (al) Persamaa (11) adalah persamaa getara bebas utuk sistem derajat kebebasa tuggal tak teredam mempuai solusi : f ( Acos t Bcos t 1) dimaa A da B adalah kostata itegrasi Utuk persamaa (10) dapat diselesaika dega megambil ix ( Ce 15) dega mesubsitusi persamaa (15) ke dalam persamaa (10) dihasilka, ( s a ) Ce 0 dimaa utuk medapatka solusi o trival diperluka, ( s a ) 0 16) ix 70
JIMT, Vol. 6, No. 1, Mei 009 : 68 7 Akar-akar dari persamaa (16) adalah: s1 a, s a,, s3 ai s ai, 17) Dega mesubtitusi setiap harga akar-akar ke dalam persamaa (15) didapatka sebuah solusi dari persamaa (10). Solusi umuma adalah: ax ax aix C1e Ce C3e C aix ( e 18) dimaa : C 1, C, C3, da C adalah kostata itegrasi da fugsi ekspoesial dalam persamaa (18) diataka dalam fugsi trigoometri da hiperbolis e ax e aix cosh ax sih ax cos ax si ax Dega mesubstitusi hubuga-hubuga ii ke dalam persamaa (18) meghasilka ( Acos ax Bcos ax Csihax Dcoshax 0) dimaa A, B, C, da D adalah kostata-kostata itegrasi baru. II.3. Frekuesi Pribadi Utuk Balok Seragam II.3.1 Tumpua Sederhaa Utuk balok dega tumpua sederhaa diperoleh kodisi batas sebagai berikut: ( 0, 0, M ( 0, 0, ( L, 0, M ( L, 0, Dega kodisi batas seperti diatas, membawa akibat pada fugsi posisi ( aitu: Pada x = 0 Pada x = L " ( 0) 0, (0) 0, 1) ( L ) 0, ( L ) 0 ) Dega mesubstitusi dua sarat batas pertama da sarat-sarat batas ii ke dalam persamaa (0) dihasilka ( 0) A 0 B1 C0 D1 0 (0) a ag direduksi mejadi B + D = 0 -B + D = 0 Jadi B = D = 0 ( A0 B1 C0 D1) 0 Dega cara ag sama disubstitusi dua sarat batas ag terakhir ke dalam persamaa (0) da ambil B = D = 0, didapat: ( L ) a ( Asi al C si al) 0 3) dijumlahka aka memberika: C sihal0 dari persamaa terakhir ii C = 0, jadi persamaa (3) direduksi mejadi 19) 71
Pegaruh Jeis Tumpua Terhadap Frekuesi Pribadi Pada Getara Balok Letur A si al 0 ) Selai solusi trival (A=0), kita dapatka persamaa frekuesi ag aka terpeuhi utuk sial 0 5) a L, 0, 1,... 6) Dega mesubstitusi akar-akar dari persamaa (6) ke dalam persamaa (13) di dapat: EI C ( ), utuk = 1, maka ilai C adalah 7) II.3. Tumpua Jepit-Jepit Utuk balok dega tumpua jepit-jepit, diperoleh kodisi batas sebagai berikut: Pada x = 0 Pada x = L ( 0, 0 ( 0) 0 (0, 0 (0) 0 8) ( 0, 0 ( 0) 0 (0, 0 (0) 0 9) Pegguaa sarat batas dari persamaa (8) ke dalam persamaa (0) memberika B D 0 da A C 0 dimaa sarat-sarat dari persamaa (9) meghasilka sistem homoge (cos al coshal) B (sial sih al) A 0 (si al sih al) B (cos al coshal) A 0 30) Dega meamaka dega ol determia dari koefisie-koefisie sistem homoge ii aka didapatka persamaa frekuesi Dari bagia pertama persamaa (30) di dapat cos a Lcosha L 1 0 31) cos al cosh al A B, 3) si al sih al dimaa B adalah harga sembarag. Utuk setiap harga frekuesi atural utuk =1 ilai ( L), 3733 a II.3.3 Tumpua Katilever EI ( a L) 33) Pada ujug terjepit (x=0) dari balok katilever, leduta da perputara sudut harus sama dega ol da pada ujug bebas (x=l) mome letur da gaa litag harus sama dega ol. Jadi sarat-sarat batas utuk sebuah balok katilever adalah sebagai berikut: 7
JIMT, Vol. 6, No. 1, Mei 009 : 68 7 Pada x = 0 Pada x = L ( 0, 0 ( 0) 0 ( L, 0 (0) 0 3) M ( L, 0 ( L ) 0 V ( L, 0 ( L ) 0 35) Bila sarat-sarat batas ii disubstitusi ke dalam persamaa (0), aka didapatka persamaa frekuesi cos a L.cosh al 1 0 36) Utuk setiap akar dari persamaa (36) didapat frekuesi atural EI ( a L) 37) utuk = 1 ilai ( L) 3, 5160 a III. METODE PENELITIAN Peelitia ii dilakuka pada balok letur persegi pajag ag diletakka pada tiga jeis tumpua aitu sederhaa, jepit-jepit, da katilever dega betaga tuggal. Tumpua sederhaa adalah tumpua ag terdiri dari tumpua egsel da rol. Tumpua jepit-jepit dimaa kedua ujuga dijepit. Tumpua katilever adalah tumpua dimaa salah satu ujuga dijepit da ag lai lepas. Dimesi balok ag diguaka dega pajag 850 mm da lebar 5 mm, sedagka tebal( balok divariasika aitu 10 mm, 1,5mm da 15 mm. Massa persatua pajag m tergatug pada tebal balok. Nilai elastisitas balok,819x10 10 N/m. IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil perhituga ag diperoleh bahwa getara balok letur ag mempuai pajag da lebar ag sama dega ketebala ag bervariasi utuk setiap spesime ag ditumpu berbagai jeis tumpua diperoleh ilai freukesi pribadi pada tabel berikut: Tabel 1. Nilai frekuesi pribadi getara balok letur No t(mm) m (kg) Sederhaa Jepit-jepit Katilever ( ) rad/detik ) rad/detik ) rad/detik 1 10,0 3,08 5,9566 1,5805 19,5780 1,5 3,15 75,9508 17,171 7,0571 3 15,0 3,5 98,738 3,809 35,1738 Frekuesi pribadi pada balok getara letur utuk tumpua sederhaa, jepit-jepit, da katilever dega tebal 10 mm, 1,5 mm, da 15 mm mempuai harga ag berbeda-beda. Nilai frekuesi pribadi dari variabel ketebala, dapat dikataka bahwa semaki tebal suatu spesime ( ( 73
Pegaruh Jeis Tumpua Terhadap Frekuesi Pribadi Pada Getara Balok Letur maka frekuesi pribadi juga semaki besar. Frekuesi pribadi terbesar terjadi pada ketebala 15 mm, kemudia ketebala 1,5 mm, da frekuesi pribadi terkecil pada ketebala 10 mm. Berdasarka jeis tumpua (ketebala sama), frekuesi terbesar terjadi pada tumpua jepitjepit (3,809 rad/detik) kemudia tumpua sederhaa (98,738 rad/detik) da terkecil pada katilever (35,1738 rad/detik) pada ketebala 15 mm. Adaa perbedaa frekuesi pribadi pada ketiga jeis tumpua ii disebabka oleh kodisi tumpua ag berbeda, dimaa freukesi pribadi merupaka fugsi dari kekakua. Semaki besar kekakua suatu spesime maka semaki besar frekuesi pribadia karea lebih mampu meaha getara. Kekakua terbesar terjadi pada tumpua jepit-jepit, ii disebabka karea pada kedua ujuga dijepit sehigga tidak terjadi perpidaha baik perpidaha traslasi maupu perputara sudut. Tumpua sederhaa dimaa pada setiap tumpua tidak terdapat perpidaha traslasi tetapi terjadi perputara sudut. Tumpua katilever frekuesi pribadia palig redah karea pada ujug ag dijepit tidak terjadi baik perpidaha traslasi maupu perpidaha sudut, sedagka ujug ag lepas kedua jeis perpidaha tersebut dapat terjadi. Pada variasi tumpua utuk ketebala ag sama, diperoleh kekakua terbesar terjadi pada tumpua jepit-jepit, kemudia tumpua sederhaa, da kekakua terkecil terjadi pada tumpua katilever. Kekakua merupaka fugsi dari jeis tumpua ag berlaku pada sistem getara. V. KESIMPULAN Pegaruh jeis tumpua terhadap frekuesi pribadi pada getara balok letur dega dimesi pajag 850 mm, lebar 5 mm, da tebala bervariasi 10 mm, 1,5 mm da 15 mm serta ilai elastisitasa,819x10 10 N/m diperoleh utuk tumpua ag sama, ilai frekuesi pribadi semaki besar dega bertambaha ketebala spesime. Sedagka pegaruh jeis tumpua terhadap frekuesi pribadi (ketebala sama), frekuesi pribadi terbesar terjadi pada tumpua jepit-jepit (3,809 rad/detik) kemudia tumpua sederhaa (98,738 rad/detik) da terkecil katilever (35,1738 rad/detik) pada ketebala 15 mm VI. DAFTAR PUSTAKA 1. Mappaita, Abdullah. 00. Aplikasi Metode Fugsi Trasfer pada Aalisis Karakteristik Getara Balok Kau. Makassar. Jural Peelitia Tekologi (INTEK) Tahu ke-8 No.. Halama 105 11.. Paz, Mario. 1990. Diamika Struktur (Teori da Perhituga). Edisi II. Jakarta. Peerbit Erlagga. 3. Thomso, W.T. 1986. Theori of Vibratio with Aplicatio. New Delhi. Pretice. Vierck, Robert K, dkk. 1985. Aalisis Getara. Badug. Eresco. 5. Willia W. Seto.B.S. 1985. Getara Mekais Seri Buku Schaum Teori da Soal-Soal. Jakarta. Erlagga. 7